ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI

ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI TESIS Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan untuk Mencapai Derajat Magister Program Studi Ilmu Fisika Oleh CECILIA YANUARIEF S908003 PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 0

ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI TESIS Oleh Cecilia Yanuarief S908003 Komisi Nama Tanda Tangan Tanggal Pembimbing Pembimbing I. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D... 6 Oktober 0 NIP. 95095 97603 00 Pembimbing II. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D... 6 Oktober 0 NIP : 960306 98503 00 Telah dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal 6 Oktober 0 Ketua Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana UNS Drs.Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP : 960306 98503 00 ii

ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI TESIS Oleh Cecilia Yanuarief S908003 Jabatan Ketua Sekretaris Anggota Penguji Tim Penguji Tanda Tanggal Nama Tangan Drs. Harjana, M.Si., Ph.D NIP.959075 9860 00... November 0 Dr. Agus Supriyanto, S.Si.,M.Si NIP.969086 99903 00... November 0 Dra. Suparmi, M.A., Ph.D NIP. 95095 97603 00... November 0 Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP. 960306 98503 00... November 0 Telah dipertahankan di depan penguji Dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal November 0 Direktur Program Pascasarjana UNS Ketua Program Studi Ilmu Fisika Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S NIP. 960779860 00 Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP : 960306 98503 00 iii

PERNYATAAN ORISINALITAS DAN PUBLIKASI ISI TESIS Saya menyatakan dengan sebenarnya bahwa:. Tesis yang berjudul ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI ini adalah karya penelitian saya sendiri, tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik, serta tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis digunakan sebagai acuan dalam naskah dan disbutkan dalam sumber acuan serta daftar pustaka. Apabila dikemudian hari terbukti pernyataan saya ini tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan (Permendiknas No. 7, Tahun 00). Publikasi sebagian atau keseluruhan dari isi tesis ini pada jurnal atau forum ilmiah lain harus seijin dan menyertakan tim pembimbing sebagai author dan PPs-UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (enam bulan sejak pengesahan tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau keseluruhan tesis ini, maka PPs-UNS berhak mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika PPs-UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran dari ketentuan publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku. Surakarta, 30 Oktober 0 Mahasiswa Cecilia Yanuarief S908003 iv

MOTTO DAN PERSEMBAHAN Semua orang percaya kalau hidup tidak akan selalu seperti ini.. Karena mereka paham apapun yang dilakukan harus bisa membawa manfaat.. Jangan mengeluhkan dunia.. Karena sesungguhnya suatu saat semua pasti akan berubah.. Tapi, semua bergantung pada arah kita melangkah dan doa yang kita munajatkan.. Jangan TAKUT!! Torehan tinta emasku ini aku persembahkan untuk :. Allah SWT yang telah memberiku kesempatan dan rizki,. Kedua orang tuaku yang telah memberiku kasih sayang dan dukungan, 3. Vegy yang selalu setia mengantarku kemanapun aku pergi. v

Cecilia Yanuarief. S908003. 0. Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Non Sentral Rosen Morse Plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb Menggunakan Polinomial Romanovski. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing: (). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D (). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai energi dan fungsi gelombang untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb. Potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb merupakan potensial yang variabelnya terpisahkan. Fungsi gelombang polar dan radial untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, dan Rosen Morse, diselesaikan menggunakan metode polinomial Romanovski sedangkan fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb diselesaikan dengan metode yang lebih umum, yaitu NU. Penyelesaian persamaan Schrödinger dengan polinomial Romanovski dilakukan dengan cara mereduksi persamaan differensial orde menjadi persamaan differensial tipe hypergeometry perantara melalui substitusi variabel yang sesuai dengan parameter Romanovski. Dari persamaan hypergeometry perantara yang diperoleh, penentuan persamaan tingkat energi dan fungsi gelombang ditentukan dengan mensubstitusi permisalan fungsi gelombang Romanovski kedalam persamaan hypergeometry perantara dan menjabarkannya sehingga diperoleh persamaan differensial Romanovski. Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi gelombang baik radial maupun polar dinyatakan dalam bentuk persamaan polinomial Romanovski. Spektrum energi dan fungsi gelombang bagian radial dan polar serta grafik probabilitas divisualisasikan dengan pemrograman komputer yang berbasis Matlab. Visualisasi fungsi gelombang radial yang terbentuk mendiskripsikan nilai probabilitas ditemukannya partikel, sedangkan Visualisasi fungsi gelombang polar yang terbentuk mendiskripsikan momentum sudut spin suatu elektron yang berada dalam pengaruh potensial sistem. Kata kunci: potensial non sentral Rosen Morse, polinomial Romanovski vi

Cecilia Yanuarief. S908003. 0. Energy and Wave Functions Analysis of Non Central Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, and Coulomb Potential With Romanovski Polynomial. Thesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Advisor: (). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D (). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D ABSTRACT This research is aimed to determine energy levels and wave functions for non central Rosen Morse potential plus Hulthen, Rosen Morse, and Coulomb. Non central Rosen Morse potential plus Hulthen, Rosen Morse, and Coulomb are the potensial which separated variable. Polar and radial wave functions of non central Rosen Morse potential plus Hulthen, and Rosen Morse solved by Romanovski polynomial method and radial wave functions of non central Rosen Morse potential plus Coulomb potential solved by NU. To solve the Schrödinger equation with Romanovski polinomial has reduced the two order differential equation to be intermediatery hypergeometry differential equation with substituting of variable which appropriate to Romanovski s parameter. From intermediatery hypergeometry differential equation which given, the energy levels and wave function are determine with subtituting Romanovski s wave function like into the intermediatery hypergeometry differential equation and derivating until be obtained the Romanovski s differensial equation. From its Romanovski s hypergeometry equation would determine the energy levels and wave function. Energy levels which obtained make up closed function and the wave functions, consist of radial and polar part, have showed by Romanovski polinomial form. Energy spectrum, wave functions and probability graph have visualized with Matlab. Visualization of radial wave functions which obtained are descripting the probability value to found a particle, whereas, Visualization of radial wave functions which obtained are descripting the spin-angular momentum of electron which under system potential effect. Key word: non central Rosen Morse potential, Romanovski polinomial vii

KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul, Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Non Sentral Rosen Morse Plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb Menggunakan Polinomial Romanovski ini. Penyusunan tesis ini bertujuan untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Magister pada Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dari berbagai pihak, tesis ini tidak akan terwujud. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada:. Bapak Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.. Bapak Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta, sekaligus sebagai Pembimbing II yang telah banyak memberikan banyak bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis sehingga mampu menyelesaikan tesis ini. 3. Ibu Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, selaku pembimbing I yang telah dengan sabar membimbing dan mengajari penulis, serta memberikan semangat kepada penulis untuk dapat menyelesaikan tesis ini. 4. Bapak/Ibu Dosen Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta yang telah memberikan banyak ilmu tentang fisika. viii

5. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tesis ini. Penelitian ini didanai oleh Program Hibah Penelitian Tim Pascasarjana (HPTP) Universitas Sebelas Maret tahun 0 dengan nomer kontrak 345/UN7.6/PN/0. Surakarta, 0 Penulis ix

DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... ii HALAMAN PENGESAHAN...iii SURAT PERNYATAAN... iv MOTTO DAN PERSEMBAHAN... v ABSTRAK... vi KATA PENGANTAR...viii DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xi DAFTAR TABEL...xiii DAFTAR SIMBOL...xvi BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah... B. Identifikasi Masalah... 4 C. Batasan Masalah... 4 D. Rumusan Masalah... 5 E. Tujuan Penelitian... 5 F. Manfaat Penelitian... 6 x

BAB II KAJIAN TEORI A. Definisi Persamaan Schrödinger... 7 B. Persamaan Schrödinger untuk Koordinat 3 Dimensi... C. Persamaan Schrödinger untuk Koordinat Bola... 4 D. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Fungsi Hypergeometry... 9 E. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Polinomial Romanovski... 9 F. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Metode NU... 3 G. Potensial Hulthen... 35 H. Potensial Rosen Morse... 36 I. Potensial Coulomb... 38 J. Potensial Non Sentral Rosen Morse... 38 BAB III METODE PENELITIAN A. Lokasi dan Waktu Penelitian... 40 B. Objek Penelitian... 40 C. Instrumentasi Penelitian... 40 D. Prosedur Penelitian... 4. Langkah Kerja...4. Bagan Alir Penelitian... 45 xi

BAB IV HASIL DAN ANALISA A. Pendahuluan... 46 B. Penyelesaian Bagian Polar Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen... 47 C. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen... 7 D. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse... 94 E. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb... 8 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan... 33 B. Saran... 34 DAFTAR PUSTAKA... 35 LAMPIRAN... 37 xii

DAFTAR GAMBAR Gambar (.). Potensial Kotak... Gambar (.). Potensial Rosen Morse dan Spektrumnya... 37 Gambar (4.). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai μ... 66 Gambar (4.). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai ν... 67 Gambar (4.3). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai ν dan μ... 69 Gambar (4.4). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen... 86 Gambar (4.5). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen... 9 Gambar (4.6). Grafik Probabilitas Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen... 9 Gambar (4.7). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse... Gambar (4.8). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse.. 6 Gambar (4.9).Grafik Probabilitas Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen... 00 Gambar (4.0). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb... 8 xiii

Gambar (4.). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb... 30 Gambar (4.). Grafik Probabilitas Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb... 3 xiv

DAFTAR TABEL Tabel 4.. Polinomial Romanovski dan Hubungannya Dengan Fungsi Gelombang Polar Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen... 64 Tabel 4.. Polinomial Romanovski dan Hubungannya Dengan Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen... 89 Tabel 4.3. Polinomial Romanovski dan Hubungannya Dengan Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse... 5 Tabel 4.4. Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb... 9 xv

DAFTAR SIMBOL m e = massa elektron, 9, 0 3 kg, h = konstanta Planck, 6,66 0 34 Js, ħ ω Ψ k p = h π =,05 0 34 Js, = kecepatan sudut, = fungsi gelombang, = bilangan gelombang, = momentum, λ = π k = panjang gelombang, υ K V n l m n r n l = π ω = frekuensi, = energi kinetik, = energi potensial, = bilangan kuantum utama, = bilangan kuantum orbital, = bilangan kuantum magnetik, = bilangan kuantum radial, = bilangan kuantum polar. xvi

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Mekanika kuantum sudah lama dikenal sebagai ilmu dasar bagi penelaahan gejala dan sifat berbagai sistem mikroskopik. Pemanfaatannya tidak hanya berhasil memperluas dan memperdalam pemahaman peristiwa alami di dalam laboratorium, tetapi juga menghasilkan kemajuan teknologi secara luas, dan mempengaruhi kualitas serta corak hidup manusia secara tidak langsung. Perkembangan mekanika kuantum berakar dari konsep dasar teori kuantum yang meliputi dugaan-dugaan baik secara diskrit maupun ketidakteraturan. Teori kuantum terbukti mampu menjelaskan fenomena kuantum dari sistem makroskopik seperti superkonduktivitas dan superfluiditas yang memiliki potensi aplikasi penting. Dalam proses pembelajaran fisika kuantum khususnya mekanika kuantum selalu melibatkan persamaan-persamaan yang rumit dan penyelesaiannya membutuhkan analisa dan pemikiran yang tinggi. Contoh masalah yang cukup rumit adalah penyelesaian fungsi gelombang dari persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrödinger untuk kasus khusus partikel bebas ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah commit terhadap to user ruang dan waktu merupakan suatu

kemungkinan yang bisa ditempuh. Tetapi tidak ada satu cara eksak yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa dilakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrödinger berlaku untuk berbagai situasi fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, postulatnya harus dibuang dan pendekatan lain harus dijajaki. Dengan kata lain, persamaan Schrödinger tidak bisa diturunkan dari prinsip pertama, tetapi persamaan Schrödinger itu sendirilah yang merupakan prinsip pertama. Persamaan Schrödinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh dan harus diakui bahwa persamaan Schrödinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis. Perlu diketahui bahwa persamaan Schrödinger bukanlah penambahan banyak postulat yang diperlukan untuk memberikan cara kerja alam fisis, karena hukum kedua Newton mengenai gerak yang dalam mekanika klasik dipandang sebagai postulat dapat diturunkan dari persamaan Schrödinger. Penelitian tentang penyelesaian fungsi gelombang pada persamaan Schrödinger merupakan penelitian yang sangat penting dalam ilmu fisika modern. Berbagai metode penyelesaian persamaan Schrödinger untuk gerak partikel bermuatan pada potensial-potensial sentral dan non sentral dengan suatu potensial vektor atau suatu potensial skalar terpisahkan telah dikembangkan (Ikot, 0). Berbagai metode yang telah dikembangkan tersebut diantaranya adalah metode Supersymmetry, metode shape invariant

3 (Cooper, 989), metode Nikiforov-Uvarov (NU) (Ikot, 00), dan polinomial Romanovski (Cari, 0). Penelitian ini menitikberatkan pada penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger dari suatu elektron yang bergerak di dalam potensial kombinasi antara dua potensial non-sentral menggunakan polinomial Romanovski. Pada tahun 884 Sir E. J. Routh merumuskan metode ini dan pada tahun 99 dikembangkan kembali oleh V. I. Romanovski yang kemudian dikenal dalam beberapa literatur matematika sebagai polinomial Romanovski. Polinomial Romanovski merupakan bagian dari penyelesaian eksak untuk beberapa kasus biasa dan supersymetry mekaniaka kuantum (Cari, 0). Secara umum, tepatnya persamaan Schrödinger memegang peranan spesial karena banyak member peran dalam menjelaskan fenomena mikroskopik serta menjadi tokoh kunci dalam ilmu fisika. Polinomial Romanovski dan polinomial Jacobi memiliki hubungan yang cukup erat, yaitu, polinomial Romanovski merupakan bentuk kompleks dari polinomial Jacobi tetapi pada kenyataannya substitusi faktor kompleks pada polinomial Jacobi tidak selalu menghasilkan polinomial Romanovski. Polinomial Romanovski dapat diturunkan sebagai solusi polinomial dari ODE. Pembahasan polinomial Romanovski tidak begitu meluas dalam berbagai aplikasi, tetapi dalam beberapa tahun terakhir ini metode ini cukup popular dalam pemecahan kasus-kasus mekanika kuantum, seperti pada contoh diskripsi spektrum atom hidrogen pada potensial Coulomb (Yanuarief, 0), atau gerak partikel pada potensial Hulthen atau Rosen Morse.

