METODE OUT OF KILTER MENENTUKAN MINIMAL COST PADA PERSOALAN NETWORK

METODE OUT OF KILTER MENENTUKAN MINIMAL COST PADA PERSOALAN NETWORK SKRIPSI AFNI DEVINA SARI SIREGAR 060823010 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

METODE OUT OF KILTER MENENTUKAN MINIMAL COST PADA PERSOALAN NETWORK SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai Sarjana Sains AFNI DEVINA SARI SIREGAR 060823010 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

PERSETUJUAN Judul : METODE OUT OF KILTER MENENTUKAN MINIMAL COST PADA PERSOALAN NETWORK Kategori : SKRIPSI Nama : AFNI DEVINA SARI SIREGAR Nomor Induk Mahasiswa : 060823010 Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen Fakultas : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Komisi Pembimbing : Medan, Maret 2009 Pembimbing 2 Pembimbing 1 Drs. Sawaluddin, M.IT Drs. Marwan Harahap M.Eng NIP. 132206398 NIP. 130422443 Diketahui/Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP. 131796149

PERNYATAAN METODE OUT OF KILTER MENENTUKAN MINIMAL COST COST PADA PERSOALAN NETWORK SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Maret 2009 AFNI DEVINA SARI SIREGAR NIM. 060823010

PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang dengan limpahan karunia-nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan. Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Bapak Drs. Marwan Harahap M.Eng dan Bapak Drs. Sawaluddin, M.IT selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas dan padat dan profesional telah diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga ditujuan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr. Saib Suwilo, M.Sc. dan Drs. Henri Rani Sitepu, M.Si., Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua Dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, dan teman teman seperjuangan komp 06. Akhirnya, tidak terlupakan kepada Ayahanda, ibunda dan adik-adik tercinta yang selama ini telah memberikan bantuan dan semangat yang diperlukan. Semoga Allah SWT akan membalas semua jasa mereka. Amin...

ABSTRAK Kajian ini memperkenalkan algoritma out of kilter untuk menemukan suatu aliran biaya minimum pada kapasitas network. Algoritma ini di mulai dengan tahap permulaan dengan memberikan nilai setiap x ij = 0, dan variabel dual dikatakan w i =0. Kemudiaan masuk tahap promal dengan menentukan status arc dan mencari sirkuit (cycle) pada network. Tahap ini arc yang statusnya out of kilter akan di tingkatkan atau diturunkan agar status arc menjadi in-kilter. Jika tidak ditemukan cycle dalam network, maka akan masuk tahap ke tahap dual. Tahap ini akan menghitung nilai z ij - c ij.. Jika semua arc statusnya sudah in-kilter, maka proses akan selesai.

THE OUT OF KILTER FORMULATION OF A MINIMAL COST NETWORK FLOW PROBLEM ABSTRACT This paper is introduces out of kilter algorithm to find a minimal cost flow in capacited. This algorithm started with start phase by giving value every x ij = 0., and dual variable, say each w i =0. Then phase admission primal by determining atatus arc and looks for circuit (cycle) at network. This phase arc which out of kilter will be increasing or decreasing arc to become in-kilter. Otherwise is found cycle in network, hence will step into dual phase. This phase will calculate value z ij -c ij. If all arc its status in-kilter had, hence process would completed.

DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR ii iv v vi BAB I BAB II BAB III PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang 1 1.2. Perumusan Masalah 2 1.3. Tinjauan Pustaka 2 1.4. Tujuan Penelitian 3 1.5. Kontribusi Penelitian 3 1.6. Metode Penelitian 4 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graph 5 2.2. Graph Berarah (Directed Graph) 5 2.3. Reprensentasi Graph Dalam Matriks 6 2.4. Path Minimum 8 2.5. Flow 9 2.6. Minimal Cost Flow 10 PEMBAHASAN 3.1. Metode Out of Kilter Menentukan Minimal Coct Pada Network 11 3.1.1. Dual pada Aliran Network 12 3.1.2. Kondisi kondisi Complemntary Slackness 12 3.1.3. Strategi Out Of Kilter 13 3.1.4. Tahap Permulaan (Initiation Phase) 14 3.1.5. Tahap Primal : Merubah Aliran 14

3.1.6. Tahap Dual : Merubah Variabel Dual 18 3.1.7. Prosedur Label pada Algoritma Out of Kilter 19 3.1.8. Tahap Inisialisas i 19 3.1.9. Tahap Utama 19 3.2. Contoh Algoritma Out Of Kilter 22 3.4. Contoh Transhippment Pada Algoritma Out Of Kilter 25 3.5. Bahasa C++ BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1. Kesimpulan 4.2. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN A. LISTING PROGRAM DAFTAR TABEL Halaman Tabel 3.1 Status Kilter pada Arc... 15 Tabel 3.2 Bilangan Kilter K ij.... 16 Tabel 3.3 Jumlah dan Arah Perubahan Aliran Yang Diijinkan... 16

DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Graph dengan Lima Verteks dan Enam Edge... 5 Gambar 2.2 Graph Berarah... 6 Gambar 2.3 Graph Matriks Insiden... 7 Gambar 2.4 Graph dengan 6 Verteks dan 10 Edge... 8 Gambar 2.5 Flow dalam Negatif... 9 Gambar 3.2 Status Kilter pada Arc... 17 Gambar 3.3 Flowchart Out of Kilter... 20 Gambar 3.4 Contoh Network... 21 Gamabr 3.4a Breakthourgh dan Tahap Primal Pertama... 21 Gambar 3.4b Nonbreakthrough dan Tahap Dual ke Dua... 22 Gambar 3.4c Nonbreakthrogh dan Tahap Dual ke Dua... 22 Gambar 3.4d Solusi Optimal... 23 Gambar 3.6 Problem Kapasitas Pengiriman... 25 Gambar 3.7 Kendala Masalah Transshipment : Basic Solusi Layak... 26 Gambar 3.8 Bentuk Cycle x56 dan Arus Basic Variable... 27 Gambar 3.9 Augmenting Flow ke x56,x35,x34, dan x,45 dilanjutkan ke iterasi berikutnya... 28

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu aliran adalah suatu perjalanan objek dari satu tempat ke tempat lain dalam jaringan kerja ( network ). Ada dua masalah yang perlu diperhatikan pada aliran dalam network. Sebagai contoh, bagaimana memaksimalkan jumlah materi yang dikirim dari satu tempat ke tempat lain, menentukan cost yang minimal untuk mengirimkan sejumlah objek dari sumber s ke tujuan t. Jaringan kerja (network) dapat digunakan untuk menjelaskan sebuah sistem seperti transportasi, aliran listrik, sambungan telepon, komunikasi, distribusi dan lain - lain. Hal ini tentu saja bermanfaat pada hampir setiap kegiatan di berbagai bidang Ilmu Pengetahuan, Sosial dan Ekonomi.

