DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004
VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah disebut vektor. y Vektor dari (0,0) ke (1,0) adalah vektor satuan i, P P(a,b) sedang dari (0,0) ke (0,1) adalah vektor satuan j. Jika a skalar, maka ai menyatakan vektor yang I sejajar dengan sumbu x (sb-x), panjangnya a menuju ke kanan jika a>0 dan menuju ke kiri 0 1 a x jika a<0. Demikian juga bj, adalah vektor yang P 1 sejajar dengan sumbu y (sb-y) menuju ke atas Gambar 1 jika b>0, dan menuju ke bawah jika b<0. 1.. PERNYTN VEKTOR Sebuah vektor ditulis = ai + bj, yaitu vektor yang titik asalnya di 0 dan titik ujungnya (terminusnya) di titik (a,b) (lihat gambar 1).Vektor yang titik pangkalnya di 0 dinamai VEKTOR POSISI, yaitu vektor yang mewakili semua vektor yang sama panjangnya, sejajar dan searah dengan dia. Dengan demikian sebuah vektor dapat dipindahkan sejajar dengan dirinya sendiri. Perhatikan vector = 0P.0P 1 = a dan 0P = b disebut komponen-komponen vektor. Sebuah vektor ditulis dengan huruf besar, sedang komponen-komponennya ditulis dengan huruf kecil. Dua buah vektor adalah sama jika dan hanya jika mempunyai arah dan panjang (besar) yang sama. Dua buah vektor yang sama mempunyai komponen-komponen sepadan yang sama. Vektor = ai + bj dan vektor = ci + dj, maka = a = c dan b = d. Jika = ai + bj maka ai bj adalah vektor, yaitu vektor yang sama panjangnya, sejajar tetapi berlawanan arahnya dengan vektor. Sebuah vektor sering pula ditulis dalam bentuk matriks : i = ( a b ) = ai + bj j Sebuah vektor dalam ruang berdimensi tiga (E 3 ) ditulis :
i = ( a b c ) j k = ai + bj + ck Jika = a 1 i + a j + a 3 k + dan = b 1 i + b k + b 3 k, maka : = a 1 = b 1, a = b dan a 3 = b 3. Vektor = -a 1 i a j a 3 k. 1.3.OPERSI VEKTOR 1.3.1. PENJUMLHN Y +d D Q(c,d) R(a+c,b+d) P(a,b) 0 c a-c a a+c x b-d T(a-c,b-d) Gambar Dua buah vektor = ai + bj dan = ci + dj dapat dijumlahkan dengan menjumlahkan komponen-komponennya yang sepadan. + = C = (a +c)i + (b + d)j. Jelaslah, bahwa komponen-komponen vektor jumlah itu adalah jumlah komponen-komponen yang sepadan dari vektor-vektor asalnya. Dalam contoh di atas, vektor jumlah merupakan diagonal jajaran genjang 0R, di mana = 0P dan = 0Q sebagai sisi-sisinya (lihat gambar ). + dapat juga diperoleh dengan memindahkan sejajar dengan dirinya sendiri menjadi vector, sehingga titik pangkal sejajar dengan berimpit dengan terminus maka + adalah vektor yang titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal dan terminusnya berimpit dengan terminus. Demikian juga jumlah beberapa vektor : + + C + D, diperoleh dengan memindahkan sejajar dengan dirinya sendiri menjadi vektor, sehingga titik pangkal berimpit dengan terminus, kemudian dipindahkan vektor C sejajar dengan dirinya sendiri menjadi vektor C, sehingga titik pangkal C berimpit dengan terminus, kemudian dipindahkan vektor D sejajar dengan dirinya sendiri menjadi vektor D, sehingga titik pangkal D berimpit dengan terminus C, jadi vektor jumlah dari keempat vektor itu + + C + D adalah vektor yang titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal dan
