Hal. 1 / 7 METHODIST-2 EDUCATION EXPO LOMBA SAINS PLUS ANTAR PELAJAR TINGKAT SMA SE-SUMATERA UTARA TAHUN 2015 BIDANG WAKTU : MATEMATIKA : 120 MENIT PETUNJUK : 1. Pilihlah jawaban yang benar dan tepat. 2. Isikan jawaban Anda pada Lembar Jawaban Komputer.. Perhatikan agar lembar jawaban ujian tidak kotor, tidak basah, tidak terlipat, dan tidak sobek. PILIHAN GANDA 1. Berapakah banyaknya bilangan asli 5 digit abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? 000 250 C. 2500 D. 2750 E. 000 2. Berapakah banyaknya cara menyusun hurufhuruf pada kata LAPTOP sehingga tidak ada dua buah huruf vokal yang bersebelahan? A. 100 B. 105 C. 110 D. 115 E. 120. Berapakah banyaknya bilangan asli yang tidak lebih dari 2015 dengan sifat yang tidak habis dibagi 2, tidak habis dibagi oleh 5, tetapi habis dibagi oleh. 66 67 C. 268 D. 269 E. 270 4. Sebanyak 4 pasang suami istri duduk pada 8 buah kursi yang disusun melingkar. Berapakah banyaknya cara mengatur tempat duduk 8 orang tersebut sehingga setiap suami dan istri duduk bersebelahan. A. 96 B. 104 C. 112 D. 120 E. 128 n n! 5. Definisikan. Untuk setiap k k! n k! bilangan bulat tak negatif n, k, n k. Tentukan 5 10 9 9 nilai dari k 0 2k k 0 k A. 511 B. 512 C. 102 D. 1024 E. 2047 6. Tentukan hasil penjumlahan semua bilangan asli n n n yang memenuhi. 2 4 A. 10 B. 9 D. 7 E. 6 2015 2015 7. Misalkan S 2 k. Tentukan dua digit k 0 k terakhir dari S. A. 81 B. 4 C. 21
Hal. 2 / 7 D. 07 E. 01 8. Sepuluh buah kartu diberi nomor 10 bilangan prima pertama dikocok lalu dipilih 2 buah kartu secara acak. Peluang selisih kedua bilangan prima pada kartu juga merupakan bilangan prima adalah 4 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9. Tentukan banyaknya faktor positif dari 2015 2 yang tidak habis dibagi oleh 2015. A. 19 0 C. 21 D. 22 E. 2 10. Tentukan banyaknya bilangan asli digit yang memuat tepat sebanyak genap digit ganjil. A. 100 B. 125 C. 250 D. 0 E. 500 11. Berapakah banyaknya persegi panjang yang terdiri dari 16 kotak yang termuat pada papan catur berukuran 8 8. A. 0 B. C. 6 D. 9 E. 42 12. Berapakah banyaknya bilangan asli 7 digit di mana setiap digitnya adalah 1 atau 0 dan tidak ada tiga buah digit berurutan yang digit-digitnya adalah bilangan yang sama? A. 11 B. 15 C. 20 D. 21 E. 28 1. Tentukan banyaknya bilangan 8 digit yang memuat tepat buah digit. A. 1240029 B. 187080 C. 077109 D. 1780 E. 785204 14. Berapakah banyaknya fungsi f: {1,2,,4,5} {1,2,,4,5} sehingga f(f(a)) = a untuk setiap a {1,2,,4,5}. 1 6 C. 1 D. 6 E. 41 15. Tentukan banyaknya bilangan negatif yang dapat dinyatakan dalam bentuk a 0 0 + a 1 1 + a 2 2 + a + a 4 4 dengan a i { 1,0,1} untuk i = 0,1,2,,4. A. 81 B. 108 C. 121 D. 169 E. 24 16. Tentukan 2 angka terakhir dari 100 2 + 99 2 + 98 2 + + 2 2 + 1 2. A. B. 50 C. 55 D. 60 E. 65 17. Berapakah banyaknya x dengan (0 x 60 ) yang memenuhi sin x + cos x = 2? A. 6 B. 5 C. 4 D. E. 2
Hal. / 7 18. Jika (2x 40 x + 1) 5 = a 2015 x 2015 + a 2014 x 2014 + + a 1 x + a 0 maka nilai dari a 2015 + a 2014 + + a 1 adalah A. 16 B. 1 C. 2 D. 6 E. 64 19. Terletak di interval manakah bilangan real positif x terkecil sehingga ada bilangan real positif y yang memenuhi x + y 2 = xy. A. (1,) B. (,5) C. (5,7) D. (7,9) E. (9,11) 20. Tentukan digit terakhir dari S dimana S = 1.2. + 2..4 +.4.5 + + 2014.2015.2016 F. 75 G. 80 H. 85 I. 90 J. 95 21. Sebuah fungsi f memenuhi sifat berikut: i. f( x) = f( + x) untuk setiap bilangan real x ii. Terdapat tepat tiga buah bilangan real a, b, c sehingga