Persoalan minimal cost flow merupakan permasalahan yang utama dalam network flow. Bentuk persoalan ini adalah menentukan cost pengiriman yang minimal pada sebuah komoditas melalui jaringan yang harus memenuhi node permintaan dan node persediaan. Secara umum suatu network dapat dinotasikan dengan himpunan G =(N,A), dimana N adalah node dan A adalah arc. Diberikan G = (N,A) sebagai network, misalkan jumlah b i adalah jumlah ketersediaan barang maka b i > 0 dan permintaan barang b i < 0. Node dengan b i >0 sering disebut sumber ( sources), dan node dengan b i < 0 sering disebut tujuan ( destination). Dimana b i adalah jumlah yang diminta untuk didatangkan (jumlah permintaan) node sumber i. Sedang i adalah indeks, jika b i = 0, maka tidak ada barang yang tersedia pada node i dan tidak diperlukan. Pada permasalahan ini node i sering disebut perantara ( intermediate ) node. Untuk setiap arc ( i,j ) pada v ij adalah jumlah aliran pada edge (asumsikan 0 v ij ) dan c ij adalah biaya pengiriman sepanjang arc. Dalam hal ini, penulis akan meninjau Algoritma Out of kilter serta beberapa penugasan, persoalan ongkos minimum/aliran maksimum, dan persoalan pengiriman barang (transshipment). 1.2 PERUMUSAN MASALAH Permasalahan dalam tulisan ini adalah bagaimana algoritma out of kilter dapat menyelesaikan permasalahan distribusi aliran dalam network khususnya dalam mencari minimal cost. 1.3 TINJAUAN PUSTAKA Untuk mewujudkan maksud dan tujuan dari penelitian ini, penulis memanfaatkan bukubuku yang dipergunakan sebagai referensi salah satunya : Aliran maksimal adalah suatu persoalan analisis jaringan kerja. Model aliran maksimal digunakan untuk menggambarkan nilai maksimal seluruh aliran didalam suatu jaringan kerja. [6] Bazaara, Mokhtar S. Dan John J.Jarvis [3,bab 10] dalam bukunya Linear Programming and Network Flows, memuat tentang, penyelesaian program integer seperti program linear, dengan rumus seperti di bawah ini :

Minimumkan m m i= 1 j= 1 c ij x ij Kendala m m x ij x ki j= 1 k = 1 = 0 i = 1, 2,,m dimana : x ij l ij x ij u ij i,j = 1, 2,,m i,j = 1, 2,,m m c ij x ij l ij u ij : merupakan banyak node : merupakan cost dari node asal i ke node tujuan j : merupakan aliran (flow) dari node asal i ke node tujuan t : merupakan batas bawah : merupakan batas atas Kekekalan aliran yang memenuhi pada batasan tetap l ij x ij u ij adalah feasible flow ( aliran yang layak). Asumsikan c ij,l ij dan u ij dan integer dan 0 l ij u ij. Karena semua nilai di sisi kanan pada persamaan kekekalan aliran adalah nol., dapat disimpulkan bahwa aliran dalam network tidak mempunyai node awal atau node akhir. Dengan demikian kekekalan aliran dalam network akan membentuk lingkaran berarah (directed cycles) (Jean Marie PLA. 1971, hal.279) menyatakan karakteristik pemecahan masalah optimal dalam network flow yang paling sederhana adalah memperkenalkan masalah dual dan kondisi complementary slackness. Dalam menyelesaikan persoalan network dengan algoritma out-of-kilter digunakan asumsi bahwa setiap arc dalam network jaringan mempunyai kapasitas tertentu, atau mempunyai batas bawah dan batas atas bagi alirannya.

Algoritma out-of-kilter dapat dipergunakan untuk menyelesaikan beberapa persoalan jaringan berkapasitas, yaitu persoalan transportasi, persoalan penugasan, persoalan ongkos minimum/aliran maksimum, persoalan lintasan terpendek, dan persoalan transshipment. 1.4. TUJUAN PENELITIAN Untuk menganalisa permasalahan distribusi aliran barang (commodity) sampai mencari minimal cost dengan menggunakan Algoritma out of kilter dan mengimplementasikan dengan suatu program. 1.5. KONTRIBUSI PENELITIAN Metode out of kilter dengan menentukan minimal cost pada persoalan network bermanfaat untuk jaringan transportasi, jaringan pipa (Aliran PAM),dan lalu lintas atau perniagaan. 1.6. METODE PENELITIAN 1. Menguraikan pendekatan pada Graph 2. Menentukan lintasan (path) dari sumber (source) ke tujuan ( destination) 3. Menguraikan tentang masalah aliran minimal cost dan hal hal yang menyangkut konsep algoritma out of kilter. 4 Menjelaskan penggunaan algoritma Out of Kilter dalam mencari minimal cost. 5 Implementasikan metode algoritma out of kilter dengan suatu program..

BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graph Definisi 2.1. Sebuah graph G= (N,A), di mana himpunan N adalah himpunan yang anggotanya disebut node dan A dari pasangan node yang disebut arc. Secara umum graph dapat digambarkan dengan suatu diagram di mana verteks ditunjukkan sebagai titik yang dinotasikan dengan n i, i = 1, 2,,P dan arc

digambarkan dengan sebuah garis lurus atau garis lengkung yang menghubungkan dua verteks (n i, n j ) dan dinotasikan dengan a k. Sebagai ilustrasi dapat dilihat Gambar 2.1. yaitu suatu graph yang mempunyai lima node dan enam arc. n 1 a 4 n 3 n 5 a1 a 5 a 3 a 6 n 2 a 2 n 4 Gambar 2.1. Graph dengan lima node dan enam arc 2.2. Graph Berarah ( Directed Graph) Graph berarah G terdiri dari suatu himpunan N dari node node dan suatu himpunan A dari arc - arc sedemikian rupa sehingga setiap arc a A menghubungkan pasangan node terurut. Jika terdapat sebuah arc a yang menghubungkan pasangan terurut (v,w) dari node, dapat ditulis dengan a =(v,w) yang menyatakan sebuah arc dari v ke w. n1 n4 a4 a5 n5 a1 a3 a6 n2 a2 n3 Gambar 2.2. Graph Berarah (Directed Graph)

Graph berarah pada gambar 2.2 adalah graph berarah dengan himpunan node N(G) ={n 1,n 2,n 3,n 4,n 5 } dan himpunan sisi A(G) ={a1,a2,a3,a4,a5,a6} yaitu pasangan terurut dari { (n 1,n 2 ), (n 2,n 3 ), (n 3,n 4 ),(n 4,n 5 ),(n 5,n 1 ),(n 2,n 5 ). Pada suatu graph dua buah node n1 dan n2 dikatakan adjacent jika kedua node tersebut dihubungkan oleh suatu arc. Pada gambar 2.2 node n 1 adjacent ( bertetangga) dengan node n 2. Sementara itu a 1 dikatakan incident ( bersisian) dengan node n 1 dan node n 2. 2.3. Representasi Graph dalam Matriks 1. Matriks Insiden Matriks insidency atau matriks bersisian adalah matriks yang mereprensentasikan hubungan antara node dan arc. Misalkan B adalah matriks dengan m baris untuk setiap node dan n kolom untuk setiap arc. Jika node terhubung dengan arc, maka elemen matriks bernilai 1. Sebaliknya, Jika node tidak terhubung dengan arc maka elemen matriks bernilai 0. Sebuah loop adalah node dengan titik awal sama dengan titik akhirnya, yaitu sebuah node yang mulai dan berakhirnya pada titik yang sama. a3 n 1 n 4 a6 a1 a 2 a5 n 2 n 3 a4 Gambar 2.3 Graph Matriks Insiden e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 v 1 1 1 1 0 0 0

B = v 2 1 0 0 1 0 0 v 3 0 1 0 1 1 0 v 4 0 0 1 0 1 0 b ij = 1 jika node n i adalah insiden pada arc a j 0 Jika tidak ada node n i yang insiden pada arc a j 2 Matriks Adjacency Misalkan G adalah graph berarah yang terdiri dari n node tanpa arc pararel. Matriks Adjacency pada graph G adalah matriks bujur sangkar n x n, A( a ij ) dengan a ij = 1 jika ada arc (n i, n j ) di G 0 Jika tidak ada arc (n i,n j ) di G Matriks adjacency dapat dilihat dari graph gambar 2.3 adalah : v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 0 1 1 1 A = v 2 1 0 1 0 v 3 1 1 0 1 v 4 1 0 1 0 2.4. Path Minimum Salah satu aplikasi graph berarah yang sering dipakai adalah mencari lintasan (path) terpendek diantara 2 pasang node (s ke t ). Jika masalahnya adalah mencari jalur

tercepat, maka path terpendek tetap dapat digunakan dengan cara menggantikan nilai edge. Definisi 2.2. Lintasan (Path) adalah suatu barisan edge (e i1,e i2,..,e ik ) sedemikian rupa sehingga verteks terminal e ij berimpit dengan verteks awal e i(j+1) untuk 1 j k 1. Contoh 2.1. e 4 v 3 e 5 v 4 e 2 e 3 v 1 v 2 e 7 e 6 e 10 e 1 e 8 v 6 v 5 Gambar 2.4. Graph dengan 6 verteks dan 10 edge e 9 Pada Gambar 2.4 di atas terdapat: a. Semua edge berbeda (e 1, e 3, e 4, dan e 5 masing-masing muncul sekali). Ada verteks yang berulang (v 3 muncul 2 kali). Verteks awal dan verteks akhir tidak sama (verteks awal = v 1 dan verteks akhir = v 4 ). Barisan ini merupakan path dari v 1 ke v 4 dengan panjang 4. b. Ada edge yang muncul lebih dari sekali, yaitu e 5 (muncul 2 kali) berarti barisan tersebut merupakan walk dari v 1 ke v 5 dengan panjang 5. 2.5. Flow Flow bisa saja dianggap sebagai bentuk kesatuan material yang meninggalkan suatu node menuju suatu node. Jika suatu arc a j insident ke dua node v i dan v j, maka suatu flow f j pada arc a j dapat ditunjukkan dengan sistematis. Defenisi 2.3. Suatu flow pada suatu network G=(X,A) adalah suatu aliran pada suatu graph berarah dan berkapasitas, dimana setiap arc (x,y) A memiliki kapasitas non negatif c(x,y) 0. jika (x,y) A, maka diasumsikan c(x,y) = 0.