terminusnya terminus vektor D. Jumlah vektor dalam ruang berdimensi tiga (E 3 ) dapat juga dicari dengan cara yang sama. 1.3.. PENGURNGN Pengurangan dua vektor : = D. Jika vektor = ai + bj dan = ci + dj, maka = D = 0T = (a c)i + (b c)j yang komponen-komponennya selisih komponenkomponen yang sepadan dari vector asalnya (lihat gambar ) 1.3.3. PERKLIN DENGN SKLR Mengalikan sebuah vektor = ai + bj dengan sebuah skalar m, adalah m = m(ai + bj) = (ma)i + (mb)j, yaitu mengalikan komponen-komponennya dengan skalar m. 3 Secara geometri m adalah sebuah vektor yang panjangnya m kali panjang vektor, sejajar dan arahnya sama dengan - arah jika m > 0, dan arahnya berlawanan dengan arah jika m < 0. Jadi 3 adalah sebuah vektor yang sejajar dan searah Gambar 3 dengan dan panjangnya 3 kali panjang : sedang vektor adalah sebuah vektor yang sejajar dengan vektor, arahnya berlawanan dengan vektor, dan panjangnya kali panjang vektor (lihat gambar 3). Panjang vektor dinyatakan dengan dan dibaca panjang (besar) vektor. Jika = ai + bj, dimana = 0P sebagai hipotenusa segi tiga 0P 1 P (lihat gambar 1) dan sisi-sisi siku-sikunya 0P 1 dan P 1 P yang panjangnya berturut-turut a dan b, maka menurut Phytagoras = a + b Jika = ai + bj + ck maka panjang vektor = = a + b + Mencari panjang vektor yang bukan vektor posisi, dapat dilakukan sebagai menghitung panjang sepotong garis dalam koordinat kartesius. Misalkan titik pangkal vektor P 1 (x 1,y 1,z 1 ) dan terminusnya P (x,y,z ) maka panjang vector P 1 P adalah : P ( x x ) + ( y y ) + ( z ) 1P = 1 1 z1 ola adalah tempat kedudukan titik-titik yang sama jaraknya terhadap sebuah titik, maka (*) dapat dipandang sebagai persamaan jarak setiap titik P pada bola dengan radius r terhadap titik pusat P 1 (x 1,y 1,z 1 ). P(x,y,z) terletak pada bola, jika dan hanya jika : (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) = r c
S o a l : Diketahui vektor-vektor = i + 3j 6k ; = 7i 4j + 4k ; dan C = i + 4j 9k 1. Tentukanlah : a) 3 + C ; b) + 3C ; c) + 3C ; d) ( + S) 3( C). Hitunglah panjang (besar) vector-vektor : a) ; b) ; c) C ; d) ( ) ; e) ( + C) 3. Hitunglah panjang vector-vektor tersebut pada soal No.1. II. VEKTOR STUN.1. VEKTOR STUN Vektor U yang mempunyai panjang yang sama dengan ukuran satuan panjang yang dipakai pada sumbu-sumbu koordinat, disebut STUN VEKTOR. Jika U satu satuan vektor yang diperoleh dengan memutar vektor satuan i sebesar θ dengan arah positif (berlawanan dengan arah jarum jam), maka U mempunyai komponen horizontal U x = cos θ, dan komponen vertikal U y = sin θ, sehingga U = 0P = i sin θ, sehingga U = 0P = i cos θ + j sin θ. Jika sudut θ bervariasi dari 0 sampai π, maka titik P menempuh lingkaran satuan x + y = 1 Vektor yang bukan NOL, vektor satuannya disebut arah vektor, ditulis.. VEKTOR