KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral tertentu: jumlah Riemann, teorema-teorema integral tertentu, dan teorema dasar kalkulus, () Aplikasi Integral tertentu: luas bidang, volum benda putar, panjang busur kurva, luas permukaan benda putar, usaha, dan pusat massa, (4) Fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi hiperbolik, dan (5) Teknik pengintegralan. B. PERENCANAAN PEMBELAJARAN. Nama Mata Kuliah : Kalkulus II. Kode / sks : MAT 8/ sks. Semester : II (genap) 4. Tujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan mata kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat menjelaskan dan mengaplikasikan konsep anti turunan, integral tak tentu, integral tertentu, aplikasi integral tertentu, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi hiperbolik serta integral fungsi trigonometri dan integral fungsi rasional. 5. Outcome Pembelajaran a. Mahasiswa memahami anti turunan dan integral tak tentu. b. Mahasiswa memahami penggunaan teorema dan rumus teknis integral. c. Mahasiswa memahami notasi sigma, induksi matematika, dan jumlah Riemann d. Mahasiswa dapat menghitung integral terntentu dengan limit jumlah Riemann. e. Mahasiswa dapat membuktikan beberapa teorema integral tertentu. f. Mahasiswa dapat menjelaskan teorema dasar Kalkulus integral. g. Mahasiswa dapat menghitung integral tertentu berdasarkan teorema-teorema dasar kalkulus. h. Mahasiswa dapat menghitung luas daerah dan volum benda putar. i. Mahasiswa dapat menghitung panjang busur suatu kurva dan luas permukaan benda putar. j. Mahasiswa dapat menentukan integral parsial dan fungsi trigonometri k. Mahasiswa dapat menentukan integral bentuk pecahan dalam sinus dan cosinus. l. Mahasiswa dapat menentukan integral fungsi rasional.
KALKULUS INTEGRAL 0 6. Jumlah Jam dan Pembagiannya No Jenis Kegiatan Cacah Kegiatan Jumlah Jam Pengantar Kuliah Kalkulus II: Menjelaskan pengertian kali jam anti turunan dan menjelaskan penghitungan integral tak tentu yang sederhana. ( minggu ke ) Menjelaskan bentuk-bentuk Integral (Integral Trigonometri dan Integral Substitusi) ( minggu ke ) Menjelaskan Integral pecah rasional. ( minggu ke dan 4 ) 4 Menjelaskan pengertian tertentu sebagai limit jumlah Riemann Menjelaskan dan membuktian teorema-teorema integral tertentu Menjelaskan teorema dasar Kalkulus dan (minggu ke 5) 5 Menjelaskan luas daerah bidang datar dan volum benda putar ( minggu ke 6 ) 7. Bahan, Sumber Informasi dan Referensi kali jam kali 4 jam kali jam kali jam 6 Menjelaskan panjang busur kurva dan luas permukaan kali jam bidang benda putar. (minggu ke-7) 7 Ujian Tengah Semester (minggu ke 8) kali jam 8 Menjelaskan teorema fundamental Integral dan pembuktiannya. (minggu ke 9 dan 0) 9 Menjelaskan integral parsial yang melibatkan fungsi transenden. (minggu ke ) 0 Menjelaskan integral yang memuat bentuk a dan a Menjelaskan integral yang memuat bentuk n a, p ( ), kali jam kali jam kali jam dengan p() suku banyak. Menjelaskan integral bentuk pecahan dalam sinus dan cosinus. (minggu ke- dan ) Menjelaskan integral fungsi rasional kali jam Memberikan contoh dan latihan soal. (minggu ke-4 dan 5) Ujian Akhir Semester (minggu ke 6) kali jam a. Purcell, E.J. & Varberg, D. 987. Kalkulus dan Geometri Analitis. (Diterjemahkan oleh I Nyoman, Bana Kartasasmita, dan Rawuh). Jilid. Jakarta: Penerbit erlangga. b. Jasman, Pardede.00. Kalkulus I. Jakarta : Erlangga
