METODE PENGAKARAN Metode Berhitung Cepat Tanpa Kalkulator

KABAKUTA METODE PENGAKARAN Metode Berhitung Cepat Tanpa Kalkulator oscar ridhwan www.oscarridhwan.com KABAKUTA

BAB 6 PENGAKARAN Setelah anda berkenalan dengan metode-metode dalam operasi tambah, kurang, kali, bagi dan kuadrat, di bab ini anda akan berkenalan dengan metode untuk operasi matematika dasar lain yaitu akar suatu bilangan. Seperti biasanya penjelasan metode diawali dengan review tentang metode yang sering kita pakai dalam menyelesaikan soal akar suatu bilangan. Penjelasan langkah langkah dari tiap metode langsung diterapkan pada bilangan. 1. METODE BIASA (Kebalikan dari metode Trachtenberg) CONTOH 1 2209... Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 4, maka akarnya pasti bilangan dengan 2 angka. Tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 2 bagian 22 09 Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 22. jadi angka tersebut adalah 4. kemudian tulislah seperti berikut ini 22 09 hasil 4 4 2 ==> 16-6 09 Angka pertama pada hasil www.oscarridhwan.com 2

Langkah 3 Kalikan angka pertama yang diperoleh dari langkah 2 (4) dengan 2, kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 22 09 hasil 4 4 2 ==> 16-6 09 8 x. ==> (2 x 4) Langkah 4 Mengisi titik-titik disamping angka 8, dengan angka yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (609) 22 09 hasil 47 4 2 ==> 16-6 09 87 x 7 ==> 6 09 0 Angka kedua pada hasil Jadi, 2209 47 CONTOH 2 4489... Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 4, maka akarnya pasti bilangan dengan 2 angka. Tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 2 bagian 44 89... www.oscarridhwan.com 3

Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 44. jadi angka tersebut adalah 64. kemudian tulislah seperti berikut ini 44 89 hasil 6 6 2 ==> 36-8 89 Angka pertama pada hasil Langkah 3 Kalikan angka pertama yang diperoleh dari langkah 2 (6) dengan 2, kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 44 89 hasil 6 6 2 ==> 36-8 89 12 x.==> (2 x 6) Langkah 4 Mengisi titik-titik di samping angka 12, dengan angka yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (889) 44 89 hasil 67 6 2 ==> 36-8 89 127 x 7 ==> 8 89 0 Angka kedua pada hasil Jadi, 4489 67 www.oscarridhwan.com 4

CONTOH 3 61504... Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 5, maka akarnya pasti bilangan dengan 3 angka. Tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 3 bagian 6 15 04... Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 6. jadi angka tersebut adalah 2. kemudian tulislah seperti berikut ini 6 15 04 hasil 2 2 15 Angka pertama pada hasil Langkah 3 Kalikan angka pertama yang diperoleh dari langkah 2 (2) dengan 2, kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 6 15 04 hasil 2 2 15 4 x.==> (2 x 2) Langkah 4 Mengisi titik-titik di samping angka 4 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (215) www.oscarridhwan.com 5

6 15 04 hasil 24 215 44 x 4 ==> 176 3904 Angka kedua pada hasil Langkah 5 Jumlahkan bilangan yang diperoleh dari langkah 4 (44) dengan 4(hasil pada langkah 4), kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 6 15 04 hasil 24 215 44 x 4 ==> 176 3904 48 x ==> (44 + 4) Langkah 6 Mengisi titik-titik di samping angka 48 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (3904) www.oscarridhwan.com 6

6 15 04 hasil 248 215 44 x 4 ==> 176 3904 488 x 8 ==> 3904-0 Angka ketiga pada hasil Jadi, 61504 248 CONTOH 4 299209... Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 6, maka akarnya pasti bilangan dengan 3 angka. Tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 3 bagian 29 92 09... Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 6. jadi angka tersebut adalah 2. kemudian tulislah seperti berikut ini 29 92 09 hasil 5 5 2 ==> 25-4 92 Angka pertama pada hasil Langkah 3 Kalikan angka pertama yang diperoleh dari langkah 2 (5) dengan 2, kemudian tulis hasilnya sebagai berikut www.oscarridhwan.com 7

