KATA PENGANTAR Puji Syukur atas kehadirat Allah S.W.T, karena atas karunia-nya kami dapat menyelesaikan buku ajar matematika yang juga merupakan tugas kelompok mata kuliah program komputer. Buku ajar ini berisikan tentang materi deret dan barisan matematika disertai dengan pembahasan contoh soal beserta latihan soal. Buku ini dilengkapi dengan kata-kata motivasi yang dapat meningkatkan semangat belajar peserta didik serta gambar-gambar yang menarik agar buku ajar tidak terlihat monoton. Kami menyadari buku ini banyak kekurangan, untuk itu kami selaku penyusun mohon maaf yang sebesar-besarnya apabila ada kekurangan dalam isi buku ini. Kami berharap semoga buku ini dapat bermanfaat bagi kami khususnya dan bagi kita semua. Terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam proses pengerjaan buku ini sehingga buku ini dapat selesai tepat waktu. Hormat kami, Penyusun 1
DAFTAR ISI Kata Pengantar... 1 Daftar Isi... 2 Kata Motivasi... 3 Tujuan Pembelajaran... 4 Materi... 5 A. Barisan... 5 B. Deret... 11 C. Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-hari... 18 Latihan Soal... 21 Daftar Pustaka... 25 Biodata kelompok dan deskripsi kerja kelompok... 26 2
Kepuasan terletak pada usaha, bukan pada hasil Berusaha dengan keras adalah kemenangan yang hakiki (Mahatma Ghandi) Hanya mereka yang berani gagal dapat meraih keberhasilan (Robert F. Kennedy) Apapun yang kamu bisa lakukan atau kamu mimpi bisa lakukan mulailah itu! Didalam keberanian terdapat kejeniusan, kekuatan, dan keajaiban Mulailah sekarang! (Goethe) 3
TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari bab ini diharapkan siswa dapat menjelaskan ciri barisan aritmetika dan barisan geometri merumuskan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmatika dan deret geometri menentukan jumlah n suku dari deret aritmetika dan deret geometri menghitung deret geometri tak berhingga PETA KONSEP BARISA N DAN DERET BARISAN DERET ARITMETIKA GEOMETRI ARITMETIKA GEOMETRI KHUSUS GEOMETRI TAK HINGGA 4
A. BARISAN 1. Pengertian Barisan Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara suku-suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu. Bentuk umum barisan bilangan adalah,,,...,,... Setiap unsur pada barisan bilangan diatas disebut suku barisan. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol ( n bilangan asli). Dengan demikian, disebut suku pertama atau, disebut suku kedua atau dan disebut suku ke-n atau. Diantara suku-suku barian bilangan dan himpunan bilangan asli terdapat korespondensi satu-satu seperti terlihat dalam diagram berikut:...... Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa suku-suku suatu barisan bilangan merupakan suatu nilai fungsi f dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real dengan aturan :. Dalam hal ini disebut rumus suku ke-n dari barisan bilangan tersebut. Contoh : 1. Tentukan lima suku pertama dari barisan bilangan Penyelesaian : Karena rumus =, dapat ditentukan suku-suku berikut : 5
,,,, Jadi, lima suku pertamanya adalah 0, 3, 8, 15, 24 2. Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah a. Tentukan lima suku pertama dari barisan tersebut b. Suku ke berapa dari barian tersebut yang bernilai 156? Penyelesaian : a. Karena dapat ditentukan bahwa Jadi, 5 suku pertamanya adalah 2, 6, 12, 20, 30. b. Diketahui suku ke-n = 156 Berarti, Dipilih n positif karena n bilangan asli. Jadi,suku yang nilainya 156 adalah suku ke-12. Berdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan menjadi dua macam 1) Barisan berhingga, yaitu barisan yang banyak sukusukunya berhingga (tertentu). Misalnya, barisan asli yang kurang dari 12,yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 6