NOL Sebuah vektor yang panjangnya NOL, disebut VEKTOR NOL. Vektor nol hanya digambarkan oleh sebuah titik saja. rah vektor nol tidak tentu. Vektor V = ai + bj = 0 a = 0, b = 0..3. SIFT-SIFT Jika, dan C masing-masing vektor dalam bidang, maka vektor-vektor itu memenuhi : a. + = + sifat komutatif b. + ( + C) + ( + ) + C sifat asosiatif c. K( + ) = k +k (k skalar) Sifat distributive S o a l : Diketahui vektor-vektor : = 3i + 4j + 1k ; = 4i 3j 1k dan C = 9i 8j + 1k
1. Tentukanlah vektor-vektor : a) + - C ; b) - + C ; c) + C ; d) 3 ; e) + C. Tentukanlah panjang vektor : a) ; b) ; c) C ; d) ; e) C ; f) C ; g) + ; h) + C ; i) + C 3. Tentukanlah vektor satuan dari vektor-vektor tersebut pada. 4. Tulislah vektor-vektor pada No.1 dalam bentuk matriks. 5. Gambarlah vektor-vektor pada No.1 a) dengan prinsip diagonal jajaran genjang b) dengan menyambung pada terminus vektor lain. 3. PRODUK (PERKLIN) DU VEKTOR 3.1. PRODUK SKLR Jika diketahui dua vektor dan, maka produk skalar kedua vektor itu dinyatakan dengan. (baca dot ). Produk ini disebut juga dot product, karena memakai simbol dot (titik). Hasil produk skalar dari vektor, adalah skalar. Produk skalar atau dot product vektor dan didefinisikan :. = cos θ dimana (,) = 0 Produk skalar vektor adalah komutatif :. = ( cos θ). = ( cos θ) 0 Produk skalar. dapat juga dinyatakan Gambar 4 Dalam komponen-komponen vektor-vektor itu sebagai berikut : Diketahui = a 1 i + a j ; = b 1 i + b j Misalkan C = = (b 1 a 1 )i + (b a )j. Menurut rumus cos. Dalam segitiga yang sisi-sisinys, dan C : C = + - a cos θ cos θ = + C
a = ( b a ) + ( b ) 1 + a + b1 + b 1 1 a a b + a b 1 1 = = a1b1 + ab C Jadi. = cos θ = a 1 b 1 + a b (skalar) Gambar 5 Produk skalar dua vektor, adalah skalar yang besarnya sama dengan jumlah hasil kali komponen-komponennya yang sepadan (komponen-komponen dinyatakan dengan skalar). Untuk dua vektor dalam E 3 pun, berlaku sifat ini. Jika = a 1 i + a j + a 3 k dan = b 1 i + b j + b 3 k maka. = cos θ = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 Produk skalar vektor adalah distributive :.( +C) =. +.C ( + ).C =.C +.C ( + ).(C + C) =.C +.D +.D Jelaslah bahwa apabila produk skalar vektor = NOL, maka kedua vektor itu saling tegak lurus, karena cos 90 = 0. Vektor NOL tidak mempunyai arah, dan dapat dikatakan, bahwa vektor nol tegak lurus pada tiap vektor yang lain. Jika produk skalar vektor positif, maka cos 0 positif dan sudut antara kedua vektor itu adalah lancip. Jika produk skalar vektor negatif, maka cos θ negatif, dan sudut antara kedua vektor itu adalah tumpul. Jika + c (c skalar), maka sudut yang dibentuk kedua vektor itu adalah 0, jadi cos 0 = 1, dan. =. Jika =, maka sudut kedua vektor itu adalah 0, dan. =. = Contoh : Nyatakanlah komponen 1 dan dari vektor, di mana 1 sejajar dengan yang diketahui dan tegak lurus pada. Jawab : = 1 + ; 1 = c dan. = 0. Dengan substitusi 1 maka = c + dan skalar c diperoleh dari persamaan. = 0 ( c). = 0.. c. = 0 c = = 1 = c.. c =. Misal : = i + j 3k dan = 3i j c =. 6 1 = =. 9 + 1 1
