BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers fungsi, serta jenis-jenis fungsi. Tujuan Instruksional Khusus 1) Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian suatu relasi 2) Mahasiswa dapat menentukan suatu relasi yang ekuivalen 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil ganda suatu relasi 4) Mahasiswa dapat menentukan suatu relasi invers 5) Mahasiswa dapat menentukan suatu relasi identitas 6) Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian suatu fungsi 7) Mahassiswa dapat menentukan bayangan dan bayangan invers dari suatu fungsi 8) Mahasiswa dapat menentukan jenis-jenis fungsi Rasional 4.2 Macam-Macam Fungsi 4.5.1 Fungsi Surjektif Biasanya fungsi f : S T tidak menghabiskan himpunan T, yaitu ada elemen t T yang tidak mempunyai kawan didalam S. Apabila T habis,yaitu setiap t T sekurang-kurangnya mempunyai satu kawan didalam S, maka f disebut surjektif. Definisi : f : S T surjektif jhj ( t) ( s). f(s) = t jhj f(s) = T
jhj f (t) untuk setiap t T Fungsi surjektif disebut juga fungsi onto. 4.5.2 Fungsi Injektif Demikian juga pada fungsi f : S T suatu anggota t T mungkin mempunyai lebih dari satu kawan di S. Apabila setiap t T tepat mempunyai satu kawan di S atau sama sekali tidak mempunyai kawan di S maka f disebut fungsi yang injektif. Definisi : f : S T injektif jhj ( s 1, s 2 ). fs 1 =fs 2 s 1 =s 2 jhj ( s 1,s 2 ). s 1 s 2 fs 1 fs 2 jhj f -1 (t) atau merupakan singleton. 4.5.3 Fungsi Bijektif. Definisi : Fungsi f : S T disebut bijektif jhj f sekaligus surjektif dan injektif. Dibawah ini disajikan diagram-diagran venn untuk ketiga jenis fungsi diatas. Pada f : S T yang bijektif ada pemadanan satu-satu, atau korespondensi satu-satu, antara anggota-anggota S dengan anggota-anggota T. Dikatakan bahwa S ekuipoten dengan T, ditulis dengan notasi S T atau juga S T. Catatan 1) Suatu singleton adalah himpunan yang tepat mempunyai satu anggota. 2) Pada setiap fungsi berlaku s 1 = s 2 fs 1 =fs 2, maka pada fungsi injektif berlakulah, fs 1 = fs 2 s 1 = s 2.
3) Suatu fungsi surjektif tidak perlu injektif. Sebaliknya, fungsi yang injektif pun tidak perlu surjektif. 4) Untuk membuktikan bahwa S T maka harus dibuktikan adanya fungsi f yang surjektif dan injektif. Cara lain yang sering dipakai ialah mencari suatu aturan yang pada setiap s S menentukana dengan tunggal dari T dan sebaliknya mencari aturan yang pada setiap t T menentukan dengan tunggal satu anggota dari S sedemikian sehingga aturan kedua ini merupakan kebalikan dari aturan yang pertama. Contoh : S = { 1, 2, 3,... } dan T = { 2, 4, 6, } Aturan pertama : n S dipadankan dengan 2n T. Aturan kedua : 2n T dipadankan dengan 1. 2n = n S. 2 Aturan kedua ini merupakan kebalikan dari yang pertama. Maka terbukti S T dan sekaligus didapat fungsi invers yang didefinisikan dibawah ini. 5) Apabila f : S T maka pada umumnya f -1 bukanlah suatu fungsi dari T ke S. Akan tetapi apabila f bijektif maka f -1 merupakan fungsi dari T ke S dan f -1 disebut fungsi invers dari f. 6) Apabila f surjektif maka berlakulah f f -1 M = M dan tanda kesamaan berlaku. Perhatikan juga apabila M = {t} suatu singleton maka f f -1 (t) = t berlaku untuk setiap fungsi. Akan tetapi f -1 f (s) = s hanya berlaku jika f injektif. Contoh contoh soal : 1) Apabila S himpunan bilangan-bilangan bulat non- negatif, sedangkan T himpunan semua bilangan-bilangan bulat, yaitu positif, nol dan negatif, maka fungsi f : s s + 1 = f(s) adalah fungsi yang injektif tetapi tidak surjektif.
