PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LOTKA-VOLTERRA DENGAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE LIMA TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh : DARMIYANTI 0950060 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU 0
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LOTKA-VOLTERRA DENGAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE LIMA DARMIYANTI 0950060 Tanggal Sidang : Oktober 0 Periode Wisuda : 0 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No.55 Pekanbaru ABSTRAK Tugas akhir ini membahas penyelesaian sistem persamaan Lotka-Volterra dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde lima. Sistem persamaan Lotka-Volterra merupakan salah satu model matematika tentang interaksi dua spesies antara mangsa dan pemangsa yang berbentuk sistem persamaaan diferensial non linear. Sehingga sistem persamaan Lotka-Volterra tidak mendapatkan solusi eksaknya atau hanya mendapatkan solusi hampirannya. Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan solusi numerik dari sistem persamaan Lotka-Volterra dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde lima serta titik keseimbangan dari sistem persamaan Lotka-Volterra dengan menggunakan bantuan Matlab dan Maple. Metode Runge-Kutta orde lima merupakan salah satu metode numerik. Namun sebelum itu kita harus menentukkan koefisien-koefisien yang terdapat pada sistem persamaan Lotka-Volterra nilai awal populasi mangsa dan pemangsa dan waktu. Berdasarkan hasil dan pembahasan didapatkan solusi numerik dari sistem persamaan Lotka- Volterra dengan koefisien-koefisien.5; 0.0; 0.5; 0.0 dengan bantuan Matlab didapatkan hasil perhitungan saat 50 dan h 0.5 yaitu 50.9505565 dan 50.06905. Sehingga dapat diartikan bahwa jumlah spesies mangsa dan pemangsa dalam suatu populasi setelah 50 hari secara berturutturut adalah ekor dan ekor. Diperoleh pula titik ekuilibrium (kritis) dari sistem persamaan Lotka-Volterra pada titik (5050) yang berarti bahwa keseimbangan bagi populasi mangsa dan pemangsa yaitu 50 ekor dan 50 ekor di suatu daerah. Jika setiap koefisien-koefisien dari sistem persamaan Lotka-Volterra diubah maka akan mempengaruhi jumlah populasi mangsa dan pemangsa. Kata kunci : sistem persamaan Lotka-Volterra metode Runge-Kutta orde lima titik Ekuilibrium. ii
SOLUTION OF SYSTEM OF LOTKA-VOLTERRA EQUATIONS WITH USING RUNGE-KUTTA METHOD OF ORDER FIFTH DARMIYANTI 0950060 Date of Final Exam : October 0 Graduation Cremony Priod : 0 Department of Mathematics Faculty of Sciences and Technology State Islamic University of Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No. 55 Pekanbaru ABSTRACT This final assignment discuss about system of Lotka - Volterra equations by using the Runge - Kutta method of order five. Lotka - Volterra equations system is one of the mathematical models of the interaction between the two species of prey and predators in the form of system of non- linear differential equations. So the Lotka - Volterra system of equations does not get exact solution or just getting hampirannya solution. This study aimed to obtain the numerical solution of the system of Lotka - Volterra of equations using the Runge - Kutta method of order five and the balance point of the system of Lotka - Volterra equations with the help of Matlab and Maple. Runge - Kutta method of order five is one of the numerical methods. But before that we must menentukkan coefficients contained in the system of Lotka - Volterra equations initial value of prey and predator populations and time. Based on the results obtained and the discussion of the numerical solution of the system of Lotka - Volterra equations with coefficients a.5 ; α 0:0 c 0.5 ; γ 0:0 with the help of Matlab calculation results obtained at t 50 and h 0.5 x ( 50 ).9505565 and y ( 50 ).06905. So that could mean that the number of prey and predator species in a population after 50 days in a row is tails and tails. Also obtained the equilibrium point (critical ) of the Lotka - Volterra equations system at the point (5050) which means that the balance of prey and predator populations are 50 heads and 50 tails in a region. If all of the coefficients of the system of Lotka - Volterra equations changed it will affect the number of prey and predator populations. Keywords: system of Lotka-Volterra equations Runge-Kutta method of order five the point of equilibrium. iii
KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Allah SWT karena atas rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul Penyelesaian Sistem Persamaan Lotka-Volterra dengan Menggunakan Metode Runge- Kutta Orde Lima. Shalawat beserta salam semoga tercurahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW mudah-mudahan kita semua mendapat syafa atnya kelak. Dalam penyusunan dan penyelesian tugas akhir ini penulis banyak sekali mendapat bimbingan bantuan arahan nasehat perhatian serta semangat dari berbagai pihak baik langsung maupun tidak langsung. Untuk itu pertama kali penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada kedua orang tuaku yang ku sayangi semoga Allah SWT selalu merahmati beliau serta memberikan kebahagian dunia dan akhirat Amin. Ucapan terimakasih selanjutnya kepada :. Prof. Dr. H. M. Nazir selaku Rektor Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.. Ibu Dra. Hj.Yenita Morena M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.. Ibu Sri Basriati M.Sc selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau.. Bapak Wartono M.Sc selaku Pembimbing tugas akhir yang senantiasa ada dan memberi bimbingan serta arahan kepada penulis sehingga laporan ini dapat diselesaikan. 5. Ibu Fitri Aryani M.Sc selaku Penguji I yang telah membantu memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan tugas akhir ini. 6. Bapak M. Soleh M.Sc selaku Penguji II yang telah membantu memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan tugas akhir ini.. Ibu Yuslenita Muda M.Sc selaku Penasehat Akademis yang memberi bimbingan serta arahan kepada penulis selama berkuliah Jurusan Matematika. iv
. Semua dosen jurusan Matematika yang banyak memberi masukan dan motivasi. 9. Sahabat-sahabatku (Nurfadhli Iswanti Mirna Rayna Lyly dan Tri) yang selalu memberi dukungan. 0. Teman-teman jurusan Matematika angkatan 009 kakak dan adik tingkat jurusan matematika angkatan pertama sampai terakhir serta teman-teman yang tak dapat disebutkan satu persatu. Semoga kebaikan yang telah mereka berikan kepada penulis menjadi amal kebaikan dan mendapat balasan yang setimpal dari Allah SWT. Amin. Dalam penulisan tugas akhir ini penulis sadar masih banyak kesalahan dan kekurangan. Oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan demi kesempurnaan tugas akhir ini. Akhir kata penulis berharap semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi penulis dan pihak-pihak yang memerlukannya. Pekanbaru Oktober 0 Penulis v