8 X1 6 a4 X3 6 a1 a8 s 0 a5 5 4 t 6 a2 X2 a3 6 a7 X4 a9 8 a6 Gambar 2.5. Flow dalam network Gambar 2.5 memperlihatkan bahwa setiap arc terletak pada tiap-tiap node dari sumber s ke tujuan t. Arc menggambarkan saluran dengan kapasitas tertentu. Kapasitas merupakan batas maksimal di mana setiap material (misalnya air, gas, listrik) dapat dialirkan melalui saluran. Sedangkan node menggambarkan persimpangan saluran. Material mengalir melalui node tanpa mengumpulkan material tersebut pada node yang dilalui (kecuali pada node sumber dan node tujuan). 2.6. Minimal Cost Flow Definisi 2.4 Suatu network yang mempunyai arc cost. Cost flow adalah perkalian cost dan flow sehingga cost flow adalah suatu bilangan.. Suatu flow f adalah suatu minimal cost flow jika f mempunyai minimal cost diantara semua flow yang ada dengan nilai flow, maka yang akan dicari dalam masalah minimal cost flow adalah suatu minial cost dengan nilai flow yang maksimal. Definisi 2.5 Anggap G=(X,Y) adalah suatu network yang berarah menggambarkan suatu himpunan node X dan suatu arc A yang berarah. Setiap arc (x,y) A mempunyai

non-negatif cost u(x,y) yang mengalirkan unit flow pada setiap arc dan juga memiliki kapasitas c(x,y). Jumlah cost suatu flow dari sumber s ke tujuan t, secara berurut adalah : cost ( f ) = f ( x, y) ( x, y ) A u ( x, y) Dimana ; f x,y u : merupakan aliran (flow) : merupakan arc : merupakan batas atas BAB III PEMBAHASAN 3.1. Metode of Kilter Menentukan Minimal Cost Pada Persoalan Network Bentuk umum dari masalah aliran minimal cost dapat dituliskan sebagai berikut.

Minimumkan m m i= 1 j= 1 c ij x ij m m Kendala x = 0 i = 1, 2,...,m (3.1) ij x ki j= 1 k = 1 x ij l ij x ij u ij i,j = 1, 2,,m i,j = 1, 2,,m keterangan : m c ij x ij l ij u ij : merupakan banyak node : cost dari node asal i ke node tujuan j : aliran (flow) dari node asal i ke node tujuan j : batas bawah : batas atas Kekekalan aliran yang memenuhi pada batasan tetap l ij x ij u ij adalah feasible flow(aliran yang layak). Asumsikan c ij, l ij, dan u ij integer dan 0 l ij u ij. Karena semua nilai di sisi kanan pada persamaan kekekalan aliran adalah nol, maka dapat disimpulkan bahwa aliran dalam network tidak akan terlihat di titik awal atau titik akhir, tapi akan beredar terus-menerus sepanjang aliran di network tersebut. Dengan demikian kekekalan aliran dalam network akan membentuk lingkaran berarah (directed cycles). 3.1.1. Dual pada Aliran Network Sesuaikan variabel dual w i dengan setiap node pada Persamaan 3.1, variabel dual h ij dengan batasan x ij u ij (yang mana ditetapkan - x ij - u ij untuk mencari dual), dan variabel dual v ij dengan batasan x ij l ij, dual dari out-of-kilter pada permasalahan aliran network minimal cost dituliskan sebagai berikut. Maksimalkan l v ij ij m m i= 1 j= 1 m m - i= 1 j= 1 u ij h ij Kendala w i w j + v ij h ij = c ij i, j = 1,, m h ij,v ij 0 i, j = 1,, m

w i tak terbatas (unrestricted) i = 1,, m Keterangan : v ij : nilai constraint atau nilai pembatas x ij u ij h ij w i w j z ij : nilai contraint atau nilai pembatas x ij u ij : nilai bobot dari node asal i : nilai bobot dari node tujuan j : merupakan nilai optimal dari node asal i ke node tujuan j Jika w i (asumsikan semua w i integer), maka dual constraint untuk arc (i, j) menjadi v ij h ij = c ij w i + w j, h ij 0, v ij 0 dan dapat dipenuhi oleh v ij = Maksimum {0, c ij - w i + w j } h ij = Maksimum {0, - (c ij - w i + w j } 3.1.2. Kondisi-kondisi Complementary Slackness Kondisi-kondisi complementary slackness untuk mendapatkan nilai yang optimal dari perumusan out-of-kilter adalah sebagai berikut: (x ij l ij )v ij = 0 i,j = 1, 2,, m (3.2) (u ij x ij )v ij = 0 i,j = 1, 2,, m (3.3) z ij c ij w i w j - c ij. Kemudian dari definisi v ij dan h ij didapat v ij = Maksimum {0, -(zij c ij )} (3.4) h ij = Maksimum {0, zij c ij } (3.5) Catatan bahwa z ij c ij akan dikenal sebagai koefisien x ij dalam barisan fungsi objektif pada tabel simpleks batas atas-batas bawah yang mempunyai solusi dasar pada masalah primal.

Bila diberikan nilai pada w i, maka dapat dihitung z ij c ij = w i w j - c ij. Jika melihat persamaan pada (3.4) dan (3.5), maka kondisi complementary slackness (3.2) dan (3.3) diperoleh z ij c ij < 0 v ij > 0 x ij = l ij i, j = 1, 2,..., m (3.6) z ij c ij > 0 h ij > 0 x ij = u ij i, j = 1, 2,..., m (3.7) Memasukkan kondisi tambahan z ij c ij = 0 l ij x ij u ij i, j = 1, 2,..., m (3.8) 3.1.3 Strategi Out-Of-Kilter Langkah umum algoritma out-of-kilter (diuraikan pada gambar 3.3) adalah sebagai berikut : 1 Mulai dari kekekalan aliran (node masuk sama dengan node yang keluar), masing-masing x ij = 0, dan solusi yang layak untuk dual, masing-masing w i = 0, dengan h ij, v ij seperti yang dijelaskan pada Persamaan (3.4) dan (3.5). Identifikasi keadaan kilter dan hitung bilangan kilter. 2 Jika pada network memiliki arc out-of-kilter, maka lakukan tahap primal algoritma. Selama tahap ini arc out-of-kilter terpilih dan mencoba membuat bentuk kekekalan aliran baru sedemikian bilangan kilter tidak ada arc memburuk dan arc yang terpilih ditingkatkan. 3 Ketika ditentukan bahwa tidak ada aliran yang meningkat terbangun selama tahap primal, algoritma membuat solusi dual yang baru sedemikian tidak ada bilangan kilter yang memburuk (worsened) dan ulangi tahap 2. 4 Iterasi antara tahap 2 dan tahap 3, algoritma secepatnya membangun solusi optimal atau menentukan tidak ada solusi yang layak. Algoritma out-of-kilter yang lengkap terdiri dari 3 (tiga) tahap: tahap permulaan (initiation phase), tahap primal (primal phase), tahap dual (dual phase). 3.1.4 Tahap Permulaan (Initiation Phase) Dimulai dengan sebuah aliran, katakan untuk setiap x ij = 0, dan inisial dual variabel, katakan w i = 0. Hitung z ij c ij = w i w j - c ij. 3.1.5 Tahap Primal: Merubah Aliran

