SIFAT DAN ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WEIBULL YANG DIPANGKATKAN

SIFAT DAN ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WEIBULL YANG DIPANGKATKAN Oleh: YOGA SETIAWAN NRP : 1203 109 017 Pembimbing: Dra. Laksmi Prita W, M.Si Drs. Komar Baihaqi, M.si

Latar Belakang Belakangan ini sering dijumpai permasalahan yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi-distribusi yang telah ada. Oleh karena itu, diperlukan perluasan dari distribusi yang sudah ada. Perluasan tersebut sering kali memiliki kesamaan sifat dengan distribusi Gamma dan distribusi Weibull Distribusi yang memiliki peranan luas dalam uji reliabilitas adalah distribusi Gamma, akan tetapi bentuk survival functionnya tidak dapat ditentukan bentuk khususnya terkecuali parameter bentuknya berupa bilangan natural.

Latar Belakang Tugas Akhir ini membahas mengenai salah satu perluasan dari distribusi weibull yang dinamakan exponentiated weibull distribution (EWD) atau distribusi weibull yang dipangkatkan. pembahasan dari Tugas Akhir ini meliputi, sifat-sifat dari EWD yang dibandingkan dengan distribusi Gamma dan distribusi Weibull melalui fungsi rasio kegagalan. Dan juga akan dilakukan estimasi parameter dengan menggunakan MLE (maximum likelihood estimation).

Perumusan Masalah Bagaimana sifat-sifat dari Exponentiated Weibull Distribution (EW)? Membandingkan sifat-sifat Exponentiated Weibull Distribution (EW) dengan sifat-sifat dari distibusi Gamma dan distribusi Weibull. Mengestimasi parameter-parameter dari Exponentiated Weibull Distribution (EW). Percobaan dari estimasi parameter Exponentiated Weibull Distribution (EW) pada data hasil pembangkitan metode acceptance and rejection..

Batasan Masalah Dalam Proposal Tugas Akhir ini, estimasi parameter dilakukan pada data hasil pembangkitan metode acceptance and rejection.

Tujuan Tugas akhir ini bertujuan untuk : Mengkaji sifat-sifat dari Exponentiated Weibull Distribution (EW). Membandingkan kemiripan Exponentiated Weibull Distribution (EW) dengan distibusi Gamma dan distribusi Weibull melalui fungsi kegagalan. Mendapatkan estimasi parameter dari Exponentiated Weibull Distribution (EW). Mencoba hasil estimasi parameter dari Exponentiated Weibull Distribution (EW).

Manfaat Manfaat Penelitian : Manfaat dari Tugas Akhir ini adalah agar pengolahan data nyata (real) dapat memberikan hasil yang lebih tepat dengan menggunakan Exponentiated Weibull Distribution (EWD).

TINJUAN PUSTAKA Reliabilitas (reliability), fungsi ketahanan dan fungsi kegagalan [2] Uji ketahanan hidup atau reliabilitas merupakan salah satu teknik dalam statistika yang berguna untuk melakukan pengujian tentang tahan hidup atau keandalan suatu komponen ataupun pengukuran lamanya tahan hidup seorang pasien dalam pengobatan suatu penyakit

TINJUAN PUSTAKA Dalam aplikasinya reliabilitas dapat direprentasikan ke dalam beberapa fungsi diantaranya: Fungsi ketahanan (survival function) : Fungsi ratio kegagalan (failurate function)

TINJUAN PUSTAKA Distribusi Weibull Dalam teori probabilitas dan statistik, distribusi Weibull adalah salah satu distribusi kontinu. Distribusi ini dinamai oleh Waloddi Weibull pada tahun 1951. Suatu peubah acak x berdistribusi Weibull, dengan parameter 𝛼 dan β jika fungsi padatnya berbentuk: Dan fungsi rasio kegagalannya (failure rate function) diberikan oleh : Sedangkan fungsi ketahanan (survival function)

TINJUAN PUSTAKA Distribusi Gamma Distribusi Gamma adalah salah satu keluarga distribusi probabilitas kontinu. model probabilitas distribusi gamma sering digunakan untuk memodelkan waktu tunggu, misalkan pengujian hidup, dengan parameter 𝛼 dan β, bila fungsi padatnya berbentuk Dengan dan fungsi rasio kegagalan diberikan oleh:

TINJUAN PUSTAKA Gambar 2.2 plot fungsi ratio kegagalan distribusi Gamma dari fungsi rasio kegagalan tersebut didapatkan plot-plot dibawah ini: Gambar 2.2 plot fungsi ratio kegagalan distribusi Gamma

f(x, ) TINJAUAN PUSTAKA Maximum Likelihood Estimation (MLE) Maximum likelihood estimation (MLE) Maximum likelihood estimation (MLE) adalah metode statistik yang populer digunakan untuk pemasangan model statistik untuk data, dan estimasi menyediakan parameter model. Estimasi MLE dikembangkan oleh R.A.Fisher. pencarian nilai parameter ini dilakukan dengan memaksimalkan fungsi log-likelihood. Misalkan f adalah PDF dan diasumsikan fungsi memenuhi persaman berikut:

TINJAUAN PUSTAKA Exponentiated Weibull Distribution (EW) Exponentiated Weibull Distribution (EW) merupakan sebuah keluarga distribusi baru yang memiliki dua parameter dan hampir mirip dengan weibull maupun gamma. Dimana : (𝛼,γ) adalah notasi dari parameter bentuk. 𝜆 adalah notasi dari parameter skala. Fungsi ketahanan (Survival function) dari EWD dituliskan sebagai berikut Fungsi ratio kegagalan (failure rate function) dari EWD dituliskan senagai berikut:

, TINJAUAN PUSTAKA Metode Acceptance and Rejection Metode acceptance and rejection merupakan suatu satu cara untuk membangkitkan data dalam sebuah penelitian tentang sebuah distrubusi. Ide dasar dari metode ini adalah menemukan sebuah alternatif probabilitas distribusi G, dengan fungsi kepadatan g(x), dan juga pendekatan g(x) terhadap f(x). Algoritma Acceptance and rejection untuk variabel random kontinu adalah sebagai berikut: Bangkitkan Y yang didistribusikan sebagai G. Bangkitkan U (independen dari Y). Jika maka X = Y (terima); sebaliknya kembali ke langkah 1 (tolak)

TINJAUAN PUSTAKA Metode Newton-Raphson Metode Newton-Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekati dengan memperhatikan gradien pada titik tersebut. Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan:

TINJAUAN PUSTAKA Konsep Fungsi naik, fungsi turun dan fungsi konstan Untuk mendapatkan fungsi naik, turun dan konstan suatu fungsi harus diturunkan ke bentuk turunan pertama. Tujuan dari penurunan fungsi adalah untuk mendapatkan titik kritisnya. berikut definisi fungsi konstan, naik dan turun: Jika untuk setiap nilai x dalam selang (a,b) maka f naik pada [a,b]. Jika untuk setiap nilai x dalam selang (a,b) maka f naik pada [a,b]. Jika untuk setiap nilai x dalam selang (a,b) maka f naik pada [a,b]

Metode Penelitian

PEMBAHASAN Definisi Permasalahan bab ini akan dijelaskan sifat-sifat dari EW yang akan dibandingkan dengan dua distribusi lain, yaitu distribusi Weibull dan distribusi Gamma melalui turunan pertama dari fungsi rasio kegagalannya (failure rate functionnya). Artinya, akan dicari suatu kondisi bilamana fungsi rasio kegagalan dari Distribusi Weibull yang dipangkatkan(exponentiated Weibull Distribution) merupakan suatu fungsi naik, turun atau konstan. Selain itu, dalam Tugas Akhir ini juga akan dilakukan estimasi terhadap parameter-parameter dari EW.