Contoh : Tunjukkanlah bahwa vektor N = ai + bj tegak lurus pada garis lurus g : ax + by + c = 0. Jawab : mbil dua titik P 1 (x 1,y 1 ) dan P (x,y ) pada garis g, maka berlaku ax 1 + by 1 + c = 0 dan ax + by + c = 0. Hilangkan c dari keduanya : a(x 1 x ) + b(y 1 y ) = 0 vektor P 1 P = a(x x 1 )i + (b b 1 )j dan N = ai + bj akan dibuktikan N tegak lurus pada P 1 P. Dengan produk skalar didapat (ai + bj).((x x 1 )i + (b b 1 )j) = 0. jadi : N.P 1 P = 0 atau keduanya saling tegak lurus. Diketahui bahwa g : ax +by + c = 0 adalah garis lurus, jadi a dan b tidak 0 sekaligus, dan dari sini N tidak sama dengan 0. dapat dipilih titik P berlainan dai P 1, jadi P 1 P tidak sama dengan 0. karena itu N tegak lurus P 1 P, berarti N tegak lurus pada garis g. Misal : Jika garis g : x 3y 5 + 0 maka vektor N = i 3j tegak lurus pada g, dan N disebut normal ke garis g itu. Y P P(5,6) S 0 R P 1 x Gambar 6 Contoh : Diketahui garis g : 3x + 4y 1 = 0. Carilah jarak titik P(5,6) ke garis itu Jawab : Garis g memotong sb-y di titik S(0,3). Tarik dari S normal ke garis g. jarak P ke garis g adalah d = SP cos θ. Ini didapat dari dot product N.SP = N SP cos θ = N d. N. SP d =. Karena SP = 5i + 3j dan N = 3i + 4j maka N d = 5.3 + 3.4 3 + 4 = 7 5 7 = = 5,4 5 Dapat juga vektor N ditarik dari R, dan perhitungan selanjutnya sama seperti di atas. Produk skalar dipakai juga dalam mekanika. F
Menghitung usaha oleh gaya F jika titik itu mengalami perpindahan. Jika arah gaya F cos θ itu tetap, maka usaha diperoleh dengan menghitung : Gambar 7 W = ( F cos θ) = F. Jika dalam pernyataan vektor = b 1 i + b j + b 3 k, b 1 = 1 dan b = b 3 = 0, maka = i. Dan jika = a 1 i + a j + a 3 k, maka. =.i = a 1. Demikian jugalah.j = a dan.k = a 3. diketahui bahwa a 1, a dan a 3 adalah komponen-komponen vector berturut-turut dalam arah i, j dan k. Umumnya jika U suatu vektor satuan, maka komponen dalam arah U adalah produk skalar :.U = U cos θ = komponen dalam arah U. Jika suatu vektor tidak NOL, dapat ditulis U = U = Karena arah dalam U, maka komponen pada arah =.. Proyeksi vektor pada adalah (komponen dalam ). dikalikan dengan (arah ) yaitu :. atau.. S o a l : Diketahui = i + 3j + 6k ; = 3i 6j + k ; C = 3i 6j +6k 1. Tentukanlah a) D = ; b) E = ; c) F = + + C. Tentukanlah : a). ; b).c ; c).c ; d).d ; e).e ; f) C.D 3. esarnya sudut yang dibentuk tiap pasang vektor pada No.. 4. Tentukanlah jarak titik P(7,8) ke garis g : 3x 4y + 4 = 0 5. Diketahui vektor-vektor = 4i 3j + 1k dan = 3i + 5j k a. Nyatakan komponen 1 dan dari vektor di mana 1// dan tegak lurus pada. b. Hitung usaha oleh gaya F jika titik itu mengalami perpindahan 0P (0 titik pangkal dan P terminus ) sedang F = dengan 0 titik pangkalnya. 3.. PERKLIN VEKTOR atau CROSS PRODUCT Perkalian vektor atau cross product atau vector product dari vektor dan vektor ditulis =. hasil perkalian dua buah vektor x
