TEORI RING LANJUT (MODUL PRIMA)

TEORI RING LANJUT (MODUL PRIMA) 23 Maret 2010 Samsul Arifin (09/290722/PPA/2875) Yunita Septriana Anwar (08/275043/PPA/2614) IDEAL PRIMA Definisi 1: Misalkan R ring dan ideal. I disebut prima jika untuk setiap idealideal, dengan, maka atau. RING PRIMA Definisi 2: Suatu ring R disebut prima jika untuk setiap dua ideal, dengan 0, maka 0 atau 0. Definisi 3: Suatu ring R disebut prima jika 0 merupakan ideal prima. Definisi 2 dan definisi 3 ekuivalen: Diberikan untuk setiap dua ideal, dengan 0, maka 0 atau 0. Ditunjukkan 0 adalah ideal prima di R. Diambil sebarang ideal ideal, dengan 0 atau 0. Dari yang diketahui, diperoleh 0 atau 0. Sehingga atau. Jadi 0 ideal prima di R. Sebaliknya, diberikan 0 merupakan ideal prima di R. Diambil sebarang dua ideal, dengan 0. Karena 0, maka. Diberikan merupakan ideal prima, sehingga atau. Karena 0 dan 0, maka 0 atau 0. Jadi definisi 2 dan definisi 3 ekuivalen. Proposisi 1: Ideal prima jika dan hanya jika ring faktor ring prima. 1

Diberikan ideal prima di R. Ditunjukkan ring prima, yaitu dengan menunjukkan 0 merupakan ideal prima di. Karena 0 di adalah P dan P ideal prima, maka 0 ideal prima di. Sebaliknya diberikan ring prima, berarti 0 ideal prima di. Karena 0 di adalah P dan 0 ideal prima, maka P ideal prima. ANNHILATOR Definisi 4: Untuk sebarang subset tak kosong dinotasikan annhilator dari K dengan 0, untuk semua Untuk sebarang K submodul dari M R modul, didefinisikan himpunan :. : merupakan annhilator dari R modul, yaitu: 0, 0,, : Lemma 1: Untuk sebarang submodul K dari M, berlaku Diambil sebarang dan. Berarti 0 untuk setiap dan 0 untuk setiap. Dari 0 diperoleh atau. Dari sini, =0. Akibatnya. Jadi. SUBMODUL PRIMA Definisi 5: Diberikan M adalah R modul dan N submodul di M. N disebut submodul prima jika N merupakan submodul sejati M dan untuk setiap, berlaku jika maka atau : dengan :. 2

Definisi 6: Untuk sebarang M R modul dan N submodul di M, N disebut submodul prima jika N merupakan submodul sejati dan untuk setiap, \ berlaku jika, maka :. Contoh: Submodul 0 dalam modul adalah submodul prima karena untuk setiap dan \ 0, jika 0 maka 0 : 5, tetapi submodul 0 dalam modul bukanlah submodul prima karena terdapat 3 dan 2 \ 0 sehingga berlaku 3 2 0 di tetapi 3 0. SIFAT SIFAT DARI SUBMODUL PRIMA Teorema 1: Untuk suatu M R modul, submodul K di M, dan ideal annhilator : di ring R. Maka pernyataan berikut ekuivalen: (1) K submodul prima (2) Setiap submodul taknol di memiliki annhilator yang sama. 1 2 Diketahui K merupakan submodul prima di M R modul. Diambil sebarang submodul taknol di R modul. Ditunjukkan. Karena K submodul di M R modul, maka berlaku. Sebaliknya karena diberikan K submodul prima, maka untuk sebarang \ dan, jika maka :. Dengan kata lain, untuk sebarang maka berlaku. Jadi. Dengan demikian. 2 1 Diketahui setiap submodul tak nol di R modul memiliki annhilator yang sama, yaitu. Diambil sebarang \ dan dengan. Karena 1 maka 1. Selanjutnya dibentuk submodul tak nol yang memuat K, yaitu di R modul. Dari hipotesis, diperoleh, yang artinya setiap maka berlaku. Dengan kata lain, untuk sebarang \ dan dengan berlaku, yang artinya K submodul prima di M R modul. 3

FULLY INVARIANT SUBMODULE Definisi 7: Misalkan K submodul dari M. Jika untuk sebarang berlaku, maka K disebut fully invariant submodul dari M. MODUL FAITHFUL Definisi 8: Misalkan M adalah R modul. M disebut modul faithful jika 0. MODUL PRIMA Definisi 9: Jika diberikan M adalah R modul, maka M disebut R modul prima jika 0 adalah submodul prima di M. Contoh: modul adalah modul prima, karena untuk sebarang \ 0 dan, jika 0 maka 0 0 :. Dengan kata lain, 0 merupakan submodul prima di modul. Dengan demikian, modul merupakan modul prima. Akibat 1: M R modul disebut prima jika dan hanya jika setiap submodul tak nol di M memiliki annhilator yang sama, yaitu. Diketahui M adalah R modul prima. Dari sini diperoleh 0 adalah submodul prima di M. Dari Teorema 1 diperoleh setiap submodul tak nol di 0 memiliki annhilator yang sama. Perhatikan bahwa: 0 0 dan 0 : 0. Berarti ini ekuivalen dengan mengatakan untuk sebarang submodul taknol di M memiliki annhilator yang sama dengan M, yaitu. Proposisi 2: Misalkan R adalah ring dan M adalah R modul. Maka pernyataanpernyataan berikut ekuivalen: (a) adalah ring prima. (b) Untuk sebarang submodul K dari M, atau. 4

