IV TIGA MODEL ARUS LALU-LINTAS

8 IV TIGA MODEL ARUS LALU-LINTAS Maih berkaitan dengan bab ebelmnya, pada bagian ini akan dibaha tiga model ntk at ar lal-linta yang mengalir pada at ingle link. Model-model terebt terdiri ata da model makrokopik dan at model mikrokopik, yait: 1. Model makrokopik yang menghbngkan ar kelar dan volme. 2. Model makrokopik yang menghbngkan wakt temph dan volme. 3. Model mikrokopik mobil pengikt. Model 1 dan model 2 dignakan ntk memperhatikan bagaimana model berperilak pada aat kondii lal-linta normal ata tabil. Dimana kondii tabil adalah kondii ketika ar mak dan wakt temph tetap. Pada bagian ini jga akan ditnjkkan bahwa terdapat ejmlah pemodelan matematika ntk ar lal-linta dengan etiap kontek memberikan interpretai fiik yang berbeda terhadap parameter dan variabel. Akan ditnjkkan pla bahwa ebah peramaan diferenial biaa dapat memiliki da interpretai yang berbeda pada kontek pemodelan yang ama. 4.1 Model 1 Model ini menghbngkan antara ar yang mengalir kelar, dari at ra jalan pada wakt, dan volme kendaraan, pada at ra jalan pada wakt. Mialkan, : ar yang mengalir mak ke link (inflow) pada wakt t (kendaraan per atan wakt). : ar yang mengalir kelar dari link (otflow) pada wakt t (kendaraan per atan wakt). : volme kendaraan yang ada pada at ra jalan pada wakt t (kendaraan). Dengan didefiniikan, yait ar lal-linta yang mengalir kelar pada wakt t adalah fngi dari volme pada wakt t. Dengan prinip konervai kendaraan, perbahan volme kendaraan pada link adalah ar yang mak dikrangi dengan ar yang kelar, yait:. (4.1) Tinja at ra jalan (link) bervolme yang terebar merata. Jika lal-linta bergerak tanpa hambatan dan kendaraan terakhir meninggalkan ra jalan terebt etelah wakt maka rata-rata ar kelar dari ra jalan terebt adalah, ehingga. (4.2) berdaarkan atran rantai, maka. (4.3) Sbtitikan peramaan (4.3) ke peramaan (4.1) maka diperoleh. (4.4) Peramaan (4.2) dan (4.4) diebt ebagai model lal-linta takeak (ncongeted). 4.2 Model 2 Model ini menghbngkan antara wakt temph kendaraan, ntk melintai at panjang jalan pada wakt, dan volme kendaraan, pada at ra jalan lallinta pada wakt. Mialkan adalah wakt temph pada aat, yait wakt yang dibthkan kendaraan ntk melintai ra jalan dari pint mak ampai dengan pint kelar pada aat. Jika banyaknya kendaraan pada ra jalan meningkat maka wakt temph kendaraan jga meningkat. Jika wakt temph kendaraan pada wakt bergantng linear pada banyaknya kendaraan pada wakt maka diberikan, (4.5) dengan adalah wakt temph kendaraan ntk melintai ra jalan ketika tidak ada kendaraan lain yang mengalir pada link terebt dalam atan wakt dan adalah at kontanta dalam atan kendaraan per atan wakt. Didefiniikan volme kendaraan pada link pada wakt adalah v. (4.6) Dengan prinip konervai lal-linta, banyaknya kendaraan yang mengalir mak pada wakt adalah ama dengan banyaknya

