ODUL TETIK I Hikmynti Huwid, SSi NIP 97 99 KEENTRIN PENDIDIKN DN KEBUDYN POLITEKNIK NEGERI BNJRSIN PROGR STUDI NJEEN INFORTIK BNJRSIN
BB I TRIKS Tujun Instruksionl Umum Setelh mengikuti mt kulih temtik I ini mhsisw kn dpt menyelesikn opersi mtriks, menentukn nili determinn mtriks, menentukn invers mtriks, dpt menyelesikn sistem persmn linier, dn dpt menginterpretsiknny dengn ik dn enr Tujun Instruksionl Khusus Setelh mempeljri ini dn mengerjkn sol perltihnny dihrpkn mhsisw kn dpt: enyeutkn pengertin mtriks dengn enr enyelesikn opersi penjumlhn pd mtriks dengn enr enyelesikn opersi pengurngn pd mtriks dengn enr enyelesikn opersi perklin sclr dengn mtriks dengn enr enyelesikn opersi perklin mtriks dengn mtriks dengn enr enjelskn turn ilmu hitung mtriks dengn enr 7 enjelskn jenis-jenis mtriks dengn enr
Pengertin triks Sutu himpunn ilngn tu vriel yng disusun dlm entuk empt persegi pnjng, yng terdiri dri ris dn kolom diseut mtriks Jik mtrik mempunyi m ris dn n kolom, mk diseut mtrik erdimensi m x n triks ditulis dlm entuk ( ) tu [ ] dn entuk lin triks is ditulis dengn huruf esr, mislny,b dn seterusny, dn elemen elemenny dengn huruf kecil, mislny, dn seterusny Bentuk umum mtriks: m m n n mn tu [ ] ij i,, m j,,, n ij diseut elemen yng terletk pd ris ke-i dn kolom ke-j Opersi triks Penjumlhn dn Pengurngn triks Du uh mtriks hny dpt dijumlhkn tu dikurngkn pil keduny erorde sm Jumlh tu selisih du mtriks [ ij ] dn B [ ij ]
dlh seuh mtriks ru [ ] c ij C yng eorde sm, yng unsur unsurny merupkn jumlh tu selisih unsur unsur dn B C B ± dimn ij ij ij c ± + 7 Tinjulh mtriks mtriks:,, C B k, + + B Sedngkn +C dn B+C tidk didefinisikn Kren penjumlhn ntr ilngn ersift komuttif dn sositif, pdhl mtriks dlh kumpuln ilngn, mk untuk penjumlhn ntr mtriks erlku pul kidh kidh komuttif dn kidh sositif Kidh komuttif : +BB+ Kidh sositif :+(B+C) (+B)+C +B+C
Perklin triks dengn sklr Hsil kli seuh mtriks [ ] ij dengn sutu sklr tu ilngn nyt λ dlh seuh mtriks ru B [ ] ij yng erorde sm dn unsur unsur λ kli unsur unsur mtriks semul ( ) ij ij λ B λ dimn ij ij λ λ mk: 9 B λ Jik dlh mtriks, k dn ) (
Jik B dlh serng mtriks, mk-b kn menytkn hsil kli (- )B Jik dn B dlh du mtriks yng ukurnny sm, mk -B didefinisikn segi jumlh + (- B) +( )B Tinjulh mtriks mtriks dn B Dri definisi di ts mk B Dn + 7 9 B Perhtikn hw -B dpt diperoleh secr lngsung dengn entri B dri entri yng ersngkutn Perklin ntr mtriks Du mtriks hny dpt diklikn pil jumlh kolom dri mtriks yng diklikn sm dengn jumlh ris dri mtriks pengliny Hsil kli du mtriks mxn dengn B nxp dlh seuh mtriks ru C mxp, yng unsure-