KALKULUS INTEGRAL 0 c. Frank Ayres, Differential and Integral Calculus /ed, McGraw-Hill Book Company, NewYork, 978 d. Leithold, L., 98, The Calculus with Analitic Geometry, th. Harper International Edition, Harper and Row, Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London. C. PENILAIAN Prosentase penilaian masing-masing adalah sebagai berikut : No. Komponen penilaian Prosentase. Quiz ( 4 kali) 0 %. Ujian Mid Semester 0 %. Ujian Akhir Semester 0 % 4. Tugas ( kali ) 0 % 5 Presensi 5 % 6 Keaktifan 5 % PERTEMUAN I
KALKULUS INTEGRAL 0 INTEGRAL A. DEFINISI ANTI TURUNAN (INTEGRAL TAK TENTU) Anti turunan merupakan kebalikan (invers) dari suatu turunan. Seperti didefinisikan pada definisi berikut Kita sebut F suatu anti turunan dari pada selang I jika pada I, yakni jika ( ) ( ) untuk semua dalam I. Jika suatu titik ujung dari I, ( ) hanya perlu berupa turunan satu sisi. Sebagai contoh : Misalkan suatu fungsi maka apabila diturunkan menjadi. Hasil dari turunan tersebut, apabila dikembalikan ke fungsi semula sering disebut anti derivatif (turunan). Teorema. Aturan Pangkat r d r r C Dimana Contoh :. Penyelesaian :. Carilah anti turunan dari Penyelesaian : 4
KALKULUS INTEGRAL 0 Teorema. Anti-turunan Sinus-Kosinus Teorema. Kelinieran dari integral Misalkan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka ( ) ( ), ( ) ( )- ( ) ( ) ( ), ( ) ( )- ( ) ( )... 4. 5. RUMUS-RUMUS INTEGRAL Misal : Dimana C merupakan konstanta integrasi. SOLVED PROBLEMS. Find the following antiderivatives a. ( ) b. 5
KALKULUS INTEGRAL 0 c. ( ) d. ( ) e.. Find an equation of the curve passing through the point (, ) and having slope at each point (, y). The slope is given by the derivative. B. TEKNIK PENGINTEGRALAN TAK TENTU. PENGINTEGRALAN FUNGSI TRIGONOMETRI Sebelum membahas mengenai teknik pengintegralan khususnya yang berkaitan dengan fungsi trigonometri, anda harus mengingat terlebih dahulu aturan-aturan dalam trigonometri dan sifat-sifat fungsi trigonometri a. b. ( ) c. ( ) d. e. ta e f. g. h. cotg cosec Aturan integral tak tentu fungsi trigonometri a. sin d = -cos + C b. cos d = sin + C c. tan d = ln sec C = -ln cos C d. cot d = - ln csc C = ln sin C e. sec d = ln sec tan C f. csc d = ln csc cot C 6
KALKULUS INTEGRAL 0 g. ta e e h. t i. j. Contoh : Tentukan integral tak tentu (( ) ) Penyelesaian : ( ) ) =( ) = Contoh : Tentukan integral tak tentu ( ) Penyelesaian : Perhatikan : ( ) Sehingga : ( ) ( ) ( ) Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah: 7
KALKULUS INTEGRAL 0 m a. sin d, m dan cos d dengan m bilangan ganjil atau genap positip Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-) +, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas sin cos atau sin = - cos atau cos = - sin. Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan. Contoh : Penyelesaian : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )) ( ) Ingat : atau 8
KALKULUS INTEGRAL 0 m m b. Bentuk cos d, sin d, jika m bilangan bulat positip genap, Contoh:.sin d Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka cos sin d = d ( 4. cos d Jawab = d cos d sin = C 4 4 cos d = (cos ) Sifat : ( ) cos d cos = d ( ) d cos = ( cos ) d 4 4 = d = cos ) cos d cos d 4 4 sin ( cos 4) + 4 4 d 4 d. /. / sin sin 4 = C 4 4 8 sin sin 4 = C 8 4. sin 4 d 9
KALKULUS INTEGRAL 0 Misal u =, du = d atau d = du sin 4 d = sin 4 u cos = du u du, sehingga = ( cos u cos u) du 4 du cos udu 8 4 8 = cos udu 8 4 = du cos udu cos 4u du 8 du cos 4udu 8 4 6 6 = cos udu du = u sin u u sin 4u C 8 8 6 64 Karena u =, maka sin 4 d = () sin () () sin 4() C 8 8 6 64 TUGAS. Selesaikan integral tak tentu di bawah ini a..( ) / b. c. d. ( ) e. ( ( ) ). Buktikan ta e. Selesaikan integral tak tentu berikut : 0
