I. PENDHULUN. pa Termodinamika itu Termofisika adalah ilmu pengetahuan ang mencakup semua cabang ilmu pengetahuan ang mempelajari dan menjelaskan sikap at di bawah pengaruh kalor dan perubahan-perubahan ang menertaina. Di dalamna tercakup : kalorimetri, termometri, perpindahan kalor, termodinamika, teori kinetik gas dan fisika statistik. pakah perbedaan termodinamika dan fisika statistik? Dalam termodinamika kita berusaha mendapatkan rumus-rumus dan kaitan-kaitan antara besaran fisik tertentu, ang menggambarkan sikap at dibawah pengaruh kalor. esaran itu disebut koordinat makroskopik sistem. Rumus dan kaitan itu kita peroleh dari eksperimen dan kemudian kita pergunakan untuk meramalkan perilaku at tersebut dibawah pengaruh lain kalor. Maka natalah bahwa termodinamika adalah ilmu pengetahuan ang berdasarkan eksperimen. Dalam fisika statistik kita tidak memperhatikan sistem sebagai suatu keseluruhan, melainkan memandang partikel-partikelna secara individual. Dengan mengadakan beberapa pemisalan tentang partikel itu, secara teoritis dicoba diturunkan hubungan-hubungan dan kaitankaitan ang menghubungkan besaran makroskopik dengan sifat partikel. Dengan demikian terbentuklah jembatan antara dunia makroskopik dan dunia mikroskopik. Yang dimengerti bahwa jumlah koordinat mikroskopik besar sekali, akni sejumlah N jumlah partikel dalam sistem (seorde bilangan vogadro). Contoh : Perhatikan sistem ang terdiri atas N molekul gas. Dalam termodinamika, besaran makroskopik ang menggambarkan sistem ini adalah tekanan gas P, volum V dan suhu T. dari eksperimen diketahui bahwa antara ketiga besaran ini ternata ada kaitan tertentu. rtina : gas tersebut dapat kita beri volum tertentu, panaskan sampai mencapai suhu tertentu, maka ternata tekananna sudah mempunai nilai tertentu pula. Secara matematis antara P,V dan T terdapat hubungan fungsional : f(p,v,t). Dari hubungan empirik ini dapat kita buat ramalan-ramlaan tertentu, misalna tentang koefesien mumai sistem. Ramalan ini kemudian dapat diuji dengan eksperimen berikutna. Sebalikna, dalam fisika statistik gas dilihat sebagai suatu kumpullan N partikel masing-masing bermassa m dan berkecapatan v. tekanan gas ternata adalah nilai rata-rata perubahan momentum partikel pada tumbukan dengan dinding bejana. Dengan membuat beberapa asumsi (misalkan bahwa tumbukan itu berlangsung elastis sempurna) diperoleh rumus teoritik : N v mv 3 V
Perhatikan bahwa rumus ini menghubungkan dunia mikroskopik (m,v) dengan dunia makroskopik (P,V) Dalam termodinamika digunakan/didefinisikan sejumlah besaran fisika tertentu (8 jumlahna) disebut sistem, akni besaran-besaran makroskopik ang dapat melukiskan keadaan (keseimbangan) sisetm, dan karena itu disebut variabel keadan (State variabel) sistem. Untuk sistem berupa gas, ke-8 koordinat itu adalah : Nama Lambang Satuan Tekanan Suhu Volum Entropi Energi dalam Entalpi Energi bebas hemholt Energi bebas Gibs P T V S U H F G Pa (n/m) K m 3 JK - J J J J eberapa satuan non-si : atm 76 cmhg KPa Tor mmhg 33 Pa ar kpa L -3 m 3 t T 73,5 Penting : anak eksperimen telah dilakukan ang melibatkan besaran-besaran diata. Semuua eksperimen itu menghasilkan banak hubungan, kaitan dan rumusan, namuan : Untuk gas ang jumlah partikelna tidak berubah (disebut closed sstem ) dan bejanana tidak bocor : Semua sistem eksperimen menunjukkan bahwa apabila sistem berada dalam keadaan seimbang, maka