Karena K submodul dari M, maka jelas berlaku. Dilain pihak, karena untuk sebarang, berlaku 0 untuk setiap. Diambil sebarang, maka 0, karena. Jadi. Sehingga tinggal ditunjukkan atau. Karena adalah ring prima, maka adalah ideal prima di R. Di lain pihak dari lemma 1 diperoleh dan adalah ideal prima, maka atau. Mengingat dan, diperoleh atau. Untuk sebarang submodul K dari M, atau. Ditunjukkan adalah ring prima. Dengan menggunakan proposisi 1, cukup ditunjukkan adalah ideal prima. Diambil sebarang, ideal ideal di dengan, berarti 0. Perhatikan bahwa,, karena M adalah R modul dan J ideal di R, maka. Lebih lanjut merupakan submodul dari M. Dari (b) diperoleh atau. Jika, maka 0. Akibatnya 0, ini belum tentu terjadi, yang hanya kita ketahui bahwa, sehingga. Karena 0, maka. Jadi. Jika dan, maka mengingat 0. Dilain pihak, mengakibatkan. Diambil sebarang dan. Perhatikan bahwa 0, karena dan. Sehingga. Dari sini diperoleh. Jadi. Dengan demikian adalah ideal prima, sehingga adalah ring prima. 5

Definisi 10: M R modul disebut prime jika untuk setiap K submodul fully invariant dari M, berlaku. Definisi 9 dan Definisi 10 ekuivalen: Diberikan 0 adalah submodul prima di M. Diambil sebarang setiap K submodul fully invariant dari M. Karena, maka. Tinggal ditunjukkan. Diambil sebarang, maka 0 untuk setiap. Sehingga 0. Karena N submodul prima, maka atau 0. Jika 0, maka 0 padahal 0. Sehingga haruslah. Jadi. Sebaliknya, diberikan untuk setiap K submodul fully invariant dari M, berlaku. Ditunjukkan 0 adalah submodul prima di M. Diambil sebarang dan dengan 0. Berarti 0, yaitu 0 atau 0. Jadi 0 adalah submodul prima di M. Proposisi 3: Untuk suatu modul M dan, pernyataan berikut ini ekuivalen: (1) M modul prima (2) untuk sebarang K submodul tak nol di M. (3) adalah K cogenerated untuk sebarang K submodul tak nol di M. (4) adalah K cogenerated untuk sebarang K submodul fully invariant 1 2 tak nol di M. Diberikan M modul prima. Ditunjukkan untuk sebarang K submodul tak nol dari M. Diambil sebarang K submodul tak nol di M. Dibentuk submodul,. Claim: submodul fully invariant dari M, yaitu, dimana sebarang. Diambil sebarang, maka. Karena dan, 6

maka. Sehingga. Jadi atau submodul fully invariant. Karena M modul prima dan submodul fully invariant, maka. Tinggal ditunjukkan. Diambil sebarang dan, berarti 0 untuk setiap. Dari sini 0 0. Jadi atau. Sebaliknya diambil sebarang, berarti 0 untuk setiap. Dari sini, 0. Karena, maka haruslah 0 atau. Jadi. 2 3 Diberikan untuk sebarang K submodul tak nol di M. Ditunjukkan adalah K cogenerated untuk sebarang K submodul tak nol di M. Untuk sebarang M R modul, claim bahwa adalah cogenerated, yaitu terdapat monomorfisma :. Didefinisikan : dengan untuk setiap, diperoleh 0 0. Dari sini : memiliki 0. Sehingga g monomorfisma. Jadi adalah cogenerated. Karena, maka adalah cogenerated. 3 4 Jelas, karena dari (3) diberikan adalah K cogenerated untuk sebarang K submodul tak nol di M, sehingga juga adalah K cogenerated untuk sebarang K submodul fully invariant tak nol di M. 4 1 Ditunjukkan M modul prima, yaitu untuk setiap K submodul fully invariant dari M. Karena adalah K cogenerated untuk sebarang K submodul fully invariant tak nol di M. Claim: K adalah faithful modul, yaitu 0. 0 0, 0 7

0 0 0 0. Sehingga untuk sebarang K submodul fully invariant dari M. Proposisi 4: Misalkan M adalah R modul,, dan dinotasikan. (1) Jika M prima, maka adalah ring prima. (2) Jika adalah ring prima dan untuk sebarang K submodul tak nol dari M, maka M modul prima. (1) Diberikan M prima, berarti untuk setiap K submodul fully invariant dari M. Ditunjukkan adalah ring prima. Dari proposisi 3 karena M modul prima, maka diperoleh untuk setiap K submodul dari M. Lebih lanjut dengan menggunakan proposisi 2, diperoleh ring prima. (2) Diberikan adalah ring prima. Dari proposisi 2 diperoleh atau untuk sebarang submodul K dari M. Karena untuk sebarang K submodul tak nol dari M, maka haruslah untuk sebarang submodul K dari M. Dengan menggunakan proposisi 3, diperoleh M modul prima. Akibat 2: Misalkan M adalah R modul,, dinotasikan, dan M adalah modul faithful: Jika M prima, maka R adalah ring prima Diberikan M prima dan M modul faithful, yaitu 0. Dari sini 0. Sehingga dengan menggunakan proposisi 4, diperoleh prima. 8

REFRENSI I.E. Wijayanti, Coprime Modules and Comodules, Dissertation, University of D usseldorf, Germany, 2006. R. Wisbauer, Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach: Philadelphia, 1991. S. Arifin, Multiplication Modules, Thesis, University of Gadjah Mada, Yogyakarta, 2009. 9