KALKULUS INTEGRAL 0 Hint : * ( ) ( )+ Tugas di kumpulkan dan presensi sesuai jam kuliah. INTEGRAL DENGAN MENGGUNAKAN SUBSTITUSI a. METODE SUBSTITUSI FUNGSI ALJABAR Metode substitusi sering kali dinamakan dengan metode mengganti bukan menghilangkan. Suatu bentuk integral tidak semuanya dapat diselesaikan dengan metode substitusi, dengan kata lain suatu bentuk integral dapat di selesaikan dengan cara/metode yang bersifat coba-coba. Diberikan fungsi terdefinisi pada [ a,b] dan fungsi, -, - mempunyai invers. Jika dan mempunyai derivatif dan kontinu masing-masing pada interval, - dan, - serta kontinu pada, -, maka : ( ) ( ( )) ( ) Contoh :. ( ) ( ) Penyelesaian : Langkahnya : Misal: ( ) Maka : ( ) ( ) = = = = ( )
KALKULUS INTEGRAL 0. Penyelesaian : Misal. ( ) Contoh lain : Buktikan (diteruskan sebagai tugas mahasiswa) ta e Penyelesaian : ta Misal Maka : ta
KALKULUS INTEGRAL 0 Ingat : sifat e e Tugas di rumah :. Selesaikan integral di bawah ini : ( ). Selesaikan integral fungsi trigonometri berikut: a. ( ) ( ) b. Ujian Sisipan. Selesaikan integral tak tentu berikut integral a. b.. Hitunglah integral tak tentu berikut b. INTEGRAL PECAH RASIONAL Di berikan persamaan ( ), dengan dan. Selanjutnya P() disebut Polinomial berderajat n. Di berikan polinomial-polinomial P() dan Q() dengan berderakat masing-masing adalah m dan n, maka ( ) ( ) disebut Pecah Rasional P( ) Bentuk umumnya dapat diberikan sebagai H( ), dimana P() Q( ) adalah numerator, sedangkan Q() adalah denumerator. Jika P() > Q() maka P() harus dibagi Q() terlebih dahulu. Integral dengan bentuk rasional ini terdiri dari beberapa kasus, yang masing-masing akan dibahas dibawah ini. Jika pangkat P() lebih rendah dari pangkat Q(), maka P() disebut PROPER dan
KALKULUS INTEGRAL 0 sebaliknya P() disebut IMPROPER. Bentuk pecahan rasional yang improper dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari polinomial dan suatu pecahan rasional yang proper.. Kasus : Apabila faktor Q()=0 semuanya linier dan berbeda. ( ) ( )( ) ( ) dengan real dan berbeda. Maka ( ) ( ) dapat dinyatakan sebagai berikut : A An, dengan A, A,..., A R P( ) A... Q( ) n konstantakonstanta yang akan dicari. Contoh : n.... Penyelesaian : ( ) ( )( ) Jadi Q() mempunyai dua akar real yang berbeda. Sehingga di peroleh : ( ) ( ) ( ) ( ) Sehingga diperoleh : ( ) ( )...()...() Dari persamaan () dan () dengan metode eliminasi didapat dan Jadi 4
5 KALKULUS INTEGRAL 0 (. / ). /.... Penyelesaian : = ) )( ( = ) ( C B A = ) )( ( ) )( ( ) )( ( C B A = ) ( ) ( ) ( C B A = ) ( ) ( ) ( A C A B C B A 0 A A A C B C B A 0 C B C B C B C B C = 4 C = 6 4
KALKULUS INTEGRAL 0 = B 0 B = = = 6 4 6 Jadi d ( )( ) 6 d d d = ln ln ln c 6 = 6 c ( ) ( ) = ln 4 Latihan :. Tentukan. Tentukan. Tentukan. Kasus : Jika ( ) mempunyai akar riil dan ada yang sama. Maksudnya semua faktor dari penyebut linier, tetapi ada beberapa yang sama (berulang). 6
KALKULUS INTEGRAL 0 ( ) ( ) ( ) ( ) dengan real. Maka dapat dinyatakan sebagai berikut : ( ) ( ) P( ) A Q( ) B B ( ) ( ) C C ( ) ( ) t A ( ) t Ap... ( ) t p Bq... ( ) C... r ( ) r q... Dengan konstanta-konstanta yang akan dicari, Contoh :. ( )( )... Penyelesaian : ( ) ( )( ) ( )( ) Jadi Q() mempunyai tiga akar real dan ada yang sama. Sehingga di peroleh : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) carilah nilai? ( ) ( )( ) ( ). ( )( ) Penyelesaian : ( ) d A B C = ( ) ( ) ( - = A ( ) B( ) C D ( ) E ( ) D E ) 7
KALKULUS INTEGRAL 0 4 - = ( B E) ( A 6B D 4E) = ( 6A B C D 4E) (A 8B) 8A 7 5 A ; B ; C ; D ; E 8 6 4 4 6 d = 8 d d 7 6 4 4 ( ) 6 ( d 5 d d ) = ( 7) 5 ln ln c 8 6 8( ) 4 6. Kasus : Jika tidak semua akar riil dan yang tidak riil semuanya berbeda. Artinya penyebut dapat di faktorkan dalam bentuk kombinasi linier dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan parsial ( ) ( ) ( ) Berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C Contoh :. ( )( ) Penyelesaian : ( )( ) = ( ) = ( ) ( )( ) ( )( ) = ( ) ( ) ( ) ( )( ) Di peroleh : 8