9 kendaraan yang kelar pada wakt yait, (4.7) Dengan menrnkan peramaan (4.7) terhadap wakt maka diperoleh ar kelar pada wakt yait 1. (4.8) Jika peramaan (4.6) dibtitikan ke peramaan (4.5), kemdian keda ra ditrnkan terhadap maka diperoleh laj perbahan wakt temph pada wakt, yait. (4.9) Dengan demikian, ar kelar link pada wakt menjadi. (4.) Peramaan (4.) dikatakan ebagai model wakt temph linear. Terdapat da oli analitik ntk model wakt temph linear antara lain: a. Soli ar kelar Teorema 1: Mialkan didefiniikan fngi ar mak pada wakt dengan 0, 0, 0, (4.11) maka oli analitik ar kelar ke- 1,2,3,. ntk 0 adalah. (4.12) Dengan menggnakan indki matematika dari peramaan di ata, maka diperoleh. (4.13) Berdaarkan peramaan (4.11) lim,, (4.14) dengan mennjkkan makimm ar kelar tabil dari link yang diperbolehkan. b. Soli wakt temph Pada bagian ini akan diraikan perbahan wakt temph etiap aat. Dari peramaan (4.11) dan (4.8) dapat dilihat bahwa laj perbahan wakt temph merpakan fngi linear bagian demi bagian dengan kemiringan etiap bagian diberikan oleh, 0,1,2,.. (4.15) dengan dikontinita terjadi pada aat ar kelar berbah. Mialkan nilai-nilai wakt temph yang terjadi pada titik dikontin terebt dinotaikan dengan,,,. Nilai awal wakt temph adalah dan pada titik ini dikontinita pertama terjadi dengan ar kelar melompat dari 0 ke. Berdaarkan Teorema 1, dikontinita beriktnya terjadi pada wakt dengan wakt temph (4.16) Dikontinita beriktnya terjadi pada wakt,, dan eternya, dengan wakt-wakt temph bertrt-trt diberikan oleh: 1, dan eternya (4.17),, Dengan demikian, pada wakt, wakt temph diberikan oleh dengan, dan 1 1 (4.18). Dengan menggnakan peramaan (4.13) dan (4.18) diperoleh bentk ederhana, yait. (4.19) Bkti: Lihat di Lampiran 1.

Bentk rekrif peramaan (4.19) dapat ditli menjadi 1 1 1. 1. (4.) Selanjtnya, dengan menbtitikan peramaan (4.12) ke peramaan (4.), maka diperoleh, (4.21) dengan adalah wakt temph pada wakt. Dengan menjmlahkan deret pada peramaan (4.21) maka diperoleh lim, (4.22) aalkan 1. (4.23) Peramaan di ata mennjkkan bahwa pada akhirnya wakt temph akan konvergen ke nilai yang diberikan pada peramaan (4.22). Dengan menggnakan oftware Mathematica 6.0, didapatkan tiga grafik dari model wakt temph linear ebagai iltrai keelrhan perilak oli analitik yang telah dijelakan. Dengan ar kelar (otflow), wakt temph, dan perbahan wakt temph berbah terhadap wakt. Dengan ar mak yang kontan, kendaraan/ menit, menit dan kendaraan/menit. p.v 12 8 6 4 2 0 0 60 80 0 Keterangan: = Ar kelar (otflow), = Ar mak (inflow), Gambar 5 Grafik ar mak dan ar kelar pada wakt. t dan gari pt-pt adalah ar kelar dengan dikontinita terjadi pada aat ar kelar berbah. Secara aimtot otflow mendekati inflow yang kontan. 18 16 14 12 t 0 60 80 0 Keterangan: = Wakt temph ke = Wakt temph kontan Gambar 6 Grafik wakt temph pada wakt. Grafik di ata mennjkkan perilak kendaraan dengan wakt temph ke- yang ecara aimtot mendekati wakt temph yang kontan. dt dt 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 60 80 0 Gambar 7 Grafik laj perbahan wakt temph pada wakt. Grafik di ata mennjkkan laj perbahan wakt temph etiap aat dengan kemiringan bagian demi bagian diberikan oleh peramaan (4.15). Seiring bertambahnya wakt, laj perbahan wakt temph emakin mengecil. Untk lebih jela, koordinat etiap titik pada ketiga grafik di ata dapat di lihat pada Tabel 1. t t Dari Gambar 5 di ata dapat dilihat bahwa gari horizontal adalah ar mak kontan

