PROPOAL TUGA AKHIR DIMENI PARTII PADA GRAF KINCIR PARTITION DIMENION OF WINDMILL GRAPH Oleh: CHANDRA IRAWAN NRP : 100 109 04 JURUAN MATEMATIKA FAKULTA MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INTITUT TEKNOLOGI EPULUH NOPEMBER URABAYA 008
ABTRAK Misalka G(V,E) adalah graf terhubug sederhaa da adalah sebuah subset dari V(G), jarak atara v da adalah ) = mi{ x) x }. Himpua berpasaga Π = ( Π1, Π,..., Π k ) dari V(G) da setiap titik v pada G, r v Π = d v Π, d v, Π,..., d v, Π represetasi dari v pada Π adalah k vektor ( ) ( ) ( ( ) ( ) ), 1 k, k partisi Π adalah resolvig partisi jika k vektor adalah berbeda. Nilai miimum dari k yag merupaka resolvig k partisi dari V(G) adalah dimesi partisi pd(g) dari G. Graf kicir adalah graf legkap K yag terdapat m salia dari graf legkap K dega sebuah titik sebagai titik pusat bersama dari semua salia graf legkap tersebut. Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai dimesi partisi graf kicir. Kata kuci : resolvig partisi, resolvig k partisi, dimesi partisi.
DIMENI PARTII PADA GRAF KINCIR A. LATAR BELAKANG Graph merupaka salah satu struktur dasar dari ilmu komputer. Bayak permasalaha dapat diyataka dalam betuk graph da diselesaika megguaka graph pecaria/maipulasi algoritma. Graph adalah kumpula vertek da edge, didefiisika sebagai G = ( V, E), dimaa V adalah kumpula dari vertek da E adalah kumpula dari edge. etiap edge meghubugka satu vertek ke vertek yag lai, da setiap vertek dapat mempuyai bayak edge yag meghubugkaya ke vertek yag lai. Bayak peelitia telah dilakuka pada graph, diataraya edge labellig, colorig graph, teori Ramsey pada graph, vertex labellig, partitio dimesio of graph, da lai lai. Dimesi partisi merupaka permasalaha yag mearik utuk dibahas da bayak medapat perhatia dari kalaga peeliti. Beberapa hasil peelitia tetag dimesi partisi pada graph sudah bayak dipublikasika. Dalam peelitia sebelumya juga telah dibahas oleh Tomaseu, I, Javaid, I, da lami tetag Dimesi Partisi pada Graph Wheel. Dimesi partisi pada Graph Wheel C dari graph G terhubug yag dipegaruhi oleh peambaha vertek merupaka pd ( ) tuggal. Dimesi partisi pada W utuk maka pd ( ) pada pd ( W ) = ketika 4 7 da pd ( W ) C = ketika pd ( ) W = 4 seperti = 4 ketika 8 19. ecara garis besar, pecaria dimesi partisi dari graph G berisi peetua ilai k miimum utuk resolvig k partisi dari V(G). Graf kicir adalah Complete graph / graf legkap K yag terdapat m salia dari complete graph dega sebuah vertek sebagai pusat vertek bersama dari semua salia complete graph tersebut. Utuk setiap vertek v dari graph terhubug da sebuah subset dari V(G), jarak atara v da adalah d (v,) =mi {d(v,x) x }.Utuk setiap pasaga k partisi Π = {, 1,..., k } dari V(G) da setiap vertek v dari G, merupaka represetasi v pada Π didefiisika sebagai k vektor r ( v Π ) = ( 1 ), ),..., k ) ) Partisi Π disebut sebagai resolvig partitio jika k vektor r( vπ ), v V ( G), adalah berbeda. Nilai miimum k utuk resolvig k partisi dari V(G) adalah dimesi partisi pd ( G) dari G.[][4] ejauh ii dimesi partisi kicir belum ditetuka. Pada tugas akhir ii aka di bahas tetag Dimesi Partisi pada graf kicir. B. PERUMUAN MAALAH Permasalaha permasalaha yag ada adalah bagaimaa meetuka dimesi partisi dari graf kicir dega bilah, bilah da kemudia meetuka dimesi partisi graf kicir dega bilah. C. BATAAN MAALAH Adapu peelitia dalam tugas akhir ii yag dikaji adalah graph sederhaa da takberarah (udirected).
