Program Linear - IPA Tahun 2005 1. Tanah seluas 10.000 m² akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m² dan tipe B diperlukan 75 m². Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah... A. Rp 550.000.000,00 D. Rp 800.000.000,00 B. Rp 600.000.000,00 E. Rp 900.000.000,00 C. Rp 700.000.000,00 misal: x = rumah tipe A y = rumah tipe B 100x + 75y 10.000 dibagi 25 4x + 3y 400..(1) x + y 125..(2) Keuntungan maksimum : 6000.000 x + 4000.000 y =? Mencari keuntungan maksimum dengan mencari titik-titik pojok dengan menggunakan sketsa grafik: Grafik 1 : 4x + 3y 400 titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = Titik potongnya (100, 0) 400 = 100 4 Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = Titik potongnya (0, 133,3) 400 = 133,3 3 Grafik 2 : x + y 125 titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 125 Titik potongnya (125, 0) Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 15
Titik potongnya (0, 125) Gambar grafiknya: 125 133,3 100 125 titik potong : eliminasi x 4x + 3y = 400 x 1 4x + 3y = 400 x + y = 125 x 4 4x + 4y = 500 - -y = -100 y = 100 x + y = 125 x = 125 - y = 125 100 = 25 didapat titik potong (25, 100) Titik pojok 6000.000 x + 4000.000 y (100,0) 600.000.000 (0,125) 500.000.000 (25, 100) 150.000.000+ 400.000.000 = 550.000.000 Keuntungan maksimum adalah Rp.600.000.000 Jawabannya adalah B Tahun 2006 2. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kg dan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah.. A. Rp.150.000,00 C. Rp.192.000,00 E. Rp.216.000,00 B. Rp.180.000,00 D. Rp.204.000,00
Misal : x = mangga ; y = pisang Model matematikanya: x 0 ; y 0 8000x + 6000y 1200.000 dibagi 2000 4x + 3y 600.(1) x + y 180.(2) Laba penjualan mangga = 9200 8000 = 1200 Laba penjualan pisang = 7000 6000 = 1000 Laba maksimum = 1200x + 1000y 200 180 (60,120) Titik potong: 150 180 Dari pers (1) dan (2) eliminasi x 4x + 3y = 600 x1 4x + 3y = 600 x + y = 180 x4 4x + 4y = 720 - - y = - 120 y = 120 x + y = 180 x = 180 120 = 60 titik potong = (60,120) Titik pojok 1200x + 1000y (0, 0) 0 (150, 0) 180.000 (60, 120) 192.000 (0, 180) 180.000 Laba maksimum adalah 192.000 Jawabannya adalah C
Tahun 2007 3. Luas daerah parkir 1.760 m 2. Luas rata rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah. A. Rp. 176.000,00. C. Rp. 260.000,00 E. Rp. 300.000,00 B. Rp. 340.000,00 D. Rp. 200.000,00. misal x = mobil kecil dan y = mobil besar, maka dapat dibuat persamaan sbb: 4 x + 20 y 1760 x + 5 y 440 (1) x + y 200 (2) dari pers (1) dan (2) eliminasi x x + 5 y = 440 x + y = 200-4 y = 240 240 y = = 60 4 x + y = 200 x + 60 = 200 x = 200 60 = 140 maka hasil maksimum 1000 x + 2000 y = 1000. 140 + 2000. 60 = 140000 + 120000 = Rp. 260.000,- Jawabannya adalah C
4. Perhatikan gambar! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah. A. ( 2,5 ) C. ( 2,2/5 ) E. ( 2/5,2 ) B. ( 2,5/2 ) D. ( 5/2,2 ) Cari persamaan garisnya terlebih dahulu: persamaan garis: ax + by = ab garis yang melalui titik M(x,y) memotong sumbu x di titik (4,0) dan memotong sumbu y di titik (0,5). a = 5 : b = 4 5x + 4y = 20 4y = 20 5x 20 5x 5 y = - = 5 - x 4 4 4 Luas daerah yang diarsir L = x.y = x. (5-4 5 x) = 5x - 4 5 x 2 Luas akan maksimum jika turunan L (L ' )=0 L = 5x - 4 5 x 2 L ' = 5-2 5 x = 0 5 = 2 5 x x = 2
Masukkan nilai x : y = 5-4 5 x = 5-4 5. 2 = 5-2 5 = 2 5 jadi koordinat titik M agar mencapai nilai maksimum adalah ( 2,5/2 ) Jawabannya adalah B Tahun 2008 5. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Nilai maksimum dari f(x,y) = 7x + 6y adalah. A. 88 C. 102 E. 196 B.94 D. 106 Rumus persamaan garis : ax + by = ab Persamaan garis 1 : titik (0,20) dan titik (12,0) a b 20 x + 12 y = 240 5x + 3y = 60 Persamaan garis 2 : melalui titik (0,15) dan titik (18,0) a 15x + 18 y = 270 5x + 6y = 90 Mencari titik potong persamaan garis 1 dan 2: titik potong garis 1 dan 2 5x + 3y 60 = 5x + 6y 90 5x 5x -60 + 90 = 6y - 3y b
30 = 3y y = 10 mencari x: 5x + 3y = 60 5x + 3. 10 = 60 5x = 60 30 5x = 30 x = 6 mencari nilai maksimum yaitu ditentukan dari titik-titik pojok arsiran dan titik potong: x y f(x,y) = 7x + 6y 0 0 0 12 0 84 6 10 102 0 15 90 terlihat bahwa nilai terbesar/maksimum adalah 102 Jawabannya adalah C 6. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp. 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah. A. Rp. 600.000,00 C. Rp. 700.000,00 E. Rp. 800.000,00 B. Rp. 650.000,00 D. Rp. 750.000,00 Bahan yg tersedia : gula = 4 Kg = 4000 gr tepung = 9 Kg = 9000 gr Untuk kue A dibutuhkan bahan : 20 gr gula + 60 gr tepung Untuk kue B dibutuhkan bahan: 20 gr gula + 40 gr tepung pendapatan maksimum : 4000 x + 3000 y =?