KALKULUS INTEGRAL 0 sehingga:, ( ) ( ) atau ( )( ) = = =. Selesaikan integral ( )( ) Penyelesaian : (sebagai latihan mahasiswa) Latihan : Tentukan : a. b. ( ) 4. Kasus 4 : Jika tidak semua akar riil dan akar yang tidak riil ada yang sama. Maksudnya untuk faktor kuadratis dengan bentuk yang berulang n kali dalam penyebut pada pecahan rasional yang proper, ditulis sebagai jumlahan dari n pecahan parsiil dalam bentuk : ( ) ( ) Dimana A dan B konstanta yang harus di cari Contoh : ( ) ) Penyelesaian : 9
KALKULUS INTEGRAL 0 Latihan : Tentukan ( ) ( ) Penyelesaian : ( ) ( ) = ( ) ( ) (teruskan sebagai latihan mahasiswa) c. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:. a, a > 0, a Real. a = a, a > 0, a Real. a, a > 0, a Real atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya a b = a b a b = a b a b = b atau a b c a yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna. 0
KALKULUS INTEGRAL 0 Integrannya memuat a atau sejenisnya, Gunakan substitusi = a sin t atau sin t = a a = a sin t d = a cos t dt t dengan - t sehingga, a a = a ( asin t) = a ( sin t) = a cos t Catatan Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut. Contoh: Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:. 4 d Jawab Substitusi = sin t sin t = 4 t d = cos t dt
KALKULUS INTEGRAL 0 4 = 4 4sin t cos t Sehingga 4 d = cos t.cos tdt = 4 cost cos tdt = 4 tdt cos = 4 ( cos t) dt = dt + cos t dt = t + sin t + C = t + sin t cos t = arc sin 4 + C sin t cos t Atau 4 cos tdt = 4 ( + t C ) = sint cost + t + C = 4 + arc sin + C 4 = arcsin C. d 4
KALKULUS INTEGRAL 0 Jawab d 4 = d 4 ( ) Substitusi (-) = sin t, d = cos t dt 4 ( ) cost, sehingga 4 t d 4 ( ) cos tdt = cos t = dt = t + C = arc sin + C Kerjakan soal berikut sebagai latihan (sebagai tugas pertemuan ke-8) d. 5 d. 9. d ( 4 ) 4. d 5. d 6
KALKULUS INTEGRAL 0 INTEGRAL TERTENTU I. Landasan Teori Definisi: catatan : definite integral sering disebut sebagai Integral Riemann. Untuk menentukan nilai definite integral secara langsung dengan definisi di atas maka kita harus menggunkan jumlah Riemann (jumlah Riemann akan dijelaskan dalam contoh). Hal ini kurang efisien, terkadang dalam perhitungannya menemui kesalahan. Oleh karena itu, nilai definite integral ditentukan dengan menggunakan teorema dasar integral kalkulus berikut ini : Sifat- Sifat Umum Definite Integral : Misalkan f() dan g() merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup [a,b], maka definite integral memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut : 4
KALKULUS INTEGRAL 0 Menentukan Luas dengan Proses Limit Luasan Di Bawah Suatu Kurva Bila digambarkan suatu persegi panjang pada suatu koordinat cartesius,luas persegi panjang tersebut dengan mudah dapat dicari. Perhatikan gambar 5. Luas persegi panjang adalah A=f(). Gambar 5. 5
KALKULUS INTEGRAL 0 Bila jumlah persegi panjang kita perbanyak menjadi 4 dengan lebar yang sama namun tinggi f()-nya berbeda-beda maka keadaannya akan terlihat seperti gambar 5.. Gambar 5. Luas keseluruhan persegi panjang adalah : ( ) ( ) ( ) ( ) Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 0 dengan tinggi f()-nya yang berbeda-beda dan dengan Δ nya kita perkecil. Hasilnya akan menjadi seperti ditunjukkan pada gambar 5.. Gambar 5. 6
