Modul 10 Fungsi Trigonometri 10.1. Fungsi Gonometri Sudut Lancip A c a b 0 A Sudut adalah sudut lancip dengan titik sudut 0, sedang titik A adalah salah satu titik pada kaki sudut tersebut. Jika 0A diproeksikan pada kaki ang lain, maka 0A adalah proeksi 0A pada garis L, dan AA adalah garis ang memproeksi. Tiga garis pada gambar di atas (0A; 0A dan AA ) dinamakan garis Goniometri sudut dimana: 0A adalah garis ang diproeksi 0A adalah garis proeksi AA adalah garis ang memproeksi Definisi: 1. Yang dimaksud dengan sinus suatu sudut aitu perbandingan antara garis ang memproeksi terhadap garis ang diproeksi. 2. Yang dimaksud cosinus suatu sudut aitu perbandingan antara garis proeksi terhadap garis ang diproeksi. 1
3. ang dimaksud tangen suatu aitu perbandingan antara garis ang memproeksi terhadap garis proeksi. 4. Yang dimaksud cotangen adalah kebalikan dari tangen. 5. Yang dimaksud secan adalah kebalikan dari cosinus sudut itu. 6. Yang dimaksud cosecan adalah kebalikan dari sinus sudut itu. c b a Sin = a / c Cos = b / c tg = a / b cosec = c / a sec = c / b ctg = b / a HUBUNGAN-HUBUNGAN ctg = 1/tg sec = 1/cos cosec = 1/sin tg = sin / cos sin 2 + cos 2 = 1 tg 2 + 1 = sec 2 10.2. Dalil Phtagoras Pada segitiga siku-siku panjang masing-masing sisina mempunai hubungan ang beraturan sesuai dengan dalil phtagoras sebagai berikut: B C A 2 + B 2 = C 2 C = A 2 + B 2 A 2
10.3. Perbandingan Goniometri Sudut Peniku Sin = / r β r Cos = / r tg = / ctg = / Dari segitiga di atas β = 90 -...? Dengan menggunakan sudut β seperti di atas akan diperoleh: Sin β= Sin (90 ) = / r Maka Sin (90 )= cos Cos β= cos (90 ) = / r Maka cos (90 ) = sin Cotng(90 - ) = / Maka cotng(90 - ) = Tg Tg( 90 - ) = / Maka tg (90 - )= cotg Jadi rumus perbandingan Goniometri sudut peniku adalah: Sin ( 90 - ) = Cos Cos ( 90 - ) = Sin Tg ( 90 - ) = Cotg Ctg ( 90 - ) = Tg (1) 3
10.4. Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub Koordinat Cartesius Dalam koordinat cartesius letak suatu titik pada bidang XOY ditentukan oleh absis X dan ordinat Y, maka titik P ditulis P(, ). Y P(, ) 0 X Contoh: 1. P(10; 45 0 ) 45 0 2. A(5, -30 0 ) 0-30 0 4
Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Polar Sin φ = / r Cos φ = / r r P(r, φ) = r Sin φ = r Cos φ (2) Dari rumus (2) diperoleh: Tg φ = / = r Sin φ / r cos φ Tg φ = Sin φ / Cos φ (3) Cotg φ = / = r Cos φ / r Sin φ Cotg φ = Cos φ / Sin φ (4) Dari dalil phtagoras 2 + 2 = r 2 Jika rumus kiri dan kanan di bagi r 2 maka: 2 / r 2 + 2 / r 2 = r 2 / r 2 ( / r) 2 + ( / r) 2 = 1 Atau Cos 2 φ + Sin 2 φ.(5) 5
Contoh: 1. Ubah ke koordinat polar, jika diketahui letak titik A dalam koordinat Cartesian A(3, 4) R = 2 + 2 A(3,4) = 3 2 + 4 2 4 r = 9 + 16 = 25 = 5 Tg φ = / = 4 / 3 3 = 1.333 = (invers) Tg 1.333 = 53.13 0 Sehingga koordinat polar dari A(3, 4) adalah A (5, 53.13 0 ) 2. Ubah ke Cartesian jika titik B (10, 30 0 ) 10 30 0 B(10, 30 0 ) = r Cos φ = 10 cos 30 = 10 * 0.866 = 8.66 = r Sin φ = 10 sin 30 = 10 * 0.5 = 5 Sehingga koordinat kartesian dari B(10, 30 0 ) adalah B (8.66 ; 5) 3.1 Kuadran II I III 0 IV 6
Bidang datar XOY dibagi oleh sumbu dan sumbu menjadi empat bagian, ang masing-masing bagian disebut kuadran I, kuadran II, kuadran III dan kuadran IV. Letak sudut dalam kuadran: 0 < < 90 0 maka di kuadran I 90 0 < < 180 0 maka di kuadran II 180 0 < < 270 0 maka di kuadran III 270 0 < < 360 0 maka di kuadran IV Α > 360 0 ditentukan dengan mengurangi dengan kelipatan 360 0 dan letak disesuaikan dengan aturan < 360 0. Untuk mencari nilai perbandingan goniometri suatu sudut, baik sudut dikuadran I, II, III IV dan sudut > 360 0, harus dijadikan dulu perbandingan goniometri sudut lancip, maka diperlukan rumus-rumus sebagai berikut: 1. Kuadran ke II ke Kuadran I : 180 φ 180 φ 2. Kuadran ke III ke Kuadran I : 180 + φ 180 + φ 7
3. Kuadran ke IV ke Kuadran I : 180 φ 360 - φ Adapun tanda dari masing-masing kuadran adalah: KWI Kw II Kw III Kw IV Sin + + - - Cos + - - + Tg + - + - Ctg + - + - Secara lengkap dapat dirumuskan sebagai berikut: Mengubah perbandingan Goniometri sudut di KW II ke KW I Sin ( 180 ) = sin Cos ( 180 ) = - Cos Tg ( 180 ) = - Tg Cotg ( 180 ) = - Cotg Untuk mengubah kuadran KW III ke I, Kuadaran IV ke I lihat tabel tanda kuadran! 8
Latihan: 1. diketahui segitiga siku-siku sebagai berikut: M k L L = 4 m K = 3 m Cari sin, cos, tg, sec, cosec 2. cari nilai dari q; sin β; cos β, tg β, cotg β, sec β, cosec β berdasarkan gambar di bawah ini: R β q R = 10 2 P = 10 P 3. isilah titik-titik di bawah ini: sin 30 0 = cos... 0 sin 60 0 = cos... 0 sin 45 0 = cos... 0 sin 53.13 0 = sin... 0 4. diketahui P(8, 6) gambar letak titik P dan tulis dalam koordinat Polar 5. diketahui A(10 2, 45 0 ) gambar letak titik A dan tulis dalam koordinat kartesian. 9
10