Tentukan status kilter dan bilangan kilter untuk setiap arc. Kemudian cari dalam network yang membentuk sirkuit (cycle). Jika semua arc in-kilter, maka stop. Dengan diperoleh solusi optimal. Jika tidak, maka pilih atau lanjutkan dengan arc out-of-kilter (p,q) yang sebelumnya terpilih. Dari network G membentuk network G menurut Tabel 3.3. Untuk setiap arc (i,j) pada G adalah salah satu dari status kilter yang membolehkan aliran meningkat, tempatkan arc(i, j) di dalam G dengan arus yang dibolehkan meningkatkan. Untuk setiap arc (i,j) pada G adalah salah satu dari status kilter yang membolehkan aliran berkurang, selanjutnya tempatkan arc(j, i) di dalam G dengan arus yang dibolehkan. Untuk arc-arc di dalam G yang bagian dari status yang dibolehkan itu tidak ada aliran berubah, kemudian tempatkan tidak ada arc di dalam G. Penentuan sirkuit seperti itu disebut breakthrough. Jika sirkuit seperti itu didapatkan, maka tentukan perubahan aliran Δ sama dengan minimum dari aliran yang berubah pada arc dalam sirkuit. Ubah aliran pada setiap arc dari siklus berhubungan dalam G dengan jumlah Δ menggunakan orientasi yang ditetapkan oleh sirkuit sebagai arah peningkatan. Khususnya, misalkan x ij = x ij + Δ jika (i, j) adalah anggota dari sirkuit G ; misalkan x ij = x ij - Δ jika (j, i) adalah anggota dari sirkuit G ; misalkan x ij = x ij sebaliknya. Ulangi tahap primal. Jika tidak ada sirkuit berisi arc (p, q) ada tersedia di dalam G, maka lakukan tahap dual. Penentuan tidak ada sirkuit seperti itu disebut nonbreakthrough Tabel 3.1. Status kilter pada arc

z ij c ij < 0 z ij c ij = 0 z ij c ij > 0 x ij > u ij Out-of-kilter Out-of-kilter Out-of-kilter x ij = u ij Out-of-kilter In-kilter In-kilter l ij < x ij < u ij Out-of-kilter In-kilter Out-of-kilter x ij = l ij In-kilter In-kilter Out-of-kilter x ij < l ij Out-of-kilter Out-of-kilter Out-of-kilter Keadaan in-kilter dan out of kilter pada tiap tiap arc dalam network dapat dijelaskan pada tabel 3.1. Jika z ij c ij < 0 dan x ij > u ij maka statusnya out of kilter Jika z ij c ij < 0 dan x ij = u ij maka statusnya out of kilter Jika z ij c ij < 0 dan l ij < x ij < u ij maka statusnya out of kilter Jika z ij c ij < 0 dan x ij < l ij maka statusnya out of kilter Jika z ij c ij = 0 dan x ij > u ij maka statusnya out of kilter Jika z ij c ij = 0 dan x ij < l ij maka statusnya out of kilter Jika z ij c ij > 0 dan x ij > u i j maka statusnya out of kilter Jika z ij c ij > 0 dan l ij < x ij < u ij maka statusnya out of kilter Jika z ij c ij > 0 dan x ij = l ij maka statusnya out of kilter Jika z ij c ij > 0 dan x ij < l ij maka statusnya out of kilter Jika z ij c ij < 0 dan x ij < l ij maka statusnya In-kilter

Jika z ij c ij = 0 dan x ij = u ij maka statusnya In-kilter Jika z ij c ij = 0 dan l ij < x ij < u ij maka statusnya In- kilter Jika z ij c ij = 0 dan x ij = l ij maka statusnya In-kilter Jika z ij c ij > 0 dan x ij = u ij maka statusnya In-kilter Tabel 3.2 Bilangan kilter K ij z ij c ij < 0 z ij c ij = 0 z ij c ij > 0 x ij > u ij x ij - l ij x ij - u ij x ij - u ij x ij = u ij x ij - l ij 0 0 l ij < x ij < u ij x ij - l ij 0 x ij - u ij x ij = l ij 0 0 x ij - u ij x ij < l ij x ij - l ij x ij - l ij x ij - u ij Tabel 3.3 Jumlah dan arah perubahan aliran yang memenuhi x ij > u ij z ij c ij < 0 z ij c ij = 0 z ij c ij > 0 x ij = u ij l ij < x ij < u ij x l x l x u x u x u

x ij = l ij x ij < l ij x l x ij Out-of-kilter u ij In-kilter In-kilter In-kilter l ij Out-of-kilter z ij - c ij Out-of-kilter Gambar 3.2. Status kilter pada arc Ada banyak perbedaan ukuran jarak (measure distance) untuk masalah out-ofkilter. Pada Tabel (3.2) dijelaskan satu ukuran jarak yang disebut dengan bilangan kilter (Kilter number) K ij pada arc (i, j). Bilangan kilter didefenisikan bilangan yang

