Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. ANUITAS DASAR 3. Peahulua Autas aalah seragkaa pembayara yag lakuka paa terval waktu yag sama (per tahu atau sebalkya). Pembayara utuk jagka waktu tertetu alam waktu yag tetap sebut autas tertetu. 3.2 Autas Akhr Pembayara pertama yag lakuka paa setap akhr tahu selama tahu Nla tua (paa t = 0) ar sebuah autas akhr, maa tgkat efektf tahua ar buga, aka otaska sebaga a a htug sebaga berkut: a = v + v 2 + + v + v = v + v + v 2 + + v 2 + v = + = + v v v = + v + = v Nla akumulas (paa t = ) maa tgkat efektf tahua autas akhr, ar buga, apat yataka sebaga s a htug sebaga berkut: s = + + + + + 2 + +
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. = = + (+) + = + Nla tua ar peapata pembayara gaa paa t = 0 aalah. a + v. Jka la yag aka atag paa waktu, s, perhtugka kembal ke waktu 0, maka aka peroleh la tua a s. v = (+). v = (+). v v = v =a Jka la tua paa waktu 0, a, aalah akumulas ke epa utuk waktu, maka aka apat la yag aka atag s a. ( + ) = v ( + ) = (+) v (+) = (+) = s Meggat pjama ar, yag harus bayar selama tahu ega pembayara tahua sebesar P yag bayarka paa akhr tahu. Tgkat buga efektf tahua, guaka. Nla tua pjama pembayara tuggal harus sama ega la tua ar peapata pembayara alra gaa. 2
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. P. a = P = a Nla yag aka atag ar beberapa peapata eposto harus sama ega la yag aka atag pembayara tuggal, yag merupaka pjama ar. D. s = D = s Hubuga atara a a s = + a s Dbuktka ega : s + = + + = + + + = v = a Cotoh :. Carlah la tua ar autas $ 500 yag bayarka paa akhr setap setegah tahu selama 20 tahu jka tgkat buga 9% yag kovers tap semester Peyelesaa : 500a 40 0.045 = 500 v 40 0.045 = 500 +0.045 0.045 40 = 500 8.406 = $9200.80 2. Jka seseorag megvestaska $000 ega tgkat buga 8% setap trwula, berapa bayak yag apat tark paa akhr setap trwula utuk megguaka sampa aa tersebut tepat paa akhr 0 tahu? 3
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. Dega R aalah jumlah pearka Peyelesaa : Ra 40 0.02 = 000 R = 000 a 40 0.02 = 000 27.3555 = $36.56 3. Membagka jumlah total buga yag aka bayarka paa beba $.000 selama peroe 0 tahu, jka tgkat buga efektf aalah 9% per tahu, bawah tga metoe pembayara sebaga berkut: () seluruh pjama tambah akumulas buga yag bayarka alam satu jumlah lump akhr 0 tahu (2) buga bayarka setap tahu sebaga baya a harus luas paa akhr 0 tahu (3) pjama luas ega tgkat pembayara selama peroe 0 tahu Peyelesaa : () Nla akumulas ar beba $000 paa akhr 0 tahu : 000 + 0.09 0 = 000.09 0 = $2367.36 Jumlah total buga sama ega : $2367.36 $000 = $367.36 (2) setap tahu meapatka pjama buga sebesar 000. (0.09) = $90 ja jumlah total buga sama ega 0. 90 = $900 (3) tgkat pembayara aalah R. Da Ra 0 = 000 R = 000 a 0 = 000 6.47658 = $55.82 4
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. Maka jumlah total buga sama ega 0 55.82 000 = $558.20 3.3 Autas Jatuh Tempo Pembayara ar yag lakuka paa setap awal tahu selama tahu. Nla tua (paa t = 0) ar sebuah autas jatuh tempo, maa tgkat efektf buga tahua aalah, aka otaska sebaga a a htug sebaga berkut: a = + v + v 2 + + v a = v v = v v = v Nla akumulas (paa t = ) ar sebuah autas jatuh tempo, maa tgkat buga efektf tahua aalah, aka otaska sebaga s a htug sebaga berkut: s = ( + ) + ( + ) 2 + + ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) + = ( + ) v = ( + ) Jka la masa epa paa waktu, s, perhtugka kembal ke waktu 0, maka aka peroleh la tua a s. v = (+). v 5