unsurny merupkn perklin silng unsur - unsur ris mtriks dengn unsur unsur kolom mtriks B mxn X B nxp C mxp islkn dlh mtriks x, B dlh mtriks x 7, dn C dlh mtriks 7x k B didefinisikn segi mtriks x 7, C didefinisikn segi mtriks 7x, BC didefinisikn segi mtriks x Hsil kli C, CB, dn B semuny tidk didefinisikn islkn dlh mtriks m x r yng umum dn B dlh mtriks r x n yng umum, mk seperti yng disrnkn, entri dlm ris i dn kolom j dri B, rn rj r r n j n j mr m m ir i i r r B Perklin mtriks mempunyi penerpn penting terhdp system persmn linier Tinjulh sutu system persmn yng terdiri dri m persmn linier dlm n ilngn tk dekethui n n mn m m n n n n x x x x x x x x x + + + + + + + + +
kren du mtriks dinytkn sm jik dn hny jik entri-entri yng ersesuin sm, mk kit dpt menggntikn persmn m dlm sistem ini dengn persmn mtriks tunggl m x x x + + + m x x x + + + + + + n xn n xn mn xn m triks m x pd rus kiri persmn ini dpt dituliskn segi hsil kli yng memerikn m m n n mn x x xn m Jik kit mtriks mtriks ini erturut-turut dengn, X, dn B mk m persmn sli dlm n ilngn tk dikethui telh digntikn oleh persmn tunggl X B mk c c c c x x B + + + + + + + 7 Jdi, B C dn B 7 9 c c C c c + + + + ( ) + ( )( 7) + + ( 7) + 9 7 + 9 7
Penyelesin lngsung dpt dilkukn segi erikut: B + + 7 7 9 ( ) + + ( )( 7) + + ( 7) + turn-turn Ilmu Hitung triks + 9 9 Wlupun nyk dri turn-turn ilmu hitung ilngn riil erlku jug untuk mtriks, nmun terdpt eerp kekeculin Slh stu dri kekeculin yng terpenting terjdi pd perklin mtriks Untuk gin gin riil dn kit sellu mempunyi yng sering diseut hukum komuttif untuk perklin kn tetpi, untuk mtriks mtriks, mk B dn B tidk perlu sm Kesmn dpt ggl terpenuhi kren tig hl Hl itu dpt terjdi, mislny B didefinisikn sedngkn B tidk didefinisikn Ini dlh ksus klu dlh mtriks x dn B dlh mtriks x Jug dpt terjdi B dn B kedu duny didefinisikn tetpi mempunyi ukurn yng ereded Hl ini terjdi klu dlh mtriks x dn B dlh mtriks x khirny, seperti yng diperlihtkn oleh contoh erikutny, mk mungkin untuk memperoleh B B wlupun B dn B didefinisikn dn mempunyi ukurn yng sm Tinjulh mtriks mtriks
, B Dengn mengliknny mk kn memerikn B B Jdi, B B Wlupun hukum komuttif untuk perklin tidk erlku dlm ilmu hitung mtriks, nmun nyk hukum hukum ilmu hitung yng sudh is dikenl kn erlku untuk mtriks Beerp dintr hukum yng pling penting dn nm nmny diikhtisrkn dlm teorem erikut, Teorem Dengn menggnggp hw ukurn-ukurn mtriks dlh sedemikin sehingg opersi-opersi yng ditunjukkn dpt dipergkn, mk turnturn ilmu hitung mtrriks erikut kn shih +B B + (Hukum komuttif untuk penmhn) + (B+C) (+B)+C (Hukum sositif untuk penmhn) c (BC) (B)C (Hukum sositif untuk perklin) d (B+C)B+C (Hukum distriutif) e (B+C)B+C (Hukum distriutif) f (B-C)B-C g (B-C)B-C h (B+C)B+C i (B-C)B-C j (+)CC+C 9
k (-)CC-C l ()C(C) m (BC)(B)CB(C) Wlupun opersi penmhn mtriks dn opersi perklin mtriks didefinisikn untuk psngn mtriks, nmun hukum hukum sositif () dn (c) memungkinkn kit untuk jumlh dn hsil kli tig mtriks seperti +B+C dn BC tnp menyisipkn tnd kurung Hl ini dienrkn oleh kenytn hw gimnpun, terseut disisipkn, hukum sositif menjmin hw hsil khir yng sm kn kit peroleh Segi gmrn hukum sositif untuk perklin mtriks, tinjulh B C Kemudin B Sehingg