2) Misalkan S dan T himpunan semua bilangan-bilangan bulat. Fungsi f : S T ditentukan dengan rumus-rumus : n 0 = f(n) jika n ganjil, n n 2 = f(n) jika n genap. Maka f adalah fungsi yang surjektif tetapi tidak injektif. 3) Misalkan S diambil himpunan bilangan-bilangan positif sedangkan T himpunan bilangan real. Maka perpadanan s dengan f(s) = log s merupakan fungsi f : S T yang bijektif. Sebab s 1 = s 2 log s 1 = log s 2 dengan log s berada dalam T untuk. s S. Tidak semua perpadanan merupakan fungsi. Ingat, umpamanya perpadanan berdiam sekampung antara anggota-anggota S dengan anggota-anggota T. Supaya perpadanan itu merupakan fungsi maka harus diperlihatkan bahwa setiap s mempunyai kawan (mitra) tunggal didalam T. 4.5.4 Fungsi Identitas Suatu contoh fungsi bijektif yang sangat penting adalah fungsi identitas, yang membawa setiap anggota S ke diri sendiri ( s S dipadankan dengan s S sendiri ). Lambangnya adalah id S id S : S S s (id S ) s = s Suatu barisan tak berhingga ( infinite sequence ) yang suku-sukunya diambil dari himpunan H = { a, b, c }, umpamanya, b, c, a, a, c, b, b, c,.. dimana suku boleh diulang ( timbul lebih dari satu kali ) dan urutan tempat diperhatikan. Suatu barisan dapat dipandang sebagai fungsi dari himpunan bilangan asli ke suatu himpunan
H, dengan mengidentikkan hasil-hasil fungsi,( yaitu barisannya ) dengan fungsinya sendiri. Pada contoh diatas, hasil-hasil fungsi adalah f(1) = b, f(2) = c, f(3) = a.... Karena suatu fungsi umpamanya f : N H diatas ( dimana N adalah himpunan bilangan asli ), dapat didefinisikan sebagai himpunan bagian dari N x H, yang terdiri atas pasangan-pasangan terurut, sedangkan dalam definisi tentang pasangan terurut dikatakan bahwa pasangan terurut dapat dikembalikan kepada himpunan bersahaja, maka dengan demikian terbukti bahwa barisan tak berhingga (ataupun juga n-tupel yang berhingga ) dapat dikembalikan kepada himpunan bersahaja. 4.5.5 Fungsi Konstan Definisi : Fungsi f pada A ke B disebut fungsi konstan jika dan hanya jika anggota B yang sama menjadi pasangan dari setiap anggota A. Dengan kata lain, f : A B konstan jika dan hanya jika range f hanya mempunyai satu anggota. 4. 6 Pergandaan Fungsi Untuk dua fungsi f dan g dikatakan dapat digandakan menjadi fg jhj daerah nilai (daerah kawan) f = daerah definisi (daerah asal ) g. Jadi untuk f : S T dan g : T U maka perhatika diagram dibawah ini : S T U s f(s) (gf)(s) Maka gf : S U. Perhatikan bahwa pada gf, fungsi f diterapkan terlebih dahulu. Apabila daerah nilai f daerah difinisi g maka pergandaan tidak terdefinisi. Definisi :
Dua fungsi f dan g dengan daerah definisi bersama, ( umpamanya f : S T dan g : S U) dikatakan sama jhj untuk setiap s S maka f(s) = g(s). Sehingga f g jhj sekurang-kurangnya ada satu s dengan f(s) g(s). Teorema : Apabila pergandaan masing-masing dapat dikerjakan maka pergandaan fungsi mempunyai sifat assosiatif, yaitu berlakulah (gf)h = g(fh). S T U V Bukti : Di satu fihak ((gf)h)(s) = (gf)(hs) = g(f(hs)) dan di lain fihak (g(fh)(s) = g((fh)s) = g(f(hs)). Karena berlaku untuk setiap s maka (gf)h = g(fh). Catatan Telah kita amati bahwa apabila f : S T bijektif maka f -1 merupakan fungsi dari T ke S. Dengan menggunakan pergandaan fungsi dari fungsi identitas maka fungsi invers dari f, yaitu f -1 dapat didefinisikan f -1 f = id S dan ff -1 =id T. Apabila gf dapat terjadi maka pada umumnya fg tidak dapat terjadi menurut definisi pergandaan fungsi. Akan tetapi, walaupun dapat terjadi, umpamanya jika f maupun fungsi g fungsi dari S ke S, maka belum tentu gf =fg. Sebagai contoh : Kita ambil untuk S maupun T himpunan bilangan real, dengan f : x x 2 dan y : x x + 1 dimana x bilangan real. Maka gf : x x 2 x 2 + 1. Sedangkan fg : x x + 1 (x +1) 2. Jadi gf fg.
4. 7 Penjumlahan Dua Fungsi Dalam cabang-cabang aljabar (seperti teori grup, teori modul dan lain-lain) sering didefinisikan penjumlahan suku demi suku (term wise). Dua fungsi f, g dari M ke N dijumlahkan dengan rumus definisi : (f + g) x = df fx + gx dengan x M. Rangkuman 1) Fungsi dari himpunan S ke himpunan T adalah suatu aturan yang pada setiap s S dengan tunggal menentukan t T. 2) Misalkan f : S T. Apabila A S maka dengan f(a) dimaksud himpunan semua bayangan, atau nlai fungsi (images) darianggota-anggota himpunan A. fa = {fs T / s A} = { t / ( s A) fs = t } 3) Bayangan invers (inverse image) dari unsur t T dimaksud himpunan semua s S yang bayangannya adalah t, yaitu himpunan semua s sedemikian sehingga fs = t f -1 t = { s / fs = t } 4) Suatu fungsi f : S T, apabila T habis,yaitu setiap t T sekurang-kurangnya mempunyai satu kawan didalam S, maka f disebut surjektif. 5) Suatu fungsi f : S T,apabila setiap t T tepat mempunyai satu kawan di S atau sama sekali tidak mempunyai kawan di S maka f disebut fungsi yang injektif. 6) Fungsi f : S T disebut bijektif jhj f sekaligus surjektif dan injektif. 7) Fungsi identitas adalah suatu fungsi yang membawa setiap anggota S ke diri sendiri ( s S dipadankan dengan s S sendiri ).