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. = (+). v v = v =a Jka la tua paa waktu 0, a, aalah akumulas ke epa utuk waktu, maka aka peroleh la masa epa, s a. ( + ) = v ( + ) = (+) v (+) = (+) = s Pertmbagka pjama ar, yag harus bayar kembal selama tahu ega pembayara tahua sebesar P buat paa setap awal tahu. Tgkat efektf buga tahua,. Nla tua ar pjama pembayara tuggal harus sama ega la tua ar pembayara gaa. P. a = P = a Nla yag aka atag ar beberapa peapata eposto harus sama ega la yag aka atag pembayara tuggal, yag merupaka pjama ar. D. s = D = s Dega catata bahwa 6
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. a = ( + ) ( + ) = v ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) = + ( + ) = + s = [( + ) ] + ( + ) Hubuga atara autas akhr a autas jatuh tempo a = v = v. + = a. + Atau, a = + v + v 2 + + v = + v + v + + v 3 + v 2 = + v v v = + + v = + + v + = + v = a s = (+) = (+). + = s. + Atau, s = + + + + + 2 + + = + + + + + 3 + + 2 7
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. = + + + ( + ) = + + + = + + + = + + = + s Cotoh : 4. Seorag vestor g megakumulas $ 000 paa akhr 2 tahu. Utuk mecapa hal recaa vestor utuk membuat eposto paa setap akhr tahu, pembayara akhr aka lakuka satu tahu sebelum akhr peroe vestas. Seberapa besar seharusya setap epost jka aa tersebut memperoleh 7% efektf? Peyelesaa : D. s = 000 D = 000 s = 000.07 s = 000.07 (5.7836) = $59.2 3.4 Nla Autas paa Waktu Tertetu Nla Autas paa waktu tertetu apat haslka ega megakumulas atau mesko setap pembayara terpsah a mejumlahka hasl2ya. Meskpu begtu, metoe tak efse jka la besar paa pembayara juga terhtug. 8
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. Deffere Auty Nla Sekarag paa la tegah autas yag tagguhka utuk m peroe ega waktu utuk peroe setelah masa peagguha. v m a = a m + - a m Nla Akumulas paa autas peroe ke-, peroe m setelah pembayara terakhr: s + m = s m + - s m Secara umum, Rumus Nla Saat I atara pembayara pertama a terakhr ä + m = v m s =s m + a m 3.5 Perpetutes (Autas Tak Terhgga) Perpetuty aalah la autas yag bayarka kotyu selamaya. Dega kata la betuk autasya tak berhgga. Preset value paa perpetuty-mmeate otaska oleh a = v + v 2 + v 3 +...... = v v = v v Bukt aa halama 69 = Dega megaalogka utuk perpetuty-ue maka ä = 3.6 NONSTANDARD TERMS AND INTEREST RATES Asumska bahwa aalah blaga bulat postf a bahwa > 0 alam salah satu smbol autas. Baga mempertmbagka mplkas jka kos tak memeuh. 9
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. Daggap ulu apa smbol a +k, maa aalah blaga bulat postf a 0 <k <, mugk mewakl. Formula (3.) tak apat terapka, karea memerluka bahwa blaga bulat postf. Hal mugkka utuk memperoleh hasl yag kosste ega rumus (3.2) a +k = v+k = v + v v +k = a + v +k (+)k Nla sekarag ar autas _pero lagsug ar per peroe, tambah pembayara terakhr paa waktu + k Pembayara yag mugk lebh "yama" utuk beberapa pembaca aalah k, yatu pembayara aka proposoal ega waktu fraksoal yag terlbat. Sebaga latha, aka mta utuk meemuka kesalaha yag terlbat alam appoxmato. Jka 0, kasus maa = 0 alam petg alam praktek. Jka = 0, maka la sekarag atau la akumulas autas apapu hayalah jumlah pembayara. Kam memlk: a = s =, f = 0 Jka <0 maka beberapa hasl yag meark mucul. Nla k meja akumulas la-la, a sebalkya, yag mempuya aya tark tutf. Sekal lag, bagamaapu, hasl lebh ar theortcal ar sgfkas prakts. 3.7 UNKNOWN TIME Secara umum, masalah yag melbatka waktu yag tak ketahu tak aka meghaslka jawaba yag tepat tegral utuk. masalah apat taga sepajag gars baga 3.6 maa pembayara kecl buat selama peroe setelah pembayara reguler terakhr. 0