4 B. Identifikasi Masalah Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas, maka dapat dituliskan perumusan masalah sebagai berikut :. Bagaimana cara agar proses pembelajaran fisika kuantum khususnya mekanika kuantum dapat diselesaikan dengan persamaan-persamaan yang relatif lebih sederhana?. Sejauh mana konsep mekanika kuantum dapat menjelaskan berbagai fenomena mikroskopik di alam semesta? 3. Seberapa luas cakupan konsep persamaan Schrödinger dalam aplikasi mendiskripsikan gerak partikel pada beberapa potensial? 4. Bagaimana penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger untuk potensial non sentral dilakukan? 5. Bagaimana cara mengaplikasikan polinomial Romanovski untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger? 6. Sebesar apa peran polinomial Romanovski sebagai metode popular dalam penyelesaian persamaan Schrödinger? C. Batasan Masalah Penelitian ini dibatasi dalam lingkup :. Penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger untuk potensial non sentral,

5. Potensial yang digunakan antara lain adalah non sentral Rosen Morse plus Hulthen, non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, dan non sentral Rosen Morse plus Coulomb, 3. Metode analitik untuk menjabarkan potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen dan potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse adalah menggunakan metode polinomial Romanovski. 4. Metode analitik untuk menjabarkan potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb adalah menggunakan kombinasi metode NU dan polinomial Romanovski. D. Rumusan Masalah. Bagaimana analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen?. Bagaimana analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse? 3. Bagaimana analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb? E. Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah :. Mendeskripskan hasil analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen.

6. Mendiskripsikan hasil analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse. 3. Mendiskripsikan hasil analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb. F. Manfaat Penelitian. Bagi Peneliti : a. Mengembangkan kemampuan peneliti dalam penguasaan tekhnik penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger untuk berbagai potensial, b. Mengembangkan kemampuan peneliti dalam penguasaan bahasa Matlab, c. Mengembangkan kemampuan logika berfikir dalam penyusunan alur program komputasi.. Bagi Pembaca : a. Visualisasi grafik yang dihasilkan dapat mempemudah pemahaman tentang mekanika kuantum. b. Sebagai sumber informasi tambahan dalam komputasi sehingga dapat memberikan kontribusi bagi ilmu pengetahuan.

7 BAB II KAJIAN TEORI A. Definisi Persamaan Schrödinger Baik hukum Newton, persamaan Maxwell, maupun persamaan Schrödinger tidak dapat diturunkan dari seperangkat asas dasar, namun pemecahan yang diperoleh darinya ternyata sesuai dengan pengamatan percobaan. Persamaan Schrödinger hanya dapat dipecahkan secara eksak untuk beberapa potensial sederhana tertentu; yang paling sederhana adalah potensial konstan dan potensial osilator harmonik. Kedua kasus sederhana ini memang tidak fisis, dalam artian bahwa pemecahannya tidak dapat diperiksa kebenarannya dengan percobaan. Namun demikian, kasus sederhana ini cukup bermanfaat dalam memberikan gambaran tentang teknik umum pemecahan persamaan Schrödinger. Untuk merumuskan persamaan Schrödinger yang sampai saat ini dipergunakan untuk memecahkan persoalan fisika kuantum, berbagai pertimbangan haruslah diperhatikan karena diketahui bahwa tidak adanya hasil percobaan yang dapat dijadikan sebagai bahan perbandingan. Beberapa pertimbangan itu diantaranya:. Tidak boleh melanggar hukum kekekalan energi. Meskipun mengorbankan sebagian besar kerangka fisik klasik, hukum kekekalan energi adalah salah satu asas yang tetap berlaku.

8 K + V = E (.) dengan K = energi kinetik, V = energi potensial, E = energi total (jumlah energi kinetik dan energi potensial) Karena kajian fisika kuantum dibatasi oleh keadaan relativistik, maka, K = m ev = p m e (.) dengan m e = massa partikel elementer. Bentuk persamaan differensial apapun yang ditulis, haruslah taat asas terhadap hipotesis debroglie. Jika pemecahan persamaan matematika bagi suatu partikel dengan momentum p, maka pemecahan yang didapat harus berbentuk sebuah fungsi gelombang dengan panjang gelombang λ yang nilainya sama dengan h, dan dengan mendefinisikan p = ħk p maka nilai energi kinetik pada persamaan (.) menjadi, K = p = ħk = ħ k (.3) m e m e m e dengan ħ = h, h = konstanta plank, k = bilangan gelombang π 3. Persamaan yang dihasilkan diharapkan dapat memberikan informasi tentang probabilitas untuk menemukan partikelnya, misalnya, probabilitas tersebut berubah secara tidak kontinu, karena ini partikelnya berarti bahwa partikelnya menghilang secara tiba-tiba dari satu titik dan muncul kembali pada titik lainnya. Sehingga disyaratkan bahwa fungsinya harus bernilai tunggal, tidak boleh ada dua atau lebih probabilitas untuk menemukan partikel di satu titik

9 yang sama. Kemudian juga harus bersifat linier, agar gelombangnya memiliki sifat superposisi yang diharapkan sebagai milik gelombang yang berperilaku baik. Dengan memeilih bernalar dalam urutan terbalik, akan ditinjau terlebih dahulu pemecahan dari persamaan yang sedang dicari. Dengan rujukan awal beberapa fungsi gelombang,. Gelombang berjalan: y x, t = A sin kx ωt (.4). Gelombang elektromagnet (GEM): E x, t = E 0 sin kx ωt B x, t = B 0 sin kx ωt (.5a) (.5b) dengan y x, t, E x, t dan B x, t = simpangan; A, E 0 dan B 0 = amplitudo, k = bilangan gelombang, x = posisi, ω = kecepatan sudut, t = waktu. Oleh karena itu, dipostulatkan bahwa gelombang debroglie partikel bebas Ψ x, t memiliki bentuk matematis yang juga serupa dengan persamaan (.4) dan (.5), yaitu bentuk dasar sebuah gelombang dengan amplitudo yang merambat dalam arah x positif, memiliki panjang gelombang λ = π k dan frekuensi ν = π ω. Dengan mengabaikan ketergantungan pada waktu Ψ x, t = 0, maka dapat dituliskan persamaan gelombang debroglie partikel bebas sebagai, Ψ x = Ψ 0 sin kx (.6)