mengubah aliran di arc menjadi minimal sehingga dapat menentukan lintasan kilternya. Perlu diingat bahwa karena syarat melibatkan nilai absolut, maka bilangan kilter pada arc harus non negatif. Jika arc yang in-kilter, maka bilangan kilter adalah nol (0) dan jika arc out-of-kilter, maka bilangan kilter adalah harus positif. Jika z ij c ij < 0, maka arc (i, j) adalah in-kilter jika dan hanya jika aliran adalah sama dengan l ij dan oleh sebab itu bilangan kilter x ij - l ij menandai seberapa jauh arus aliran x ij adalah dari kasus ideal l ij. Dengan cara yang sama, jika z ij c ij > 0, maka bilangan kilter x ij - u ij memberi jarak dari aliran ideal u ij. Terakhir, jika z ij c ij = 0, maka arc adalah in-kilter bila l ij x ij u ij. Khususnya, jika x ij > u ij, maka arc dibawa ke in-kilter dan pengurangan aliran oleh x ij - u ij, dan jika x ij < l ij, maka arc dibawa ke in-kilter dan peningkatan aliran oleh x ij - l ij, dan karenanya masuk kedalam kolom z ij c ij = 0 pada Tabel (3.2) Tahap Dual : Merubah Variabel Dual Tahap dual adalah tahap dimana dilakukan proses perubahan nilai variabel dual yang fungsinya adalah mengurangi bilangan kilter untuk mendapatkan nilai pada arc menjadi in kilter. Adapun prosesnya sebagai berikut : Menentukan satuan dari node X yang dapat dicapai dari node q sepanjang path pada G. Misalkan X = N X. Dalam G, dapat digambarkan S 1 dan S 2 oleh S 1 = {(i, j): i Є X, j Є X, z ij - c ij < 0, x ij u ij } S 2 = {(i, j): i Є X, j Є X, z ij - c ij > 0, x ij l ij } Ө = Minimum { z ij - c ij, } Jika Ө =, maka berhenti; tidak ada solusi yang layak. Sebaliknya, ubah w i dan z ij - c ij menurut w i = w i + Ө jika i X w i jika i X (z ij - c ij ) jika (i, j) Є (X, X) U(X, X)

(z ij - c ij ) = (z ij - c ij ) + Ө jika (i, j) Є (X, X) (z ij - c ij ) - Ө jika (i, j) Є (X, X) dan lakukan tahap primal. 3.1.7 Prosedur Label pada Algoritma Out-Of-Kilter Misalkan untuk setiap node j label L( j ) = ( + i, Δ j ). Label (i, Δ j ) menunjukkan bahwa aliran pada arc (i, j) dapat ditingkatkan dengan jumlah Δ j tanpa memperburuk bilangan kilter pada arc manapun Δ j tanpa memperburuk bilangan kilter pada arc manapun. Sebagai catatan bahwa Δ j mewakili perkiraan aliran dari nilai aliran yang diubah yang dapat berlangsung sepanjang siklus yang berisi arc out-of-kilter dan arc (i, j) atau (j, i) Mulai Misalkan x ij = 0 dan w i = 0 Hitung z ij c ij = w i w j - c ij Periksa status kilter.semua arc inkilter? Ya Hitung m m i= 1 j= 1 c ij x ij Tidak Tentukan arc yang out-of-kilter (p, q) Ya Temukan sirkuit (direct cycle) pada network G Tidak Hitung S 1 dan S 2 Hitung Ө; Jika Ө = Ya Tidak ada solusi yang layak Berhenti

dengan demikian bahwa bilangan kilter dari arc yang tidak ada ditingkatkan. Algoritma label terdiri dari 2 (dua) tahap, yaitu tahap inisialisasi dan tahap utama. 3.1.8 Tahap Inisialisasi Tentukan sebuah aliran, sebagai contoh, setiap x ij = 0, dan nilai dari variabel dual, misalkan setiap w i = 0. 3.1.9 Tahap Utama 1. Jika semua arc adalah in-kilter sesuai Tabel 3.2, maka stop; dengan demikian nilai optimal diperoleh. Jika tidak, maka pilih (atau lanjutkan dengan pilihan selanjutnya) arc out-of-kilter, misal (p, q). Hapus semua label-label. Jika (p, q) adalah salah satu status di mana aliran meningkat., Δ pq, sesuai Tabel 3.3, maka tetapkan s = q, t = p, dan L(s) = (+t, Δ pq ). Sebaliknya, jika (p, q) adalah salah satu status di mana aliran berkurang, Δ pq, sesuai Tabel 3.3, maka tetapkan s = p, t = q, dan L(s) = (-t, Δ pq ). 2. Jika node i memiliki label, node j tidak memiliki label, dan aliran akan ditingkatkan dengan jumlah Δ ij sepanjang arc (i, j) sesuai dengan Tabel 3.3, maka menetapkan node j label L(j) = (+i, Δ j ) di mana Δ j = minimum{ Δ i, Δ ij }. Jika node i memiliki label, node j tidak memiliki label, dan aliran dikurangi dengan jumlah Δ ji sepanjang arc (j, i) sesuai dengan Tabel 3.3, maka berikan node j label L(j) = (-i, Δ j ) di mana Δ j = minimum{ Δ i, Δ ji }. Ulangi langkah 2 sampai setiap node t diberi label atau sampai tidak ada lagi node-node yang

diberi label. Jika node t diberi label, maka lanjut ke langkah ke 3 (breakthrough telah terjadi); jika tidak, maka lanjut ke langkah ke 4 (nonbreakthrough telah terjadi). 4. Misalkan Δ = Δ t. Ubah aliran sepanjang siklus yang dikenali sebagai berikut. Mulai dari node t. Jika masukan pertama di L(t) adalah + k, maka tambahkan Δ ke x kt. Sebaliknya, jika masukan pertama L(t) adalah k, maka kurangi Δ dari x tk. Mundur ke node k dan ulangi proses sampai node t dicapai lagi dalam proses mundur(backtrack process). 3.3 Transportasi dan Transshipment Problem Model transportasi merupakan salah satu bentuk khusus atau variasi dari program linear yang dikembangkan khusus untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan transportasi (pengangkutan) dan distribusi produk atau sumber daya dari berbagai sumber ( pusat pengadaan, atau titik suplai) ke berbagai tujuan ( node permintaan). 3.2.1 Masalah Kapasitas Transshipment Menggunakan Algoritma Out Of Kilter Masalah transportasi untuk menemukan total minimum cost pengiriman dari sumber (sources) s, dengan masing masing persediaan yang berbeda, ke n tujuan (destination), dengan masing masing permintaan ( demand) tertentu. Masalah transshipment merupakan suatu bentuk umum model transportasi sedangkan model transportasi adalah bentuk khususnya di mana terdapat pusat- pusat asal atau sumber asli, pusat tujuan yang asli, dan titik titik transshipmentnya. Titiktitik transshipment bisa terdapat pada pusat asal maupun pusat tujuan. Dalam model ini setiap pusat dapat mengirim dan menerima arus barang angkutan. Hal ini berarti terdapat keleluasaan dalam penetapan rute arus barang dari node i ke node j, selain rutenya yang langsung.