29 92 09 hasil 5 5 2 ==> 25-492 10 x.==> (5 x 2) Langkah 4 Mengisi titik-titik di samping angka 10 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (492) 29 92 09 hasil 54 5 2 ==> 25-492 104 x 4 ==> 416 7609 Angka kedua pada hasil Langkah 5 Jumlahkan bilangan yang diperoleh dari langkah 4 (104) dengan 4(hasil pada langkah 4), kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 29 92 09 hasil 54 5 2 ==> 25-492 104 x 4 ==> 416 7609 108 x ==> (104 + 4) www.oscarridhwan.com 8

Langkah 6 Mengisi titik-titik di samping angka 108 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (7609) 29 92 09 hasil 547 5 2 ==> 25-492 104 x 4 ==> 416 7609 1087 x 7 ==> 7609-0 Angka ketiga pada hasil Jadi, hasilnya 547 Contoh 1 sampai 4 di atas menjelaskan bagaimana mencari akar dari suatu bilangan dimana hasil akarnya merupakan bilangan bulat, artinya hasil pengakarannya bersisa 0. Selain itu metode ini juga bisa menyelesaikan perhitungan untuk mencari akar suatu bilangan yang hasilnya bukan merupakan bilangan bulat. Langkah yang digunakan sama dengan contoh 3 dan 4. Berikut contohnya Contoh 5 515... Sudah tentu akar bilangan di atas bukan merupakan bilangan bulat. Akarnya berada diantara 22 dan 23. penyelesaiannya. Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 3, maka akarnya pasti bilangan dengan 2 angka. Tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 2 bagian www.oscarridhwan.com 9

5 15 Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 5. jadi angka tersebut adalah 2. kemudian tulislah seperti berikut ini 5 15 hasil 2 1 15 Angka pertama pada hasil Langkah 3 Kalikan angka pertama yang diperoleh dari langkah 2 (2) dengan 2, kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 5 15 hasil 2 1 15 4 x.==> (2 x 2) Langkah 4 Mengisi titik-titik di samping angka 4 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (115) 5 15 hasil 22 115 42 x 2 ==> 84 31 Angka kedua pada hasil www.oscarridhwan.com 10

Langkah 5 Jumlahkan bilangan yang diperoleh dari langkah 4 (42) dengan 2(hasil pada langkah 4), kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 5 15 hasil 22 115 42 x 2 ==> 84 31 44 x ==> (42 + 2) Karena sisanya 31, sedangkan angka hasilnya akan diperoleh dari (44... x ), maka sisa bilangan tersebut harus dikalikan 100, sehingga menjadi 3100. maka hasil yang kita peroleh harus diberi tanda (, ). Hasil sementara 22, Langkah 6 Mengisi titik-titik di samping angka 44 dengan angka, yang hasilnya harus sama atau dibawah bilangan sisa pada pengakaran (3100) 5 15 hasil 22,6 115 42 x 2 ==> 84 3100 446 x 6 ==> 2676-324 Angka ketiga Langkah 7 www.oscarridhwan.com 11

Jumlahkan bilangan yang diperoleh dari langkah 6 (446) dengan 6(hasil pada langkah 6), kemudian tulis hasilnya sebagai berikut 5 15 hasil 22,6 115 42 x 2 ==> 84 3100 446 x 6 ==> 2676-424 452 x ==> (446 + 6) Langkah 8 Kalikan bilangan sisa (424) dengan 100. kemudian isilah titik di samping bilangan 452 pada langkah 7 dengan angka sehingga hasil kalinya mendekati 42400 5 15 hasil 22,69 115 42 x 2 ==> 84 3100 446 x 6 ==> 2676-42400 4529 x 9 ==> 40761-1639 Angka keempat Langkah 9 Jumlahkan bilangan yang diperoleh dari langkah 8 (4529) dengan 9(hasil pada langkah 8), kemudian tulis hasilnya sebagai berikut www.oscarridhwan.com 12

5 15 hasil 22,69 115 42 x 2 ==> 84 3100 446 x 6 ==> 2676-42400 4529 x 9 ==> 40761-1639 4538 x ==> (4529 + 9) Langkah 10 Kalikan bilangan sisa (1639) dengan 100. kemudian isilah titik di samping bilangan 4538 pada langkah 7 dengan angka sehingga hasil kalinya mendekati 163900 5 15 hasil 22,693 115 42 x 2 ==> 84 3100 446 x 6 ==> 2676-42400 4529 x 9 ==> 40761-163900 45383 x 3 ==> 136149 27751 Angka ke 5 Untuk memperoleh digit yang banyak dibelakang koma, maka langkah di atas dilanjutkan terus, maka anda akan memperoleh hasil akar yang sama dengan yang diperoleh dengan perhitungan kakulator 515 22,693611435... www.oscarridhwan.com 13