11 dan barisan bilangan ganjil yang kurang dari 100,yaitu 1, 3, 5, 7, 9,... 99. 2) Barisan tak berhingga, yitu barisan yang banyak suku-sukunya tak berhingga. Misalnya, barisan bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, 4,..., dan barisan bilangan bulat, yaitu..., -2, -1, 0, 1, 2, 3,... 2. Barisan Aritmatika Barisan aritmatika atau barisan hitung adalah suatu barisan bilangan, dengan setiap dua suku yang berurutan memiliki selisih tetap (konstan). Selisih yang tetep ini disebut beda dan dilambangkan dengan b. Contoh : a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (b = 1) b. 2, 10, 18, 26 (b = 8) c. 2, 11, 20, 29 (b = 9) Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut: Apabila adalah rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmatika, berlaku rumus berikut : Jika suku pertama dari suatu aritmatika ( ) dinotasikan dengan a dan beda dinotasikan dengan b, suku-suku barisan aritmatika tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :... Oleh karena itu, diperoleh barisan aritmatika sebagai berikut a, a +b, a+ 2b, a+ 3b,..., a+ (n-1)b,... 7
Barisan ini dinamakan barisan aritmatika baku dengan rumus umum suku ke-n sebagai berikut: Contoh : 1. Tentukan suku ke-7 dan suku ke-10 dari barisan-barisan berikut a. 3, 7, 11, 15,... b. x + p, x + 6p, x + 11p, x + 16p Penyelesaian : a. Suku pertama barisan tersebut adalah a = 3 dan bedanya b = 7-3 = 4. Oleh karena itu,rumus umum suku ke-n barisan itu adalah b. x + p, x + 6p, x + 11p, x + 16p,... Suku pertama barisan tersebut dan bedanya 2. Dari suatu barisan aritmatika, diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 berturutturut adalah 16 dan 20. Tentukanlah suku pertama, beda, dan suku ke-20n barisan tersebut. Penyelesaian : Rumus barian aritmatika adalah Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh a = 12 dan b = 2. Berarti sehingga 8
3. Barisan Geometri Perhatikan barisan 1, 3, 9, 27, 81,... Pada barisan ini,suku kedua adalah tiga kali suku pertama, suku ketiga tiga kali suku kedua, demikian seterusnya. Barisan yang demikian juga dinamakan barisan geometri. Jadi, barisan geometri atau barisan ukur adalah suatu barian bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalihkan suku yang didepannya dengan bilangan yang tetap(konstan). Bilangan yang tetap ini disebut pembanding (rasio) yang dinotasikan dengan r. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut : Suatu barisan disebut barisan geometri apabila berlaku sebagai berikut : Misalnya : a. b. c. Dari contoh-contoh diatas tampak bahwa apabila suku-suku dari suatu barisan geometri positif semua tau negatif semua, rasio barisan itu positif. Namun, apabila suku-suku dari suatu barisan geometri bergantian tanda, rasio barisan itu negatif. Apabila suku pertama dari barisan geometri dinyatakan dengan a dan rasio r maka diperoleh sebagai berikut. Dengan demikian, diperoleh barisan geometri 9