0 Persamaan differensial, yang pemecahannya adalah Ψ x, t dapat mengandung turunan terhadap x atau t, tetapi haruslah hanya bergantung pada orde satu dari Ψ dan turunan-turunannya, sehingga suku seperti Ψ atau Ψ t tidak boleh muncul. Persamaan haruslah mengandung potensial V, jika V berorde satu, maka agar taat asas dengan kekekalan energi persamaan (.), K harus juga berorde satu. Dengan merujuk pada persamaan (.3), maka satu-satunya cara untuk memperoleh suku yang mengandung k adalah dengan mendifferensialkan dua kali persamaan (.6), yaitu, d dx Ψ x = k Ψ 0 sin kx = k Ψ x (.7) dengan mensubstitusi persamaan (.3) ke persamaan (.7) maka didapatkan, d Ψ x = m e KΨ x (.8) dx ħ dan dengan mensubstitusi persamaan (.) ke persamaan (.8) maka didapatkan, d Ψ x = m e E V Ψ x dx ħ d Ψ x = m e dx ħ VΨ x m e ħ EΨ x (.9) kemudian kedua ruas dari persamaan (.9) dikalikan dengan ħ m e, menjadi, ħ d m e dx Ψ x + VΨ x = EΨ x (.0) Perlu ditekankan bahwa yang dilakukan bukanlah suatu penurunan, tetapi adalah membentuk suatu persamaan differensial yang memiliki sifat-sifat:. taat asas kekekalan energi,

. linier dan bernilai tunggal, 3. memberikan pemecahan partikel bebas yang sesuai dengan sebuah gelombang debroglie tunggal. Persamaan lain dapat dibentuk dengan sifat-sifat yang sama, namun hanya persamaan (.0) yang lolos pengujian ketat tersebut sebagai yang sesuai dengan hasil-hasil percobaan dalam berbagai situasi fisis. Persamaan (.0) merupakan persamaan Schrödinger bebas waktu (stasioner) satu dimensi. Meskipun gelombang nyata selain bergantung pada koordinat ruang dan juga pada waktu, dan bahwa alam bukanlah berdimensi satu, melainkan tiga, maka berbagai pemecahan persamaan (.0) untuk berbagai koordinat dalam kasus-kasus fisika kuantum dapat dilakukan dengan model-model matematika yang sudah ada. (Krane, 7-73). B. Persamaan Schrödinger untuk koordinat 3 Dimensi Pada sistem koordinat 3 dimensi, misal pada contoh kasus suatu partikel yang terkurung didalam potensial kotak berukuran a b c (gambar.)

z c b y x a Gambar (.). Potensial Kotak maka di setiap dinding kotak memiliki energi potensial yang sangat besar, V, sedangkan energi potensial didalam kotak bernilai 0. Oleh karena partikel bergerak bebas memiliki probabilitas dalam arah 3 dimensi, maka berlaku operator nabla sebagai divergensi dari gradient Ψ x, y, z atau laplacian Ψ x, y, z untuk operasi differensial (Arfken, 49-54) pada suku pertama persamaan (.0), yaitu, = + y + z (.) maka persamaan (.0) untuk kasus potensial kotak dapat ditulis menjadi, ħ m Ψ x, y, z = EΨ x, y, z (.) dengan mensubstitusi persamaan (.) ke persamaan (.), maka dapat dituliskan, ħ m Ψ x,y,z + Ψ x,y,z y + Ψ x,y,z = EΨ x, y, z (.3) z

3 Persamaan (.3) tersebut diselesaikan dengan metode sparasi variabel dengan menguraikan, Ψ x, y, z = X x Y y Z z (.4) dengan, X x : bagian fungsi gelombang fungsi x, Y y : bagian fungsi gelombang fungsi y, Z z : bagian fungsi gelombang fungsi z, kemudian persamaan (.4) disubstitusi ke persamaan (.3), maka menjadi, ħ m X x Y y Z z + y X x Y y Z z + z X x Y y Z z = EX x Y y Z z ħ m d d d Y y Z z X x + X x Z z Y y + X x Y y Z z = dx dy dz EX x Y y Z z (.5) Jika kedua ruas dari persamaan (.5) dibagi dengan X x Y y Z z, maka persamaan (.5) menjadi, ħ m X x d dx X x + Y y d dy Y y + Z z d dz Z z = E (.6) dengan E merupakan energi total untuk sistem 3 dimensi, dimana, E = E x + E y + E z (.7) sehingga jika persamaan (.7) disubstitusi ke persamaan (.6), menjadi,

4 ħ m e X x d ħ X x dx m e Y y d ħ Y y dy m e Z z d dz Z z = E x + E y + E z (.8) Dari bentuk persamaan (.8), terlihat bahwa masing-masing suku telah mewakili satu fungsi gelombang, sehingga persamaan tersebut dapat direduksi menjadi, ħ m e d dx X x = E xx x ħ m e d dy Y y = E yy y ħ m e d dz Z z = E zz z (.9a) (.9b) (.9c) Persamaan (.9) tersebut tidak lain merupakan persamaan Schrödinger untuk partikel dalam potensial satu dimensi. C. Persamaan Schrödinger Untuk Koordinat Bola Beberapa potensial yang digunakan bersama pada persamaan Schrödinger merupakan potensial sentral dan merupakan fungsi dari jarak antara suatu partikel terhadap beberapa titik yang dijadikan acuan/pusat. Pada sistem koordinat bola, suatu titik pada ruang didefinisikan sebagai jarak r dari sebuah titik tersebut terhadap pusat sistem koordinat dengan arah dua sudut, yaitu zenithal θ dan azimuthal φ. Oleh karena itu, dapat ditentukan secara spesifik posisi dari suatu titik tunggal dalam sistem tiga dimensi menggunakan triplets r, θ, φ tersebut. Untuk menentukan letak atau posisi dalam koordinat bola untuk setiap titik, jangkauan dari setiap titik tersebut harus dibatasi. Secara umum ditentukan yaitu

5 r 0, 0 θ π, dan 0 φ π. Pada bagian tersebut, seseorang dapat mengajukan sebuah pertanyaan tentang mengapa diperlukan sistem koordinat bola dalam proses penyelesaian persamaan Schrödinger untuk suatu partikel dalam fungsi potensial. Untuk potensial-potensial fisika, sekaligus menjadi sebuah jawaban, persamaan Schrödinger dalam sistem koordinat bola dapat di selesaikan dengan menggunakan pemisahan (sparasi) fungsi gelombang 3 dimensi menjadi fungsi gelombang yang berdiri sendiri (independen), yaitu : Ψ r, θ, φ = R r Υ θ, φ. Pergerakan suatu molekul berputar atau pada suatu elektron yang bergerak mengelilingi suatu inti atom dapat lebih baik didiskripsikan dalam koordinat bola dengan hanya mereduksi dalam koordinat tunggal atau dimensi. Sebagai contoh, pada potensial Coulomb yang merepresentasikan suatu interaksi elektromagnetik antara sebuah elektron dan sebuah proton yang dapat dituliskan : V x, y, z = e x +y +z dalam koordinat kartesian, dimana e = e 4πε 0, e merupakan muatan elementer dan ε 0 merupakan permitivitas ruang hampa. Persamaan tersebut tidak begitu saja dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaaan Schrödinger dengan potensial V x, y, z karena potensial yang digunakan pada persamaan Schrödinger tidak dipisahkan dalam koordinat kartesian. Transformasi ke dalam koordinat bola dari koordinat kartesian akan mempermudah penyelesaian persamaan Schrödinger karena pada