DAFTAR ISI JUDUL Halaman LEMBAR PERSETUJUAN... ii LEMBAR PENGESAHAN... iii LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL... iv LEMBAR PERNYATAAN... v LEMBAR PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii ABSTRACT... viii KATA PENGANTAR... ix DAFTAR ISI... xi DAFTAR SIMBOL... xiii DAFTAR TABEL... xiv DAFTAR GAMBAR... xv DAFTAR LAMPIRAN... xvii BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah... I-. Rumusan Masalah... I-. Batasan Masalah... I-. Tujuan Penelitian... I-.5 Sistematika Penulisan... I- BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Persamaan Differensial... II-. Metode Deret Taylor... II-. Metode Runge-Kutta Orde Lima... II-. Sistem Persamaan Lotka-Volterra... II- BAB III METODOLOGI PENELITIAN vi
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. Sistem Persamaan Lotka-Volterra... IV-. Penerapan Sistem Persamaan Lotka-Volterra dengan Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde 5... IV-. Algoritma Metode Runge-Kutta Orde 5 untuk Sistem Persamaan Lotka-Volterra... IV-5. Simulasi Numerik... IV- BAB V PENUTUP 5. Kesimpulan... V- 5. Saran... V- DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN DAFTAR RIWAYAT HIDUP vii
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan seperti dalam bidang fisika biologi kimia ekonomi atau pada persoalan rekayasa ( engineering). Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang rumit atau tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya ( exact solution). Metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (Munir 00). Salah satu model matematika yang muncul dalam cabang ilmu biologi yaitu ilmu ekologi yang tidak dapat diselesaikan oleh dengan metode analitik adalah system persamaan Lotka-Volterra. Ilmu ekologi adalah ilmu yang membahas tentang interaksi antar makhluk hidup atau makhluk hidup terhadap lingkungannya.. Sistem Persamaan Lotka-Volterra adalah model matematika mengenai interaksi antara dua populasi yaitu mangsa pemangsa yang diperkenalkan secara terpisah oleh Alferd J. Lotka dan Vito Volterra pada sekitar tahun 90 yang memformulasikan model matematika tersebut dalam sistem persamaan diferensial. Sistem persamaan diferensial Lotka-Volterra termasuk sistem persamaan differensial nonlinier yang secara matematik dirumuskan (Boyce dkk 00): (.) dengan dan adalah banyaknya mangsa dan pemangsa pada sebagai koefisien laju kelahiran mangsa sebagai koefisien laju kematian pemangsa. Sedangkan adalah koefisien pemangsa saat memakan mangsa dan menunjukkan koefisien pertumbuhan pemangsa setelah memakan mangsa. Penyelesaian sistem persamaan differensial pada persamaan (.) tidak dapat diselesaikan secara analitik atau tidak mempunyai solusi eksak. sistem persamaan diferensial tersebut dapat diselesaikan yang tentunya hanya
menghasilkan solusi numerik (solusi aproksimasi atau hampiran). Sehingga dapat dikatakan bahwa metode numerik merupakan alternatif dari metode analitik. Ada berbagai macam metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan dalam bentuk sistem persamaan persamaan (.). Salah satu metode yang dapat digunakan yaitu metode Runge-Kutta metode ini banyak digunakan dalam software matematika seperti Maple atau Matlab. Metode Runge- Kutta mempunyai banyak bentuk seperti Runge-Kutta Orde Runge-Kutta Fehleberg (5) dan lain sebagainya. Penelitian terhadap penyelesaian sistem persamaan Lotka-Volterra telah dilakukan oleh para peneliti diantaranya Penyelesaian Numerik Persamaan Competitive Lotka-Volterra dengan Menggunakan Metode Runge Kutta Orde yang telah dilakukan oleh Bidayasari (009) Penyelesaian Persamaan Lotka- Volterra Secara Numerik dengan Metode Runge-Kutta Berorde yang telah dilakukan oleh Aisyah (006) Penyelesaian Numerik Sistem Persamaan Diferensial Lotka-Volterra dengan Metode Runge-Kutta Fehlberg (RKF 5) dan Metode Heun yang dilakukan oleh Urifah (00) A Lotka-Volterra Three- Species Food Chain yang dilakukan oleh Chauvet dkk (00) Analisis Sistem Persamaan Differensial Model Predator-Prey dengan Perambatan oleh Fitria (0) dan The Lotka-Volterra Model : An Approach by The Cas oleh Hossain dkk (00). Sehingga penulis merasa tertarik untuk mengetahui tentang metode Runge- Kutta orde lima dan melanjutkan penelitian dalam menyelesaikan sistem persamaan Lotka-Volterra dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde lima sehingga penulis mengambil judul tugas akhir Penyelesaian Sistem Persamaan Lotka-Volterra dengan Menggunakan metode Runge-Kutta Orde Lima.. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas maka penulis mengangkat rumusan masalah pada tugas akhir ini adalah bagaimana penyelesaian sistem persamaan Lotka-Volterra dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde lima. I-
. Batasan Masalah Pada tugas akhir ini penulis akan membatasi pembahasan pada sistem persamaan Lotka-Volterra pada interaksi dua populasi (model mangsa pemangsa) yang sederhana dan metode Runge-Kutta orde lima.. Tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: a. Mendapatkan penyelesaian numerik dari sistem persamaan Lotka-Volterra dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde lima. b. Menggunakan software Matlab untuk mendapatkan nilai hampiran dari sistem persamaan Lotka-Volterra. c. Mendapatkan titik keseimbangan dari sistem persamaan Lotka-Volterra denga menggunakan software Maple..5 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini disusun atas lima bab yaitu: BAB I Pendahuluan Pada bab ini berisikan latar belakang perumusan masalah batasan masalah tujuan dari penelitian dan sistematika penulisan. BAB II Landasan Teori Bab ini berisikan tentang teori-teori yang menunjang untuk menyelesaikan permasalahan dalam tugas akhir diantaranya sistem persamaan diferensial metode deret Taylor metode Runge-Kutta orde lima dan sistem persamaan Lotka-Volterra. BAB III Metodologi Penelitian Bab ini berisikan metodologi yang digunakan penulis dalam tugas akhir untuk memperoleh hasilnya. BAB IV Hasil dan Pembahasan Bab ini berisi tentang bagaimana langkah-langkah dan hasil dari penyelesaian numerik dari sistem persamaan Lotka-Volterra dengan I-
BAB V menggunakan metode Runge-Kutta orde-5 titik keseimbangan dari sistem persamaan Lotka-Volterra serta simulasi numerik. Penutup Pada bab ini berisikan kesimpulan dari tugas akhir dan saran I-
BAB II LANDASAN TEORI Landasan teori dalam penelitian ini memuat penjelasan dari teori yang mendukung penyelesaian tugas akhir ini diantaranya ialah sistem persamaan diferensial metode deret Taylor metode Runge-Kutta orde lima dan sistem persamaan Lotka-Volterra.. Sistem Persamaan Differensial Definisi.: (Munir 00) Sistem Persamaan diferensial adalah kumpulan dari buah persamaan diferensial. Bentuk umum dari sistem persamaan diferensial orde satu adalah sebagai berikut: dengan nilai awalnya merupakan derivatif fungsi pada (.) terhadap dan adalah fungsi yang tergantung dan. Variabel bebas pada sistem persamaan pada persamaan (.) adalah dan adalah variabel terikat sehingga ( ). Definisi.: (Boyce & Diprima 00) Sistem persamaan differensial linear adalah suatu sistem yang terdiri dari satu atau lebih persamaan differensial linear. Bentuk umum dari sistem persamaan differensial linear adalah sebagai berikut: ( ) ( ) (.)