Ada beberapa cara untuk merumuskan masalah transshipment secara matematis. Andaikan, x ij = Jumlah yang diangkut dari titik j ; i j ; i, j = 1,2,...n. c ij = Biaya angkutan dari node i ke node j ; c ij 0. r i = Selisih node i. s i d j = Persediaan (supply) = Permintaan (demand) Setiap node atau lokasi yang ada harus dapat memenuhi suatu rumusan keseimbangan yaitu antara arus barang yang keluar (diangkut) dikurangi arus barang yang masuk (diterima) harus sama dengan kebutuhan bersih/ selisihnya. 3.3 Contoh Transshipment Pada Algoritma Out Of Kilter S1 = 10 $ 20 D5 = 12 1 $10 6 5 3 $5 12 $7 8 7 $11 3 8 $12 $6 7 $7 5 S2=15 1 2 $15 4 $15 6 D6=13 10 17 Gambar 3.6 Problem kapasitas pengiriman Kita temukan solusi layak dengan percobaan (trial) dan kesalahan (error) : Variable dasar flow Batas bawah flow Batas Atas Flow Basic variable nonbasic variable nonbasic X13 9 X12 0 X15 6 X12 5 X56 0 X24 10 X34 3 X65 0

X35 6 X46 13 Solusi yang paling pokok pada basic variable pohon (tree) pada gambar dibawah ini, ditunjukkan aliran cyclenya dibawah arcnya. $20 6 S1=10 D5 = 12 1 9 6 5 $10 3 $5 12 3 $7 7 $11 8 8 $12 10 13 $7 $6 7 $15 $15 5 S2=15 2 10 4 17 6 D6=13 Flow Gambar 3.7 Kendala Masalah Transshipment: Basic Solusi Layaknya ITERASI 1 Ambil U1melalui 0 kemudian, Langkah 1 : Tentukan U ij Variable Basic C ij - Z ij = 0 Substitusikan Dinyatakan X13 C13 - U1 + U3 = 0 10 0 + U3 = 0 U3 = -10 X21 C21 U2 + U1 = 0 6 - U2 + 0 = 0 U2 = 6 X34 C34 U3 + U4 = 0 12 (-10) + U4 = 0 U4 = - 22 X35 C35 U3 + U5 =0 7 (-10) + U5 = 0 U5= - 17 X46 C46 U4+ U6 = 0 15 (- 22) +U6 = 0 U6 = - 37 Langkah 2 dan 3 Variable Batas Bawah : Tentukan nilai C ij - Z ij untuk variable nonbasic dan variable Masukan. Variable Hitung C ij - Z ij Out of Kilter? X12 C12 U1 = U2 = 5 0 + 6 = 11 Tidak

X56 C56 U5 + U6 = 11 (-17) + (-37) = -19 Ya X65 C65 U6 + U5 = 7 (-37) + (-17) = 27 Tidak Variable Batas Atas Variable Hitung C ij - Z ij Out of Kilter? X15 C15 U1 +U5 = 20 0 + (-17) = 3 Ya X24 C24 U2 + U4 = 15 6 + (-22) = -1 Tidak Langkah 4 : Tentukan perubahan variable basicnya Pada gambar 3.8 ditunjukkan X56 berbentuk cycle dengan variable basic X35, X34, dan X46. Dan X56 berada dibatas bawah (0), maka variable basicnya meningkat. Dari gambar 3.9 menunjukkan, ketika X56 meningkat, X35 harus meningkat dan X46 menurun. Maka X34 juga harus meningkat D=5 5 $7 7 $11 3 8 8 $12 4 $15 6 D6=13 17 Gambar 3.8 Bentuk Cycle X56 dan arus basic variable Jumlah maksimum akan dihitung dari perubahan di 4 variable sebelum sampai batasannya yang ditunjukkan digambar, sebagai berikut : Variable Nilai awal Batas Atas Maksimum meningkat

Meningkatkan X56 0 7 7 0 = 7 X35 6 8 8 6 = 2 Variable Menurun Nilai awal Batas Bawah Maksimum menurun X34 3 0 3 0 = 3 X46 13 0 13 0 = 13 Minimum dari maksimum di ubah menjadi 2, ditentukan X35 meningkat melalui variable batas atas. Lalu kita jumlah kan 2 melalui aliran di arc X56 dan X35 dan kurang 2 dari aliran selama X34 dan X46 digambarkan pada diagram network flow. $20 6 S1=10 1 6 5 D6=12 12 $10 9 8 3 $5 $7 8 7 $11 1 5 8 $12 2 1 $6 S2=15 $15 10 $15 11 D6=13 2 4 6 10 17 Gambar 3.9 Augmenting Flow ke X56,X35,X34, dan X45 dilanjutkan ke iterasi berikutnya. ITERASI 2

