BAB III INEGRAL RIEMANN-SIELJES. Pedahulua Pada Bab, telah dsggug bahwa ukura meghtug merupaka salah satu pedekata utuk membetuk proses ttk. Berkata dega masalah perhtuga, ada hal meark yag perlu amat, dsebut dega fugs testas proses. Secara teorts, ada beberapa metode yag dapat dguaka utuk meaksr fugs testas, da salah satuya adalah metode peaksr maksmum lkelhood. Utuk tu pada Bab, dbahas tetag tegral Rema-Steltjes dserta cotoh aplkas utuk lmu statstka. Itegral Rema-Steltjes dguaka utuk megaalss fugs lkelhood Posso ohomoge, dmaa fugs dapat dguaka utuk meaksr fugs testas melalu metode maksmum lkelhood.. Itegral Rema-Steltjes Dalam pembahasa tegral Rema-Steltjes, aka dsggug tetag parts sebuah terval. Kareaya, dega megacu pada pembahasa Subbab., parts sebuah terval dulas kembal pada bab. Msal ddefska terval A = [,] sepert pada Gambar. Maka parts terval A, dotaska dega, berupa subterval A = (t -, t ] utuk =,,, yag memeuh = t < t < < t =. Dega kata la, parts terval A adalah = (t, t, t,, t ) (Bartle, 976, h.).
Defs.: Msalka fugs u da fugs v berla rl da terbatas pada terval A = [,]. Jka = (t, t, t,, t ) adalah parts terval A, maka pejumlaha Rema- Steltjes fugs u terhadap fugs v yag berkata dega parts adalah blaga rl S( ; yag ddefska melalu = { v( t ) v( t )} S( ; = u( s ) (.) dega t s t utuk =,,, (Bartle, 976, h.). Jka fugs v pada persamaa (.) ddefska melalu v(t ) = t, maka dperoleh = { t t } R( ; = u( s ) (.) dega t s t utuk =,,,. Persamaa (.) meyataka pejumlaha Rema (Bartle, 976, h.). Pada persamaa (.), selsh t t meyataka pajag subterval (t -, t ]. Sedagka, selsh t ) v( t ) v pada persamaa (.) meyataka ukura la ( dar jarak subterval (t -, t ] (Bartle, 976, h.). Pada Subbab., ukura la tu meyataka selsh N(t ) N(t - ) atau selsh bayakya kejada d terval [,t ] da terval [,t - ]. Jad, dapat dkataka bahwa tegral Rema-Steltjes merupaka perumuma dar tegral Rema (Ross, 98, h.). Defs.: Msalka fugs u da fugs v ddefska d daerah defs yag sama, yatu terval A = [,]. Fugs u dkataka tertegralka terhadap fugs v, jka suatu blaga rl B( ; ε > sebuah parts I dar terval A jka 4
parts adalah sembarag parts yag lebh halus darpada I da S( ; sembarag pejumlaha Rema-Steltjes yag berkata dega parts, maka S ( ; B( ; < ε (Bartle, 976, h.4). Jka la dar blaga rl B( ; ada, maka laya dtetuka secara tuggal (Bartle, 976, h.4) da dotaska dega B( ; = u( t) dv( t) = udv (.) Persamaa (.) meyataka tegral Rema-Steltjes, meggat otas t adalah peubah boeka (dummy varable) da dapat dgat dega otas yag la (Apostol, 957, h.9). Selajutya, jka fugs v terhadap t pada persamaa (.) ddefska melalu v(t) = t, maka dperoleh C( ; = u( t) dt (.4) dmaa persamaa (.4) meyataka tegral Rema (Bartle, 976, h.4). Pada Subbab., aka dtemuka lagkah pembukta yag memerluka jama bahwa sebuah fugs tertegralka terhadap fugs yag la. Oleh karea t teorema berkut bsa dpaka sebaga jamaya. etap, pada tulsa pembukta teorema tdak djelaska da bsa dlhat pada (Bartle, 976, h.9). eorema.: Jka fugs u kotu da fugs v mooto ak pada terval [,], maka fugs u tertegralka terhadap fugs v pada terval [,]. 5