9 ) ( C B Selikny 9 BC k 9 9 (BC) Jdi, (B)C(BC), Jenis-Jenis triks triks Bujur Sngkr Sutu mtriks yng mempunyi jumlh ris dn jumlh kolom yng sm diseut mtriks ujur sngkr P Jumlh ris, jumlh kolom
triks Digonl Sutu mtriks ujur sngkr, dimn elemen digonl utm dn selinny sm dengn nol, diseut mtriks digonl,,, D C B triks Stun Sutu mtriks digonl, dimn elemen elemen digonl utm semuny diseut mtriks stun triks stun ini isny ditulis dengn notsi I triks stun yng erdimensi n x n ditulis dengn notsi I n j i j i I tu I ij ij n n,,, δ δ triks stun x : I
Jik mtriks ujursngkr ertipe n x n dn I mtriks stun ertipe n x n mk: II triks Nol Sutu mtriks yng semu elemen elemenny nol diseut mtriks nol dn ditulis dengn notsi triks nol tidk sellu erentuk ujur sngkr O [ ], er dimensix O, er dimensix Pd mtriks nol erlku opersi erikut: + + - Dlm hl ini dn dlh mtriks ujursngkr yng ertipe smpd ilngn riil erlku, rtiny,, kn tetpi pd mtriks hl ini tidk erlku Segi ilustrsi dpt diliht pd contoh erikut:, B B x B Dri hsil di ts jug dpt diliht hw hsil kliny dlh mtriks nol, tetpi dn B ukn mtriks nol
triks Trnspose Trnspose dri mtriks dlh sutu mtriks yng dientuk dri dengn menguh ris dn kolom menjdi kolom dn ris mtriks trnpose triks trnspose dinotsikn dengn tu T Jik ji ' ' ji mk ' Jik ertipe m x n mk ertipe n x m Sift sift mtriks trnspose dlh segi erikut: Jik dn B ertipe sm, mk: Pd mtriks stun I erlku I I c Trnspose sutu mtriks dlh mtriks tu ( ) Hitunglh (B), jik: Jw : B x B 7 7 ( B) ', B
Buktikn ( B )' B' ', jik : Bukti : B [ ], [ ] B [ ] ( B) ' [ ] ', ' B B' ' [ ] B x [ ] k terukti hw (B) B triks Simetris triks Simetris dlh sutu mtriks yng memenuhi Dlm hl ini jels hw mtriks simetris dlh mtriks ujur sngkr Elemen ris ke-i dn kolom ke-j dri mtriks elemen pd ris ke-j dn kolom ke-i dri mtriks, tu ij untuk semu i dn j triks simetris erdimensi x : 7 ', 7 7 triks Simetris iring
triks simetris miring dlh sutu mtriks ujur sngkr dn ij - ij, ii triks simetris miring erdimensi x : ' ', triks Invers triks Invers tu mtrik likn dlh dlh mtriks yng pil diklikn dengn mtriks ujur sngkr menghsilkn seuh mtriks stun Jik merupkn sutu mtriks ujursngkr, mk liknny dituliskn dengn notsi - Dn - I Sift sift invers mtriks: Jik dn B mtriks ujur sngkr yng ertipe sm, mk: (B) - B - - Invers dri invers mtriks dlh mtriks itu sendiri: ( - ) - c Invers mtriks stun dlh mtriks stun itu sendiri tu I - I d Invers mtriks trnpose dlh mtriks trnpose, tu: ( ) - ( - )