Variable basic Flow Batas bawah Flow Batas atas Flow nonbasic variable variable nonbasic X13 9 X12 0 X15 6 X21 5 X65 0 X24 10 X34 1 X35 8 X46 11 X56 2 Langkah 1 : Tentukan U ij Ambil U1 melalui 0 Variable basic Nilai peluang = 0 Subsitusi Dinyatakan X13 C12 U1 + U3 = 0 10 0 + U3 = 0 U3 = -10 X21 C21 U2 + U1 =0 6 U2 + 0 = 0 U2 = 6 X34 C34 U3 +U4 = 0 12 (-10) + U4 = 0 U4 = -22 X46 C46 U4 + U6 = 0 15 (-22) + U6 = 0 U6 = -37 X56 C56 U5 + U6 = 0 1 U5 + (- 37) = 0 U5 = -26 Langkah 2 : Tentukan nilai C ij - Z ij dari variable nonbasic Variable batas bawah Variable Hitung C ij - Z ij Out of Kilter? X12 C12 U1 + U2 = - 0+ 6 = 11 Tidak X65 C65 U6 + U5 = 7 (-37) + (-26) = 18 Tidak Variable Batas Atas Variable Hitung C ij - Z ij Out of kilter? X15 C15 U1 + U5 = 20 0 + (-26) = - 6 Tidak X24 C24 U2 + U4 15 6 + (-22) = - 1 Tidak X35 C35 U3 + U5 7 (-10) + (-26) = -9 Tidak Tidak semua arc arc adalah out of kilter, Kita akan menemukan Solusi optimalnya : Dari Ke Jumlah (Amount) Unit Cost Transportasi Cost

Node 1 Node 3 9 $10 $ 90 Node 1 Node 5 6 $20 $ 120 Node 2 Node 1 5 $6 $ 30 Node 2 Node 4 10 $15 $ 150 Node 3 Node 4 1 $12 $ 12 Node 3 Node 5 8 $7 $ 56 Node 4 Node 6 11 $15 $ 165 Node 5 Node 6 2 $11 $ 22 Total = $ 645 Dilangkah ke-3 dari algoritma, dua atau variable basic lainnya boleh berakhir di 0 atau dibatas atas pada waktu bersamaan. Jika menurun. Kita pilih salah satu variable yang dimulai dari nonbasic untuk dilanjutkan ke iterasi selanjutnya, basic lainnya harus sama nilainya 0 atau berada dibatas atas. 3.4. BAHASA C++ Bahasa C++ merupakan program yang terbentuk fungsi fungsi. Seperti main () merupakan nama dari suatu fungsi yang harus ada diprogram C++ dan diletakkan dibagian tertentu yang menunjukkan kepada compiler dimana awal dari suatu program. Selain itu main () ini hanya dapat dikatakan bahwa setiap program C harus mengandung fungsi main() agar dapat diproses. Tanda brance pembuka { yang diletakkan dibawah nama fungsi main() menunjukkan tanda awal dari perintah perintah yang akan ditulis atau tanda { merupakan awal dari function body atau fungsi blok. Tanda brance penutup } menunjukkan akhir dari suatu fungsi blok. Suatu program C++ dapat terdiri dari lebih dari satu tubuh fungsi. Suatu tubuh fungsi dapat berisi beberapa fungsi, sedangkan suatu fungsi dapat dibuat dari satu atau lebih statement atau library function ( fungsi pustaka) yang sudah

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 4.1. Kesimpulan Berdasarkan uraian-uraian dalam tulisan ini, penulis melihat bahwa algoritma out-ofkilter berperan penting dalam menghasilkan minimal cost dalam network flow. Kesimpulan yang diperoleh pada kajian ini adalah sebagai berikut: 1. Algoritma minimal cost memelihara kelayakan promal dengan memenuhi kendala kendala kapasitas, serta berusaha memenuhi persamaan kekekalan

aliran (conserving flow) pada masing masing node dengan memakai prosedur prosedur berdasarkan pada penambahan aliran, penyesuaian biaya, dan menaikkan fungsi dual. 2. Di dalam algoritma out-of-kilter perlu diperhatikan nilai Ө. Ada dua kemungkinan nilai Ө. Jika 0 < Ө <, maka w i = w i + Ө i X dan w i = w i i X. Jika Ө =, maka tidak ada solusi yang layak. Keterangan ; w i adalah variabel dual yang diubah w i adalah variabel dual 3. Aliran distribusi yang dihasilkan dapat menjadi output yang dapat dipertanggung jawabkan secara ilmiah, karena data tersebut memiliki dengan data pendukungnya, baik kendala maupun fungsi tujuan, sehingga menghasilkan nilai yang optimal untuk implementasinya 4.2. Saran Dalam mengimplementasikan Out of kilter pada network flow dapat diterapkan untuk semua masalah distribusi contohnya distribusi pipa minyak dari tempat tambang minyak menuju ke pabrik penyulingan. Bukan itu saja, bisa juga di implementasikan pada distribusi saluran pembuangan air di perumahan dan distribusi lainnya, dan dapat meminimalkan aliran dengan meminimalisasi biaya sehingga menghasilkan nilai yang optimal.

DAFTAR PUSTAKA Ahuja, Ravindra, K. Graph and Network Optimization. USA: University of Florida, 1998. Bazaraa, Mokhtar S. dan John J. Jarvis, Linear Programing and Network Flows. Canada: John Wiley and Sons Inc 1997. Elmaghraby, S., An Algebra for the Analysis of Generalized Actifity Networks, Manage. Sci., 10 (3), pp 494 514. 1964. Eisner, H., A Generalized Network Approach to the Planning and Scheduling of a Research Project, Oper. Res., 10,pp.115-125, 1962.

Evans, James R. Optimization Algorithms for Networks and Graphs. New York: Marcel Dekker,Inc, 1992. Ford, L.R, Jr. And Fulkerson, D. R. Flows in Network. Princeton, New Jersey: Priceton University Press, 1962. Ghare P. M, Moore, James M, Tihe, Applications of Graph Theory Algorithms Elsever North Holland, Inc, 1979. Liu, Jipping. Algorithms for Minimum - cost Flow. Computer Science Departement, The University of Western Ontario, 2003. Sedgemick Robert. Algorithm in C- Part 5 Graph Algorithm. Third Edition. Canada: Addison Wesley, Inc, 1990. Taha, Hamdy A., Riset Operasi, Binarupa Aksara, Jakarta, 1996.