setiap koordinat dapat dinatakan sebagai fungsi dua koordinat lain Hana dua diantara ke-8 koordinat/variabel itu merupakan variabel bebas sistem Dalam keadaan seimbang berlaku hubungan f(,,) Pada bejana ang tidak bocor komposisina tidak berubah (tidak terjadi reaksi kimiawi ang dapat mengubah jumlah partikel dan tidak terjadi difusi), dalam suatu eksperimen umum dan tekananna dapat kita ubah sekehendak hati. erarti : Pada volum V tertentu, gas dapat diberi suhu T berapa saja, atau pada suhu T tertentu, gas dapat diberi volum berapa saja. Hal ini mungkin karena ternata terdapat koordinat ke-3 ang menesuaikan diri, misalna P. maka : Gas dapat dilukiskan oleh sepasang koordinat bebas, dan satu koordinat tak bebas, secara matematis f(,,)
. Diferensial fungsi dua variabel Sebelum membicarakan fungsi dua variabel, marilah kita ulang dahulu diferensial fungsi variabel tunggal. f(,) adalah hubungan fungsional antara variabel dan. bentuk demikian disebut bentuk implisit, sedangkan bentuk eksplisitna ialah () dengan variabel besbas, dan d varianel tak bebas, atau () disini merupakan variabel bebas dan variabel tak bebas. Contoh : X -a ; (a) / Diferensial d (atau d) Perhatikan f() ; berapakah d ; f(x ) f f(x ) f - f -f f maka ; ' F Tan a Kemiringan tali busur X Kita lihat kalau, maka, dan tali busur garis singgung. Sedangkan f juga tetapi melainkan a α sudut miring garis singgung di. f Jelaslah bahwa apabila kita hitung : Lim?. Dari gambar tampak limit ini, bukan pula, melainkan memiliki nilai berhingga, akni : f ' " d Lim Tan α. Limit ini diberi lambang f ( ) atau f () dan d diberi nama turunan pertama f() terhadap. Selanjutna : df - pada umumna tidak sama dengan d df d df o dengan perubhan kecil pada ; perubahan kecil d pada - Kalau perubahan menjadi sangat kecil (Infinit)
Contoh : ; maka d df dan dd d d Fungsi dua variabel Perhatikan fungsi f(,,) entuk implisit ini menatkan bahwa antara variabel,, ada hubungan tertentu, maka hana dua diantara ke-3 variabel itu bersifat bebas, sedangkan ang ke-3 merupakan variabel tak bebas. entuk implisit fungsi itu adalah masing-masing dari tiga bentuk berikut : (,); dan merupakan variabel bebas (,); dan merupakan variabel bebas (,); dan merupakan variabel bebas Tampak bahwa ang akan dianggap variabel bebas bergantung pada selera kita Contoh : - (entuk implisit) entuk eksplisit : ; dan Grafik pada,, pada umumna berupa permukaan (ukan kurva), ang dapat berupa permukaan tertutup (ola,elipsoida) ataupun permukaan terbuka (hiperbola,parabboloda) Perhatikan fungsi (,) ; kita misalkan bahwa fungsi ini memang ada ( is an eisting of and ) Nilai dapat berubah karena berubah tetapi tidak, atau berubah, tetapi tetap, atau dan keduana berubah (kasus umum) Maka d(peubahan karena berubah)(perubahan karena berubah) Secara matematik dinatakan d d d d : Perubahan karena berubah, sedangkan tidak d : Perubahan karena berubah, sedangkan tidak Dalam pada ini : d dinamai diferensial parsial ke M() d dinamai diferensial parsial ke N() d perubahan d dan d perubahan ddiferensial total, menggambarkan perubahan total. karena d merupakan perubahan infinit suatu fungsi ang memang ada, d disebut juga diferensial eksak Contoh