2. METODE RIDHWAN Metode kedua dalam pencarian akar suatu bilangan yang akan dibahas berikut ini merupakan operasi kebalikan dari metode Ridhwan dalam operasi penguadratan. Langkah untuk mencari akar suatu bilangan dengan menggunakan metode ini akan dijelaskan beserta contohnya sehingga dapat dipahami dengan mudah. CONTOH 1 729... Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 3, maka akarnya pasti bilangan dengan 2 angka. Bagilah 10 dan tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 2 bagian 7 2,9... Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 7. jadi angka tersebut adalah 2. kemudian tulislah seperti berikut ini Sisa (7-2 2 ) = 3 7 3 2,9 hasil 2 2 Angka pertama pada hasil www.oscarridhwan.com 14

Langkah 3 Bagilah bilangan sisa(32) dari langkah 2 dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(2). Karena hasil dari Pengakaran terdiri dari 2 angka, maka angka hasil perhitungan diatas haruslah 7 Angka sisa 4 3 7 2 2 7 4,9 hasil 27 32 : 2 2 = 7 sisa 4 Langkah 4 Kurangi bilangan sisa (49) dengan kuadrat dari angka kedua pada hasil(7), kemudian bagi dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil (2) Angka sisa 4 3 4 0 7 2,9 hasil 27,0 2 7, 0 49-7 2 = 0 0 : (2 x 2) = 0 Karena angka sisa sudah 0 dan tidak ada angka lagi dibelakang angka 9, maka perhitungan dihentikan sehingga hasil akhirnya adalah 27. Jadi, 729 27 CONTOH 2 1849... www.oscarridhwan.com 15

Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 4 maka akarnya pasti bilangan dengan 2 angka. Bagilah 10 dan tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 2 bagian 18 4,9... Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 18, jadi angka tersebut adalah 4. kemudian tulislah seperti berikut ini Sisa (18-4 2 ) = 2 18 2 4,9 hasil 4 4 Angka pertama pada hasil Langkah 3 Bagilah bilangan sisa(24) dari langkah 2 dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). Karena hasil dari Pengakaran terdiri dari 2 angka, maka angka hasil perhitungan diatas haruslah 3 Sisa 0 2 18 4 4 3 0,9 hasil 43 24 : (2 x 4) = 3 sisa 0 www.oscarridhwan.com 16

Langkah 4 Kurangi bilangan sisa (09) dengan kuadrat dari angka kedua pada hasil(3), kemudian bagi dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil (4) Sisa 0 2 0 0 18 4,9 hasil 43,0 4 3,0 09-3 2 = 0 0 : (2 x 4) = 0 sisa 0 Jadi, 1849 43 CONTOH 3 285156... Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 6 maka akarnya pasti bilangan dengan 3 angka. Bagilah 100 dan tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 3 bagian 28 51,56... Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 28, jadi angka tersebut adalah 5. kemudian tulislah seperti berikut ini Sisa (28-5 2 ) = 3 51,56 28 3 hasil 5 5 www.oscarridhwan.com 17

Langkah 3 Bagilah bilangan sisa(35) dari langkah 2 dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(5). Sisa 5 3 5 28 5 1,56 5 3 hasil 53 35 : (2 x 5) = 35 : 10 = 3 sisa 5 Langkah 4 Kurangilah bilangan sisa(51) dari langkah 3 dengan kuadrat angka kedua pada hasil(3) kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(5). Sisa 2 3 5 2 28 5 1,56 5 3 4, hasil 534, 51-3 2 = 42; 42 : (2 x 5) = 4 sisa 2 Karena ketiga angka sudah didapatkan, maka langkah selanjutnya adalah mengecek apakah sisanya sama dengan 0 atau tidak Langkah 5 Kurangilah bilangan sisa(25) dari langkah 4 dengan 2 kalinya perkalian antara angka kedua pada hasil(3) dengan angka ketiga pada hasil(4), kemudian bagi 2 kalinya angka pertama pada hasil (5) www.oscarridhwan.com 18