Tentuknlh mtriks invers dri Penyelesin:, erti non singulr dn - d Jdi 7, 7 B, Tentukn invers dri mtriks Penyelesin:, errti singulr dn - tidk d 9 triks Sklr, Ortogonl, Singulr, dn Non Singulr triks Sklr dlh mtriks digonl yng unsur unsurny sm tu sergm ( λ ) Dlm hl λ, mtriks yng ersngkutn sekligus jug merupkn mtriks stun triks sklr jug merupkn hsil kli seuh sklr dengn mtriks stun, λ I mtriks sklr λ triks Orthogonl dlh mtriks yng pil diklikn dengn mtriks uhnny menghsilkn mtriks stun, I triks Singulr dlh mtriks ujursngkr yng determinnny sm dengn nol triks semcm ini tidk mempunyi likn Sedngkn mtriks 7
nonsingulr dlh mtriks ujursngkr yng determinnny tidk nol, mtriks semcm ini mempunyi likn 7 Rngkumn Sutu himpunn ilngn tu vriel yng disusun dlm entuk empt persegi pnjng, yng terdiri dri ris dn kolom diseut mtriks Jik mtrik mempunyi m ris dn n kolom, mk diseut mtrik erdimensi m x n triks ditulis dlm entuk ( ) tu [ ] dn entuk lin triks is ditulis dengn huruf esr dn elemen elemenny dengn huruf kecil Du uh mtriks hny dpt dijumlhkn tu dikurngkn pil keduny erorde sm Hsil kli seuh mtriks [ ij ] dengn sutu sklr tu ilngn nyt λ dlh seuh mtriks ru B [ ij ] yng erorde sm dn unsur unsur λ kli unsur unsur mtriks semul ( λ ) ij ij Du mtriks hny dpt diklikn pil jumlh kolom dri mtriks yng diklikn sm dengn jumlh ris dri mtriks pengliny Sutu mtriks yng mempunyi jumlh ris dn jumlh kolom yng sm diseut mtriks ujur sngkr Sutu mtriks ujur sngkr, dimn elemen digonl utm dn selinny sm dengn nol, diseut mtriks digonl Sutu mtriks digonl, dimn elemen elemen digonl utm semuny diseut mtriks stun
Sutu mtriks yng semu elemen elemenny nol diseut mtriks nol dn ditulis dengn notsi Trnspose dri mtriks dlh sutu mtriks yng dientuk dri dengn menguh ris dn kolom menjdi kolom dn ris mtriks trnpose triks Simetris dlh sutu mtriks yng memenuhi triks simetris miring dlh sutu mtriks ujur sngkr dn ij - ij, ii triks Invers tu mtriks likn dlh dlh mtriks yng pil diklikn dengn mtriks ujur sngkr menghsilkn seuh mtriks stun triks Sklr dlh mtriks digonl yng unsur unsurny sm tu sergm ( λ ) triks Orthogonl dlh mtriks yng pil diklikn dengn mtriks uhnny menghsilkn mtriks stun, I triks Singulr dlh mtriks ujursngkr yng determinnny sm dengn nol triks semcm ini tidk mempunyi likn triks nonsingulr dlh mtriks ujursngkr yng determinnny tidk nol, mtriks semcm ini mempunyi likn Ltihn Dikethui mtriks segi erikut: 9
,,,, X X X X X X F E D C B Tentuknlh nili dri: +B -B c B d F e EB f FE Dikethui mtriks segi erikut:,,,, X X X X X X F E D C B Tentuknlh nili dri: +C -B c B d C e EB f BF Tinjulh triks mtriks
, B, C, D, E Hitunglh: B D+E c D-E d DE e ED f 7D Dengn menggunkn mtriks mtriks di ltihn no, hitunglh opersiopersi yng erkitn dengn (di mn mungkin) C-D (E)D c (B) C d (BC) e D + E pkh yng dimksud dengn mtriks ujur sngkr? pkh yng dimksud dengn mtriks digonl? 7 pkh yng dimksud dengn mtriks stun? pkh yng dimksud dengn mtriks trnspose? 9 pkh yng dimksud dengn mtriks simetris? pkh yng dimksud dengn mtriks simetris miring? pkh yng dimksud dengn mtriks invers? pkh yng dimksud dengn mtriks Sklr?