Misalkan ; maka M ( ) dan N( ) Pada umumna dan adalah dan fungsi dan ang berbeda. d ( ) d ( ) d atau d d( ) disebut implisit diferentiation Pertanaan : ada berapa buah diferensial parsial pada f(,,)? Jawab, da 6, akni : Dari (,) diperoleh dan Dari (,) diperoleh dan Dari (,) diperoleh dan Keenam diferensial parsial itu pada umumna tidak sama satu dengan ang lain, namun ada hubungan tertentu diantara diferensial tersebut (Lihat nanti). Catatan : Diferensial parsial mempunai arti geometrik lihat kuliah kalkulus.3 Diferensial eksak dan tak-eksak Dari kalkulus diketahui, bahwa apabila (,) adalah suatu fungsi ang ada ( eisting ) dan merupakan fungsi ang baik, maka urutan mendiferensiasikan tidak menjadi soal. rtina : pabila (,) adalah fungsi ang baik, maka M N tau. Hubungan ini dikenal sebagai sarat Euler Sarat ini adalah sarat ang perlu dan cukup agar (,) adalah fungsi ang nata ada. Dapat ditentukan dari M dan N dengan integrasi parsial. Definisi Diferensial total suatu fungsi ang nata ada (jadi ang memenuhi sarat Euler) disebut diferensial eksak. Contoh :, adalah fungsi ang ada dan baik. ( ) dan N( ) M
( ) d ( )d M d adalah diferensial eksak, karena dan N adalah sama. Sebalikna, kita dapat membaangkan suatu besaran ang bukan fungsi dari cariabel dan, jadi fungsi (,) tidak ada ( non-eistent ). Walaupun demikian, kitapun dapat membaangkan suatu perubahan pada besaran itu, akni d. Dan kalau ternata dapat ditulis : (, ) d Q(, )d d P, maka akan ditemukan bahwa P Q. Ini disebabkan karena P(,) dan Q(,) tidak merupakan Diferensial parsial dari, sebab fungsi (,) memang tidak ada. Dalam hal demikian d disebut diferensial tak eksak berlambang d Secara fisi d menggambarkan besaran dalam kuantitas ang sangat ekcil. Contoh : Dalam ilmu fisika ternata terdapat banak besaran ang walaupun bukan fungsi variabel d dan, diferensialna dapat dinatakan dalam variabel dan. Usaha ang dilakukan sepanjang F r sepanjang jalan ds r adalah salah saru contohna. Perhatikan usaha mekanis gaa F r sepanjang jalan pendek d r ang dilakukan suatu gas ang mengembang dalam bejana berpenampang melalui suatu piston. r r dw F.d. Hubungan ini adalah rumus empiris ang kebenaranna tidak dapat disangkal. Dapat diubah menjadi dw Fd dan menurut definisi F tekanan P maka dw Pd PdV. Kita bertana : apakah WW(P,V) suatu fungsi ang ada? W sebagai fungsi dari P,V ternata tidak ada. Ini dapat dibuktikan dengan memberlakukan sarat Euler sebagai berikut : W W dw PdV PdV dp, jadi M( P, V) P dan N( P, V) V P W W sarat Euler : PdV, tetapi VdP maka Euler tidak dipenuhi Terbuktilah bahwa fungsi WW(P,V) tidak ada, hingga dwpdv adalah diferensial tak eksak, diberi lambang dw dw bukanlah perubahan infinitesimal suatu fungsi, melainkan berupa usaha dalam jumlah ang sangat kecil Integrasi diferensial dua variabel Perbedaan antara diferensial eksak dan tak-eksak terlihat pula dari hasil integrasina. Kita perhatikan integrasi tidak terbatas (atau tak tentu) dan inegrasi terbatas (antara dua batas tertentu) - Diferensial eksak d P V
Integrasi tak tentu suatu diferensial eksak menghasilkan fungsi aslina ditambah konstanta Integrasi berbatas suatu diferensial tak eksak menghasilkan bilangan/nilai tertentu Secara grafis, interpretasi integrasi d antara dua batas, TIDK bergantung pada jalan integrasi, hana bergantung pada titik awal dan titik akhir jalan itu. Tidak dipersoalkan melalui jalan ang mana titik akhir dicapai dari titik awal. - Diferensial tak eksak d Pengintegrasian tak terbatas suatu diferensial tak-eksak, tidak mungkin menghasilkan suatu fungsi, karena a sebagai fungsi dan memang tidak ada. Jadi