Sisa 1 3 5 2 1 28 5 1,5 6 5 3 4, 0 hasil 534,0 25 (2 x 3 x 4) = 1 1 : (2 x 5) = 0 sisa 1 Karena sisanya tidak sama dengan nol, maka perhitungan dilanjutkan. Langkah 6 Kurangi bilangan sisa (16) dengan kuadrat dari angka terakhir pada hasil(4) dan kurangi lagi dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 (3) dengan angka ke-4 (0), kemudian hasilnya bagi dengan angka pertama pada hasil (5) Sisa 0 3 5 2 1 0 28 5 1,5 6 hasil 534,00 5 3 4, 0 0 16 (2 x 3 x 0) - 4 2 = 0 0 : (2 x 5) = 0 sisa 0 Karena hasil pembagian terakhir bernilai 0 sisa 0, maka perhitungan bisa dihentikan. Jadi, 285156 534 Nah, mudah bukan? CONTOH 4 556516... www.oscarridhwan.com 19

Langkah 1 Karena jumlah angka pada bilangan tersebut ada 6 maka akarnya pasti bilangan dengan 3 angka. Bagilah 100 dan tandai angka-angka pada bilangan tersebut menjadi 3 bagian 55 65,16... Langkah 2 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 55, jadi angka tersebut adalah 7. kemudian tulislah seperti berikut ini Sisa (55-7 2 ) = 6 55 6 65,16 hasil 7 7 Langkah 3 Bagilah bilangan sisa(66) dari langkah 2 dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(7). Sisa 10 6 55 6 7 4 10 5,16 hasil 74 66 : (2 x 7) = 66 : 14 = 4 sisa 10 Langkah 4 Kurangilah bilangan sisa(105) dari langkah 3 dengan kuadrat angka kedua pada hasil(4) kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(7). www.oscarridhwan.com 20

Sisa 5 6 10 55 6 5 7 4 6 5,16 hasil 746 105-4 2 = 105 16 = 89 89 : (2 x 7) = 89 : 14 = 6 sisa 5 Langkah 5 Kurangilah bilangan sisa(51) dari langkah 4 dengan 2 kalinya perkalian antara angka kedua pada hasil(4) dengan angka ketiga pada hasil(6). Kemudian hasilnya bagi dengan 2 kalinya angka pertama (7) Sisa 3 6 10 5 3 55 6 5,1 6 7 4 6, 0 hasil 746,0 51 (2 x 4 x 6) = 51 48 = 3 3 : (2 x 7) = 0 sisa 3 Langkah 6 Kurangi bilangan sisa (36) dengan 2 kalinya hasil perkalian antara angka kedua pada hasil (4) dengan angka keempat pada hasil (0) dan kurangi lagi dengan kuadrat dari angka ketiga pada hasil(6), hasilnya bagi dengan 2 kalinya angka pertama (7) www.oscarridhwan.com 21

Sisa 0 6 10 5 3 0 55 6 5,1 6 hasil 746,00 7 4 6, 0 0 36 (2 x 4 x 0) - 6 2 = 36 36 = 0 sisa 0 0 : (2 x 7) = 0 sisa 0 Jadi, 556516 746 Metode ini dapat menyelesaikan akar suatu bilangan berapapun besarnya, yang diperlukan hanyalah menambah langkah langkah perhitungan apabila jumlah angka dalam bilangan tersebut lebih dari 3 angka. Contoh berikutnya akan menjelaskan cara mencari akar suatu bilangan apabila hasilnya bukan merupakan bilangan bulat ( ada angka dibelakang tanda koma). CONTOH 5 17... Langkah 1 Carilah angka yang kuadratnya mendekati 17, jadi angka tersebut adalah 4. kemudian tulislah seperti berikut ini Sisa (17-4 2 ) = 1,0000 17 1 hasil 4, 4 Langkah 2 Bagilah bilangan sisa(10) dari langkah 1 dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). www.oscarridhwan.com 22

Sisa 2 1 17,0 4, 1 2 000 hasil 4,1 10 : (2 x 4) = 10 : 8 = 1 sisa 2 Langkah 3 Kurangilah bilangan sisa(20) dari langkah 2 dengan kuadrat angka kedua pada hasil(1) kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka angka pertama pada hasil(4). Sisa 3 1 2 17,0 0 4, 1 2 3 00 hasil 4,12 20-1 2 = 19; 19 : (2 x 4) = 19 : 8 = 2 sisa 3 Langkah 4 Kurangilah bilangan sisa(30) dari langkah 3 dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 pada hasil(1) dengan angka ke-3 pada hasil(2) kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka angka pertama pada hasil(4). Sisa 3 1 2 3 17,0 0 0 4, 1 2 3 2 0 hasil 4,123 30 (2 x 1 x 2) = 26 26 : (2 x 4) = 26 : 8 = 3 sisa 2 www.oscarridhwan.com 23