dengan merupakan fungsi adalah koefisien dan pada selang interval : < < ( ) semua. Jika 0 maka sistem persamaan (.) disebut sistem persamaan diferensial homogen. Sistem persamaan (.) dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut: dengan Contoh.: Berikanlah contoh sistem persamaan differensial linear! Penyelesaian: a. Sistem persamaan Paralel LCR merupakan sistem persamaan differensial orde satu yang dapat ditulis sebagai berikut:. b. Sistem persamaan gaya pegas merupakan sistem persamaan differensial orde dua yang dapat ditulis sebagai berikut:. Sistem persamaan differensial nonlinear adalah suatu sistem yang terdiri dari persamaan differensial nonlinear. Jika sistem persamaan differensial tidak dapat dibentuk dalam persamaan (.) dapat disebut sistem persamaan differensial nonlinear. Sistem dari dua persamaan differensial nonlinear dapat ditulis sebagai berikut: II-
dengan ℎ dan ℎ dan ℎ bervariabel. ℎ adalah fungsi terhadap dan dengan Contoh.: Berikanlah contoh sistem persamaan differensial nonlinear! Penyelesaian: Salah satu contoh sistem persamaan differensial nonlinear adalah sistem persamaan Lotka-Volterra atau sistem mangsa pemangsa yang dapat ditulis sebagai berikut:. Metode Deret Taylor Deret Taylor merupakan sebuah deret yang berbentuk polinomial yang sering digunakan untuk menghampiri fungsi-fungsi yang rumit dan persamaan differensial. Teorema.:(Munir 00) Andaikan kontinu pada selang [ab] maka untuk nilai-nilai dan semua turunannya disekitar ( ) dapat diperluas (diekspansi) ke deret taylor sehingga : Apabila berikut :! atau!! dan (.)! maka persamaan dapat dinyatakan sebagai!! (.) II-
Bukti : Teorema dasar kalkulus Berdasarkan teorema dasar kalkulus diperoleh persamaan : atau ( ) (.5) dan bentuk integral parsial dengan menerapkan integral parsial pada suku kedua ruas kanan dari persamaan (.5) dengan memisalkan : sehingga diperoleh: atau ( ) ( ). Subsitusikan persamaan (.6) kedalam persamaan (.5) sehingga menjadi : persamaan (.) diperoleh dari : ( ) ( ) ( ) ( ). (.6) ( ) (.) ( ) II-
( ) ( ) Selanjutnya dengan menerapkan kembali integral parsial pada bentuk ( ) maka : maka diperoleh : atau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).. dan mensubsitusikan kembali persamaan (.) ke persamaan (.) sehingga diperoleh : (.9) Apabila proses tersebut dilakukan secara terus-menerus sebanyak kali maka akan diperoleh suatu deret yang disebut deret Taylor. dengan! disebut galat atau eror. (ℎ diberikan oleh : ) untuk (.0) Jika kita memisalkan pada persamaan (.0) ( ) ( )! ( ) 0 maka ekspansi ( ℎ dan ℎ) disekitar II-5
ℎ (ℎ ℎ ) ℎ! ℎ (. ) Persamaan (.) dapat juga ditulis sebagai berikut: ℎ ℎ! Contoh.: Hampirilah fungsi kemudian hampirilah (0.0)! (ℎ ). (.) kedalam deret Taylor disekitar 0 Penyelesaian : ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 Berdasarkan persamaan (.0) adalah sebagai berikut : Untuk ℎ Dengan 0 0 maka : 0 0 ℎ! 0! ℎ! 0! yang dihampiri deret Taylor 0 0 0 0 0! ℎ 5! ℎ! 0 5! 0 0 0 ℎ! 0! 0 0 0.0 sehingga ℎ 0.0 0 0.0 dan nilai hampirannya adalah :. 0 0.0 0.0!! 0.0! II-6
0.0! () 0.0) 5! () 0 0.0 0.00005 0.000000 0.000000000 0.000000000000. 0.00050. Pada penyelesaian persamaan differensial biasa dengan menggunakan deret taylor sebagai berikut : ( ) atau Bentuk turunan persamaan differensial dalam bentuk untuk orde-orde yang lebih tinggi dapat ditulis sebagai berikut : ( ) ( ) dengan P adalah operator turunan ( ) Sehingga diperoleh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.) II-
( ) 0 5 50 5 5 50 5 ( jika memisalkan ℎ ℎ!! 0 ) ( ) ( 5 (.6) 9 9 0 0 9 9 0 ℎ 55 (.5) 9 9 5 ditulis sebagai berikut: 6 5 Deret Taylor untuk hampiran 6 5 5 (.) 6 5 5 6 5 0 6 5 5 6 0 6 5 0 0 5 0 6 ). ) yang diekspansi disekitar (! (! (.) dapat ) ) ( ) maka dapat ditulis sebagai berikut: ℎ! ℎ! (.) II-
Sehingga deret Taylor hampiran ( untuk orde 6 dapat ditulis sebagai berikut: ℎ ℎ! ℎ! ( ) ℎ! ℎ! ) yang diekspansi disekitar ( ) ℎ 5! ( ) ℎ 6! ( ) (.9) Selanjutnya persamaan (.) (.) disubsitusikan kedalam persamaan (.9) sehingga deret Taylor-nya menjadi : ℎ! ℎ ℎ (! 6 6 9 ) ℎ ( 6! 0 9 5 5 5 5 50 5 6 5 5 5 0 9 9 5 55 0 6 0 0 5 0 5 0 5 6 9 6 50 ℎ ( 5! 0 5 9 5 6 5 6 0 0 5 (.0) II-9
Setelah itu dengan hanya mengambil turunan terhadap pada persamaan (.9) sehingga diperoleh : ℎ ℎ ( 5 6! ℎ! ℎ ( 5! 6 Contoh.: 5 ℎ! ). ℎ (! Diketahui persamaan differensial : 5 ) (.) dengan Tentukan nilai (0.5) dengan metode deret Taylor! (ℎ 0.5) 0. Penyelesaian: 0 Diketahui: 0.5 ℎ ℎ!? ℎ! ℎ( )! Jika kita hanya misalkan menghitung ( ) sampai orde saja ( ) ( ) (.)... 6 6 Sehingga diperoleh: 0 0 0 / 0 0 / 0 0 / II-0
( ) ( ) 0 Selanjutnya memasukkan 6 6 persamaan (.) maka diperoleh: 0.5 0.5! 0.995. 0.5 diperoleh:? ℎ 0.995 ( ) ℎ! 0 /6 6 6 ( ) dan 0.5! ℎ! ( ) 0.5! ℎ( )! ( ) ke dalam 6 ( ) (.) 0 0.5 0.995 0.5 0 0.5 0.995 0.669 0 0.5 0.995 0.096 ( ) 0 0.5 0.995 0.656 6 6 Sehingga didapatkan : 0.995 0.5 0.5 0.5! 0.096 0.60. Jadi diperoleh. 0.50 0.60. 0.5! 0.5! 0.669 0.656 Metode Runge-Kutta Orde Lima Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret taylor dan tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi (Munir 00). II-
Metode Runge-Kutta mempunyai tiga sifat utama adalah :. Metodenya satu langkah ialah untuk mencapai hanya memerlukan keterangan yang tersedia pada titik sebelumnya yaitu. Mendekati ketelitian deret Taylor sampai suku dalam ℎ dimana nilai berbeda untuk metode yang berbeda dan ini disebut derajat dari metode.. Tidak membutuhkan perhitungan turunan ( ) tetapi hanya memerlukan fungsi itu sendiri. Bentuk umum metode Runge-Kutta orde- adalah : dengan ℎ ℎ ℎ adalah tetapan dan ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ Metode Runge-Kutta dengan. langkah dapat ditunjukkan kedalam sebuah tabel yang dikenal sebagai Tabel Butcher. Tabel. Tabel Butcher untuk Runge-Kutta Orde-n Tabel Butcher ini berbentuk matriks segitiga bawah tabel ini menunjukkan hasil aproksimasi sama dengan bentuk berikut : dengan ℎ ( ℎ ℎ ) II-