11 Tabel 1 Nilai-nilai wakt, ar kelar, wakt temph, dan laj wakt temph berdaarkan pada da oli analitik. Wakt Ar kelar Wakt temph Laj wakt temph 0 0 0 0, 1 6,67 15 0,17 2 25 8,57 17,5 0,07 3 42, 9,33 18,75 0.03 4 61,25 9,68 19,38 0,02 5 80,63 9,84 19,69 7,94 6 0,31 9,92 19,84 3,94 4.3 Model 3 Seperti yang telah dijelakan pada bab ebelmnya (model mikrokopik), formlai model ini mengamikan bahwa pengemdi mobil pengikt menyeaikan kecepatan menrt kecepatan relatif antara mobilnya dan mobil yang ada di depannya. Hal ini didekripikan oleh, 4.24 dengan adalah poii mobil pemimpin pada wakt, adalah poii mobil pengikt pada wakt, dan adalah wakt reaki ata wakt berfikir pengemdi mobil pengikt. Wakt reaki adalah wakt yang dibthkan pengemdi mobil pengikt ntk bereaki terhadap at perbahan pada perilak pengemdi mobil pemimpin. Kontanta adalah koefiien enitivita yang angat berpengarh terhadap bear kecilnya reaki pengemdi mobil pengikt terhadap kecepatan relatif antarkendaraan. Semakin bear nilai maka emakin bear reaki pengemdi mobil pengikt terhadap kecepatan relatif antarkendaraan. Peramaan (4.24) dapat diederhanakan dengan menggnakan ami bahwa pengemdi mobil pengikt bereaki dengan cepat, yait 0, ehingga diperoleh. (4.25) dan Dengan mendefiniikan. Peramaan (4.25) dapat ditli dalam bentk kecepatan kendaraan yait. (4.26) Jika kecepatan mobil pemimpin pada aat diberikan maka peramaan diferenial (4.26) dapat dieleaikan ntk mendapatkan fngi kecepatan mobil pengikt. Peramaan (4.26) dapat dipermmkan pla ntk ka ejmlah barian mobil, yang maing-maing mengikti mobil di depannya ecara langng. Dengan menggnakan ami bahwa pengemdi ke- memiliki koefiien enitifita dan kecepatan mobil ke- yang dinotaikan dengan. Secara mm dapat ditlikan. (4.27) Dengan menggnakan (4.27), jika diberikan maka kecepatan-kecepatan ema mobil dapat dievalai. Simlai Model 3 Pada bagian ini ebah bentk PDB orde 1 pada peramaan 4.27 akan diimlaikan dengan menggnakan program Mathematica 6.0. Dengan ebah fngi kecepatan kendaraan (mobil) pertama diberikan ehingga kecepatan-kecepatan ema mobil di belakangnya dapat dievalai dan ebah fngi poii hail pengintegralan kecepatan mobil pertama ntk mengevalai poii mobil-mobil di belakangnya. Adapn tjan dari imlai ini adalah ntk mengetahi reaki pengemdi mobil pengikt terhadap pengarh koefiien enitifita. Simlai terdiri ata tiga contoh dengan maing-maing terdiri ata tiga ka. Pada ka pertama, akan ditnjkkan hail