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. Namu, alam praktekya, hal jarag lakuka karea ketakyamaa a kebguga melakuka pembayara paa taggal yag buka merupaka jumlah baga tegral ar peroe ar taggal semua pembayara laya yag buat. msalya, membuat semua pembayara reguler paa Jul setap tahu utuk jagka waktu tahu kut ega pembayara yag lebh kecl paa 27 November tak yama bag salah satu phak utuk trasaks. alam praktk yag bak aalah utuk melakuka pembayara tambaha kecl paa saat yag sama sebaga pembayara rut terakhr, paa asarya melakuka pembayara lebh besar ar pembayara rut, yag sebut pembayara balo, atau utuk melakuka pembayara satu peroe yag lebh kecl setelah terakhr pembayara rut sebut pembayara peurua. alam ua stuas tak sama, tak aka sama ega pembayara yag lebh kecl lakuka paa ttk meegah sepert paa baga 3.6. Namu, semua pembayara aka setara laya. Cotoh 3.6 Sebuah vestas sebesar $ 000 yag aka guaka utuk melakuka pembayara sebesar $ 00 paa akhr setap tahu utuk selama mugk. jka aa tersebut memperoleh tgkat buga tahua efektf ar 5%, car berapa bayak pembayara reguler apat buat a meemuka jumlah pembayara lebh kecl: ) yag harus bayar paa taggal pembayara rut terakhr, 2) yag harus bayar satu tahu setelah pembayara rut terakhr, a 3) yag harus bayar paa tahu berkutya pembayara reguler terakhr, sepert yag jelaska alam baga 3.6. Jawab: 00 a = 000 a = 0 4 < N < 5. Persamaa la terakhr tahu ke-4 aalah: 00s 4 + X = 000. 05 4 X = 000. 05 4 00s 4 = 979. 93 959. 86 = $20. 07...() 2. Persamaa la terakhr tahu ke-5 aalah: 00s 4 + X 2 = 000. 05 5 X 2 = 000. 05 5 00(s 4 )
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. = 2078. 93 2057. 86 = $2. 07...(2) Dar pers. () a (2) apat tuls bahwa 20. 07. 05 = 2. 07 atau secara umum: X ( + ) = X 2 3. Dalam kasus persamaa la meja: 00 a 4+k = 000 a 4+k = 0, maa 0 < k < Maka bsa kta tuls sebaga: v 4+k = 0 v 4+k = 0 = 0. 5. 05 4+k = 2 Dperoleh: 4 + k = log e 2 = 0.69347 = 4. 2067 log e.05 0.04879 k = 4. 2067 4 = 0. 2067 Sehgga, rumus terakhr ar pembayara rreguler aalah: X 3 = 00. 05 0.2067 = $20. 27 0. 05 Luas paa waktu 4.2067... 3.8 Ukow Rate Of Iterest Terapat tga metoe yag apat guaka utuk meetuka ukow rate of terest, yatu:. Tekk aljabar Msal, efs asar kta utuk sebuah auty-mmeate (autas lagsug) selama -tahu aalah a = v + v 2 + + v yag merupaka polomal bererajat alam v. jka akar ar polomal apat temuka secara aljabar, maka juga apat temuka. Metoe haya apat guaka utuk ukura kecl. Atau kta juga apat meyataka a atau ega tekk aljabar. Sebaga ekspas eret, a = (+) + 2! a a = + (+2) 3! a alam a meyelesakaya 2 (3.24) + + 2 + 2 2 2 +. (3.25) 2
2. Iterpolas lear alam tabel buga. Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. Keakurata terpolas lear bergatug paa seberapa ekat tgkat buga paa tabel tertabulas. 3. Successve approxmato/teras (metoe yag palg bak) Iteras apat ega muah guaka jka persamaa = g() aa a koverge terhaap la yag sebearya, yag memeuh persamaa. Ambl sebuah la awal 0, kemua carlah la ega = g( 0 ), 0, kemua car la 2 ega 2 = g( ), a seterusmya. Jka teras tersebut koverge maka 0,, 2, berturut-turut meekat la yag sebearya. Dalam praktkya, teras jalaka sampa s+ = s utuk tgkat ketelta yag keheak, ega s yatu tgkat buga paa waktu peroe ke-s. Meggat bahwa la a berka sebaga suatu la kosta k, maka utuk meemuka tgkat buga yag meghaslka la tersebut apat guaka metoe teras yag peroleh secara lagsug ar formula (3.2). Metoe teras tersebut yatu = (+), (3.27) k amu sayagya laju kekovergea ar metoe teras sagat lambat. Metoe yag meujukka kekovergea peyelesaa a = k secara cepat yatu metoe teras Newto-Raphso : s+ = s + (+ s ) k s (+ s ) + s (+). (3.28) Metoe sekt rumt a mugk buka kesulta yag layak utuk perhtuga tertutup, amu tetap merupaka metoe yag tepat utuk perhtuga skala besar. Dalam megguaka metoe teras butuhka la awal. Nla awal yag bak apat peroleh melalu terpolas lear sepert metoe Newto-Raphso atas. Aka tetap, terapat metoe yag lebh tepat utuk meetuka la awal bag terpolas, yatu 3