Bentuk umum dari persamaan metode Runge-Kutta orde lima dengan 6 langkah : dengan ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ cara menguraikan dan Untuk mendapatkan nilai parameter.5 adalah dengan kedalam deret Taylor untuk fungsi dua variabel yang didefinisikan sebagai berikut : ℎ dengan menjabarkan ℎ! ( ) (.6) kedalam ruas kanan pada persamaan (.6) maka dapat diperoleh : ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ (.) ℎ ℎ 6 ℎ ℎ 6 (.) (.9) II-
ℎ( ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ( 6 ℎ( ℎ ℎ ℎ( ) ℎ( 6 Untuk mendapatkan nilai dari parameter (.) dengan cara memasukkan persamaan (.) sampai (.) dengan (.) ) 6 dan (.) adalah ke dalam deret Taylor untuk memperoleh nilai parameter tersebut sehingga diperoleh : II-
5 ( 60 ) ( ) ( 0 ) (.) Persamaan (.) yang terdiri dari 0 persamaan dengan 6 parameter sehingga dapat diambil parameter parameter bebasnya misalnya: / dan (.5) Subsitusikan ketiga parameter tersebut kedalam persamaan (.) sehingga didapatkan : 0 0 9 6 0 5 6. 0 / (.6) II-5
Kemudian subsitusikan parameter pada persamaan (.5) dan (.6) kedalam persamaan (.5) sehingga akan diperoleh rumus Runge-Kutta Orde 5 sebagai berikut : dengan ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ. 9 6 6 6. Metode Runge-Kuta orde 5 dapat di masukkan kedalam tabel Buthcer sebagai berikut: Table. Tabel Butcher Runge-Kutta orde-5 0 / / / 0 / / / / /6 / / / 0 / 0 / / 6/ / 9/6 / / / / / Selain bentuk di atas Metode Runge-Kutta orde 5 juga mempunyai bentuk lain. Hal ini karena metode Runge-Kutta orde 5 memiliki banyak bentuk dikarenakan mempunyai 6 parameter bebas. II-6
Jika dimisalkan / dan / maka akan terbentuk metode Runge-Kutta orde 5 Newton-Cotes Family Sebagai berikut (Lapidus dkk 9) : dengan ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 6 96 9 6 5 6 96 5 6 6 96 6 6 6 96 6 6.. Penerapan metode RK5 pada persamaan (.) pada bentuk umum dari sistem persamaan : Sehingga dapat ditulis sebagai berikut : dengan ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ II-
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ. ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 9 6 6 6 9 6 9 6 6 6 9 6 6 ℎ 6 6 ℎ 6. Sistem Persamaan Lotka-Volterra Sistem persamaan difrerensial Lotka-Volterra merupakan gabungan dari persamaan diferensial nonlinier. Dalam bidang biologi khususnya ekologi sistem persamaan diferensial ini dipergunakan untuk memodelkan interaksi dua populasi dalam hal ini interaksinya adalah interaksi predasi yang merupakan interaksi yang terjadi antara mangsa (prey) yang mempunyai persediaan makanan berlebih dengan pemangsa (predator) yang diberi makan oleh mangsa. Secara matematis model interaksi dua populasi ini diperkenalkan oleh seorang ahli biofisika Amerika yaitu Alferd J. Lotka (0-99) dan ahli matematika terkemuka dari Italia yaitu Vito Volterra (60-90). Keduanya II-
mengembangkan kajian matematis ini secara terpisah Lotka mengembangkannya pada tahun 95 sedangkan Volterra pada tahun 96 (Boyce & Diprima 00). Jika didefinisikan sebagai banyaknya populasi mangsa (Prey) dan sebagai banyaknya populasi pemangsa (Predator) yang berinteraksi pada suatu daerah pada saat. Berikut ini asumsi-asumsi yang membangun model interaksi dua spesies berdasarkan Lotka-Volterra adalah:. Jika populasi pemangsa diabaikan maka laju pertumbuhan populasi mangsa akan mendekati eksponensial dan tidak terbatas sehingga diperoleh: > 0 ketika 0.. Jika populasi mangsa diabaikan maka laju pertumbuhan populasi pemangsa akan menurun sehingga diperoleh: > 0 ketika 0.. Setiap interaksi kedua populasi akan meningkatkan pertumbuhan populasi pemangsa dan menghalangi pertumbuhan populasi mangsa. Oleh karena itu pertumbuhan populasi pemangsa bertambah sebanyak pertumbuhan populasi mangsa akan berkurang sebanyak dan sedangkan dengan adalah konstanta positif. Gambar. Sketsa Sistem Persamaan Lotka-Volterra Berdasarkan asumsi-asumsi di atas sehingga dapat dibentuk persamaan sebagai berikut: dengan (.9) ( ) adalah jumlah populasi mangsa pada saat II-9
adalah jumlah populasi pemangsa pada saat adalah laju pertumbuhan mangsa adalah koefisien laju kematian pemangsa. dan adalah koefisien interaksi antar mangsa dengan mangsa Koefisien dan kelahiran mangsa semuanya adalah positif. menunjukkan laju adalah koefisien laju kematian pemangsa sedangkan adalah koefisien pemangsa saat memakan mangsa dan menunjukkan koefisien pertumbuhan pemangsa setelah mendapatkan memakan mangsa. Sistem persamaan (.9) dapat dianalisa dengan titik keseimbangan. Jika 0 dan mengasumsikan 0 0 sehingga: 0 0 / 0 0 Sehingga didapatkan titik keseimbangan ( / 0 0 0 ) untuk sistem persamaan pada persamaan (.6). Titik keseimbangan tersebut dapat mengetahui keseimbangan populasi mangsa dan pemangsa serta dapat digambarkan ke dalam Phase Plane sebagai berikut: Gambar. Phase Plane Sistem Persamaan Lotka-Volterra. II-0
Gambar. menjelaskan bahwa sistem persamaan Lotka-Volterra dengan akan menuju ke satu titik yaitu titik keseimbangan yang tergantung pada koefisien-koefisien yang membentuk sistem persamaan Lotka-Volterra. Penerapan sistem persamaan Lotka-Volterra pada metode Runge-Kutta Fehleberg (RKF 5) dapat dilihat dari contoh di bawah ini : Contoh.5: Diberikan sistem persamaan Lotka-Volterra dengan koefisien-koefisien yaitu mangsa 0. dan 0.005 0.5 dan 0.0 dengan jumlah awal populasi 0 60 dan jumlah awal populasi pemangsa 0 0. Hitunglah ( ) pada persamaan (.) dengan metode Runge-Kutta Fehleberg 50 hari dengan ukuran waktu interval ℎ 0.5! (Urifah (RKF 5) pada saat 00) Penyelesaian: Diketahui sistem persamaan Lotka-Volterra dengan koefisien-koefisien yaitu 0. 0.005 0.5 dan 0. 0.5 0.0 sehingga dapat ditulis sebagai berikut: 0.005 0.0 (.0) Bentuk umum untuk metode Runge-Kutta Fehleberg (RKF 5) dapat ditulis sebagai berikut: dengan ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 5 6 0 565 9 0 5 ℎ 9 ℎ 9 00 96 ℎ 9 9 9 9 60 5 ℎ 6 5 0 II-