Selajutya, aka dberka cotoh aplkas dar pejumlaha Rema-Steltjes da perhtuga tegral Rema-Steltjes utuk bdag lmu statstka, yatu meghtug ekspektas (rataa) suatu peubah acak. Cotoh.: Msal dketahu fugs peluag peubah acak dskrt X adalah P ( X = x) = 4 ; x =,,,4 ; xlaya dega fugs dstrbusya, 4 F ( x) = 4 4 ; x < ; x < ; x < ; x < 4 ; x 4 Gambar 5 Grafk fugs dstrbus peubah acak dskrt X F(x) /4 /4 /4 4 x Maka, ekspektas (rataa) dar peubah acak dskrt X adalah [ = { F( x ) F( x )} E x] = x. P( X = x) x x x. = = x. df( x ) (.5) x.{ F() F() } +. { F() F() } +. { F() F() } + 4. { F(4) ()} = F = + + + 4 = 5 =.5 4 4 4 4 Persamaa (.5) d atas meyataka betuk pejumlaha Rema-Steltjes. Megacu pada persamaa (.), maka dalam aplkas, ddefska fugs u(x) = x da fugs v(x) sebaga fugs dstrbus peubah acak dskrt X yag umumya dotaska dega F(x), dmaa fugs F tdak kotu d ttk x, atau 6
F + ( x ) F() t lm F( t) = F( x ) = + t x t x lm (Ross, 98, h.4). Dega kata la, deya adalah meggat selsh v(x ) - v(x - ) pada persamaa (.) dega selsh F(x ) - F(x - ). Selajutya, la E[X] =.5 berkata dega blaga rl S( ; pada persamaa (.). Cotoh.: Msal dketahu fugs peluag peubah acak kotu Y adalah f ( y) y = 6y 5 ; y < ; y < ; ylaya Gambar 6 Grafk fugs peluag peubah acak kotu Y f(y) / y Maka, ekspektas (rataa) dar peubah acak kotu Y adalah E[Y] = ydf (y) (.6) = yf ( y) dy = y) dy + yf ( yf ( y) dy (.7) = y. y. dy + y.(6 y 5) dy = y dy + (6y = 4 y 4 + (y 5 = ( ) y ). 5y) dy + 8 + = + 4 = 6 =.46 4 7 4 54 6 7
Persamaa (.6) d atas meyataka betuk tegral Rema-Steltjes. etap, agar perhtuga mejad lebh mudah, betuk tegral Rema-Steltjes dubah mejad betuk tegral Rema, sepert yag terlhat pada persamaa (.7), dmaa df ( y) = f ( y) dy kecual d ttk y = da y =. Dalam aplkas, persamaa (.6) berkata dega persamaa (.), dmaa ddefska fugs u(y) = y da fugs v(y) sebaga fugs dstrbus peubah acak kotu Y yag umumya dotaska dega F(y). Selajutya, persamaaa (.7) berkata dega persamaa (.4), dmaa ddefska fugs u(y) = y.f(y) dega f(y) meyataka fugs peluag peubah acak kotu Y. Selajutya, la E[Y] =.46 berkata dega blaga rl B( ; pada persamaa (.). Berkut, aka dbahas tetag pedekata tegral Rema-Steltjes utuk megaalss fugs lkelhood Posso ohomoge.. Fugs Lkelhood Posso Nohomoge Perdefs, fugs lkelhood merupaka perkala dar fugs peluag utuk beberapa peubah acak yag salg bebas (Hogg, Kea da Crag, 5, h.). Msalka terdapat pegamata d dalam terval [,] dega barsa ttk waktu pegamata t,t,...,t da bayakya kejada d masg-masg waktu pegamata adalah peubah acak yag salg bebas, maka fugs lkelhood proses Posso ohomoge dapat ddefska melalu persamaa (.8) berkut : Λ(, ] L( λ ( t ) t,..., t ) = e λ( t ) (.8) = Lagkah-lagkah modfkas da pembetuka persamaa (.8) bsa dlhat lebh lajut pada (Daley da Vere-Joes,. h.-). 8