pkh yng dimksud dengn mtriks Ortogonl? pkh yng dimksud dengn mtriks Singulr? pkh yng dimksud dengn mtriks Non Singulr? 9Dftr Pustk Nn, 99 Pengntr temtik untuk Ilmu Ekonomi dn Bisnis Jkrt: Penerit Erlngg nton, Howrd 99 temtik I Elementer Jkrt: Penerit Erlngg Dumiry 99 temtik Terpn untuk Bisnis dn EkonomiYogykrt:BPFE
BB II DETERINN Tujun Instruksionl Umum Setelh mengikuti mt kulih temtik I ini mhsisw kn dpt menyelesikn opersi mtriks, menentukn nili determinn mtriks, menentukn invers mtriks, dpt menyelesikn sistem persmn linier, dn dpt menginterpretsiknny dengn ik dn enr Tujun Instruksionl Khusus Setelh mempeljri ini dn mengerjkn sol perltihnny dihrpkn mhsisw kn dpt: enyeutkn pengertin determinn dengn enr enyeutkn sift sift determinn dengn enr enentukn determinn dengn metode Srrus dengn enr enentukn minor dn kofktor sutu mtriks dengn enr enentukn mtriks kofktor dengn enr enentukn determinn dengn metode ekspnsi kofktor dengn enr 7 enentukn determinn dengn metode reduksi ris dengn enr
Pengertin Determinn Determinn dri sutu mtriks dlh penulisn unsur unsur seuh mtriks ujur sngkr dlm entuk determinn, yitu dintr sepsng gris tegk tu Determinn mtriks lzim dituliskn dengn notsi tu D Determinn dengn mtriks dlm tig hl: Determinn unsur unsurny dipit dengn sepsng gris tegk, sedngkn mtriks dipit dengn tnd kurung Determinn senntis erentuk ujur sngkr (jumlh ris jumlh kolom, mn), sedngkn mtriks tidk hrus demikin Determinn mempunyi nili numerik, tetpi tidk demikin hlny dengn mtriks Pencrin nili numerik dri sutu determinn dpt dilkukn dengn cr menglikn unsur unsurny secr digonl triks,det er min nny; Nili numerikny: mk det det B, B
Untuk determinn erdimensi etode yng digunkn oleh Srrus untuk menentukn determinn mtriks dlh; + + mk det + + Sift sift Determinn Determinn mempunyi eerp sift khs erkenn dengn nili numerikny Sift sift terseut dlh segi erikut: Nili determinnny dlh nol jik semu unsurny sm 7 + 7 + 7 7 7 7
Nili determinnny dlh nol jik terdpt du ris tu du kolom yng unsur unsurny sm + + Nili determinnny dlh nol jik terdpt du ris tu du kolom yng unsur unsurny sending + + Nili determinnny dlh nol jik unsur unsur pd slh stu ris tu kolom semuny nol + + Nili determinn tidk eruh jik semu ris dn kolomny sling ertukr letk, dengn kt lin determinn dri mtriks sm dengn determinn mtriks uhnny ; '
' + + + + Nili determinn eruh tnd (tetpi hrg mutlkny tetp) jik du ris tu du kolom ertukr letk + + B + + 7 Determinn dri sutu mtriks digonl dlh hsil kli unsur unsur digonlny Jik setip unsur pd slh stu ris tu kolom diklikn dengn sutu ilngn, nili determinnny dlh sm dengn hsilkliny dengn ilngn terseut 7
* + + jik ris kedu dikli + + 9 Jik semu unsur merupkn penjumlhn dri du ilngn tu leih, determinnny dpt dituliskn segi penjumlhn dri du determinn tu leih Jik nili determinn dri sutu mtriks sm dengn nol, mtriksny diktkn singulr dn tidk mempunyi likn (invers): jdi il, merupkn mtriks singulr dn - tidk d Jik nili determinn dri sutu mtriks tidk sm dengn nol, mtriksny diktkn nonsingulr dn mempunyi likn (invers): jdi il, merupkn mtriks nonsingulr dn - d Pd pengurin determinn (ekspnsi Lplce), nili determinn sm dengn nol jik unsur ris tu kolom diklikn dengn kofktor unsur ris tu kolom yng lin, tetpi tidk sm dengn nol jik unsur sutu ris tu kolom diklikn dengn kofktor unsur ris tu kolom itu sendiri inor dn Kofktor Lplce erhsil mengemngkn sutu cr penyelesin yng erlku umum untuk determinn erdimensi erppun, ykni menggunkn minor dn kofktor dri determinn yng ersngkutn