ℎ ℎ 5 565 59 0 0. Kemudian RKF 5 dimasukkan ke dalam sistem persamaan pada persamaan (.0) maka akan menjadi sebagai berikut: dengan 5 6 5 6 0 565 0 565 ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 9 0 5 9 0 5 ℎ ℎ 9 9 ℎ 9 9 ℎ 9 00 96 9 ℎ 9 9 9 9 00 96 9 9 9 00 96 9 ℎ 9 9 9 9 00 96 9 9 9 60 5 9 ℎ 6 5 0 6 60 5 5 0 9 60 5 ℎ 6 5 0 9 60 5 6 5 0 II-
ℎ ℎ ℎ ℎ 5 59 565 0 0 5 59 565 0 0 5 59 565 0 0 5 59 565 0 0 Untuk iterasi pertama ( 0.5) dengan 0 maka didapat: 0.5.5 60 dan.5.55.550.00550096.9056.5609.5695.95909 Berdasarkan parameter-parameter di atas maka besarnya.656.0609506.6556056 dan adalah: 5 0 9 6 565 0 5 5 0 9 6 565 0 5 5 0 60.5.5609 6 565 9 (.00550096) (.5695) 0 5 6.9596005 5 0 9 6 565 0 5 5 0 9 6 565 0 5 5 0 0.5.656 6 565 9 (.9056) (.0609506) 0 5.65050 II-
Jadi pada saat 6.9596005 0.5 besarnya dan atau banyaknya mangsa adalah atau banyaknya pemangsa adalah.65050. Gambar. Grafik Sistem Persamaan Lotka-Volterra dengan RKF 5 Pada gambar. menjelaskan bahwa jika iterasi dilakukan secara berulang hingga mencapai memperoleh 50 atau iterasi ke-0 maka pada akhirnya akan penyelesaian 50 9.66599 dan 50.5965655. Dengan kata lain jumlah spesies mangsa dan pemangsa dalam suatu populasi setelah 50 hari secara berturut-turut adalah 0 ekor dan ekor. Secara keseluruhan penyelesaian numerik dari sistem persamaan LotkaVolterra dikerjakan oleh program Matlab. II-
BAB III METODOLOGI PENELITIAN Tugas akhir ini menggunakan metode research library (penelitian kepustakaan) yang berguna untuk mengumpulkan data dan informasi yang dibutuhkan dalam penelitian yang berasal dari literatur yang ada hubungannya dengan penulisan yang akan diuraikan. Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut:. Memperlihatkan kembali bentuk metode Runge Kutta orde lima yaitu pada persamaan (.) : dengan h h h h h h h h h 6 9 6 h h 6. Mendefinisikan persamaan Lotka-Volterra dengan ( ) adalah jumlah populasi mangsa pada saat ( ) adalah jumlah populasi pemangsa pada saat adalah laju pemangsa mangsa adalah koefisien laju kematian pemangsa dan adalah koefisien saling makan memakan mangsa dan pemangsa
. Menyelesaikan dengan sistem persamaan Lotka-Volterra sesuai dengan algoritma sebagai berikut: Start Menentukan koefisien pada sistem pers. LKV Menentukan besarnya populasi 0 dan (0) Menentukan dan h Memasukkan rumus RK5 Menghitung variabel-variabel dalam formula rumus RK5 Hitung dan Stop. Menentukan koefisien-koefisien yang terdapat dalam sistem persamaan diferensial Lotka-Volterra. 5. Mengaplikasikan metode Runge-Kutta orde lima dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial Lotka Volterra dengan software Matlab. 6. Menentukan titik keseimbangan dari sistem persamaan Lotka-Volterra dan mengambarkan Phase Plane untuk sistem persamaan LKV dengan software Maple. III-
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan membahas penyelesaian sistem persamaan Lotka-Volterra pada interaksi sederhana dua populasi (model mangsa pemangsa) secara numerik dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde lima. Penyelesaian sistem persamaan ini akan dibantu dengan program Matlab 5... Sistem Persamaan Lotka-Volterra Sistem persamaan Lotka-Volterra merupakan suatu sistem persamaan differensial nonlinear. Sistem persamaan Lotka-Volterra merupakan interaksi yang terjadi antara mangsa (prey) yang mempunyai persediaan makanan berlebih dengan pemangsa (predator) yang diberi makan oleh mangsa. Sistem persamaan Lotka-Volterra dua populasi dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut: (.) dengan adalah jumlah populasi mangsa pada saat adalah jumlah populasi pemangsa pada saat adalah laju pemangsa mangsa adalah koefisien laju kematian pemangsa adalah koefisien interaksi antara populasi mangsa dan pemangsa Koefisien dan pada persamaan (.) adalah positif. Sedangkan adalah koefisien interaksi pemangsa saat memakan mangsa dan menunjukkan koefisien interaksi pertumbuhan pemangsa setelah mendpatkan memakan mangsa.
. Penerapan Sistem Persamaan Lotka-Volterra dengan Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde 5 Persamaan (. ) adalah bentuk metode Runge-Kutta orde 5 yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan baik linear maupun nonlinear salah satunya adalah sistem persamaan Lotka-Volterra pada persamaan (.). Berikut ini adalah bentuk umum sistem persamaan Lotka-Volterra pada persamaan (.) dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde lima (. ). Pertama akan menentukan nilai dan kemudian akan ditentukan penyelesaian dari dan. (.) dengan h h( ) h h( ) h h h h h h h h IV-
h h h h h h h h h h h h 6 9 6 9 6 6 h 6 6 9 6 9 6 9 6 6 h h 6 9 6 9 6 6 IV-
h 6 6 9 6 9 6 9 6 6 h h 6 6 h 6 6 6 h h 6 6 h 6 6 6. Pada metode Runge-Kutta orde lima panjang langkah iterasi waktu h adalah tetap dan untuk mendapatkan ketelitian yang tinggi panjang iterasi waktu h harus diambil sekecil mungkin. Perhitungan dengan metode Rung-Kutta orde 5 dapat dilakukan dengan bantuan suatu program komputer. Apabila program komputer telah ditulis suatu persoalan untuk mendapatkan suatu penyelesaian dengan sembarang nilai awalnya. IV-
. Algoritma Metode Runge-Kutta Orde 5 untuk Sistem Persamaan Lotka-Volterra Algoritma metode Runge-Kutta orde 5 untuk menyelesaikan sistem persamaan (.) dengan menggunakan program Matlab 5. [ ] a. Input : Koefisien-koefisien yang terdapat pada sistem persamaan Lotka- Volterra banyaknya populasi awal dan batas bawah interval waktu ( ) batas atas interval waktu ( ) dan jarak interval h fungsi b. Output : Banyaknya iterasi ( ) dan sebagai penyelesaian pendekatan dari sistem persamaan Lotka-Volterra. c. Algoritma :. Set h 0 h h. Definisikan. For : h h ( ) ( ) ( ) h ( ) h ( ) ( ) h ( ) h ( ) ( ) h ( ) h ( ) ( ) h ( ) h ( ) ( ) h ( ) h ( ) ( ) h ( ) h ( ) ( ) IV-5