= 𝛼𝛾 = = PEMBAHASAN Sifat-sifat dari distribusi weibull yang dipangkatkan(ewd) Seperti yang telah ditunjukkan sebelumnya bahwa distribusi weibull di pangkatkan (exponentiated weibull distribution) mempunyai commulative density function sebagai berikut: Dengan probabilitas density function: Sehingga diperoleh fungsi ketahanan (survival function) dari EWD adalah:

PEMBAHASAN dimana adalah parameter bentuk dan 𝜆 adalah parameter skala berikut adalah gambar grafik dari commulative density function, probabilitas density function, fungsi ketahanan fungsi ketahanan(survival function) dan rasio kegagalan(failure rate) dari EWD: Gambar 3.1 Grafik Cumulative density function (CDF) dari distribusi Exponentiated Weibull Distribution dengan nilai

PEMBAHASAN Selanjutnya, akan diberikan gambar grafik yang menunjukkan variasi nilai PDF dari exponentiated Weibull distribution. Gambar 3.2 Grafik Probability Density Function dari Exponentiated Weibull Distribution dengan nilai

PEMBAHASAN Berikut merupakan gambar dari grafik failure rate function. Gambar 3.3 Grafik fungsi rasio kegagalan (failure rate function) dari exponentiated Weibull distribution dengan nilai parameter

PEMBAHASAN berikut ini akan diberikan gambar grafik fungsi ketahanan (survival function) dari exponentiated Weibull distribution. Grafik fungsi ketahanan (survival function) dari exponentiated Weibull distribution dengan nilai parameter

PEMBAHASAN Selanjutnya, akan dicari syarat cukup bagi sifat-sifat fungsi rasio kegagalan (failure rate function) dari exponentiated Weibull distribution, yaitu bilamana fungsi rasio kegagalannya merupakan suatu fungsi naik, turun atau konstan. Pencarian syarat ini dilakukan melalui turunan pertama dari fungsi ketahanan (failure rate function). Berikut ini adalah penurunan dari fungsi rasio kegagalan (failure rate function): Diperoleh:

PEMBAHASAN Fungsi rasio kegagalan akan bersifat konstan jika dan juga apabila 𝛾 = 0, 𝛾 = 1 dan 𝛼 = 0, 𝛼 = 1. dari uraian Tersebut didapatkan sifat-sifat EWD sebagai berikut: exponentiated Weibull distribution merupakan suatu fungsi konstan jika Jika maka fungsi ratio kegagalan dari exponentiated Weibull distribution merupakan suatu fungsi naik jika Jika maka fungsi rasio kegagalan dari exponentiated Weibull distribution merupakan suatu fungsi naik jika dan merupakan suatu fungsi turun jika

PEMBAHASAN Sifat-sifat distribusi gamma Fungsi rasio kegagalan dari distribusi gamma merupakan suatu fungsi konstan jika dan sehingga untuk termasuk didalamnya Jika, fungsi rasio kegagalan dari distribusi gamma merupakan fungsi naik untuk dan merupakan fungsi turun untuk Jika, fungsi rasio kegagalan dari distribusi gamma merupakan suatu fungsi naik untuk dan merupakan suatu fungsi turun untuk

PEMBAHASAN Sifat-Sifat Distribusi Weibull Fungsi rasio kegagalan dari distribusi Weibull merupakan suatu fungsi konstan jika atau dan hal ini dipenuhi untuk Jika, fungsi rasio kegagalan dari distribusi Weibull merupakan suatu fungsi naik jika dan merupakan suatu fungsi turun jika Jika, fungsi rasio kegagalan dari distribusi Weibull merupakan suatu fungsi naik jika dan merupakan suatu fungsi turun jika

PEMBAHASAN Perbandingan Sifat-Sifat EWD Dengan Distribusi Weibull Dan Gamma Parameter 𝛼=𝛾=1 EWD konstan 𝛼=1 naik untuk 𝛾 >1 turun untuk 𝛾<1 𝛾=1 naik untuk 𝛼>1 turun untuk 𝛼<1 Gamma konstan dengan 𝜆 =0 naik untuk 𝛾 >1 turun untuk 𝛾<1 Naik untuk 𝛼>1 Turun untuk 𝛼<1 Weibull Konstan Naik untuk 𝛾 >1 Turun untuk 𝛾<1 Naik untuk 𝛼>1 Turun untuk 𝛼<1

PEMBAHASAN Estimasi parameter dari distribusi weibull di pangkatkan (EWD) dengan MLE fungsi likelihood dari distrbusi Weibull di pangkatkan (EWD) didefinisikan oleh di peroleh fungsi log likelihood sebagai berikut: Selanjutnya dicari turunan fungsi log likelihood terhadap masing-masing parameternya.