Model matematika: 20x + 20 y 4000 x + y 200 pemakaian gula 60 x + 40y 9000 3x + 2y 450 pemakaian tepung x 0 ; y 0 titik potong x + y 200 dengan 3x + 2y 450 : eliminasi x x + y = 200 x 3 3x + 3 y = 600 3x + 2y = 450 x 1 3x + 2 y = 450 - y = 150 x + y = 200 x + 150 = 200 x = 200 150 = 50 titik potongnya (50, 150) Titik-titik pojoknya adalah (0, 0), (150, 0), (0, 200) dan titik potong (50, 150) Buat tabel: x y 4000 x + 3000 y 0 0 0 150 0 600000 0 200 600000 50 150 650000 didapat pendapatan maksimumnya dalah Rp.650.000 Jawabannya adalah B
Tahun 2009 7. Menjelang hari raya Idul Adha Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut- turut Rp. 9.000.000,00 dan Rp. 8.000.000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp. 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut- turut Rp. 10.300.000,00 dan Rp. 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan yang maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli adalah. A. 11 sapi dan 4 kerbau D. 0 sapi dan 15 kerbau B. 4 sapi dan 11 kerbau E. 7 sapi dan 8 kerbau C. 13 sapi dan 2 kerbau Buat model matematikanya : Misal sapi = x dan kerbau = y 9000.000 x + 8000.000 y 124000.000 9x + 8y 124.(1) x + y 15 (2) x 0; y 0 Keuntungan harga jual sapi = 10.300.000 9000.000 = 1300.000 Keuntungan harga jual kerbau = 9.200.000 8000.0000 = 1200.000 Keuntungan maksimum: 1300.000 x + 1200.000 y =? Mencari keuntungan maksimum dengan mencari titik-titik pojok dengan menggunakan sketsa grafik: Grafik 1 : 9x + 8y 124 titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = Titik potongnya (13,77, 0) Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 124 = 13,77 9 124 = 15,5 8
Titik potongnya (0, 15,5) Grafik 2 : x + y 15 titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 15 Titik potongnya (15, 0) Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 15 Titik potongnya (0, 15) Titik potong (1) dan (2): substitusi pers 1 dan 2 : eliminasi x 9x + 8y = 124 x 1 9x + 8y = 124 x + y = 15 x 9 9x + 9y = 135 - - y = - 11 y = 11 x + y = 15 x = 15 11 = 4 titik potongnya (4, 11) sketsa grafik: 15 15,5 (4, 11) titik potong 13,77 15
Titik pojok 1300.000 x + 1200.000 y (0, 0 ) 0 (0, 15 ) 18.000.000 (13,77, 0 ) 17.901.000 (4, 11) 5.200.000 + 13.200.000 = 18.400.000 Keuntungan maksimum adalah Rp. 18.400.000 pada titik (4, 11) sehingga keuntungan maksimum didapat denagan menjual 4 ekor sapid an 11 ekor kerbau Jawabannya adalah B Tahun 2010 8. Suatu perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produk model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 1 jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu kerja mesin A dan B berturut turut adalah 12 jam perhari dan 15 jam perhari. Keuntungan penjualan produk model I sebesar Rp. 40.000,00 perunit dan model II Rp 10.000,00 per unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah. A. Rp. 120.000,00 C. Rp. 240.000,00 E. Rp. 600.000,00 B. Rp. 220.000,00 D. Rp. 300.000,00 Misal produk model I = x produk model II = y A B produk model I x 2 1 produk model II y 1 5 waktu kerja 12 15 ditanya keuntungan maksimum : 40.000 x + 10.000 y =? Dibuat model matematikanya:
x 0 ; y 0 ; 2x + y 12 ; x + 5y 15 buat grafiknya: 2x+ y = 12 titik potong dengan sb x jika y=0 2x = 12 x = 6; didapat titik (6,0) titik potong dengan sb y jika x=0 y = 12 didapat titik (0,12) Tarik garis dari titik (6,0) ke titik (0,12) x + 5y = 15 titik potong dengan sb x jika y=0 x = 15; didapat titik (15,0) titik potong dengan sb y jika x=0 5y = 15 y =3 ; didapat titik (0, 3) Tarik garis dari titik (15,0) ke titik (0,3) titik potong 2 garis tersebut adalah: substitusikan 2 persamaan tsb: eliminasi x 2x+ y = 12 x1 2x+ y = 12 x + 5y = 15 x2 2x +10y = 30-2x + y = 12 2x + 2 = 12 2x = 12-2 10 x = = 5 2-9y = -18 y = 2
titik potongnya adalah (5,2) dibuat tabel dengan titik-titik pojok: titik pojok 40.000 x + 10.000 y (0, 0) 0 (0, 3) 30.000 (5, 2) 200.000 + 20.000 = 220.000 (6, 0) 240.000 Terlihat bahwa nilai maksimumnya adalah 240.000 di titik (6, 0) Jawabannya adalah C