adalah sebuah vektor. Dua buah vektor dan yang mempunyai titik pangkal yang berimpit membentuk sudut θ. ( 0<θ<π ). Jika dan tidak berimpit, keduanya membentuk sebuah bidang. ndaikan U satuan vektor yang tegak lurus pada Gambar 8 bidang (,) dengan arah sekerup kanan yang diputar dari ke (lihat gambar 8), maka haasil kali cross product ke didefinisikan : x = U sin θ Jika dan sejajar, θ = 0 atau θ = 180 dan sin θ = 0, maka x = 0. dalam hal ini arah U tidak ditentukan. Dalam hal lain U dapat ditentukan, dan cross product dua vektor adalah sebuah vektor yang sama arahnya dengan U dan besarnya sama dengan bilangan yang menyatakan luas jajaran genjang yang sisinya dan serta membentuk sudut 0. Jadi jelaslah bahwa panjang vektor hasil kali dari cross product dan adalah : x = C = U sin θ. Jika perkalian vektor di atas dari ke, jadi arahnya dari ke, maka arah vektor satuan berlawanan dengan yang di atas, menjadi U, sehingga cross product x = - x. Jika definisi itu dipakai untuk vektor satuan i, j dan k (pada sumbu-sumbu koordinat) maka : i x j = - j x i = k j x k = - k x j = i k x i = - i x k = j i x i = j x j = k x k = 0 Selanjutnya berlaku (r) x (s) = rs( x ) asosiatif. Perhatikan gambar 9. idang H. Vektor dan membentuk sudut θ. H Vektor diproyeksikan pada bidang H, x Yaitu vektor yang panjangnya = sin θ. Vektor diputar Gambar 9 (sumbu putar vektor ) dengan sudut +90 menghasilkan. jika vektor dikalikan dengan panjang vektor (skalar), maka hasil kali = a = b, karena mempunyai arah yang sama dengan arah U (cross product) dan = = sin θ = x Jadi ketiga operasi itu adalah :
1. Proyeksikan ke H. Putar (sumbu putar ) dengan sudut +90 3. Kalikan dengan skalar C Jika operasi itu diterapkan pada sebuah segitiga, diperoleh sebuah segitiga lain. Perhatikanlah gambar 10, segitiga dengan C sisi-sisi, C, dan (+C). (+C) Jika diterpkan ketiga langkah itu akan diperoleh : Gambar 10 1. Segitiga yang sisi-sisinya, C dan ( + C) Memenuhi persamaan vektor + C = ( +C). Segitiga yang sisi-sisinya, C dan ( + C ) Memenuhi persamaan vektor + C = ( + C) 3. segitiga yang mempunyai sisi-sisi, C dan (+ C) memenuhi persamaan vektor + C = ( + C) pabila dipakai persamaan-persamaan : = x C = x C (+C) = x ( X C) yang didapat dari kesimpulan di atas, maka diperoleh : x b + x C = x ( + C) Yaitu sifat distributive perkalian vektor (cross product) Kawan dari sifat ini adalah (D + C) x = x + C x Dengan menggunakan cross product dan rumus-rumus aljabar, dapat ditentukan vektor hasil dari x. Jika = a 1 i + a j + a 3 k dan = b 1 i + b j + b 3 k, maka x = (a 1 i + a j + a 3 k) x (b 1 i + b j + b 3 k) = (a 1 b 1 )i x I + (a 1 b )I x j + (a 1 b 3 )I x k + (a b 1 )j x I + (a b )j x j + (a b 3 )j x k + (a 3 b 1 )k x I + (a 3 b )k xk x j + (a 3 b 3 )k x k = (a 3 b 3 a 3 b )I (a 3 b )I (a 1 b 3 a 3 b 1 )j + (a 1 b a b 1 )k Keenam suku ruas kanan sama dengan keenam suku penyeleseian determinan ordo 3 x 3, sehingga hasilkali cross product vektor. i j k Dan di atas adalah : x = a 1 a a 3