f(a) = f(b) = f(c) = 0 Tentukan dua digit terakhir dari (a + b + c) 2015 A. 09 B. 49 C. 01 D. 29 E. 81 22. Tentukan nilai minimum dari a 2 2bc + a 2 + b 2 2ac + b 2 + c 2 2ab + c 2 dengan a, b, c adalah bilangan real positif. A. 1 B. 1 2 C. 1 D. 2 E. 2 2. Jika (x + 2y + ) 2 + x + y + 2 = 0 tentukan nilai dari x 2 + y 2. A. 0 B. 1 C. 2 D. E. 4 24. Jumlah semua akar real yang berbeda dari persamaan x 4 2x + x 2 2x + 1 = 0 adalah A. B. 2 C. 1 D. 0 E. 1 25. Tentukan 2 digit terakhir dari ekspresi 99 2 + 98 2 + 97 2 96 2 95 2 94 2 + 9 2 +92 2 + 91 2 + 2 + 2 2 + 1 2 (dengan tiga tanda kurang diikuti tiga tanda tambah dan sebaliknya secara terus menerus) B. 6 C. 40 D. 46 E. 50 26. Tentukan koefisien x 2 dari ekspansi 1 (1 + x) + (1 + x) 2 (1 + x) + + (1 + x) 18 A. 54 B. 6 C. 72 D. 81 E. 90 27. Jika x = 4 x 1 dari x. B. 4 D. 16 E. 2 6 + 2 + 1. Maka tentukan nilai 28. Barisan a n didefinisikan dengan a 1 = 0, a 2 = 1 dan a n+2 2a n+1 + a n 2 = 0 untuk setiap n 1. Hitunglah nilai a 20.
Hal. 4 / 7 56 89 C. 24 D. 61 E. 400 29. Jika fungsi f memenuhi f(x f(y)) = 1 x y untuk setiap bilangan real x, y. Tentukan nilai 2f(2015) 015 016 C. 4025 D. 4027 E. 4029 0. Polinomial P(x) = 5x + 2011x + 2015 memiliki tiga buah akat a, b, c. Hitunglah nilai dari (a + b) + (b + c) + (a + c). A. 40 B. 806 C. 1209 D. 1512 E. 2015 1. Sebuah segitiga memiliki sisi dengan panjang 4,5,6. Tentukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut. A. 1 C. 4 D. 7 E. 7 2 2. Diketahui garis bagi dari segitiga ABC berpotongan di titik I, jika AI memotong BC di AI 4 titik D. Jika dan keliling dari segitiga DI ABC adalah 21, tentukan panjang BC. A. 6 B. 7 D. 9 E. 10. Sebuah segitiga memiliki panjang jari-jari lingkaran luar 4 dan sebuah sudut yang besar nya 0. Dari kelima pilihan berikut, yang manakah yang pasti merupakan panjang sisi dari segitiga tersebut? B. C. 4 D. 5 E. 6 4. Sebuah segitiga sama sisi, ketiga titik sudutnya terletak pada lingkaran dalam segitiga sama sisi. Tentukan rasio luas kedua segitiga sama sisi tersebut. A. 1:1 :1 C. :2 D. :1 E. 4:1 5. Sebuah trapezium memiliki lingkaran luar dan kedua diagonalnya berpotongan tegak lurus. Jika salah satu diagonal memiliki panjang 6, tentukan luas dari trapezium tersebut. A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 E. 6 6. Sebuah segi n beraturan A 1 A 2 A n memenuhi hubungan A 1 A 2 A = 8 A 1 A A 2. Tentukan n. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11 7. Pada sebuah segitiga siku-siku dibuat tiga buah setengah lingkaran ke arah luar dari segitiga tersebut dengan diameternya adalah ketiga sisisisi segitiga siku-siku tersebut. Jika luas dua buah setengah lingkaran pada sisi siku-siku memiliki luas 100π dan 212π, tentukan luas setengah lingkaran yang ketiga. A. 10π B. 12π C. 14π D. 16π E. 18π
Hal. 5 / 7 8. Dua buah lingkaran memiliki tiga buah garis singgung persekutuan. Jika jari-jari kedua lingkaran adalah 10 dan 8. Tentukan panjang salah satu garis singgung persekutuan luar dari kedua lingkaran. A. 8 B. 8 2 D. 16 E. 8 5 9. Lingkaran dalam segitiga ABC menyingung sisi BC di titik D. Tentukan panjang BD jika panjang AB, BC, CA adalah 7,5,8 berturut-turut. A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 5 4 E. 2 40. Jika panjang diameter lingkaran dalam segitiga siku-siku adalah 4 dan luas segitiga tersebut adalah 0, tentukan panjang sisi miring dari segitiga siku-siku tersebut. A. 5 B. 10 C. 1 D. 15 E. 20 41. Dua buah lingkaran berpotongan di titik X, Y. Titik P pada segmen XY. Sebuah garis melewati P memotong kedua lingkaran di empat buah titik berbeda A, B, C, D dalam urutan tersebut (P antara B dan C). Jika AB, BP, PC memiliki panjang 6,2, berturut-turut, tentukan panjang CD. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 1 42. Jika H adalah titik dari segitiga ABC dengan AH = 6 dan A = 0, tentukan panjang jarijari lingkaran luar segitiga ABC. 2 C. 2 D. 4 E. 5 4. Misalkan ABC adalah segitiga dengan C = 120 dan A = 20. Pilih titik D pada AB sehingga DC tegak lurus dengan BC. Diketahui AC AD = 2, tentukan panjang BD. A. 1 C. D. 4 E. 5 44. ABCD adalah trapezium dengan BC sejajar AD. Diketahui panjang AD = 2015, A = 50 dan D = 40. Misalkan X, Y adalah titik tengah AD dan BC. Jika XY = 2000, tentukan panjang BC. A. 995 B. 1000 C. 1005 D. 1010 E. 1015. Pada persegi ABCD dengan luas 100, diabut segitiga CDE dengan DE = CE sehingga irisan segitiga DCE dengan ABCD memiliki luas 60. Tentukan jarak dari E ke sisi CD. A. 7.5 B. 8.75 C. 10 D. 11.25 E. 12.5 46. Suatu bilangan asli n apabila dibagi 2015 akan memberikan sisa 199. Tentukan sisa pembagian apabila n dibagi 1. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 14 47. Diketahui suatu bilangan asli n apabila dibagi 15 memberikan sisa dan apabila dibagi 10 memberikan sisa 8. Tentukan banyaknya bilangan asli n seperti ini dengan n 2015.
Hal. 6 / 7 A. 6 B. 64 C. 65 D. 66 E. 67 48. Dua buah bilangan asli dikatakan relatif prima jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut adalah 1. Tentukan banyaknya bilangan asli yang kurang dari 2015 dan relatif prima dengan 108. A. 667 B. 669 C. 671 D. 67 E. 675 49. Tentukan banyaknya bilangan asli yang kurang dari 2015 dan relatif prima dengan dengan 2015. A. 140 B. 145 C. 1440 D. 14 E. 10 50. Misalkan X adalah himpunan semua kemungkinan sisa pembagian dari pangkat tiga suatu bilangan asli jika dibagi oleh 9. Tentukan hasil penjumlahan semua elemen di X. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 1 51. Hitunglah sisa pembagian dari 2015 20162017 oleh 2017. 015 C. 2016 D. 1 E. 0 52. Tentukan banyaknya bilangan asli n sehingga n 2015 + n 2000 + n 1985 + n 1970 + + n 5 n 1 adalah bilangan bulat A. 4 B. 6 D. 10 E. 12 5. Tentukan hasil penjulahan dari semua kemungkinan sisa pembagian 2 n + n oleh 9. A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 E. 20 54. Jika x, y adalah bilangan ganjil, bilangan asli terbesar yang pasti habis membagi x 2 y 2 adalah B. 4 C. 6 D. 8 E. 16 55. Bilangan p dan p + 2 keduanya adalah bilangan prima dua digit, tentukan bilangan prima terbesar yang mungkin habis membagi p + 1. A. 1 C. D. 5 E. 7 56. Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli (p, q) dengan 1 p q 100 sehingga p habis membagi q dan q + 2 habis membagi p + 2. A. 40 B. C. 90 D. 100 E. 200 57. Barisan a n didefinisikan dengan a 1 = 1 dan a n = FPB(a n 1, n) + 1 untuk setiap n > 1. Hitunglah a 2015. A. 5 B. 4 C. D. 2 E. 1
Hal. 7 / 7 58. Berapakah banyanya bilangan asli dengan p dengan 1 p 200 sehingga p p adalah bilangan kuadrat sempurna. A. 100 B. 104 C. 107 D. 110 E. 200 59. Berapakah banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m, n) dengan m nsedemikian sehingga m n n m dan 2 2 2 2 m n m n. Keduanya adalah bilangan bulat. A. 4 B. C. 2 D. 1 E. 0 60. Diketahui hanya ada 1 buah pasangan bilangan asli (x, y) yang memenuhi x 2 + 4x + 2015 = y 2. Tentukan nilai dari y x. A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 E. # Selamat Bekerja #