Graph sederhaa adalah graph yag tidak memuat loop da multiple edge. Loop adalah sisi yag meghubugka suatu titik dega diriya sediri. Jika terdapat lebih dari satu sisi yag meghubugka dua titik, maka sisi sisi tersebut diamaka multiple edge. D. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN Tujua dari peelitia ii adalah utuk mecari dimesi partisi pada graph widmill. Adapu mafaatya adalah : Memberi kotribusi pada peelitia dalam bidag teori graf, utamaya dalam dimesi partisi pada graph widmill. E. TINJAUAN PUTAKA Graph adalah kumpula vertek da edge, didefiisika sebagai G = ( V, E), dimaa V adalah kumpula dari vertek da E adalah kumpula dari edge. etiap edge meghubugka satu vertek ke vertek yag lai, da setiap vertek dapat mempuyai bayak edge yag meghubugkaya ke vertek yag lai. ebuah segme garis yag meghubugka dua vertek disebut dega edge.[]. V e Gambar 1. Gambar vertek da edge graf. V 1 da V adalah vertek da e adalah edge. Graph adalah himpua dari vertek da edge yag terbatas dimaa setiap edge meghubugka dua vertek. Graph G mempuyai himpua vertek V (G) da himpua edge E (G), dimaa jumlahya diyataka dega V (G) atau v da E (G) atau e. uatu edge yag meghubugka dua vertek disebut dega adjacet, sedagka apabila sebuah vertek berhubuga dega dua edge disebut icidet.[] Graph wheel Pada graph roda W utuk adalah C + K 1 yag meggabugka semua semua vertex pada C = v 0, v 1... v 1. Utuk peambaha vertek disebut pusat. Graph W terdiri dari vertek +1, pusat, da vertek ligkara memiliki diameter. Cotoh graph wheel dapat dilihat pada Gambar V Gambar. Graph Wheel 4
Graph Widmill Widmill atau kicir adalah graph legkap K yag terdiri atas m salia dari graph legkap K dega sebuah titik sebagai pusat titik bersama dari semua salia graph legkap tersebut. Cotoh graph dapat dilihat pada Gambar. Gambar. Graph Widmill dega tiga bilah( W ) Utuk titik titik u da v dalam graph terhubug G, jarak ( u v) d, adalah pajag dari litasa terpedek atara u da v pada G. Utuk himpua berpasaga W = ( W, 1 W,..., W k ) dari titik titik dalam graph terhubug G da titik v pada G, adalah vektor k (pasaga k tuple) r uw = d v w, d v, w,..., d v, ( ) ( ) ( ( ) ( ) ), 1 meujukka matrik represetasi dari v pada W. Himpua W diamaka resolvig set G jika titik titik G mempuyai represetasi berbeda. Himpua resolvig berisi jumlah miimal dari titik titik yag diamaka miimum resolvig set atau basis G. Jumlah titik titik pada basis G adalah (metrik) dimesi = dim (G).[][4] Dimesi partisi Graph ( pd(g) ) Utuk setiap titik v dari graph terhubug da sebuah subset dari V(G), jarak atara v da adalah d (v,s) =mi {d(v,x) x s } Utuk setiap pasaga k partisi Π = {, 1,..., k } dari V(G) da setiap titik v dari G, merupaka represetasi v pada Π didefiisika sebagai k vektor r ( v Π ) = ( 1 ), ),..., k ) ) Partisi Π disebut sebagai resolvig partitio jika k vektor r( vπ ), v V ( G), adalah berbeda. Nilai miimum k utuk resolvig k partisi dari V(G) adalah dimesi partisi pd ( G) dari G, sebagai cotoh : Dimesi partisi pada Path (P ) w k ( ) Gambar 4. Graph Path (P 4 ) P = v 1,v,...,v Misalka dega partisi, asumsika Π={ 1, } adalah partisi dari V(P ) dega 1 ={ v 1 } da ={ v,v,...,v } 5
Gambar 5. Graph Path (P 4 )dega partisi Maka (v 1 v 1 =0) ; (v 1 v =1) ; (v 1 v =) ; (v 1 v 4 =) Berapapu ilai, maka ilai r(v Π) aka berbeda, sehigga dapat dirumuska r(v 1 Π)=(0,1) r(v i Π)=(i 1,0) ; utuk i karea Π adalah resolvig partisi dari P maka pd (P )= F. METODOLOGI PENELITIAN Metodologi peelitia dalam megerjaka tugas akhir ii adalah sebagai berikut: 1. tudi Literatur Tetag dimesi partisi graph da graph Widmill Mempelajari teori teori yag berhubuga dega graph Widmill da dimesi partisi graph.. Aalisa a. Meetuka dimesi partisi pada graph Widmill. b. Megaalisis dimesi partisi graph Widmill.. Evaluasi Melakuka evaluasi terhadap aalisis, utuk megetahui apakah aalisis tetag dimesi partisi pada graph Widmill sesuai dega yag diharapka. 4. Peyimpula Hasil Peelitia Peyimpula hasil peelitia merupaka kesimpula da dokumetasi dari aalisis tetag dimesi partisi pada graph Widmill. G. JADWAL PELAKANAAN 1... 4. Kegiata tudi literatur Aalisa Evaluasi Peyusua Lapora Bula ke 1 4 6
H. DAFTAR PUTAKA 1. Harary, F., 1969, Graph Teory, Wesley Publishig Compay,Ic.. eshu, udaram, Reed, B., Myril, 1961, Liear Graph ad Electrical Network, Addiso Wesley Publishig Compay, Ic.. Tomescu, I., Javaid, I., lami., Maret. 007. O the partitio dimesio ad coected partitio of wheels, <URL:http://www.sms.edu/pk_8.pdf> 4. Chartrad, G., alehi, E., Zhag, P., 000. The Partitio dimesio of a graph. Aequatio Math 59:45 54. 7