Perhtikn kemli penyelesin determinn erdimensi, + + Dengn mengtur letk suku-sukuny, penulisn ini is diuh menjdi: ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) + + Ternyt dengn menutup ris-ris dn kolom-kolom tertentu, determinn terdiri ts eerp determinn-gin (su determinn) Determinn-determinn gin ini dinmkn minor Sutu minor secr umum dilmngkn dengn notsi ij dlh minor dri unsur, diperoleh dengn jln menutup ris ke - dn kolom ke- dri determinn dlh minor dri unsur, diperoleh dengn jln menutup ris ke - dn kolom ke- dri determinn dlh minor dri unsur, diperoleh dengn jln menutup ris ke - dn kolom ke- dri determinn Penulisn determinn dlm entuk minor seperti di ts diuh ke dlm penulisn kofktor Kofktor dri determinn untuk minor tertentu dilmngkn dengn ij i+ Huungn ntr kofktor dn minor: ( ) j ij ij 9
ij dlh minor dri unsur ij, diperoleh dengn jln menutup ris ke -i dn kolom ke-j dri determinn ij dlh kofktor dri unsur ij Dengn demikin, + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) ( ) + Kofktor ij prktis dlh sm dengn minor ij itu sendiri, jik i + j menghsilkn ilngn genp, dn ij negtif dri ij pil i + j menghsilkn ilngn gnjil Penyelesin determinn menggunkn notsi minor untuk mtriks erdimensi dlh segi erikut; + + + + + + + + + + + + Penyelesin determinn menggunkn notsi minor + n i, j ij ij dlm notsi kofktor menjdi: + + n i, j ij ij
tu: n ij j ij untuk setip ris; i,,,, n n ij i ij untuk setip kolom; j,,,, n Definisi Jik dlh serng mtriks n x n dn ij dlh kofktor ij, mk mtriks n n n n mn Dinmkn mtriks kofktor Trnspose mtriks ini dinmkn djoint dn dinytkn dengn dj() Dikethui mtriks segi erikut: 7 9 Hitunglh mtriks kofktorny, sert mtriks djointny
Penyelesin: 7 7 7 7 9 9 9 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k mtriks kofktorny dlh Sedngkn mtriks djoinny dlh dj () Dikethui mtriks B segi erikut: B
Hitunglh mtriks kofktorny, sert mtriks djointny Penyelesinny: 9 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9) ( ) k mtriks kofktorny dlh ( ) ( ) 7 7 9 ( ) ( ) 9 7 Sedngkn mtriks djoinny dlh dj (B) 7 9
Cr penyelesin determinn yng dikemngkn oleh Lplce dengn menggunkn minor dn kofktor ini, dikenl dengn seutn metode ekspnsi dengn kofktor Dikethui mtriks segi erikut: 7 9 Hitunglh determinn dri mtriks dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng: ris pertm ris kedu c ris ketig (Ekspnsi dengn kofktor sepnjng ris pertm) 7 9 9 7 9 7 + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + () + ( ) (Ekspnsi dengn kofktor sepnjng ris kedu)
7 9 9 7 9 7 + + 7 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () + ( ) + () (Ekspnsi dengn kofktor sepnjng ris ketig) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7( ) + () + 9( ) Dikethui mtriks B segi erikut: B Hitunglh determinn dri mtriks B dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng: kolom pertm kolom kedu
c kolom ketig (Ekspnsi dengn kofktor sepnjng kolom pertm) B B + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) + ( )() + () (Ekspnsi dengn kofktor sepnjng kolom kedu) B B + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 () + ( )( ) + ( 9) 7 Dikethui mtriks C segi erikut: C