diferensial tak-eksak d tidak dapat diintegrasikan dalam arti diatas. pa hasil d? Hasil integrasi antara dua batas suatu diferensial tak eksak tidak dapat diartikan sebagai selisih antara dua nilai fungsi, karena fungsina memang tidak ada. d? harus diartikan sebagai penjumlahan kuantitas-kuantitas d ang kecil, hingga akhirna menjadi besar, hingga akhirna menjadi. jadi : Nilai ini ternata sangat bergantung pada jalan integrasi : bagaimana titik akhir dicapai dari titik awal. Untuk setiap jalan ang berbeda, beda pula hasilna. Contoh : Mari d d d dan d ( d d) kita integrasikan antara titik (,) dan (,) melalui beberapa jalan berbeda, misalna jalan lurus O, jalan patah O dab OC. Lihat gambar dibawah Gambar pabila diselidiki dengan sarat euler, nata bahwa d adalah difrensial eksak, sedangkan d bukan d d d Jalan O Jalan lurus ini mempunai perasmaan, maka sepanjang pengintegrasian, hubungan ini berlaku, dengan kata lain dalam integran dapat kita substistusikan dan dd, maka (,) 3 ( d d) (.d d). 6 d 6 (,) Jalan O d d O d : Hitung satu persatu sepanjang O berlaku dan d, tetapi d dengan berubah dari ke, maka :
d (... d) Sepanjang berlaku d, d berubah dari ke dan, maka d,s ehingga : d (...d.) 8.d 6 Jalan OC c d d d (...d.) (... d) d 6 OC C Cara analitik 8,,, d ( d d) d( ).. 6,, ( d d) d Jalan O Y, maka dd, (..d..d) (. ) d d 3 Jalan O d d d O Jalan OC d OC C d C d d 3 Soal tambahan Hitung d dan C 3 8 3 (.....d ) (..d..) d 8 (..d..) (.....d ) d sepanjang parabola, ang seperti dapat disimak, melalui titik (,) dan (,) Jawab Y, maka dd (. d.d) d 6 d 3 (. d..d) ( d d) d C 5 5 8 5
. Dua hubungan penting antara diferensial parsial Kalau ( ),, maka d d d Y Tetapi fungsi diatas dapat juga dilihat sebagai : X(,) maka d d d. pabila d ini disubstitusikan ke dalam d, diperoleh : d d d d Y atau `d d d Y, ang berlaku untuk setiap d dan d. Maka ia terpenuhi kalau : - atau d d - atau hingga dinamai aturan rantai..5 Soal-soal. Diketahui fungsi () a dengan a tetapan a. Tentukanlah ke-6 diferensial ang ada! b. Tentukanlah ke-3 diferensia total ang ada! c. uktikan equation. PV nrt adalah suatu persamaan keadaan gas ideal, dengan R adalah tetapan, ang lain variabel sistem. Carilah : a. dv b. equation 3. Untuk at paramagnetik berlaku persamaan keadaan : Equation dengan M adalah magnetisasi sistem, Induksi magnetik dan T Suhu sistem/kristal, sedangkan c adalah tetapan. a. Tuliskan ungkapan ang menggambarkan perubahan kemagnetan sistem ang terjadi. pabila suhu dan induksi magnetik diubah. b. Sebagai ulangan : sebutkan satuan SI untuk M,,C? c.. Untuk sistem berupa kristal dielektrik (at isolator) berlaku persamaan : P (a b/t) E dengan P adalah polarisasi kristal juga berubah : Coba beri ungkapanna.
5. esaran fisis ang penting suatu gas adalah koefesien muai kubikna equation. Tentukanlah β untuk gas dengan persamaan : a. PV nrt b. P(V-b) RT c. (Pa/V )(V-b) RT (n,r,a 6. Tentukanlah apakah diferensial total dibawah ini bersifat eksak ataukah tidak : a. d d d ; b. d d - d ; c. d d d ; d. d d - d ; e. d d ; f. d ( ) d ( ) d ; g. d d () d ; h. d d ( ) d ; 7. Mana diantara fungsi-fungsi diatas dapat ditentukan dengan pengintegrasian? tentukanlah fungsi-fungsi itu! 8. Diketahui d d d dan d d d Hitunglah : equation, melalui ke- ja;an integrasi sbb; a. Garis patah O ; (Jwb : 8; -6) b. Garis patah OC ; (Jwb : -8; -6) c. Parabola ; (Jwb ; -8/3 ; -6) d. Garis lurus (Jwb : ;-6)