12 imlai jika menggnakan nilai yang ama, pada ka keda, akan ditnjkkan hail imlai jika menggnakan nilai yang emakin membear, dan pada ka ketiga, akan ditnjkkan hail imlai jika menggnakan nilai emakin mengecil. Contoh 1 Mialkan ebah kendaraan (mobil) pertama (terdepan) bergerak dengan fngi kecepatan: 2, jika diintegralkan ekali maka diperoleh fngi poii mobil pertama, yait:. Jika 0 0, maka 0, ehingga +0, dengan atan km/jam ntk kecepatan dan km ntk poii. Berdaarkan pernyataan pada model 3 (peramaan 4.27), maka hail evalai dengan kompter dalam program Mathematica 6.0 dengan 0 80 dan 0 bertrt-trt ebagai poii mobil keda (mobil pengikt pertama) dan poii mobil ketiga (mobil pengikt keda) pada aat 0 erta kecepatan ema kendaraan adalah m/jam pada 0. Telah diperoleh hail imlai dalam grafik di bawah ini. (Fngi poii dan kecepatan mobil-mobil model car-following lihat di Lampiran 3). # Ka I : kontan Pada ka ini mialkan dignakan nilai 1 1,2,3. 70 60. 0 0 0 0 0. : perilak mobil keda. Gambar 8 Kecepatan dan poii mobil-mobil model car-following pada contoh 1 (ka I). Gambar 8 adalah hail imlai ntk kontan yang mennjkkan bahwa ema pengemdi mobil bereaki ama terhadap mobil di depannya. Sema mobil bergerak beriringan mengikti mobil di depannya dengan jarak antarmobil dan peningkatan kecepatan yang tabil eiring berjalannya wakt. Dapat dilihat pada Gambar 8a ema kendaraan memiliki kecepatan yang ama pada 0.

13 # Ka II : Membear Pada ka ini dignakan nilai yang emakin membear ehingga. Mialkan 1, 2, dan 5. 70 60 0 0 0 0 0 : perilak mobil keda. Gambar 9 Kecepatan dan poii mobil-mobil model car-following pada contoh 1 (ka II). Dapat dilihat pada Gambar 9 di ata, peningkatan bearnya koefiien enitifita ntk mobil ke- menyebabkan pengemdi mobil terebt bereaki lebih cepat ntk menaikkan kecepatan (perbahan poii) dan percepatan (perbahan kecepatan) dengan bergerak mendekati mobil di depannya, yang berarti jarak antarmobil ke dan ke- 1 lebih dekat dibandingkan dengan ka 1. Gambar 9b menjelakan mobil keda bereaki lebih cepat terhadap reaki mobil pertama yang bergerak kontan (tidak ada perbahan reaki), ehingga jarak emakin dekat. Dan mobil ketiga bereaki lebih cepat terhadap mobil keda dengan mendekati mobil keda yang bereaki dipercepat. # Ka III: Mengecil Pada ka ini dignakan nilai yang emakin mengecil ehingga. Mialkan 1, 0.7, dan 0.1. 70 60 0 0 0 0 0 : perilak mobil keda. Gambar Kecepatan dan poii mobil-mobil model car-following pada contoh 1 (ka III).

14 Gambar adalah hail imlai jika koefiien enitifita, mobil ke- diperkecil, khnya ntk mobil-mobil pengikt. Dapat dilihat pada gambar, mobil keda dan ketiga bereaki lebih lambat ntk menaikkan kecepatan dan percepatannya. Hal ini dapat dilihat dari jarak antargrafik yang mennjkkan jarak antarmobil yang lebih bear dibandingkan aat kontan. Contoh 2 Mialkan ebah mobil pertama (terdepan) bergerak dengan fngi kecepatan:, jika diintegralkan ekali maka diperoleh fngi poii mobil pertama, yait:, Jika 0 60, maka 60, ehingga +60, dengan atan km/jam ntk kecepatan dan km ntk poii. Berdaarkan pernyataan pada model 3 (peramaan 4.27), maka hail evalai dengan kompter dalam program Mathematica 6.0 dengan 0 dan 0 5 bertrt-trt ebagai poii mobil keda (mobil pengikt pertama) dan poii mobil ketiga (mobil pengikt keda) pada aat 0 erta kecepatan mobil keda dan ketiga adalah nol pada 0, 0 0 0. Telah diperoleh hail imlai dalam grafik berikt ini. (Fngi poii dan kecepatan mobil-mobil model car-following lihat di Lampiran 3). # Ka I: Kontan Pada ka ini mialkan dignakan nilai 1 1,2,3. t : perilak mobil keda 0 0 0 0 0 Gambar 11 Kecepatan dan poii mobil-mobil model car-following pada contoh 2 (ka I). Untk Gambar 11 di ata diamikan mobil-mobil edang bergerak di at ra jalan yang lit ntk mengendarai dengan kecepatan lebih tinggi ehingga kecepatan hanya berkiar antara 39-42 km/jam dengan menrnkan dan menaikkan kecepatan eiring berjalannya wakt ntk ema mobil. Pada grafik poii mobil-mobil, mobil keda mengikti mobil pertama dengan jarak antarmobil yang kontan epanjang wakt yait km. Dan mobil ketiga bergerak mengikti mobil keda dengan jarak antarmobil yang kontan epanjang wakt yait 25 km.