Hitunglh determinn dri mtriks C dengn menggunkn ekspnsi kofktor Penyelesin: Ekspnsi kofktor sepnjng kolom kedu, C Kren dn niliny msing-msing dlh nol, mk minor yng dicri hny dn Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( )( ) + ( ( )) + ( ) + ( )( ( )) + + + Sehingg diperoleh kofktor ( ) Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris ketig ( ) + + ()( ) ( ) + ( ) + 7
+ Sehingg diperoleh kofktor ( ) ( ) k determinn dri mtriks C dengn menggunkn ekspnsi kofktor dlh C ( ) + Dikethui mtriks D segi erikut: D Hitunglh determinn dri mtriks D dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng kolom keempt Sepnjng ris pertm Penyelesin: Ekspnsi kofktor sepnjng kolom keempt, D k minor yng dicri dlh,,, Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu
( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) + ( ) + ( ) 9 + + Sehingg diperoleh kofktor ( ) 9 9 Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) 9 + ( ) + ( ) 7 + + Sehingg diperoleh kofktor ( ) Pd minor, diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu 9
( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) 9 + ( ) + ( ) 7 9 + + Sehingg diperoleh kofktor ( ) 9 9 Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) ( ) + ( ) + + 9 + + Sehingg diperoleh kofktor ( ) 9 9 D ( 9) + + ( 9) + 9 Ekspnsi kofktor sepnjng ris pertm, D k minor yng dicri dlh,,,
Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) ( ) + 9 9 + + Sehingg diperoleh kofktor ( ) 9 9 Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + (9 ) + ( ( )) ( ) + + + + Sehingg diperoleh kofktor ( ) ( ) Pd minor, diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu
( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + (9 ) + ( ( )) 7 + + Sehingg diperoleh kofktor ( ) ( ) Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) + ( ) + ( ) 9 + + Sehingg diperoleh kofktor ( ) 9 9 D 9 + + ( ) + ( 9) + 9 Reduksi Bris Determinn seuh mtriks dpt dihitung dengn mereduksi mtriks terseut pd entuk eselon ris etode ini penting untuk menghindri perhitungn pnjng yng terlit dlm penerpn definisi determinn secr lngsung
ul mul kit meninju du golongn mtriks yng determinnny dpt dihitung dengn mudh, tidk peduli erppun esrny ukurn mtriks terseut triks kudrt kit nmkn segitig ts (upper tringulr) jik semu entri di wh digonl utm dlh nol Begitu jug mtriks kudrt kit nmkn segitig wh (lower tringulr)) jik semu entri di ts digonl utm dlh nol Seuh mtriks ik yng merupkn segitig ts mupun yng merupkn segitig wh kit nmkn segitig (tringulr) Seuh mtriks segitig ts x yng umum mempunyi entuk: k nili determinn det Seuh mtriks segitig wh x yng umum mempunyi entuk: k nili determinn det Teorem Jik dlh mtriks segitig ukurn n x n,mk det() dlh hsil kli entri entri pd digonl utm, ykni det
7 B ( 7) 7 Teorem islkn dlh serng mtriks n x n Jik dlh mtriks yng dihsilkn il ris tunggl diklikn oleh konstnt k, mk det() kdet() Jik dlh mtriks yng dihsilkn il du ris dipertukrkn, mk det( ) - det() Jik dlh mtriks yng dihsilkn il keliptn stu ris ditmhkn pd ris lin, mk det() det() Tentukn determinn mtriks mtriks erikut ini menggunkn reduksi ris:
Penyelesin: ) ( ris) (ris dikurng pd - (-) ke -) ris dikurng (ris ke - - x triks di ts dpt pul diselesikn dengn cr reduksi ris erikut ini:
((-)) - - (fktor ersm ris ke - terleihdhulu dimil) (ris ke - dikurng ris ke -) { ( ) } (tukrkn ris ke -dg ris ke - ) (ris ke - dikurng ris ke -) ( ) (ris ke - ditmh kli ris ke -, ris ke - dikurng ris ke -)
