Surabaya, 23 Desember 2013

Transkripsi

1 GRAF CAYLEY Sigit Pancahayani No Ujian: Surabaya, 23 Desember 2013 Tes Calon Pegawai Negeri Sipil-Dosen Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember

2 Graf Definisi Graf: Diestel (2005) mendefinisikan graf G sebagai pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik dan himpunan sisi E [V ] 2 ; artinya elemen dari E merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen.

3 Graf Definisi Graf: Diestel (2005) mendefinisikan graf G sebagai pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik dan himpunan sisi E [V ] 2 ; artinya elemen dari E merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen. Dari definisi tersebut, maka bisa dipastikan bahwa graf yang terbentuk merupakan graf sederhana, yaitu graf yang tidak memuat loop maupun sisi ganda yang menghubungkan dua titik yang sama.

4 Graf Definisi Graf: Diestel (2005) mendefinisikan graf G sebagai pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik dan himpunan sisi E [V ] 2 ; artinya elemen dari E merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen. Dari definisi tersebut, maka bisa dipastikan bahwa graf yang terbentuk merupakan graf sederhana, yaitu graf yang tidak memuat loop maupun sisi ganda yang menghubungkan dua titik yang sama. Misalkan V = {1, 2, 3, 4}, maka [V ] 2 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}. Misalkan pula E = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} [V ] 2. Graf G = (V, E) ditunjukkan oleh Gambar 1

5 Figure: Graf G = (V, E)

6 Graf Berarah Definisi Graf Berarah: Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagai pasangan himpunan (V, A), dimana V adalah himpunan titik dan himpunan sisi berarah A [V ] 2 ; artinya elemen dari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen.

7 Graf Berarah Definisi Graf Berarah: Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagai pasangan himpunan (V, A), dimana V adalah himpunan titik dan himpunan sisi berarah A [V ] 2 ; artinya elemen dari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen. Dalam D terdapat dua buah pemetaan init : A V dan ter : A V. Keduanya merupakan pemetaan yang menghasilkan titik awal init(a) dan titik akhir ter(a) bagi setiap sisi berarah a A.

8 Graf Berarah Definisi Graf Berarah: Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagai pasangan himpunan (V, A), dimana V adalah himpunan titik dan himpunan sisi berarah A [V ] 2 ; artinya elemen dari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen. Dalam D terdapat dua buah pemetaan init : A V dan ter : A V. Keduanya merupakan pemetaan yang menghasilkan titik awal init(a) dan titik akhir ter(a) bagi setiap sisi berarah a A. Graf berarah D sering disebut sebagai digraf.

9 Graf Berarah Definisi Graf Berarah: Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagai pasangan himpunan (V, A), dimana V adalah himpunan titik dan himpunan sisi berarah A [V ] 2 ; artinya elemen dari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen. Dalam D terdapat dua buah pemetaan init : A V dan ter : A V. Keduanya merupakan pemetaan yang menghasilkan titik awal init(a) dan titik akhir ter(a) bagi setiap sisi berarah a A. Graf berarah D sering disebut sebagai digraf. Berdasarkan definisi yang diberikan, maka digraf D merupakan digraf sederhana, yaitu digraf yang tidak memuat loop maupun sisi berarah ganda yang menghubungkan dua titik yang sama.

10 Contoh Misalkan V = {1, 2, 3, 4}, maka [V ] 2 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}. Misalkan pula E = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} [V ] 2. Graf G = (V, E) ditunjukkan oleh Gambar 2 Figure: Digraf D = (V, A)

11 Pendahuluan Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayley pertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun 1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yang dibangkitkan oleh sebuah generator.

12 Pendahuluan Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayley pertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun 1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yang dibangkitkan oleh sebuah generator. Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagai elemen identitasnya.

13 Pendahuluan Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayley pertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun 1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yang dibangkitkan oleh sebuah generator. Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagai elemen identitasnya. Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengan syarat e / S dan jika s S maka s 1 S.

14 Pendahuluan Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayley pertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun 1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yang dibangkitkan oleh sebuah generator. Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagai elemen identitasnya. Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengan syarat e / S dan jika s S maka s 1 S. Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunan generator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskan sebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S.

15 Pendahuluan Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayley pertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun 1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yang dibangkitkan oleh sebuah generator. Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagai elemen identitasnya. Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengan syarat e / S dan jika s S maka s 1 S. Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunan generator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskan sebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S. Dalam hal ini, kita katakan bahwa Γ dibangkitkan oleh S.