h ( ( ) h ( ) 6 9 6 6 9 6 ) h ( ( ) h ( ) 6 9 6 ( ) 6 9 6 h ( ( ) h ( ) 6 ( ) 6 ) h ( ( ) h ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) d. nilai e. End. Algoritma metode Runge-Kutta orde lima untuk sistem persamaan LKV di atas dapat digambarkan kedalam flow chart di bawah ini: IV-6
Start Menentukan koefisien pada sistem pers. LKV Menentukan besarnya populasi 0 dan (0) Menentukan dan h Memasukkan rumus RK5 Menghitung variabel-variabel dalam formula rumus RK5 Hitung dan Stop Gambar. Flow Chart Algoritma Metode RK5 untuk Sistem Persamaan Lotka-Volterra. Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan Lotka- Volterra dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde lima. Contoh. Diberikan sistem persamaan LKV yang mempunyai koefisien-koefisien yaitu.5; 0.0; 0.5; 0.0 dengan jumlah awal populasi mangsa 0 00 dan jumlah awal populasi pemangsa 0 50. Hitunglah dan ( ) pada persamaan (.) dengan metode Runge-Kutta orde Lima (RK5) pada saat 50 hari dengan ukuran langkah waktu h 0.5! Penyelesaian : Bentuk sistem persamaan Lotka-Volterra dengan koefisien-koefisien.5; 0.0; 0.5 dan 0.0 sebagai berikut: IV-
.5 0.0 0.5 0.0. (.) Setelah itu persamaan (.) dimasukkan ke dalam metode Runge-Kutta orde lima dengan waktu interval atau h 05 0 00 dan 0 50 sehingga menjadi: Iterasi Pertama: h 0 0 0 05 5 00 00 00 50 05 50 50 0 h (0) (0) (0) 05 [ 05 50 00 00 50 05 5 50 5 h (0) h (0) (0) 05 5 00 0 00 00 0 50 5 05 [50 595] 65 h 0 h 0 0 05 05 50 5 00 00 0 50 5 05 6565 55 5 h (0) h (0) (0) 05 5 00 0 65 00 00 0 65 50 5 5 05 9095 55605 056600 IV-
05 05 50 5 5 00 00 0 65 50 5 55 05 665 50556 965 h (0) h (0) (0) 05 5 00 ( 05660) 00 00 ( 056600) 50 (9) 05 695595 656650 965996 h (0) h (0) (0) 05 05 50 9 00 00 05660 50 9 05 599 5555 60965 h ( (0) h (0) 6 9 6 ) 9 6 0 6 IV-9
05 5 00 6 0 65 05660 9 6 966 00 00 6 0 65 05660 9 6 966 50 6 5 5 9 9 6.9 05 6909 69000559 99900965095 h ( (0) h (0) 6 9 6 9 6 05 05 50 6 5 5 9 9 6 9 0.0 00 6 0 65 05660 9 6 966 50 6 5 5 9 9 6 9 05 99900 566000066 06996 (0) 6 h ( (0) h (0) 6 0 6 ) IV-0
05.5 00 0 65 6 05660 966 0605 0.0 00 (0) ( 65) 6 05660 966 ( 0605) 50 5 (5) 6 9 9 (96) 05 6560600 9550659 095955 h ( (0) h (0) 6 0 6 05 05 50 5 5 6 9 9 096699 00 00 (0) ( 65) 6 ( 05660) ( 966) ( 0605) 50 5 (5) 6 9 9 (96) 05 659956 5565069506 959566 (0 ) (0) 00 0 056600 965996 99900965095 IV-
095955 6569 0 0 50 5 965 60965 959566 6955066 06996 Jadi pada saat 0.5 hari besarnya (mangsa) adalah 6569 dan atau (pemangsa) adalah 6955066. Jika iterasi metode RK5 pada sistem persamaan LKV akan ditunjukkan ke dalam tabel di bawah ini: Tabel. Tabel Iterasi Metode RK5 untuk Sistem Persamaan LKV dengan Nilai Awal dan. Iterasi (Mangsa)/ekor (Pemangsa)/ekor 0 00 50 05 6569 6955066 6.6000069.0559 5 6.66966999 6.005566 0 50.9505565.06905 Iterasi untuk penyelesaian sistem persamaan Lotka-Volterra dengan metode RK5 dapat juga digambarkan dalam grafik dibawah ini: Gambar. Grafik Sistem Persamaan Lotka-Volterra pada Metode Runge- Kutta Orde 5 dengan Nilai Awal dan. IV-
Pada gambar. dapat dilihat jika iterasi dilakukan secara berulang hingga mencapai 50 atau iterasi ke-0 maka pada akhirnya akan memperoleh penyelesaian 50 9505565 dan 50 06905. Dengan kata lain jumlah spesies mangsa dan pemangsa dalam suatu populasi setelah 50 hari secara berturut-turut adalah ekor dan ekor. Secara keseluruhan penyelesaian numerik dari sistem persamaan Lotka- Volterra dikerjakan oleh program Matlab. Pada gambar. menjelaskan bahwa populasi mangsa pada awalnya 00 ekor menurun menuju populasi minimal yaitu 0 ekor tapi pada saat yang sama populasi mangsa adalah ekor. Kemudian pada saat yang sama populasi mangsa menuju populasi maksimalnya yaitu 00 ekor tapi pada saat yang sama populasi adalah 50 ekor. Sedangkan populasi pemangsa pada awalnya adalah 50 ekor naik menuju populasi maksimalnya yaitu 6 ekor namun pada saat yang sama populasi mangsa adalah ekor. Kemudian pada saat populasi pemangsa menuju populasi minimalnya yaitu 0 ekor namun pada saat yang sama populasi mangsa adalah 56 ekor. Demikian pula populasinya akan menurun dan naik secara periodik. Penyelesaian sistem persamaan Lotka-Volterra dengan metode Runge-Kutta orde lima yang mempunyai koefisien-koefisien 5; 00; 05 dan 00 dengan jumlah awal populasi mangsa lebih kecil dari jumlah awal pemangsa 0 < 0. Contoh. Diberikan sistem persamaan LKV yang mempunyai koefisien-koefisien yaitu 5; 00; 05 dan 00 dengan jumlah awal populasi mangsa 0 50 ekor dan jumlah awal populasi pemangsa 0 00 ekor. Hitunglah dan ( ) pada persamaan (.) dengan metode Runge -Kutta orde Lima (RK5) pada saat 50 hari dengan ukuran langkah waktu h 05! Penyelesaian: Bentuk sistem persamaan Lotka-Volterra dengan koefisien-koefisien 5; 00; 05 dan 00 sebagai berikut: IV-
5 00 05 00 (.) Setelah itu persamaan (.) dimasukkan ke dalam metode Runge-Kutta orde lima dengan waktu interval atau h 05; 0 00 dan 0 50 sehingga didapatkan: Iterasi Pertama: h 0 0 0 05 5 50 00 50 00 05 5 50 5 h (0) (0) (0) 05 [ 05 00 (00) 50 00 05 50 50 0 h (0) h (0) (0) 05 5 50 5 00 50 5 00 0 05 [6095 5] 065 h 0 h 0 0 05 05 00 0 (00) 50 5 00 0 05 50 065.65 h (0) h (0) (0) 05.5 50 5 065 00 50 5 065 00 0 65 05 655595 5999 06966 IV-
05 05 00 0 65 00 50 5 065 00 0 65 05 9005 609996 55950 h (0) h (0) (0) 05 5 50 ( 06966) 00 50 ( 06966) 00 ( 55950) 05 59605905 066956 6655 h (0) h (0) (0) 05 05 00 ( 55959) 00 50 ( 06966) 00 ( 55959) 05 9006655 090 5 h ( (0) h (0) 6 9 6 ) 9 6 0 6 IV-5
05 5 50 6 5 065 06966 9 6 6655 00 50 6 5 065 06966 9 6 6655 00 6 0 65 55959 9 6 5 05 05066 0950569 99900 h ( (0) h (0) 6 9 6 05 05 00 6 0 65 9 6 (0) 6 55959 9 6 5 00 50 6 5 065 06966 9 6 6655 00 6 0 65 55959 9 6 5 05 969005599 6969696 0.56695 h ( (0) h (0) 6 0 IV-6