Langkah 5 Kurangilah bilangan sisa(20) dari langkah 4 dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 pada hasil(1) dengan angka ke-4 pada hasil(3) dan kurangi kuadrat angka ke-3 (2) kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). Sisa 3 1 2 3 2 17,0 0 0 0 4, 1 2 3 1 2 0 hasil 4,1231 20 (2 x 1 x 3) - 2 2 = 10 10 : (2 x 4) = 1 sisa 2 Langkah 6 Kurangilah bilangan sisa(20) dari langkah 5 dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 pada hasil(1) dengan angka ke-5 pada hasil(1) dan kurangi lagi dengan 2 kalinya hasil perkalian antara angka ke-3 (2) dengan angka ke-4 (3). kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). Sisa 6 1 2 3 2 2 17,0 0 0 0 0 4, 1 2 3 1 0 6 0 hasil 4,12310 20 (2 x 1 x 1) (2 x 2 x3) = 6 6 : (2 x 4) = 0 sisa 6 Langkah 7 Kurangilah bilangan sisa(60) dari langkah 6 dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 pada hasil(1) dengan angka ke-6 pada hasil(0) dan kurangi lagi dengan 2 kalinya hasil perkalian antara angka ke-3 (2) dengan angka ke-5 (1) kurangi lagi dengan Kuadrat angka ke-4 (3). kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). www.oscarridhwan.com 24

Sisa 7 1 2 3 2 2 17,0 0 0 0 0 4, 1 2 3 1 0 5 6 0 7 0 hasil 4,12310 60 (2 x 1 x 0) (2 x 2 x 1) - 3 2 = 47 47 : (2 x 4) = 5 sisa 7 Langkah 8 Kurangilah bilangan sisa(70) dari langkah 7 dengan 2 kalinya hasil perkalian angka ke-2 pada hasil(1) dengan angka ke-7 pada hasil(5) dan kurangi lagi dengan 2 kalinya hasil perkalian antara angka ke-3 (2) dengan angka ke-6 (0) kurangi lagi dengan 2 kalinya hasil perkalian antara angka ke-4 (3) dengan angka ke-5 (1). kemudian bagilah hasilnya dengan 2 kalinya angka pertama pada hasil(4). Sisa 7 1 2 3 2 2 6 17,0 0 0 0 0 0 4, 1 2 3 1 0 5 6 7 0 6 0 hasil 4,1231056 70 (2 x 1 x 5) (2 x 2 x 0) (2 x 3 x 1) = 54 54 : (2 x 4) = 6 sisa 6 Langkah ini apabila dilanjutkan terus kita akan mendapatkan hasil akar yang sama dengan perhitungan kalkulator. Jadi, 17 4, 1231056 Dengan menggunakan kalkulator akan kita dapatkan 17 4,12310562561766 Nah, semua metode yang dibahas disini berlaku umum, sehingga dapat menyelesaikan semua akar bilangan, yang perlu ditekankan adalah dalam melakukan perhitungan mencari nilai akar dari suatu bilangan dengan menggunakan metode Ridhwan www.oscarridhwan.com 25

ini anda harus berhati hati dalam pengambilan angka hasil, akan tetapi dengan menggunakan metode Ridhwan ini anda akan segera tahu bahwa anda telah melakukan kesalahan, Karena apabila kita salah mengambil angka, misal terlalu besar atau terlalu kecil, maka pada langkah selanjutnya anda akan mengalami kesulitan dalam proses pengurangannya. Misalnya angka yang akan anda kurangi lebih kecil daipada angka pengurangnya, bila hal ini terjadi saat anda melakukan perhitungan yang perlu anda lakukan hanyalah mengoreksi ulang perhitungan anda pada langkah sebelumnya, bisa jadi anda salah menghitungnya. Perbanyaklah berlatih dengan menggunakan metode Ridhwan ini, Karena metode ini lebih banyak menekankan pada susunan angka per angka, sedangkan metode Trachtenberg lebih menekankan pada susunan bilangan yang sebenarnya hanya menyederhanakan proses pembagian biasa, akan tetapi ada langkah yang digabungkan. Selamat Mencoba... www.oscarridhwan.com 26