8) Fungsi f pada A ke B disebut fungsi konstan jika dan hanya jika anggota B yang sama menjadi pasangan dari setiap anggota A. Dengan kata lain, f : A B konstan jika dan hanya jika range f hanya mempunyai satu anggota. 9) Fungsi f dan g dikatakan dapat digandakan menjadi fg jhj daerah nilai (daerah kawan) f = daerah definisi (daerah asal ) g. 10) Dua fungsi f, g dari M ke N dijumlahkan didefinisikan sebagai berikut : (f + g) x = df fx + gx dengan x M. Contoh -contoh soal : 1) Ditentukan S adalah himpunan bilangan real diantara 0 dan 1. Sedangkan T himpunan semua bilangan real. Unsur x S dipadankan dengan Apakah perpadanan ini merupakan fungsi? Jawab : Benar suatu fungsi, sebab setiap anggota dari S menentukan dengan tunggal satu anggota dari T. Sekarang kita selidiki apakah fungsi ini surjektif? Ambil r T. Jika ia mempunyai kawan x maka x 1 x x x 1 x = r. Dari persamaan x 1 x = r didapat r - rx =x dan x = r 1 r. Terlihat bahwa r = -1 tidak mempunyai kawan (mitra) di S, sehingga fungsi tersebut tidaklah surjektif. Untuk menentukan apakah fungsi tersebut injektif maka diselidiki apakah rumus fx 1 =fx 2 x 1 = x 2 berlaku atau tidak. Dari fx 1 = x 1 x = fx 2 = Maka fungsi tersebut adalah injektif. x 1 x, dengan mudah didapat x 1 = x 2.
2) S adalah himpunan bilangan-bilangan real dan T himpunan bilangan-bilangan real diantara 0 dan 1. Dilakukan perpadanan dari x S dengan e x / (1 + e x ) T. Buktikan bahwa perpadanan itu merupakan fungsi yang bijektif. Jawab : Perpadanan ini merupakan suatu fungsi. Untuk setiap x positif, negatif atau nol maka e x /(1 + e x ) merupakan bilangan diantara 0 dan 1 yang tunggal. Ambil sekarang y T, maka y ini berasal dari x yang tunggal. Dari y = e x /(1 + e x ) y + y e x = e x e x (1 y) = y e x = y / (1 y ) diperoleh x = ln y /(1 y ). Karena dihitung melalui persamaan yang sama, aturan kedua adalah kebalikan dari aturan pertama. Maka perpadanannya merupakan fungsi yang bijektif. Latihan Soal-Soal 1) Ditentukan f yang memasangkan setiap bilangan real dengan kuadrat dirinya atau f didefinisikan sebagai f(x) = x 2. a) Apakah f suatu fungsi? b) Tentukan f(-5) dan f(5). 2) S dan T adalah himpunan bilangan-bilangan real. Apakah perpadan S s 2 T merupakan fungsi? Surjektif? Injektif?. 3) Tentukan daerah hasil ( range) yaitu anggota-anggota T yang mempunyai kawan di S pada soal 1 diatas. 4) Ditentukan S dan T himpunan bilangan-bilangan real.
Apakah fungsi dengan rumus f : s s 3 surjektif? injektif?. 5) S = { x / 0 x } dan T = { x / 0 x 1 } Ada perpadanan x dengan x / (1 + x). Apakah ini fungsi? Apakah bijektif dan manakah fungsi inversnya?. 6) Fungsi f : R R dan g : R R didefinisikan oleh f(x) = 3x 2 dan g(x) = x 2 2x + 1 a) Tentukan rumus yang mendefinisikan perkalian fungsi g o f dan f o g. b) Hitunglah (g o f) (2) dan (f o g) (2). c) Sekarang periksalah hasil no. b dengan menghitung juga g(f(2)) dan f(g(2)). 7) Ditentukan fungsi f : R R dan g: R R didefinisikan oleh f(x) = -x 2 dan g(x) = 3x 1. Carilah : a) f(g(-x)) b) g(f(x 1)) c) g(g(2 x)) 8) Ditentukan fungsi f : R R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x 2. Tentukan : a) f -1 (0) d) f -1 ({0,1}) b) f -1 (1) e) f -1 ({1,4}) c) f -1 (4) f) f -1 ({-1}) 9) a) Pada himpunan yang bagaimanakah suatu fungsi identitas merupakan fungsi satu-satu?. b) Pada himpunan yang bagaimanakah suatu fungsi identitas merupakan fungsi.
onto? 10) a) Apakah fungsi konstan merupakan fungsi satu-satu? b) Dapatkah suatu fungsi konstan merupakan fungsi onto? bilamana?