6 kasus ini, potensial V x, y, z dapat di ubah menjadi V r = e r yang hanya mengandung fungsi r. Untuk transformasi tersebut, digunakan konversi r = x + y + z. Selanjutnya, variabel-variabel x, y, z pada koordinat kartesian dapat dihubungkan ke dalam variabel-variabel r, θ, φ pada koordinat bola, dengan hubungan : x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ (.0) Dengan devinisi untuk koordinat bola, = r r r + r sin θ θ sin θ θ + r sin θ φ (.) Sehingga persamaan Schrödinger dapat dituliskan sebagai berikut, ħ m r r + r r sin θ θ sin θ + θ r sin θ φ + V r Ψ r, θ, φ = EΨ r, θ, φ (.) Potensial yang digunakan adalah potensial sentral karena hanya dipengaruhi oleh jarak r dari pusat koordinat dengan solusi pemisahan variabel pada persamaan Schrödinger, Ψ r, θ, φ = R r Υ θ, φ (.3) Menggunakan persamaan (.3) tersebut, maka persamaan (.) dapat dituliskan: R r d dr dr r r dr + m er ħ E V r = Υ θ,φ sin θ θ Υ θ,φ sin θ θ + Υ θ,φ sin θ φ (.4)

7 Kedua ruas dari persamaan (.4) memiliki variabel-variabel yang berbeda namun keduanya dapat disebandingkan hanya jika keduanya memiliki nilai konstanta sebesar λ. Oleh karena itu, persamaan (.4) dapat dibagi menjadi persamaan-persamaan: d r dr dr r r dr + m e ħ λ E V r R r = 0 (.5) r sin θ θ Υ θ,φ sin θ θ + Υ θ,φ + λυ θ, φ = 0 (.6) sin θ φ Dari persamaan (.5) dan (.6), tiap persamaan telah mewakili masing-masing variabel yang terpisahkan, yaitu variabel radial pada persamaan (.5) dan variabel sudut pada persamaan (.6). Penyelesaian bagian sudut dari persamaan (.6) dapat langsung diselesaikan karena bagian ini tidak terdapat sebuah potensial ataupun energi sehingga dapat dilanjutkan kembali untuk memisahkan variabel dengan mengasumsikan fungsi sudut Υ θ, φ = Θ θ Φ φ. Sehingga persamaan (.6) memiliki bentuk penyelesaian, d sin θ dθ dθ θ sin θ dθ + λ m sin θ Θ θ = 0 (.7) Φ φ d Φ φ dφ = m (.8) Dengan m harus bernilai positif atau bulat negatif, m = 0, ±, ±, Konstanta m merupakan bilangan kuantum magnetik. Jika kembali pada persamaan yang lebih rumit yang dipengaruhi oleh variabel θ, persamaan (.7) dapat ditulis kembali dengan mengubah variabel cos θ = ω. d dω dp ω ω dω + λ m ω P ω = 0 (.9)

8 Dengan P ω merupakan polinomial Legendre. Umumnya, persamaan (.9) memiliki dua penyelesaian independen yang bernilai tak terhingga untuk ω = ±. Meskipun demikian, fungsi gelombang yang memenuhi untuk kondisi khusus persamaan (.9) bernilai terhingga. Akan tetapi, jika konstanta λ didefinisikan sebagai, λ = l l + (.30) Dengan l dinyatakan sebagai bilangan kuantum orbital yang memiliki nilai, l = 0,,, 3, (.3) Untuk nilai-nilai l tersebut, maka solusi P ω dapat bernilai terhingga untuk semua nilai-nilai ω. Pada definisi fungsi Legendre asosiasi, magnitude dari bilangan kuantum magnetik m haruslah terbatas pada nilai-nilai yang lebih kecil atau sama dengan l karena polinomial-polinomial Legendre merupakan polinomial-polinomial fungsi l, m = 0,,, 3, l (.3) Di sisi lain, terdapat nilai l + yang dipenuhi nilai-nilai untuk m, l m l. Mensubstitusi persamaan (.30) ke persamaan (.5) menunjukkan bahwa fungsi gelombang radial R r dan eigenvalue E dari persamaan Schrödinger bergantung pada bilangan kuantum orbital l dan dipenuhi oleh persamaan, d R r dr + r dr r dr + m e E V r ħ l l+ R r = 0 (.33) ħ m e r Persamaan (.33) dapat digambarkan sebagai suatu persamaan differensial biasa dengan koefisien variabel dan dapat diselesaikan dengan metode-metode standar.

9 D. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Fungsi Hypergeometry Persamaan Schrödinger untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial yang mana energi potensialnya merupakan fungsi posisi biasanya diselesaikan dengan cara mereduksi persamaan Schrödinger menjadi persamaan differensial orde dua fungsi khusus seperti fungsi hypergeometry dengan substitusi variabel yang sesuai. Jika persamaan hypergeometry telah diperoleh, maka tingkat-tingkat energi dan fungsi gelombang akan diperoleh dengan mudah. Variabel baru yang disubstitusikan biasanya diperoleh dengan cara coba-coba, namun sekali dapat menemukan variabel baru untuk suatu sistem, variabel baru untuk sistem yang lain dapat ditentukan dengan menebak yang lebih logis dan terarah. Persamaan differensial orde dua fungsi hypergeometry yang diusulkan oleh Gauβ dinyatakan sebagai, z z d φ dφ + c a + b + z abφ = 0 (.34) dz dr persamaan (.34) mempunyai dua buah titik reguler singular yaitu di titik z = 0 dan z =, karena penyelesaian di titik z = 0 lebih sederhana dari pada penyelesaian di titik z =, maka mula-mula dipilih penyelesaian fungsi gelombang φ di sekitar titik z = 0 dengan bentuk deret di sekitar titik z = 0, yaitu, φ = z s y n z n (.35) dengan mensubstitusi persamaan (.35) ke persamaan (.34),