15 # Ka II: Membear Pada ka ini dignakan nilai yang emakin membear ehingga. Mialkan 1, 5, dan 8. t : perilak mobil keda. 0 0 0 0 0 Gambar 12 Kecepatan dan poii mobil-mobil model car-following pada contoh 2 (ka II). Gambar 12 menjelakan aat koefiien enitifita diperbear, maka reaki pengemdi mobil-mobil terebt adalah lebih cepat ntk menaikkan kecepatan dan percepatannya. Hal ini dapat dilihat dari reaki mobil keda 5 terhadap mobil pertama 1 yang lebih cepat (jarak lebih dekat) dibandingkan dengan mobil ketiga 8 terhadap mobil keda 5. # Ka III: Mengecil Pada ka ini dignakan nilai yang emakin mengecil ehingga. Mialkan 1, 0.4, dan 0.3. t : perilak mobil keda. 0 0 0 0 0 Gambar 13 Kecepatan dan poii mobil-mobil model car-following pada contoh 2 (ka III). Gambar 13 menjelakan aat koefiien enitifita diperkecil 1, maka pengemdi mobil-mobil terebt bereaki lebih lambat. Dapat dilihat dari jarak antargrafik yang mennjkkan jarak antarmobil yang lebih jah. Mobil keda bereaki jah lebih lambat (jarak lebih jah) terhadap mobil pertama dibandingkan dengan reaki pengemdi mobil ketiga terhadap mobil keda.

16 Contoh 3 Mialkan ebah mobil pertama (terdepan) bergerak dengan fngi kecepatan: 2, jika diintegralkan ekali maka diperoleh fngi poii mobil pertama, yait: 1, Jika 0 70, maka ehingga 1, dengan atan km/jam ntk kecepatan dan km ntk poii. Berdaarkan pernyataan pada model 3 (peramaan 4.27), maka hail evalai dengan kompter dalam program Mathematica 6.0 dengan 0 dan 0 0 bertrt-trt ebagai poii mobil keda (mobil pengikt pertama) dan poii mobil ketiga (mobil pengikt keda) pada aat 0. Kecepatan mobilmobil pada 0 adalah km/jam, 16 km/jam dan km/jam. Telah diperoleh hail imlai dalam grafik berikt ini. (Fngi poii dan kecepatan mobil-mobil model carfollowing lihat di Lampiran 3). # Ka I: Kontan Pada ka ini mialkan dignakan nilai 1 1,..4. 5 15 t 0 2 0 1 0 : perilak mobil keda. Gambar 14 Kecepatan dan poii mobil-mobil model car-following pada contoh 3 (ka I). Gambar 14 menjelakan mobil keda bergerak mengikti mobil pertama pada jarak meter epanjang wakt dari mobil pertama. Dan mobil ketiga bergerak pada jarak meter dari mobil keda pada 0 kemdian mendekati mobil keda dan kemdian mejah dari mobil di depannya.