6 ) 05 5 50 5 065 6 06966 66555 ( 99900) 0.0 50 5 065 6 06966 66555 ( 99900) 00 0 65 6 55959 5 ( 056695) 05 66 6650569 569695965 h ( (0) h (0) 6 0 6 IV-
05 05 00 0 65 6 55950 5 ( 056695) 00 50 5 065 6 06966 66555 ( 99900) 00 0 65 6 55950 5 ( 056695) 05 65669 509 609099 (0 ) (0) 50.5 0.6966.6655 9.9900 ( 5.69695965).509 (0 ) (0) 00 0.55950.5 0.56695 (.609099) 9.999666. IV-
Jadi pada saat 05 hari besarnya (mangsa) adalah 509 ekor dan atau (pemangsa) adalah 9999666 ekor. Hasil iterasi metode Runge-Kutta orde lima untuk sistem persamaan LKV akan ditunjukkan ke dalam tabel di bawah ini: Tabel. Tabel Iterasi Metode RK5 untuk Sistem Persamaan LKV dengan nilai awal dan. Iterasi (Mangsa)/ekor (Pemangsa)/ekor 0 50 00 05 509 9999666 069 969090 5 0505509 6560566 0 50 99555 55059555 Iterasi untuk penyelesaian sistem persamaan Lotka-Volterra dengan metode RK5 dapat juga digambarkan dalam grafik dibawah ini: Gambar. Grafik Sistem Persamaan LKV pada Metode RK5 dengan Nilai Awal dan. Pada gambar. dapat dilihat jika iterasi dilakukan secara berulang hingga mencapai 50 atau iterasi ke-0 maka pada akhirnya akan memperoleh penyelesaian 50 99555 dan 50 55059555. Dengan kata lain jumlah spesies mangsa dan pemangsa IV-9
dalam suatu populasi setelah 50 hari secara berturut-turut adalah 9 ekor dan 56 ekor. Selanjutnya untuk mencari titik keseimbangan pada sistem persamaan LKV dengan 5; 00; 05 dan 00 kita dapat mengasumsikan jumlah populasi mangsa atau 0 dan jumlah populasi mangsa atau 0 sehingga: 0 5 00 0 5 00 0 5 00 0 5 00 50 0 05 0.0 0 05 00 0 05 00 0 05 00 50 Sehingga didapatkan titik keseimbangan yaitu (50 50) untuk sistem persamaan Lotka-Volterra titik keseimbangan dapat dilihat juga dari gambar phase plane pada gambar. seperti dibawah ini: Gambar. Phase Plane untuk Sistem Persamaan LKV pada Koefisien- Koefisien ; ; dan. Pada gambar. menjelaskan bahwa sistem persamaan Lotka-Volterra mempunyai titik keseimbangan populasi mangsa dan pemangsa pada titik (5050) yang berarti bahwa populasi akan seimbang jika jumlah mangsa 50 ekor dan pemangsa 50 ekor. IV-0
. Simulasi Numerik Perbandingan hasil komputasi terhadap sistem persamaan Lotka-Volterra dengan membandingkan hasil penyelesaian dari tiap-tiap koefisien dan yang terdapat pada sistem persamaan (.) dengan metode RK5 pada saat 50 dan waktu interval h 05. Perbandingan hasil penyelesaian sistem persamaan LKV dapat dilihat dari tabel di bawah ini: Tabel. Hasil Simulasi Penyelesaian Sistem Persamaan Lotka-Volterra untuk dan dengan Koefisien-Koefisien yang Berbeda-beda. Jumlah Populasi Jumlah Populasi Koef Sistem pers. LKV Mangsa ( ) Pemangsa ( ) ; ; ; 9505565 06905 ; ; ; ; ; ; ; ; 695500 6650056 09665096 00969965 605655 06000966 966 969 60695 5990 906559 5.59990 60596 6596609 5909 56660 Berdasarkan tabel. menjelaskan bahwa penyelesaian sistem persamaan Lotka-Volterra dengan metode Runge-Kutta orde lima dapat dengan berbeda-beda dapat disimpulkan sebagai berikut:. Jika laju pertumbuhan mangsa ( ) lebih besar maka jumlah populasi pemangsa akan lebih besar dari jumlah populasi mangsa.. Jika koefisien pemangsa saat memakan mangsa ( ) lebih kecil maka jumlah populasi pemangsa lebih besar dari jumlah mangsa.. Jika koefisien laju koefisien kematian pemangsa ( ) lebih besar maka didapatkan bahwa jumlah populasi mangsa akan lebih besar dari jumlah populasi pemangsa. IV-
. Jika koefisien laju pertumbuhan pemangsa setelah mendapat makanan dari mangsa ( ) lebih kecil maka jumlah populasi mangsa akan lebih besar dari jumlah pemangsa. Namun jika lebih besar maka jumlah populasi pemangsa akan lebih besar dari jumlah populasi mangsa. Selain tabel diatas dapat dilihat pula hasil jumlah populasi mangsa dan pemangsa dengan menggunakan metode RK5 dari grafik-grafik di bawah ini: (a) (b) Gambar.5 (a) Grafik Sistem Persamaan LKV dengan. dan (b) Grafik Sistem Persamaan LKV dengan. (a) (b) Gambar.6 (a) Grafik Sistem Persamaan LKV dengan. dan (b) Grafik Sistem Persamaan LKV dengan.. (a) (b) Gambar. (a) Grafik Sistem Persamaan LKV dengan. dan (b) Grafik Sistem Persamaan LKV dengan. IV-
(a) (b) Gambar. (a) Grafik Sistem Pers. LKV dengan dan (b) Grafik Sistem Persamaan LKV dengan. Sistem persamaan Lotka-Volterra yang mempunyai koefisien-koefisien berbeda-beda mempunyai titik keseimbangan yang berbeda pula seperti yang ditunjukkan pada phase plane di bawah ini. (a) (b) Gambar.9 (a) Phase Plane untuk Sistem Persamaan LKV dengan dan (b) Phase Plane untuk Sistem Persaman LKV dengan. Pada gambar.9.(a) menjelaskan bahwa titik ekuilibrium saat mengganti nilai pada koefisien. mempunyai titik keseimbangan pada populasi mangsa dan pemangsa pada titik (50.) dan dapat diketahui juga bahwa jumlah populasi akan seimbang jika jumlah populasi mangsa dan pemangsa pada 50 ekor dan. ekor. Sedangkan pada gambar.9.(b) menjelaskan bahwa saat mengganti nilai. maka mempunyai titik keseimbangan populasi pada titik (5060) serta dapat diketahui juga bahwa jumlah populasi akan seimbang jika jumlah populasi mangsa dan pemangsa pada 50 ekor dan 60 ekor. IV-
(a) (b) Gambar.0 (a) Phase Plane untuk Sistem Persamaan LKV dengan dan (b) Phase Plane untuk Sistem Persamaan LKV dengan. Pada gambar.0.(a) menjelaskan bahwa titik ekuilibrium saat mengganti nilai pada koefisien 00 mempunyai titik keseimbangan populasi mangsa dan pemangsa pada titik (505) dan dapat diketahui juga bahwa jumlah populasi akan seimbang jika jumlah populasi mangsa dan pemangsa pada 50 ekor dan 5 ekor. Sedangkan pada gambar.0.(b) menjelaskan bahwa jika koefisien 00 diganti maka mempunyai titik keseimbangan populasi pada titik (50; 5) serta dapat diketahui juga bahwa jumlah populasi akan seimbang jika jumlah populasi mangsa dan pemangsa pada 50 ekor dan.5 ekor. (a) (b) Gambar. (a) Phase Plane untuk Sistem Persamaan LKV dengan dan (b) Phase Plane untuk Sistem Persamaan LKV dengan. Gambar..(a) menjelaskan bahwa titik ekuilibrium saat mengganti nilai pada koefisien 0 mempunyai titik keseimbangan populasi mangsa dan IV-