Barisan ini disebut barisan geometri baku. Rumus umum suku ke-n barisan itu adalah sebagai berikut : Keterangan : = suku ke-n = suku pertama = rasio = bilangan asli Contoh : 1. Dari barisan-barisan geometri berikut,tentukan suku pertama, rasio, suku ke-5, dan suku ke-9 a. 1, 2, 4, 8,... b. 9, 3, 1,,... Penyelesaian : a. 1, 2, 4, 8,... Dari barisana tersebut,diperoleh a = 1 dan r = = 2. Oleh karena itu, suku ke-5 dan suku ke-9 masing-masing adalah sebagai berikut : b. 9, 3, 1,,... Dari barisan tersebut, nilai a = 9 dan r =. Oleh karena itu, suku ke-5 dan suku ke-9 masing-masing sebagai berikut : 10
B. DERET 1. Deret Aritmetika Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Kalian telah mengetahui definisi barisan aritmetika. Jumlah seluruh suku-suku-sukunya dinamakan deret aritmetika. Jadi, deret arimetika atau deret hitung adalah suatu deret yang diperoleh dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika. Jika a, a+b, a+2b,..., a+(n-1)b adalah barisan aritmetika baku maka a + (a + b) + (a + 2b) +... +(a + (n 1)b) disebut deret aritmetika baku. Jumlah n suku deret aritmetika dinotasikan dengan Rumus jumlah n suku dapat ditentuka sebagai berikut : Karena rumus suku ke-n suatu deret aritmetika adalah maka. Jadi, rumus jumlah n suku suatu deret aritmetika adalah sebagai berikut : 11
Keterangan jumlah n suku suku pertama b= beda n = banyaknya suku Contoh : 1. Tentukan jumlah 20 suku pertama dari deret 2 + 5 + 8 + 11 +... Penyelesaian : Diketahui deret 2 + 5 + 8 + 11 +... dari deret tersebut, diperoleh suku awal a = 2 b = 3 dan banyak suku n = 20 Cara 1 : Jumlah suku pertama deret Cara 2 : 2. Tentukan jumlah bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4. Penyelesaian : Bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4 adalah 4, 8, 12,..., 96. Berarti a = 4, b = 8 4 = 4, dan. Kita tentukan nilai n sebagai berikut: 12
96 = 4 + (n 1) 4 96 = 4n n = 24 Jumlah bilangan-bilangan tersebut : = = 1.200 2. Deret Geometri Seperti halnya deret-deret yang lainnya diperoleh dengan menjumlahkan suku-sukunya deret geometri atau deret ukur adalah suatu deret yang diperoleh dengan menjumlahkan suku suku barisan geometri. Oleh karena itu, jika adalah barisan geometri baku, deret disebut deret geometri baku. Jumlah n suku pertama dari deret geometri dinyatakan dengan Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat ditentukan sebagai berikut. Jadi, rumus n suku pertama suatu deret geometri adalah sebagai berikut, 13
3. Deret-deret khusus Kalian telah mempelajari rumus suku ke-n dan jumlah suku n suku pertama dari deret-deret khusus yang mungkin merupakan deret aritmetika a. Bilangan asli Himpunan bilangan asli adalah {1, 2, 3,...} sehingga deret bilangan asli adalah 1 + 2+ 3 +... dengan demikian, jumlah n bilangan asli pertama dapat dinyatakan dengan notasi sigma. Dengan memperhatikan pola-pola sukunya, dapat kita ketahui bahwa deret bilanagan asli merupakan deret aritmatika, dengan suku pertama dan beda. Oleh karena itu, dapat disimpulkan sebagai berikut. Dalam suatu deret bilangan asli, berlaku sebagai berikut. Suku ke-n adalah Jumlah n suku pertama adalah. Contoh : Pada deret bilangan asli, tentukan : a. Suku ke-5 dan suku ke-40 b. Jumlah suku pertama dan jumlah 40 suku pertama Penyelesaian : a. Suku ke-5 adalah 5 dan suku ke-40 adalah 40 b. Jumlah 5 suku pertama b. Deret Kuadrat Bilangan Asli Himpunan kuadrat bilangan asli adalah { sehingga deret kuadrat bilangan asli adalah dengan demikian, jumlah n kuadrat bilangan asli pertama dapat dinyatakan dengan notasi sigma. 14