16 Definisi (Tak Berarah) G = Cay(Γ, S) = (V, E) adalah graf yang dibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γ dan himpunan sisi E = {(g, gs) : g Γ, s S}.

17 Definisi (Tak Berarah) G = Cay(Γ, S) = (V, E) adalah graf yang dibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γ dan himpunan sisi E = {(g, gs) : g Γ, s S}. Tidak adanya elemen identitas pada S mengakibatkan graf Cay(Γ, S) tidak memuat loop

18 Contoh Diberikan Z 4 = { 0, 1, 2, 3}, kita tahu bahwa (Z 4, +) adalah grup dengan identitas 0. Pilih S = { 1, 3} sebagai generator dari (Z 4, +). Graf Cay(Z 4, S) ditunjukkan oleh Gambar 2 Figure: Graf Cay(Z 4, S)

19 Contoh Gambarkan graf Cayley Cay(S 3, S) dari grup permutasi S 3 dengan generator S = {(12), (13), (23)}. solusi: Diketahui, S 3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} dan S = {(12), (13), (23)}. Ketetanggan setiap titik pada graf Cayley Cay(S 3, S) diperoleh dengan memeriksa hasil komposisi p s dengan p S 3 dan s S. Cay(S 3, S) ditunjukkan oleh Gambar 4

20 Definisi (Berarah) Fehr (2006) mendefinisikan berarah D = Cay(Γ, S) = (V, A) sebagai graf berarah yang dibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γ dan himpunan sisi berarah A = {(g, gs) : g Γ, s S}.

21 Definisi (Berarah) Fehr (2006) mendefinisikan berarah D = Cay(Γ, S) = (V, A) sebagai graf berarah yang dibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γ dan himpunan sisi berarah A = {(g, gs) : g Γ, s S}. Untuk g 1 dan g 2 di Γ, terdapat sisi berarah dari g 1 ke g 2 jika dan hanya jika g 1 s = g 2 untuk suatu s S.

22 Definisi (Berarah) Fehr (2006) mendefinisikan berarah D = Cay(Γ, S) = (V, A) sebagai graf berarah yang dibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γ dan himpunan sisi berarah A = {(g, gs) : g Γ, s S}. Untuk g 1 dan g 2 di Γ, terdapat sisi berarah dari g 1 ke g 2 jika dan hanya jika g 1 s = g 2 untuk suatu s S. Dengan kata lain, D = Cay(Γ, S) diperoleh dari graf Cay(Γ, S) dengan memberi arah pada setiap sisinya.

23 Contoh Gambarkan graf Cayley dari grup Γ = Z 2 Z 4 dengan Z 2 = {0, 1}, Z 4 = {0, 1, 2, 3}, dan generator S = {(1, 0), (0, 1)}. solusi: Z 2 Z 4 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3)}. Cek ketetanggaan dari setiap ttik: (0, 0) + (1, 0) = (1, 0); (0, 0) + (0, 1) = (0, 1); (0, 1) + (1, 0) = (1, 1); (0, 1) + (0, 1) = (0, 2); (0, 2) + (1, 0) = (1, 2); (0, 2) + (0, 1) = (0, 3); (0, 3) + (1, 0) = (1, 3); (0, 3) + (0, 1) = (0, 0); (1, 0) + (1, 0) = (0, 0); (1, 0) + (0, 1) = (1, 1); (1, 1) + (1, 0) = (0, 1); (1, 1) + (0, 1) = (1, 2); (1, 2) + (1, 0) = (0, 2); (1, 2) + (0, 1) = (1, 3); (1, 3) + (1, 0) = (0, 3); (1, 3) + (0, 1) = (1, 0). Cay(Z 2 Z 4, S) ditunjukkan oleh Gambar 7

24 Figure: Digraf Cay(Z 2 Z 4, S)

25 Daftar Pustaka Daftar Pustaka N. Biggs (1974): Algebraic Graph Theory, Cambridge University, Great Britain. R. Diestel (2005): Graduate Text in Mathematics, Graph Theory, Third Edition, Springer-Verlag, New York. M. Fehr, S. Gosselin, O.R. Oellermann (2006): The Metric Dimension of Cayley Digraphs, Discrete Mathematics 306:

26 Daftar Pustaka Terima Kasih