pemangsa pada titik (050) dan dapat diketahui juga bahwa jumlah populasi akan seimbang jika jumlah populasi mangsa dan pemangsa pada 0 ekor dan 50 ekor. Sedangkan pada gambar..(b) menjelaskan bahwa jika koefisien 0 diganti pada sistem persamaan LKV maka mempunyai titik keseimbangan populasi mangsa dan pemangsa pada titik (050) serta dapat diketahui juga bahwa jumlah populasi akan seimbang jika jumlah populasi mangsa dan pemangsa pada 0 ekor dan 50 ekor. (a) (b) Gambar. (a) Phase Plane untuk Sistem Persamaan LKV dengan dan (b) Phase Plane untuk Sistem Persamaan LKV dengan. Gambar..(a) menjelaskan bahwa titik ekuilibrium sistem persamaan LKV saat diganti nilai koefisien 005 mempunyai titik keseimbangan populasi mangsa dan pemangsa pada titik (050) dan dapat diketahui juga bahwa jumlah populasi akan seimbang jika jumlah populasi mangsa dan pemangsa pada 0 ekor dan 50 ekor. Sedangkan pada gambar..(b) jika koefisien 005 diganti maka sistem persamaan LKV mempunyai titik keseimbangan populasi mangsa dan pemangsa pada titik (;50) serta dapat diketahui juga bahwa jumlah populasi akan seimbang jika jumlah populasi mangsa dan pemangsa pada ekor dan 50 ekor. IV-5
IV-6
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5. Kesimpulan Dari pembahasan pada bab IV dapat disimpulkan bahwa penyelesaian sistem persamaan Lotka-Volterra: dengan.5; 0.0; 0.5 dan 0.0 yang diselesaikan dengan metode Runge-Kutta orde lima memberikan hasil perhitungan saat nilai awal 0 00; 0 50; 50 dan waktu interval h 0.5 yaitu 50.9505565 dan 50.06905. Dengan kata lain jumlah spesies mangsa dan pemangsa dalam suatu populasi setelah 50 hari secara berturut-turut adalah ekor dan ekor. Sedangkan penyelesaian sistem persamaan LKV dengan nilai awal 0 00; 0 50; 50 dan waktu interval h 0.5 yaitu 50 99555 dan 50 55059555. Dengan kata lain jumlah spesies mangsa dan pemangsa dalam suatu populasi setelah 50 hari secara berturut-turut adalah 9 ekor dan 56 ekor. Selain itu diperoleh juga titik keseimbangan dari sistem persamaan LKV untuk populasi mangsa dan pemangsa yaitu (5050) yang berarti bahwa keseimbangan populasi mangsa dan pemangsa di suatu tempat adalah sebanyak 50 ekor dan 50 ekor. Berdasarkan tabel. menjelaskan bahwa penyelesaian sistem persamaan Lotka-Volterra dengan metode Runge-Kutta orde lima saat 50 hari dan waktu interval h 05 dengan koefisien-koefisien berbeda-beda dapat disimpulkan sebagai berikut:
. Jika laju pertumbuhan mangsa ( ) lebih besar maka jumlah populasi pemangsa akan lebih besar dari jumlah populasi mangsa.. Jika koefisien pemangsa saat memakan mangsa ( ) lebih kecil maka jumlah populasi pemangsa lebih besar dari jumlah mangsa.. Jika koefisien laju koefisien kematian pemangsa ( ) lebih besar maka didapatkan bahwa jumlah populasi mangsa akan lebih besar dari jumlah populasi pemangsa.. Jika koefisien laju pertumbuhan pemangsa setelah mendapat makanan dari mangsa ( ) lebih kecil maka jumlah populasi mangsa akan lebih besar dari jumlah pemangsa. Namun jika lebih besar maka jumlah populasi pemangsa akan lebih besar dari jumlah populasi mangsa. 5. Saran Pada skripsi ini penulis membahas tentang penyelesaian sistem persamaan Lotka-Volterra dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde lima. Oleh karena itu penulis menyarankan agar pembaca dapat menyelesaikan lotka-volterra dengan menambahkan parameter lain atau model iteraksinya populasi atau mencari model matematika lainnya. Dalam menyelesaikan persamaan Lotka- Volterra dapat menggunakan metode predictor-corrector banyak langkah yaitu metode Adams-Bashforth-Moulton metode Milne-Simpson atau Hamming. V-
DAFTAR PUSTAKA Aisyah. Penyelesaian persamaan Lotka-Volterra secara numerik Dengan Metode Runge-Kutta Berorde. Tugas Akhir Mahasiswa Universitas Riau. 006 Bidayasari. Penyelesaian Numerik Persamaan Competitive Lotka-Volterra dengan Menggunakan Metode Runge Kutta Orde. Tugas Akhir Mahasiswa Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau : 009. Boyce W.E dan Diprima R.C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems: John Wiley & Sons Inc : 00 Bronson Richard dan Gariel Costa. Persamaan Diferensial edisi tiga. Erlangga: Jakarta. 00. Butcher J.C. Numerical methods for ordinarry Differential Equetion. John Wiley& Sons: England. 00. Chauvet. E Paulet. E. J Previt P. J dan Walls. Z. A Lotka-Volterra Three Species Food Chain. Mathematics Magazine. Vol. 5. No. Oktober 005 Fitria A.V. Analisis Sistem Persamaan Diferensial Model Predator-Prey dengan Perambatan. Jurnal Cauchy. Volume No. November 0. Griffiths D.F. dan Higham J.D. Numerical Methods for Ordinary Equations : Intial Value Problems. Springer. London. 00 Hossain S.ABM Thohura. S dan Aktar. S. The Lotka-Volterra Model: An Approach by The Cas. GANIT J. Bangladesh Math. Soc. Vol. 9. Halaman -9. 009 Kincaid D. Numerical Mathematics and Computing Sixth Edition. Thomson brooks/cole: United state of America. 00 Lambert J.D Numerical Methods For Ordinarry Differential System John Wiley & Sons Ltd : New York. 99.
Lapidus L dan Seinfield. H. J. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations.halaman 9-. Academic Press: New York and London.9. Munir R. Metode Numerik edisi revisi. Informatika: Bandung. 00. Prayudi. Matematika Teknik : Persamaan Diferensial Transformasi Laplace dan Deret Fourier. Graha Ilmu : Yogyakarta. 99 Shampine F.L. Numerical Solution Of Ordinary Differential Equetions Champan & Hall Mathematics: New York. 99. Urifah N S. Penyelesaian Numerik Sistem Persamaan Diferensial Lotka-Volterra dengan Metode Runge-Kutta Fehlberg (RKF 5) dan Metode Heun. Tugas Akhir Mahasiswa Universitas Islam Negeri Malang. 00