Dengan memperhatikan pola suku-suku dari deret-n kuadrat bilangan asli diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut : Dalam suatu deret kuadrat bilangan asli, berlaku sebagai berikut. Rumus suku k-n adalah Jumlah n suku pertama adalah Contoh : Pada deret kuadrat bilangan asli, tentukan : a. Suku k-10 dan suku ke-45 b. Jumlah 45 suku pertama Penyelesaian : a. Suku ke-10 adalah dan suku ke-45 adalah b. Jumlah 45 suku pertama c. Deret Kubik Bilangan Asli Himpunan kubik (pangkat tiga) bilangan asli adalah { sehingga deret kubik bilangan asli adalah dengan demikian, jumlah n kubik bilangan asli pertama dapat dinyatakan dalam notasi Dengan memperhatikan suku-suku deret n kubik bilangan asli diatas, dapat disimpulkan bahwa dalam suatu deret kubik bilangan asli, berlaku sebagai berikut : Rumus suku ke-n adalah Jumlah n suku pertama adalah 15
Contoh : Pada deret kubik bilangan asli, tentukan a. Suku ke-6 dan suku ke-30 b. Jumlah 30 suku pertama Penyelesaian : a. Suku ke-6 adalah dan suku ke 30 adalah b. Jumlah 6 suku pertama d. Deret Geometri Tak Berhingga Pada awal pembahasan bab ini,telah dujelaskan bahwa berdasarkan banyaknya suku, suatu barisan dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu barisan berhingg adan barisan tak berhingga perhatikan barisan-barisan geometri berikut : a. 1, 2, 4, 8,... b. 27, 9, 3, 1,... c. 5, -5, 125, -625,... d. -216, 72, -24, 8,... Barisan-barisan diatas merupaka contoh barisan tak hingga. Perhatikan barisan a dan c pada contoh diatas, misalkan suku ke-n barisan itu adalah. Makin besar nilai n pada barisan tersebut harga mutlak suku-suku barisan a dan c makin besar. Barisan tersebut dinamakan barisan divergen. Adapun barisan b dan d berlaku sebaliknya. Makin nesar nilai n harga mutlak sukusukunya makin kecil. Barisan seperti itu dinamakan barisan konvergen. Dengan kata lain pengertian kedua baris itu dapat ditulis sebagai berikut : 16
Misalkan r adalah rasio suatu barisan geometri tak hingga, barisan itu disebut : a. Barisan disebut sebagai barisan divergen jika r > 1, artinya r < -1 atau r > 1 b. Barisan disebut sebagai barisan konvergen jika r < 1, artinya -1 < r < 1 Apabila suku-suku barisan yang konvergen dijumlahkan diperoleh deret yang konvergen. Pada deret konvergen jumlah suku-sukunya tidak melebihi suatu harga tertentu, tetapi terus menerus mendekati harga tersebut. Harga tertentu disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan. Harga merupakan harga pendekatan (limit) jumlah semua suku (, untuk n mendekati tak hingga. Dengan memperhatikan kenyataan bahwa untuk -1 < r < 1, jika dipangkatkan bilangan yang sangat besar maka hasilnya mendekati nol. Misalnya : Oleh karena itu,... deret konveregen, r < 1... karena Dengan demikian rumus jumlah tak berhingga suku dari deret geometri yang konvergen adalah sebagai berikut : Contoh : Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut : a. +... b. 17