0 ab ~ n=0 y n z n+s = ab y 0 z s + y z s+ + y z s+ + y 3 z s+3 + c a + b + z d dz ~ n=0 y n z n+s = c a + b + z sy 0 z s + s + y z s + s + y z s+ + s + 3 y 3 z s+ + z z d dz ~ n=0 y nz n+s = z z s sy 0 z s + s s + y z s + s + s + y z s + + 0 = z s csy 0 + s s y 0 + z s aby 0 + c s + y a + b + sy 0 + s+sy ss y0 +z s+ aby + c s + y a + b + s + y + s + s + y s+sy + (.36) Persamaan (.36) merupakan persamaan identitas sehingga koefisien dari masingmasing suku z pangkat tertentu harus di-nol-kan, yaitu, Untuk z s, csy 0 + s s y 0 = 0, sy 0 c + s = 0, y 0 0 (.37) persamaan (.37) merupakan index equation yang memberikan harga, s = 0 atau s = c (.38a) Untuk z s, aby 0 + c s + y a + b + sy 0 + s + sy s s y 0 = 0

ab a + b + s s s y 0 + c s + + s + s y = 0 sehingga diperoleh hubungan, y = s + a+b s+ab s+ s+c y 0 atau y = s+a s+b s+ s+c y 0 (.38b) Untuk z s+, abc + c s + y a + b + s + y + s + s + y s+sy=0 ab s + s a + b + s + y + c s + + s + s + y = 0 sehingga diperoleh hubungan, y = s + s + a + b + s + + ab c s + + s + s + y y = s + s + a + b + s + + ab s + s + c + y y = s++a s++b s+ s+c+ y (.39a) dengan menghubungkan persamaan (.38b) ke persamaan (.39a), maka diperoleh, y = s+a s+b s+ s+c s++a s++b s+ s+c+ y 0 (.39b) Setelah itu, persamaan (.39b) dapat dinyatakan dalam bentuk umum, yaitu, y n = s+a s+b s++a s++b s+ s+c s+ s+c+ s+ n +a s+ n +b s+n s+c+ n y 0 (.40) Berdasarkan persamaan (.38a), maka diperoleh persamaan untuk:

s = 0, y n = a b + a + b c c + n + a n + b n c + n y 0 y n = a a+ b b+ c c+ a+n b+n n c+n n! y 0 (.4) maka akan didapatkan bentuk penyelesaian persamaan differensial hypergeometry persamaan (.34), yaitu, F a, b, c; z = φ = a n b n n c n z n = a n b n n! c n z n (.4) dimana a n = a a + a + a + 3 a + n agar penyelesaian (.4) mempunyai nilai, maka penyebut tidak boleh bernilai nol, maka c n, dimana n = 0,,,3 Jika, a = n atau b = n (.43) maka bentuk penyelesaian yang berupa deret menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polinomial pangkat n. Dari kondisi yang dinyatakan pada persamaan (.43) dapat diperoleh tingkat energi sistem. Persamaan (.34) dapat digunakan untuk menganalisis fungsi gelombang dan spektrum energi suatu sistem yang dipengaruhi oleh potensial tertentu. Salah satu contoh potensial yang mempengaruhi sistem yang dapat diselesaikan yaitu potensial Gendehshtein II yang memiliki potensial efektif, V eff = ħ m e u(t+ ) cosh x sinh x u +t(t+) sinh x (.44) persamaan Schrödinger untuk persamaan (.44) adalah,

3 ħ d χ + ħ u +t t+ m e dx m e sinh x ħ u t+ cosh x m e sinh x χ = Eχ (.45) persamaan (.45) dapat diubah menjadi persamaan differensial orde dua fungsi hypergeometry dengan cara melakukan substitusi variabel, yaitu, cosh x = z maka sinh x = z z (.46) dari persamaan (.46), diperoleh, z = cosh x dz dx = sinh x = z z d dx = z z d dz d d dx dx = d dx = z z d dz z z d dz d dx = z z z z z d dz + z z d dz d dx = z d d + z z dz dz d d dx = z z + z dz d dz (.47) dengan mensubstitusi persamaan (.46) dan (.47) ke persamaan (.45), maka dapat dituliskan, z z d χ dz + z dχ u +t t+ dr 4z z u t + z 4z z χ = m e Eχ ħ (.48) jika dimisalkan m e ħ E = k

4 maka persamaan (.48) dapat ditulis kembali menjadi, z z d χ + dχ z + dz dr k t+ u 4 4z t+ +u 4 z 4 χ = 0 (.49) Persamaan differensial orde dua pada persamaan (.49) yang dibentuk dari hasil substitusi variabel merupakan persamaan hypergeometry perantara. Persamaan ini mempunyai buah titik regular singular di titik z = 0 dan z =, Untuk titik z = 0, persamaan (.49) memiliki penyelesaian, z z d χ + dχ z dz dr t+ u 4 4z χ = 0 (.50) +u 4 k karena suku-suku z z dan t+ diabaikan terhadap suku 4z z t+ u 4 4z z untuk z mendekati nol, serta bentuk persamaan (.50) merupakan bentuk persamaan hypergeometry seperti pada persamaan (.34) maka persamaan (.50) diselesaikan dengan fungsi gelombang χ yang sesuai seperti bentuk persamaan (.35) yaitu, χ = z s n=0 c n z n (.5) kemudian persamaan (.5) disubstitusi ke persamaan (.50), dan diperoleh, z z d dz ~ n=0 c nz n+s + z d dz ~ n=0 c n z n+s t+ u 4 4z ~ n=0 c n z n+s = 0 (.5) kemudian masing-masing suku dari persamaan (.5) diuraikan secara terpisah, yaitu:

5 t+ u 4z 4 ~ n=0 c n z n+s = t+ u 4 4z c 0 z s + c z s+ + c z s+ + c 3 z s+3 + (.53a) z d dz z z d czs+ dz ~ n +s n=0 c n z = z sc 0z s + s + c z s + s + c z s+ + s + 3 c 3 z s+ + (.53b) ~ n=0 c nz n+s = z z s sc 0 z s + s s + c z s + s + s + (.53c) kemudian dari uraian pada persamaan (.53a), (.53b), dan (.53c) dijumlahkan sesuai hubungan pada persamaan (.5) dan dikelompokan berdasarkan variabel z pangkat tertentu, yaitu, 0 = z s t+ u 4 4 c 0 + sc 0 + s sc 0 + z s t+ u 4 4 c + s + c sc 0 + + (.54) dari persamaan (.54), suku dengan variabel z pangkat terendah harus di-nol-kan, yaitu, t + u 4 + 4 s + s s c 0 = 0, c 0 0 t + u 4 4 + s + s s = 0 s t + s u 4 = 0 4

6 4s s t + u 4 = 0 t + u = s s (.55) 4 dari persamaan (.55), jika dimisalkan nilai s untuk z menuju 0 adalah α, maka, α = t+u (.56) sehingga diperoleh penyelesaian pendekatan disekitar titik z = 0 yang dinyatakan sebagai, χ ~ z α (.57) Untuk titik z =, persamaan (.49) memiliki penyelesaian, z z d χ + dχ z dz dr t+ +u 4 4 z χ = 0 (.58) karena suku-suku k z z dan t+ u 4 4z z diabaikan terhadap suku t+ +u 4 4z z untuk z = dan analog dengan persamaan (.50), penyelesaian pendekatannya dapat dituliskan sebagai, χ ~ z β (.59) dengan parameter yang disubstitusi dinyatakan sebagai, t + + u 4 = β β, t u β = (.60)