Pada umumya, persamaa (.8) dyataka dalam betuk la, yatu L λ ( t ) t,..., t ) = exp{ λ ( t ) dt + l λ( t ) dn( t )} (.9) ( Pada Subbab., permasalaha yag meark utuk dbahas adalah melakuka aalss matematk utuk megubah persamaa (.8) mejad persamaa (.9). Pada tulsa, salah satu cara yag dguaka adalah melalu pedekata tegral Rema-Steltjes. Suku kedua dar ruas kaa persamaa (.9), yatu l λ ( t ) dn( t ), merupaka betuk dar tegral Rema-Steltjes. Megacu pada persamaa (.), maka suku kedua, medefska fugs u(t) dega fugs l λ ( t ) da fugs v(t) dega fugs N t ), dmaa pada tulsa ( ddefska melalu: N( t ) = M ; t ; t ; t ; < t t < t t < t t M < t t (.) meggat dn(t ) = N(t ) N(t - ) = utuk =,,...,. Defs fugs N t ) pada persamaa (.) merupaka betuk khusus da tdak berlaku secara umum. Kareaya, utuk kasus yag berbeda bsa dperoleh betuk fugs N t ) yag berbeda pula. etap, dalam tulsa hal tu tdak dbahas lebh dalam. Berkut, uraa aalss matematk utuk megubah persamaa (.8) mejad persamaa (.9): Betuk persamaa (.8) memuat fugs ekspoesal. Sehgga, utuk meyederhaaka perhtuga dambl betuk logartmaya, dmaa fugs logartma tdak meghlagka formas apapu dar fugs semula (Hogg, Kea da Crag, 5, h.). Jad betuk logartma dar persamaa (.8) adalah ( ( 9
l L( λ ( t ) t,..., t ) = Λ(, ] + l λ( t ) = t ) dt + = = λ ( l λ( t ) (.) Oleh karea dn(t ) = utuk =,,...,, maka l λ( t ) dapat ddefska dega: l λ ( t ) = l λ ( t ). dn(t )...(.) da persamaa (.) dtulska kembal mejad: L( λ ( t ) t,..., t ) = λ ( t ) dt + l λ( t ). dn( t ) (.) l = Jka dambl kembal betuk ekspoesalya, maka persamaa (.) mejad L λ ( t ) t,..., t ) = ( exp λ ( t ) dt + l λ( t ). dn( t ) (.4) = suku pertama suku kedua Suku kedua dar persamaa (.4) meyataka betuk pejumlaha Rema- Steltjes. Megacu pada eorema. da persamaa (.), maka suku kedua dar persamaa (.4) dapat dyataka dega betuk l λ ( t ) dn( t ), karea:. Fugs l λ ( t ) = C, dmaa C adalah suatu kostata, sehgga fugs l λ ( t ) adalah fugs kotu. Fugs N(t ) adalah fugs tagga, sehgga fugs N(t ) adalah fugs mooto ak. Jad, persamaa (.4) dtulska kembal dega L λ ( t ) t,..., t ) = exp{ λ ( t ) dt + l λ( t ) dn( t )} (.5) ( dmaa suku kedua dar ruas kaa persamaa (.5), yatu l λ ( t ) dn( t ), 4
meyataka blaga rl B( ; pada persamaa (.). Berdasarka persamaa (.5), terbukt bahwa persamaa (.8) dapat dyataka dega betuk la sepert persamaa (.9). Pada Subbab 4., aka dberka sebuah cotoh fugs testas proses Posso ohomoge yag ddefska melalu λ(t) = λ [- F(t)]. Jka fugs testas dsubsttuska ke persamaa (.5), dega metode maksmum lkelhood maka taksra testas proses bsa dperoleh. Selajutya, megguaka hasl pembukta d atas, tulsa aka mecoba megambl sebuah kesmpula. Padag persamaa (.), yatu l L( λ ( t ) t,..., t ) = λ ( t ) dt + l λ( t ). dn( t ) = Jka persamaa (.5) dambl betuk logartmaya, dperoleh l L( λ ( t ) t,..., t ) = λ ( t ) dt + l λ( t ) dn( t ) (.6) Berdasarka pembukta d atas, persamaa (.) memlk betuk yag sama dega persamaa (.6). etap, kedua persamaa dguaka utuk keadaa yag berbeda. Persamaa (.) dguaka ketka fugs N(t ) berupa fugs tagga mooto ak, sedagka persamaa (.6) dguaka ketka fugs N(t ) berupa kurva yag tdak kotu d beberapa ttk. Jka dkatka dega bdag lmu satstka da megacu pada Cotoh. da Cotoh., maka dapat dambl kesmpula bahwa pejumlaha Rema-Steltjes dpaka utuk meghtug ekspektas (rataa) peubah acak dskrt X, sedagka perhtuga tegral Rema-Steltjes dpaka utuk meghtug ekspektas (rataa) peubah acak kotu Y, sepert yag telah dsggug sebelumya. 4