Materi VI Tujuan :. Mahasiswa dapat mengenali matrik.. Mahasiswa dapat mengunakan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matrik. Mahasiswa dapat merubah persamaan linier menjadi persamaan matrik.. Mahasiswa dapat menelesaikan metoda invers. Mahasiswa dapat menggunakan metoda eleminasi gauss A. Pendahuluan Seperti ang dijelaskan sebelumna bahwa matrik merupakan induk materi dari determinan. Banak penjelasan memasukan materi determinan didalam matrik. Karena akupan materi terlalu luas dikaji, maka dipisahkan kajianna dalam dua pokok bahasan. Matrik adalah himpunan bilangan real atau bilangan komplek ang tersusun berdasarkan baris dan kolom. Baris adalah bagian ang horiontal, kolom meruapakan bagian ang vertikal. Matrik dinamakan juga dengan arra atau larik. Matrik disusun berdasarkan jumlah kolom dan baris lebih sering disebut dengan ordo (mn). m merupakan jumlah baris dan n adalah jumlah kolom. Matik memiliki notasi ang berbeda dengan determinan. Garis pembatas sedikit disikukan Contoh matrik ini memiliki ordo ()
matrik ordo () Tentukan ordo matrik berikut,... B. Operai matematis pada matrik a Penjumlahan dan pengurangan Ada berapa persaratan ang harus dipenuhi
- kedua matrik harus memiliki ordo ang sama - proses penjumlahan/pengurangan harus pada posisi ang sama - hasil penjumlahan/pengurangan harus memiliki matrik dengan ordo ang sama ontoh a b ab tentukan, d a-b
d - d b Perkalian Perkalian matrik ada dua bagian aitu : a. perkalian matrik dengan matrik Ada berapa persaratan ang harus dipenuhi - Jumlah kolom matrik I sama dengan jumlah baris matrik II - hasil perkalian memiliki ordo (jumlah baris matrik I jumlah kolom matrik II - prosesna baris kali kolom kemudian dijumlahkan ontoh a ordo () b ordo () a b
bisakah diterka ordo berapakah matrik ang dihasilkan? ( ) ( ) ordo () d a b (apa ang terjadi? berikan alasan) b. perkalian matrik dengan skalar Ada berapa persaratan ang harus dipenuhi - hana satu matrik ang dikalikan dengan bilangan sklar (satu atau banak bilangan) - Perkalian skalar dilakukan pada masing-masing komponen matrik - Hasil perkalian memeiliki ordo ang sama dengna matrik asal Contoh A B.A
B. B Selesaikanlah. jumlahkanlah a b - C ab - D ba. kurangkanlah berdasarkan soal diatas - C a-b - D b-a. kalikanlah a b a.b
. kalikan matrik dengan nilai skalar a.. b.. / /.... / / / C. Metoda Invers Matrik Invers matrik adalah matrik balikan aitu hasil invers dikalikan dengan matrik asala akan menghasilkan matrik I. matrik I sering juga disebut dengan matrik satuan aitu matrik ang diagonal dari kiri-atas ke kanan bawah memilki nilai, dan selaina adalah Contoh. Matri I Ada beberapa proses ang harus dilewati,. transpose matrik. adjoin matrik
. Invers matrik Transpose matrik Yaitu anggota-anggota matrik dipindahkan posisina, baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Contoh : A t A B t B Adjoin matrik bujur sangkar. Sama dengan kofaktor pada determinan Invers Matrik Prosesna adalah. Buatlah kofaktor semua elemen matrik bujur sangkar A menjadi matrik kofaktor ( C ). Tranposekan matrik kofaktor C t. Cari determinan matrik A. dapatkan t C A A det
Selesaikanlah Invers dari matrik berikut ini, a. b. penelesaian persamaan linier (linier) dengan mengunakan metoda invers matrik. Seperti ang dikemukakan diatas bahwa matrik invers apabila dikalikan dengan matrik asal akan menghasilkan matrik satuan. Sifat dari matrik satuan sama dengan angka pada bilangan desimal. Pada bilangan desimal suatu angka ang dikalikan dengan satu maka hasilna sama dengan bilangan itu sendiri. Demikian juga dengna matrik satuan, bila dikalikan dengan matrik lain maka hasilna sama dengan matrik itu sendiri. Matrik A dikalikan dengan matrik variable hasilna sama dengan matik b Sehingga A.b.. Jika masing masing ruas dikalikan dengan matrik invers A atau A - A - A. A -. b I. A -. b
A -. b D. Metoda Eliminasi Gauss Metoda eliminasi gauss sedikit berbeda dengan metoda invers. Metoda eliminasi gauss memanfaatkan matrik untuk mengkonversi bentuk persamaan menjadi sederhana untuk diselesaikan. Metoda eliminasi gauss memiliki kemampuan untuk membuat persamaan baru ang dapat dengan mudha untuk dileliminasikan tanpa mengunakan konsep determinan. Konsep dasar dari metode eliminasi gauss adalah membuat nilai-nilai diatas atau dibawah diagonal memiliki anggota benilai nol. Sebelum lebih jauh mengenali ara penggunaan metoda eliminasi gauss terlebih dahulu kita bahas sifat-sifat dasar matrik. - Matrik tidak mengalami perubahan nilai bila salah salah satu kolom atau salah satu baris dikalikan dengan konstanta Contoh : a a k. a k. a k. a a a a a a k. a a - Matrik tidak mengalami perubahan nilai bila salah satu kolom ditambahkan atau dikurangkan dengan kelipatan kolom ang lain. Demikian juga pada baris memiliki ketentuan ang sama dengan kolom. Contoh : a a a a ka a a a ka a ka a a a ka a Dengan mengunakan sifat ter sebut dapat diselesaikan metoda eliminasi gauss Sifat eliminasi gauss adalah sebagai berikut A.b
a a a a a a a b a. b a b a a a a a a a a a b b b Metoda eliminasi gauss adalah dengan mengunakan kedua sifat diatas maka persamaan tersebut dimanipulasi. Carana dengan menjadikan nol beberapa kaomponen. Ada dua bentuk setelah dinolkan d d d atau d d d d d d e e e Kemudian hasilna dikembalikan kebentuk awal
d d d artina bentuk diatas sudah kembali kebentuk awal aitu A. b Kemudian bentuk matrik dikembalikan kedalam persamaan liner sehingga diperoleh...... d d d Selesaikanlah Dengan mengunakan metoda invers dan metoda gauss a. b.
. d.