7 Penyelesaian umum dari persamaan (.49) merupakan kombinasi dari penyelesaian yang diperoleh disekitar titik z = 0 dan di z = dan dikalikan dengan suatu fungsi baru yang dapat ditulis sebagai, χ = z α z β f z (.6) Kemudian untuk menyelesaikan persamaan (.49), dihitung terlebih dahulu turunan pertama dan kedua dari persamaan (.6), yaitu, dχ dz = αzα z β f z z α β z β f z + z α z β f z (.6a) d χ = α dz αzα z β f z αz α β z β f z + αz α zβf z αzα β zβ fz+zαβ β zβ fz zαβ zβ f z+αzα zβf z zαβ zβ f z+zα zβf z (.6b) bila persamaan (.56), (.60), (.6), (.6a), dan (.6b) dimasukkan ke dalam persamaan (.49), maka diperoleh persamaan, z z d f z dz + α + α + β + z df z dr + α + β k f z = 0 (.63) bentuk persamaan (.63) merupakan bentuk persamaan differensial orde dua fungsi hypergeometry. Dengan mengaplikasikan kondisi pada persamaan (.43) pada persamaan (.63), maka diperoleh, α + β + k = n atau α + β k = n (.64) Dari persamaan (.56), (.60), jika disubstitusi ke persamaan (.64),

8 t + u + t u + m e ħ E = n m e ħ E = n t m e ħ E = t n maka diperoleh spektrum energi, yaitu, E n = ħ m e t n (.65) Kemudian dengan membandingkan persamaan (.34) dengan persamaan (.63), serta hubungan persamaan (.43) dan (.64), maka dapat dinyatakan hubungan, a = α + β + k, b = α + β k, dan c = α + (.66) dengan menjumlahkan persamaan (.56) dan (.60), yaitu α + β = t + u + t u α + β = t (.67) maka persamaan (.66) dapat ditulis kembali menjadi, a = t + k, b = t k, dan c = t + u + (.68) Sehingga, dari persamaan (.4), (.46) dan (.68), diperoleh penyelesaian yang merupakan fungsi hypergeometry, yaitu, F t + k, t k, t + u + cosh x ; = t+k n t k n n! t+u+ n cosh x n (.69)

9 Dengan mensubstitusi persamaan (.46), (.57), (.60), dan (.69) ke persamaan (.6), maka didapatkan, χ n = cosh x t+k +cosh x t k t+k n t k n n! t+u+ n cosh x n (.70) Persamaan (.70) menunjukan penyelesaian umum fungsi gelombang potensial Gendensthein II, dengan fungsi gelombang tingkat dasar n = 0 : χ 0 = cosh x t+k +cosh x t k (.7) (Suparmi, 6-65) E. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Polinomial Romanovski Dari bentuk umum persamaan hypergeometry, ς x d y n x dx Dengan, + τ x dy n x dx + λ n y n x = 0 (.7) ς x = ax + bx + c; τ = dx + e dan λ n = n n + n p (.73) Jika persamaan (.73) disubstitusikan ke persamaan (.7), maka dapat dituliskan, ax + bx + c d y n x dx + dx + e dy n x dx n n + n p y n x = 0 (.74) Dengan parameter Romanovski :

30 a =, b = 0, c =, d = p, dan e = q, p > 0, y n x = D n, p = β > n (.75) sehingga persamaan (.74) dapat ditulis kembali menjadi, + x d D n p,q x dx + x p + q dd p,q n x dx n n + n p D n = 0 (.76) Persamaan (.76) merupakan persamaan differensial orde polinomial p,q Romanovski dengan D n x adalah polinomial Romanovski. Persamaan (.76) memiliki bentuk yang sama dengan persamaan (.34). Persamaan Schrödinger untuk potensial shape invariant dapat direduksi menjadi persamaan differensial orde dua yang dinyatakan dalam bentuk persamaan (.76) dengan melakukan substritusi variabel yang sesuai. Metode yang digunakan untuk menjabarkan persamaan (.76) sama seperti metode yang digunakan pada penjabaran persamaan hypergeometry, persamaan (.34), tetapi dengan penyelesaian fungsi gelombang persamaan Schrödinger, seperti penyelesaian fungsi gelombang pada persamaan (.6), untuk polinomial Romanovski, yaitu, X n = + x p e q tan x p,q D n x (.77) dengan, D n p,q x = w x d n dx n + x n w(x) (.78) w x merupakan faktor bobot yang dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan differensial Pearson, yaitu,

3 d dx ς x w x = τ x w(x) (.79) dengan mensubstitusi persamaan (.67) ke persamaan (.7), maka diperoleh, w x = exp w x = exp d a x + (e b) ax dx + bx + c p x + q + x dx = exp px + q + x dx w x = exp p ln + x + q tan x w x = + x p e q tan x = + x β e α tan x (.80) F. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Metode NU Metode NU didasari pada persamaan diferensial hypergeometry orde. Untuk suatu potensial yang ditentukan, persamaan Schrödinger dalam koordinat bola direduksi kedalam suatu persamaan umum hypergeometrik dengan suatu transformasi koordinat r s dan kemudian diselesaikan secara sistematis dengan penyelesaian khusus. Persamaan utama ditunjukan dalam bentuk dibawah ini : ψ s + τ s ς s ψ s + ς s ς s ψ s = 0 (.8) dimana ς s dan ς s merupakan polinomial orde, τ s adalah polinomial orde, dan ψ s merupakan suatu fungsi dari hypergeometry. Dengan mendefinisikan ψ s = φ s y s dan memilih suatu fungsi φ s yang tepat, persamaan (.8) direduksi menjadi suatu bentuk: y φ s s + φ s + τ s ς s y s + φ s φ s + φ s φ s τ s ς s + ς s ς s y s = 0 (.8)

3 dari koefisien y s diperoleh bentuk, φ s φ s + τ s ς s = τ s ς s (.83) dan dari persamaan (.83), diperoleh bentuk, φ s φ s = π s ς s (.84) dengan, π s = τ s τ s (.85) τ s = τ s + π s (.86) parameter baru ð s adalah polinomial orde. Kemudian, faktor φ s φ s yang muncul pada koefisien y s dari persamaan (.8) dijabarkan dalam bentuk, φ s φ s φ s = φ s + φ s φ s = π s ς s + π s ς s (.87) kemudian, koefisien y s diubah kedalam bentuk yang lebih cocok dengan mengambil kesebandingan yang ditunjukan dari persamaan (.84), φ s φ s + φ s φ s τ s ς s + ς s ς s = ς s ς s (.88) dimana, ς s = ς s + π s + π s ς s ς s + π s ς s (.89) Dengan mensubstitusi ruas kanan dari persamaan (.83) dan (.88) ke persamaan (.8), maka diperoleh persamaan hypergeometry, y s + τ s ς s y s + ς s ς s y s = 0 (.90)