17 # Ka II: Membear Pada ka ini dignakan nilai yang emakin membear ehingga. Mialkan 1, 2, dan 3. 5 15 t 0 2 0 1 0 : perilak mobil keda. Gambar 15 Kecepatan dan poii mobil-mobil model car-following pada contoh 3 (ka II) Gambar 15a menjelakan kecepatan mobil-mobil model car-following menrn ntk beberapa, wakt kemdian meningkat. Oleh karena peningkatan bearnya koefiien enitifita, maka pengemdi mobil-mobil pengikt mempercepat reakinya ntk meningkatkan kecepatan mapn percepatannya. Hal ini dapat dilihat dari pergeeran gari berwarna hija dan merah pada Gambar 15a dan 15b. Gambar 15b menjelakan mobil keda dan ketiga mempercepat reakinya dengan meningkatkan kecepatannya ehingga poiinya tampak dekat dengan mobil di depannya (mobil ke- 1. # Ka III: Mengecil Pada ka ini dignakan nilai yang emakin mengecil ehingga. Mialkan 1, 0.6, dan 0.2. 5 15 t 0 2 0 1 0 : perilak mobil keda. Gambar 16 Kecepatan dan poii mobil-mobil model car-following pada contoh 3 (ka III).

18 Gambar 16a menjelakan kecepatan mobil-mobil model car-following menrn ntk beberapa wakt, kemdian meningkat. Oleh karena penrnan bearnya koefiien enitifita, maka pengemdi mobil-mobil pengikt memperlambat reakinya ntk meningkatkan kecepatan mapn percepatannya. Hal ini tampak jela terlihat dari pergeeran gari berwarna hija dan merah pada Gambar 16a dan 16b. Gambar 16b menjelakan mobil keda dan ketiga memperlambat reakinya dengan mennjkkan jarak antarmobil yang lebih bear. 4.4 Interpretai Model Perhatikan kembali model makrokopik pada peramaaan (4.1). Jika dimialkan bahwa ar kelar bergantng linear pada volme yait, (4.28) berdaarkan atran rantai, maka, (4.29) Sbtitikan peramaan (4.29) ke peramaan (4.1) maka diperoleh, (4.) dengan adalah wakt temph aat kondii tabil di mana ar mak dan ar kelar adalah kontan. Peramaan (4.28) dan (4.) diebt ebagai model ar takeak (ncongeted) karena model membiarkan ar kelar meningkat ecara beba dengan peningkatan volme. Dapat dilihat bahwa peramaan (4.) dan (4.24) memiliki bentk peramaan diferenial yang ama, yait,. (4.31) Peramaan (4.31) adalah PDB linear orde-1 dengan penyeleaian (4.32) Ada da interpretai dari peramaan (4.31): 1. Jika didefiniikan ebagai ar lallinta yang mengalir kelar meninggalkan link dalam atan kendaraan/atan wakt, ebagai ar lal-linta yang mengalir mak link dalam atan kendaraan/atan wakt, dan ebagai kebalikan dari wakt temph tabil maka peramaan (4.31) merepreentaikan ebah model makrokopik ar lal-linta. 2. Jika didefiniikan ebagai kecepatan kendaraan di belakang dalam atan meter/detik, ebagai kecepatan kendaraan di depannya dalam meter/detik, dan ebagai kepekaan kendaraan pengikt terhadap perbahan gerak kendaraan di depannya maka peramaan (4.31) merepreentaikan ebah model mikrokopik mobil pengikt. Bentk mm peramaan (4.32) adalah, 1,.,, (4.33) Dengan penyeleaian. (4.34) Mialkan ra jalan dibagi menjadi egmen berpanjang ama ehingga tiap egmen memiliki wakt temph. Karena ar kelar dari egmen ke- 1 merpakan ar mak egmen ke- maka diperoleh peramaan-peramaan diferenial (4.35) ntk 1,..,. Jika ar mak diberikan maka ar mak ke etiap egmen, yait,, dapat dihitng. Pada akhirnya pn dapat diperoleh. hbngan antara (4.35) dan (4.33) menjadi jela. Dengan demikian peramaan (4.33) dapat diinterpolaikan ebagai model mikrokopik mobil pengikt ata model makrokopik egmen.