k = a + + 2 + 2 k k = k Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. Atau 2( k) k(+). (3.29) Nla akumulas secara aalog apat peroleh sepert (3.28) a (3.29). Rumus teras Newto-Raphso utuk meyelesaka s = k yatu s+ = s + (+ s ) k s (+ s ) s, (3.30) a rumus yag aalog ega (3.29) yatu 2( k) k( ). (3.3) 3.9 Macam-macam Buga Msal k merupaka tgkat buga yag guaka selama peroe k (terval ar waktu k ke waktu k, a preset value utuk peroe- merupaka autymmeate. Dua pola varas apat betuk. Pola pertama, utuk k alah tgkat yag guaka selama peroe k tapa memperhatka kapa pembayara lakuka. Artya, tgkat buga yag guaka aalah sama utuk semua pembayara selama peroe tersebut. Dalam kasus, preset value meja a = + + + + 2 + + + + 2 + t s= = t= ( + s ) (3.34) Pola keua aka guaka utuk meghtug preset value ega megguaka k utuk pembayara yag lakuka paa waktu k atas semua k peroe. Dalam kasus, preset value meja : a = + + + 2 + + + = t= ( + t ) t (3.35) 4
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. Utuk la akumulas, jka k alah tgkat yag guaka selama peroe k tapa memperhatka kapa pembayara lakuka, maka s = + + + + + + + + + = t t= s= + s+ (3.36) Jka pembayara lakuka paa waktu k a paa tgkat buga k atas ssa ar peroe akumulas, maka s = + + + 2 + + + = t= ( + t+! ) t (3.37) Nla akumulas auty-mmeate apat betuk ar la akumulas auty-ue, yatu s + = s +. Cotoh 3.0 : Carlah la akumulas auty-mmaate selama 0 tahu ar $00 per tahu jka tgkat buga efektf aalah 5% utuk eam tahu pertama a 4% utuk empat tahu berkutya. Peyelesaa : Nla akumulas utuk pembayara eam tahu pertama yatu 00s 6 0,05. Nla akumulas paa akhr tahu ke-0 ega tgkat buga 4%, maka 00s 6 0,05 ( + 0,04) 4 = 00s 6 0,05 (,04) 4 Nla akumulas utuk empat tahu terakhr yatu 00s 4 0,04 Ja, la akumulas $00 per tahu selama 0 tahu ega buga sepert atas yatu, 00s 6 0,05,04 4 +00s 4 0,04 = 00 s 6 0,05,04 4 + s 4 0,04 = 00 (s 5 + ),04 4 + (s 3 + ) = 00 + 0,05 + ( + 0,05) 2 + ( + 0,05) 3 + ( + 0,05) 4 + ( + 0,05) 5 +,04 4 + + 0,04 + ( + 0,04) 2 + ( + 0,04) 3 + ) = 00 5,809 +,255 + (3,2465 + ) = 00 6,809,255 + 4,2465 5
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. = $25,43. 3.0 ANUITAS DENGAN TANPA PENYERTAAN BUNGA MAJEMUK Dalam pembahasa sebelumya, autas selalu htug megguaka buga majemuk. Sekarag aka aalss jka autas htug ega tapa peyertaa buga majemuk. Valuas ar autas memag sagat rawa terja kesalaha. Dperluka aalss mealam utuk meghaslka la yag tepat, karea memag sagat mugk bsa haslka la yag beragam. Preset Value ar autas akhr ega peroe aalah sama ega jumlah ar Preset Value pembayara masg-masg peroe. Telah kemukaka sebelumya bahwa 2 3, karea v a v v v v maka v, ja a suah ketahu relas a aalah, a 2 3 a 2 3 tuls bahwa t, karea at maka secara umum bsa a at t Selajutya aka car la ar s. Dasumska vestaska paa waktu t, maa a t,2,, maka aka berakumulas meja a t saat waktu. Ja apatka s a a t0 at t a t Formula tersebut tak bsa meghaslka hasl yag bear alam semua kasus. Msal ambl cotoh aka car la akumulas ar autas akhr (autes-mmeate) alam peroe, maa pembayara lakuka ar awal sampa akhr peroe ega buga tuggal. Nla akumulasya aalah 2, Formula atas measar betuk umum yag la ar s yatu 6
s t0 a t 2 Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. Da ega formula 2 aka apatka solus yag tepat ar cotoh kasus atas. Dega megguaka 2 apatka juga betuk la ar a Cotoh: at at t0 a t0 Bagka hasl ar a. Buga majemuk b. Formula c. Formula 2 Jawaba: a. s s 6 0, 6 a s megguaka: 6 0, 0, 7,756 0, b. Megguaka formula a t t a, yatu s a t at s,6 7,2287,,2,6 c. Megguaka formula 2 a t t s t0 a t s,, 2,5 7,5 SUMBER PUSTAKA Theory of Iterest, Kellso, S.G., 99, 2 Eto, Mc Graw Hll 7
Husa Arfah, M.Sc : Autas Dasar Emal : husaarfah@uy.ac. 8