7 Contoh; Hitunglh determinn, dimn: 9 Penyelesin: sift determinn) kren sesui selnjutny tidk memerlukn reduksi kit ( ke -) ris ditmh (-)dikli (ris ke - 9 9 Contoh; Setip mtriks erikut mempunyi du ris yng sending, jdi erdsrkn sift sift determinn mk mtriks terseut memiliki determinn seesr nol,, 9 Dikethui mtriks C segi erikut: C
Hitunglh determinn dri mtriks C dengn menggunkn reduksi ris Penyelesin: ( ) ) ( ) dikelurkn ke - ( ) dg ( ),, ( ) dg tukrkn ( + ris ersm fktor tukrkn C
9 Rngkumn Determinn dri sutu mtriks dlh penulisn unsur unsur seuh mtriks ujur sngkr dlm entuk determinn, yitu dintr sepsng gris tegk tu Determinn mtriks lzim dituliskn dengn notsi tu D Determinn mempunyi eerp sift khs erkenn dengn nili numerikny Sift sift terseut dlh segi erikut: Nili determinnny dlh nol jik semu unsurny sm Nili determinnny dlh nol jik terdpt du ris tu du kolom yng unsur unsurny sm Nili determinnny dlh nol jik terdpt du ris tu du kolom yng unsur unsurny sending Nili determinnny dlh nol jik unsur unsur pd slh stu ris tu kolom semuny nol Nili determinn tidk eruh jik semu ris dn kolomny sling ertukr letk, dengn kt lin determinn dri mtriks sm dengn determinn mtriks uhnny ; ' Nili determinn eruh tnd (tetpi hrg mutlkny tetp) jik du ris tu du kolom ertukr letk 7 Determinn dri sutu mtriks digonl dlh hsil kli unsur unsur digonlny Jik setip unsur pd slh stu ris tu kolom diklikn dengn sutu ilngn, nili determinnny dlh sm dengn hsilkliny dengn ilngn terseut 9
9 Jik semu unsur merupkn penjumlhn dri du ilngn tu leih, determinnny dpt dituliskn segi penjumlhn dri du determinn tu leih Jik nili determinn dri sutu mtriks sm dengn nol, mtriksny diktkn singulr dn tidk mempunyi likn (invers): jdi il, merupkn mtriks singulr dn - tidk d Jik nili determinn dri sutu mtriks tidk sm dengn nol, mtriksny diktkn nonsingulr dn mempunyi likn (invers): jdi il, merupkn mtriks nonsingulr dn - d Pd pengurin determinn (ekspnsi Lplce), nili determinn sm dengn nol jik unsur ris tu kolom diklikn dengn kofktor unsur ris tu kolom yng lin, tetpi tidk sm dengn nol jik unsur sutu ris tu kolom diklikn dengn kofktor unsur ris tu kolom itu sendiri enutup ris-ris dn kolom-kolom tertentu, determinn terdiri ts eerp determinn-gin (su determinn) Determinn-determinn gin ini dinmkn minor Sutu minor secr umum dilmngkn dengn notsi ij Kofktor dri determinn untuk minor tertentu dilmngkn i+ dengn ij Huungn ntr kofktor dn minor: ( ) j ij ij Determinn seuh mtriks dpt dihitung dengn mereduksi mtriks terseut pd entuk eselon ris etode ini penting untuk menghindri perhitungn pnjng yng terlit dlm penerpn definisi determinn secr lngsung
Ltihn Hitunglh determinn dri: c 7 d k k e 7 f 7 g h 9 k k k + Hitunglh determinn mtriks yng dierikn dengn mereduksi mtriks terseut pd entuk eselon ris 7 7
c d 7 e 9 f g 7 islkn 7 Crilh semu minor Crilh semu kofktor
islkn Crilh: dn C dn C c dn C d dn C Hitunglh determinn dri mtriks dlm ltihn no (di ts) dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng: ris pertm kolom pertm c ris kedu d kolom kedu e ris ketig f kolom ketig Dlm sol di wh ini hitunglh determinn dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng seuh ris tu kolom pilihn nd: 7
c k k k k k k d k k k e f 9 Dftr Pustk Nn, 99 Pengntr temtik untuk Ilmu Ekonomi dn Bisnis Jkrt: Penerit Erlngg nton, Howrd 99 temtik I Elementer Jkrt: Penerit Erlngg Dumiry 99 temtik Terpn untuk Bisnis dn EkonomiYogykrt:BPFE