Penyelesaian : a. +... Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = b. Perhatikan deret dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r =. Dengan demikian, Jadi, C. Implikasi Barisan dan Deret Dalam Kehidupan Seharihari Dalam kehidupan sehari-hari,banyak persoalan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan kaidah barisan maupun deret,misalnya perhitungan bunga bank, perhitungan kenaikan produksi dan laba suatu usaha. Contoh : 1. Suatu perusahaan sepatu memulai berproduksi pada awal tahun 1988,dengan jumlah produksi 10.000 pasang sepatu. Ternyata,setiap tahun produksinya berkurang 500 pasang sepatu. Pada tahun keberapa perusahaan tersebut tidak mampu berproduksi lagi? Penyelesaian: Produksi tahun pertama adalah 10.000 pasang sepatu, produksi tahun ke-2 adalah 9.500 pasang sepatu,tahun ke-3 adalah 9.000 pasang sepatu, dan seterusnya. Dari sini terlihat bahwa dari tahun ke tahun produksi sepatu perusahaan itu membentuk barisan aritmatika 10.000, 9.500, 9.000,..., dengan a = 10.000 dan b = -500. Perusahaan tidak memproduksi lagi, berarti 18
Jadi, perushaan tersebut tidak mampu lagi berproduksi pada tahun ke-21 atau 2009 2. Pada awal Juni 2008, Yunita menyumbang Rp. 10.000,00 kedalam sebuah kotak dana kemanusiaan. Sebulan kemudian, Yunita 10 orang temannya untuk menyumbang masing-masing Rp.10.000,00 kedalam kotak tersebut. Bulan berikutnya, setiap orang dari 20 orang yang diajak Yunita mengajak 10 orang lainnya untuk menyumbang masing-masing Rp.10.000,00 kedalam kotak yang sama. Demikian seterusnya. Jika setiap orang hanya sekali menyumbang Rp.10.000,00 kedalam kotak dana kemanusiaan dan Yunita adalah orang pertama yang menyumbangkan dana kedalam kotak itu, tentukan jumlah uang yang terkumpul hingga akhir bulan Maret 2009. Penyelesaian : Uang yang terkumpul pada bulan Juni 2008 Rp.10.000,00 Uang yangterkumpul hingga bulan Juli Rp.10.000,00 + 10(Rp.10.000,00) Uang yang terkumpul pada bulan Agustus Rp.10.000,00 +10(Rp.10.000,00) + 10(10(RP.10.000,00)) Uang yang terkumpul pada bulan September Rp.10.000,00 + 10(Rp.10.000,00)+10(10(Rp.10.000,00))+10(10(10(Rp.10.000,00))) Demikain seterusnya hingga Maret 2009 Jumlah uang yang terkumpul setiap bulan dianggap sebagai jumlah bilangan berikut; 10.000 + 10(10.000) + (10(10(10.000)) + 10(10(10(10.000))) +... 19
Jumlah tersebut mengikuti pola deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio 10 Dengan demikian, jumlah uang yang terkumpul hingga bukan Maret 2009 adalah: motivation for you kalau kau ingin berhenti, ingat tuk mulai lagi. Teguhkan hati... dan tetap semangat!! Was-was.com 20
LATIHAN SOAL Berilah tanda silang (x) pad huruf a, b, c, d atau e didepan jawaban yang benar! 1. Diketahui suku ke-n suatu barisan adalah jika suku terakhir adalah 20, banyaknya suku barisan itu adalah... a. 7 b. 10 d. 15 e. 17 c. 12 2. Diketahui suku kedua suatu barisna adalah -3 dan suku kelimanya adalah 3. Jika suku ke-n barisan dirumuskan suku ke-15 adalah... a. 25 b. 24 d. 20 e. 15 c. 23 3. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan beda 3. Jika maka a. 34 b. 44 d. 64 e. 45 c. 54 4. Jika dan dari suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 38 dan 128 maka a. 148 b. 150 d. 164 e. 195 c. 158 5. Diantara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33,... disisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika yang baru. Jumlah 7 suku pertama barisan aritmatika yang terbentuk adalah... a. 78 b. 81 21