PEMBAHASAN Agar nilai maksimum dapat dicapai persamaan tadi harus di sama dengankan nol (= 0), sehingga didapat:

PEMBAHASAN selanjutnya akan digunakan untuk mencari nilai estimasi dari parameter, yaitu dan karena persamaan yang diperoleh adalah persamaan non linier, maka akan digunakan metode numerik untuk menyelesaikannya. Dalam hal ini akan digunakan metode newton raphson dalam perhitungan numeriknya

PEMBAHASAN Dengan menggunakan motede Newton-Raphson adapun urutan langkahnya adalah sebagai berikut: Menentukan nilai pendekatan awal dari 𝜆 dan 𝛾 yaitu dan dengan adalah nilai koreksi untuk 𝜆 sehingga k adalah nilai koreksi untuk 𝛾 sehingga Menentukan persamaan fungsi dan turunan pertama dari dan, yaitu dan Fungsi-fungsi didapat adalah sebagai berikut:

λ eror_λ er PEMBAHASAN Subtitusi dengan pendekatan awal pada persamaan langkah 2 Subtitusikan nilai yang diperoleh dari langkah 3 pada persamaan berikut untuk mencari h dan k: Subtitusi nilai h dan k dari langkah 2 pada kedua persamaan dalam langkah 1 Ulangi langkah 3-5 hingga diperoleh akar fungsi dengan eror yang diinginkan. Eror tersebut dapat dihitung dengan formula sebagai berikut:

PEMBAHASAN Estimasi Parameter Data Tahap ini diawali dengan membangkitkan sejumlah data dengan menggunakan metode acceptance rejection. Parameter-parameter data yang dibangkitakan ditentukan terlebih dahulu, yaitu:. Sehingga untuk diperoleh data sebagai berikut:

PEMBAHASAN No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Data Data No. bangkitan bangkitan 0.030521255 20. 0.713703495 0.16614578 21. 0.912942694 0.183260909 22. 1.067304982 0.189526856 23. 1.091005013 PEMBAHASAN 0.205011519 24. 1.111150459 0.217725022 25. 1.114117225 0.256758972 26. 1.1710559 0.264035001 27. 1.190896272 0.349884876 28. 1.234413482 0.366761382 29. 1.267928864 0.383215002 30. 1.290991144 0.39968253 31. 1.300618164 0.460033178 32. 1.313941001 0.47661275 33. 1.58976148 0.563185436 34. 1.903027462 0.636915907 35. 2.025366556 0.648921402 36. 2.515741854 0.690979123 37. 2.564417396 0.69764434

PEMBAHASAN Sehingga didapatkan, dan lalu didapatkan juga Sehingga diperoleh RMSE yang kecil, yaitu 0.014213.

KESIMPULAN Kesimpulan yang diperoleh dari hasil dan pembahasan adalah : Parameter 𝛼=𝛾=1 EWD konstan 𝛼=1 naik untuk 𝛾 >1 turun untuk 𝛾<1 naik untuk 𝛼>1 turun untuk 𝛼<1 𝛾=1 Gamma konstan dengan 𝜆=0 naik untuk 𝛾 >1 turun untuk 𝛾<1 Naik untuk 𝛼>1 Turun untuk 𝛼 <1 Weibull Konstan Naik untuk 𝛾 >1 Turun untuk 𝛾<1 Naik untuk 𝛼>1 Turun untuk 𝛼 < 1 Dari tabel tersebut tampak bahwa EWD mirip dengan kedua distribusi gamma dan Weibull,namun dapat diambil kesimpulan bahwa lebih mirip dengan distribusi Weibull

KESIMPULAN Dari hasil estimasi parameter dari EWD dengan menggunakan MLE didapatkan parameter-parameter dari EWD yang berupa persamaanpersamaan non linier sebagai berikut: Untuk parameter Untuk parameter Untuk parameter

SARAN Pada tugas akhir ini data yang digunakan adalah data hasil bangkitan sehingga belum teruji untuk pengolahan data menggunakan data riil. Jadi belum dapat dipastikan apakah EWD memberikan informasi yang baik jika digunakan untuk mengolah data yang riil, di harapkan pada tugas akhir selanjutnya EWD dapat diterapkan pada data yang riil.

TERIMA KASIH