b 1 b b 3 Contoh : Hitunglah luas segitiga C, jika (1,-1,0), (,1,-1) dan C(-1,1,). Jawab : Dua sisi segitiga itu dinyatakan dengan vektor-vektor : = (-1)i + (1+1)j + (-1-0)k = i + j k C = (-1 1)I + (1 + 1)j + (+ 0)k = - i + j +k i j k Vector V = x C = 1-1 = 6i + 6k - besarnya V = V = 6 + 6 = 7 = 6, yang sama dengan luas jajaran genjang yang sisi-sisinya dan C, dimana luas ini kali luas segitiga C. Jadi luas segitiga C = ½ x C = 3 Contoh : Tentukanlah vektor satuan yang tegak lurus pada vektor = i + j k dan = i j + k Jawab : Vektor N = x tegak lurus pada kedua vektor dan sedang U = c(a x ) adalah juga vektor N yang dikalikan dengan skalar c = 0, dan c dapat dipilih sehingga U menjadi vektor satuan. i j k Jadi : N = x = 1-1 = i 5j 3k 1-1 1 i 5 j 3k U.U = c N.N = c 1 + ( 5) + ( 3 ) = 35c c = ± jadiu = 35 35 Soal : Diketahui dalam E 3 titik-titik (1,-1,1), (,3,-1), C(-1,,) dan D(3,1,9) 1. Tentukanlah vektor-vektor : a) 0 ; b) 0 ; c) 0c ; c) ; e) C dan f) C. Jika P, Q dan R berturut-turut pertengahan, sisi-sisi, C dan C tentukanlah koordinat P, Q dan R. 3. Tentukanlah E sehingga CE jajaran genjang. 4. Tentukanlah koordinat titik berat segitiga C 5. Tentukanlah besarnya sudut-sudut segitiga C. 6. Tentukanlah normal pada ketiga sisi segitiga itu 7. Tentukanlah : a) 0 x 0 ; b) 0 x 0C ; c) 0 x 0C ; d) x C ; e) C x 8. Hitunglah luas segitiga C 9. Hitunglah : a) jarak C dari ; b) jarak dari C. 10. Hitunglah jarak D dari bidang C.
4. PERSMN GRIS DN PERSMN IDNG DTR PERSMN GRIS ndaikan g sebuah garis melalui P 1 (x 1,y 1, z 1 ) sejajar dengan sebuah vektor bukan nol V = ai + bj + ck. Garis g adalah tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian, sehingga vektor P 1 P sejajar dengan vektor V yang diketahui. P pada garis g jika dan hanya V jika ada suatu skalar t, sehingga P 1 P = tv, atau P(x,y,z) (x x 1 )i + (y y 1 ) + (z z 1 )k = t(ai + bj + ck) ( lihat gambar 11) P 1 (x 1,y 1,z 1 ) P 1 P = tv, maka x x 1 = ta ; y y 1 = tb dan Gambar 11 z z 1 = tc. (*). Jika t variable dari - +, maka titik P(x,y,z) bergerak melintasi garis g yang melalui P 1 itu. Ketiga persamaan (*) secara simultan adalah persamaan parameter garis g dalam E 3. Jika t dieliminir dari ketiga persamaan parameter itu, diperoleh persamaan garis lurus g : x a y y = b x 1 1 1 z z = c Yaitu persamaan garis yang sejajar dengan vector V = ai + bj + ck S o a l : Diketahui segiempat CD di mana (4,1), (8,4), C (7,10) dan D(5,9). Titik-titik P, Q, R dan S adalah titik-titik tengah, C, CD dan D. 1. uktikanlah bahwa PQRS adalah sebuah jajaran genjang.. Hitunglah jarak C ke, demikian juga jarak D ke garis. 3. Tentukanlah vektor, C, CD dan D. Hitunglah juga panjang (besar) vektorvektor itu. 4. Hitunglah besar sudut-sudut segiempat itu. 5. Hitunglah jarak titik C ke garis, demikian juga jarak titik D ke garis. 6. uatlah persamaan garis melalui P(1,,-3) sejajar dengan vektor V = i 3j + 5k.