c. 84 e. 91 d. 87 6. Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi terpendeknya 21 cm maka sisi terpanjangnya adalah... a. 28 cm b. 30 cm d. 36 cm e. 38 cm c. 35 cm 7. Diketahui suku terakhir dari barisan arirtmatika adalah 47, sedangkan jumlah keseluruhan suku-sukunya adalah 285, jika suku pertama barisan itu -9 banyaknya barisan itu adalah... a. 10 b. 12 d. 20 e. 23 c. 15 8. Suku ketiga dan kelima atau barisan geometri berturut-turut adalah 8 dan 32. Suku ke-7 barisan itu adalah... a. 64 b. 120 d. 240 e. 256 c. 128 9. Tiga bilangan membentuk barisan geometri berturut-turut adalah 8 dan 32. Suku ke-7 barisan itu adalah.. a. 2 atau 8 b. 54 atau d. 6 atau 18 e. 8 atau 6 c. 3 atau 10. Diketahui membentuk barisan geometri. Agar ketiga suku ini membentuk barisan aritmatika, suku ketiga harus ditambah dengan.. a. 8 b. 6 c. 5 d. -6 e. -8 22
11. Diketahui a, b, c membentuk geometri dengan jumlah 26. Jika suku tengah ditambah 4 akan membentuk deret aritmetika. Jumlah sepuluh suku pertama dari deret aritmetika yang ditambahkan adalah... a. 260 b. 286 d. 380 e. 364 c. 340 12. adalah deret aritmetika. Jumlah 6 suku pertama sama dengan... a. 6 log a + 15 log b b. 6 log a + 12 log b d. 7 log a + 15 log b e. 7 log a + 12 log b c. 6 log a + 18 log b 13. Jumlah n suku pertam suatu deret aritmetika ditentukan oleh rumus Beda deret tersebut adalah... (UMPTN 1998) a. -4 b. 3 c. 4 d. 6 e. 8 14. Dari suatu deret aritmetika, diketahui. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah... a. 50 b. 80 d. 200 e. 230 c. 100 15. adalah jumlah n suku pertama deret aritmetika. Jika a adalah suku pertama dan b beda deret itu maka nilai adalah... a. b. d. e. c. 16. Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari barisan aritmetika bertutrutturut adalah 18 dan 24. Jumlah suku deret tersebut adalah... ( UN 2005 ) a. 117 b. 120 23
c. 137 e. 160 d. 147 17. Jumlah lima suku pertama sebuah deret geometri adalah -33. Jika nilai pembandingnya adalah -2 maka jumlah nilai suku ketiga dan keempat deret ini adalah... a. -15 b. -12 d. 15 e. 18 c. 12 18. Jika x 50, x 14, x 5 adalah tiga suku pertama suatu deret geometri tak berhingga maka jumlah semua sukunya adalah... a. -64 b. -54 d. -36 e. -27 c. -48 19. Antara bilangan 4 dan bilangan 182 disisipi 18 bilangan sehingga bilanganbilangan jadi bilangan deret aritmetika. Jumlah deret aritmetika yang terjadi adalah... a. 1862 b. 1860 d. 1856 e. 1854 c. 1858 20. Jika r rasio (pembanding) dari suatu deret geometri tak berhingga yang konvergen dan s menyatakan jumlah deret geometri tak berhingga a. b. d. e. c. 24
DAFTAR PUSTAKA Siswanto. 2006. Theory and Application of mathematics. Solo: Bilingual. Was-was.com 25
BIODATA KELOMPOK Nama : Dwi Anggradila Asuwari Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 24 Juni 1995 Alamat : Blok Manis RT. 01 RW.02 Desa Wangkelang Kecamatan Lemahabang Kabupaten Cirebon No. Telepon : 085659908875 E-mail Deskripsi Kelompok : dwianggra624@gmail.com : Penyusun materi, pencari materi Nama : Yuliana Sundari Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 7 Juli 1995 Alamat : Jl. Karang Mulya Gang 4 No. 201 Kesambi Cirebon No. Telepon : 08980321556 E-mail Deskripsi Kelompok : yulianasundari@gmail.com : Edittor, Penyusun materi Nama : Sulistia Dewi Tempat, Tanggal Lahir : Majalengka, 16 Oktober 1996 Alamat : blok selasa RT 01 RW 05 NO 25 Trajaya No. Telepon : 081280320537 E-mail Deskripsi Kelompok : dsulistia972yahoo.com : Penyusun materi, pencari materi 26