KALKULUS INTEGRAL 0 Luas totalnya dirumuskan sebagai : ( ) Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 00 dengan tinggi f()-nya yang berbeda-beda dan dengan Δ nya kita perkecil lagi. Hasilnya akan menjadi seperti ditunjukkan pada gambar 5.4. Gambar 5.4 Pada gambar 5. sampai gambar 5.4 secara tidak disadari kita telah membuat tinggi persegi panjang berubah memenuhi keteraturan mendekati pola persamaan : ( ) Bila jumlah persegi panjang kita tambah lagi menjadi n, dan seiring dengan itu membuat 0, maka tinggi f() untuk setiap Δ berubah secara kontinu mengikuti persamaan : ( ). Sehingga luas keseluruhan persegi panjangnya dinyatakan sebagai : ( ) ( ) Jika kita membuat Δ mendekati 0, maka penulisan o n lim berubah menjadi dan Δ berubah menjadi d. Sehingga selengkapnya ditulis menjadi : 7
KALKULUS INTEGRAL 0 ( ) ( ) Fungsi f() pada contoh di atas adalah fungsi satu variable bebas, yaitu : variable. Jika fungsi yang diintegralkan adalah fungsi satu variable bebas maka hasilnya adalah merupakan luasan (A) yang dibatasi oleh fungsi tersebut dengan sumbu-. Maka untuk mencari suatu luasan yang berada di bawah kurva suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara integral.s Misalkan kurva y = f() kontinu dalam interval a < < b. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(), sumbu, dan garis-garis = a dan = b, dapat ditentukan dengan menggunakan proses limit sebagai berikut :. Mula-mula interval [a,b] dibagi menjadi n buah sub-interval (panjang tiap sub interval tidak perlu sama) dengan cara menyisipkan (n-) buah titik. Misalkan titik-titik itu adalah,,... n Ditetapkan pula bahwa a 0 dan b n, sehingg a 0... n b Dengan demikian, panjang setiap sub-0 ninterval adalah 0,,..., i i i,......, n n n. Dalam setiap sub-interval i i i, kita tentukan titik dengan absis i dan koordinatnya f ( i ). Kemudian dibuat persegi panjang - persegi panjang dengan lebar i dan tinggi f ( i ), seperti diperlihatkan pada gambar dibawah ini. Perhatikan bahwa banyaknya persegi panjang yang dibuat dengan cara seperti itu ada n buah, dan luas masing-masing persegi panjang itu adalah: 8
KALKULUS INTEGRAL 0. Luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang tadi, Jadi, L f ) f ( ) f ( )... f ( n ) ( n Dengan menggunakan notasi sigma bagian ruas kanan dari bentuk di atas dapat dituliskan menjadi : n L f ( i ) i i Untuk menunjukkan bahwa penjumlahan tersebut mencakup ujung-ujung interval a dan b, maka hubungan di atas dapat ditulis sebagai berikut : b L a f ( ) Bentuk penjumlahan n L f ( i ) i i disebut sebagai jumlah Reimann.. Luas daerah L yang sebenarnya diperoleh dengan mengambil nilai n yang Cukup besar ( n 6). Ini berarti baha nilai menjadi kecil sekali ( 60). Dengan demikian, luas daerah L ditentukan dengan : L n b lim f ( i ) i atau L f ( ) n i a Untuk menyederhanakan cara penulisan, bentuk-bentuk limit di atas dapat dituliskan menjadi : n b lim ( i ) i lim n 60 i lim60 f f ( ) f ( ) d a b a Jadi, luas daerah L ditentukan oleh rumus : b L f ( ) d a 9
KALKULUS INTEGRAL 0 Menentukan Luas Daerah Antara Dua Kurva Misalkan dua kurva masing-masing dengan persamaan y = f() dan y = g(), merupakan kurva-kurva yang kontinu dan f() > g() dalam interval a < < b. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(), kurva y = g(), garis = a dan garis = b diperlihatkan pada gambar di bawah. Kita dapat menentukan luas daerah yang diarsir (ABCD) dengan cara sebagai berikut : Luas ABCD = Luas EFCD Luas EFBA b b = f ( ) d g( ) d a = f ( ) g( ) d a b a Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f() dan y = g(), garis = a dan garis = b, ditentukan dengan rumus : b L f ( ) g( ) d Dengan catatan bahwa f() > g() dalam interval a < < b a 0