33 Sebagai konsekuensi dari transformasi yang dibahas diatas, bentuk fungsi persamaan (.8) terlindung oleh langkah-langkah sistematis. Jika polinomial ς s pada persamaan (.90) dapat diubah dalam fungsi ς s, dengan hubungan, ς s = λς s (.9) dengan λ adalah konstanta, maka persamaan (.9) dapat direduksi menjadi, ς s y s + τ s y s + λy s = 0 (.9) Untuk menentukan polinomial π s, persamaan (.89) dibandingkan dengan persamaan (.9) dan kemudian suatu persamaan kuadrat untuk π s dituliskan sebagai berikut, π s + τ s ς s π s + ς s kς s = 0 (.93) k = λ π s (.94) Penyelesaian persamaan (.93) adalah, π s = ς s τ s ± ς s τ s ς s + kς s (.95) Agar dapat menyatakan penyelesaian yang sesuai dengan tanda positif dan negatif pada persamaan (.95), maka parameter k didalam tanda akar haruslah eksplisit. Untuk memenuhinya, suku-suku yang berada didalam tanda akar harus memiliki bentuk polinomial kuadrat. Dari penyelesaian umum persamaan (.9) dengan representasi υ s = y s, ς s υ s + τ s υ s + μ υ s = 0 (.96) dimana τ s = τ s + ς s dan μ = λ + τ s. τ s merupakan polinomial dengan orde lebih dari, dan μ merupakan suatu parameter yang tidak

34 bergantung pada variabel s. Ini menunjukan bahwa persamaan (.96) adalah persamaan tipe Hypergeometrik. Dengan mensubstitusi υ s = y s sebagai representasi baru, maka suku ke- pada persamaan (.9) menjadi, ς s υ s + τ s υ s + μ υ s = 0 (.97) dengan, τ s = τ s + ς s = τ s + ς s (.98) μ = μ + τ s = λ + τ s + ς s (.99) Dengan cara yang sama, suatu persamaan tipe hypergeometry dapat dibentuk dengan susunan penyelesaian-penyelesaian khusus dari persamaan (.9) dengan mendefinisikan υ n s = y n s ; ς s υ n s + τ n s υ n s + μ n υ n s = 0 (.00) dan hubungan rekursi umum untuk τ n s dan μ n yaitu, τ n s = τ s + nς s (.0) μ n = λ + nτ s + n n ς s (.0) Saat μ n = 0, maka persamaan (.0) menjadi, λ n = nτ s n n ς s, n = 0,,, (.03) dan kemudian persamaan (.00) memiliki penyelesaian khusus dengan bentuk y s = y n s yang merupakan suatu polinomial orde n. Untuk menentukan solusi eigen nilai metode NU, maka hubungan antara λ dan λ n harus dibentuk sesuai persamaan (.94) dan (.03). y n s adalah suatu fungsi tipe hypergeometry dengan penyelesaian polinomial diberikan dalam bentuk formula Rodrigues,

35 y n s = B n ρ s d n ds n ςn s ρ s (.04) dengan B n adalah konstanta normalisasi dengan faktor bobot ρ s harus memenuhi kondisi, d ds ς s ρ s = τ s ρ s (.05) Kemudian dengan mengkombinasi nilai φ s dan formula rodrigues pada persamaan (.04) akan diperoleh eigen fungsi (fungsi gelombang) X r, dengan hubungan, X r = φ s y n s (.06) (Nikiforov, A.V. & Uvarov, V.B, -8) G. Potensial Hulthen Potensial Hulthen memiliki persamaan: V r = ħ m atau, r V 0 e a r e a (.07a) V r = ħ m V 0 r e a (.07b) Dengan ħ adalah konstanta planck dan m merupakan adalah massa partikel elementer. Sehingga, berdasarkan variabelnya, potensial Hulthen dapat dinyatakan sebagai, V r V 0 r e a (.08)

36 dengan V 0 dan a merupakan kekuatan dan parameter jarak. Potensial Hulthen memiliki gaya atraktif Coulomb untuk r yang relatif sangat kecil terhadap a, r a. Jika variabel radial r relatif sangat kecil terhadap a, suku eksponensial akan diekspansikan ke deret Taylor, yaitu: e r a = + r a +! r a + 3! r a 3 + (.09) Suku-suku pada orde yang lebih tinggi dari persamaan (.09) dapat diabaikan dan hanya mengambil dua suku pertama. Sehingga, persamaan (.09) dapat ditulis kembali menjadi, e r a + r a (.0) Jika persamaan (.0) tersebut disubstitusi ke persamaan (.09), maka persamaan (.09) dapat dituliskan menjadi, V 0 V r + r a V r V 0a r (.) Dari persamaan (.), maka dapat disimpulkan untuk nilai r a, potensial Hulthen memiliki bentuk interaksi potensial Coulomb. H. Potensial Rosen Morse Potensial Rosen Morse memungkinkan terjadinya interaksi quark dalam pembahasan dinamika quark-gluon QCD. Potensial ini mereproduksi daerah perantara potensial pengungkungan linier (berhubungan dengan interaksi multi

37 gluon) sebagai ketentuan kalkulasi-kalkulasi pola geometris molekul-molekul QCD pada sifat hadron (Compean, 006). Gambar (.). Potensial Rosen Morse dan Spektrumnya Secara independent, persamaan potensial Rosen Morse adalah, V r = ħ m a a+ sin r b cot r (.) Dengan ħ adalah konstanta planck, m merupakan adalah massa partikel elementer, a dan b adalah konstanta. Jika r ir, b ib maka persamaan (.) dapat ditulis kembali menjadi, V r = ħ m a a + ħ ib cot ir = sin ir m a a + i sinh r ib i coth r V r = ħ m a a+ sinh r b coth r (.3) Persamaan (.3) diatas merupakan persamaan potensial Eckart. Hal ini berarti bahwa potensial Rosen Morse merupakan bentuk compleks dari potensial Eckart.

38 I. Potensial Coulomb Potensial Coulomb yang menghubungkan suatu elektron dengan muatan e berputar dalam medan elektrostatik Coulomb inti atom. Jika inti atom merupakan proton yang bermuatan e, permasalahan yang muncul adalah pada atom hidrogen dalam sistem fisika yang sebenarnya dimana terletak dalam sistem tiga dimensi. Sehingga, atom hidrogen tersusun atas sebuah elektron yang berputar dalam sistem koordinat bola terhubung dalam atraksi lemah Coulomb dengan proton. Kedua sistem partikel ini dapat dikonversi kedalam satu sistem partikel dengan mempertimbangkan gerak elektron yang relatif terhadap proton yang berada di pusat massa dari dua partikel tersebut sesuai dengan prinsip mekanika klasik. Pada kerangka tersebut, massa elektron dapat substitusi oleh sebuah partikel dengan massa tereduksi dan bergerak relatif terhadap proton. Persamaan potensial Coulomb adalah: V r = e r (.4) dengan e adalah muatan elektron. J. Potensial Non Sentral Rosen Morse Potensial non sentral Rosen Morse merupakan potensial Rosen Morse yang variabelnya bergantung pada fungsi radial dan polar. Sehingga pada penyelesaian fungsi gelombang dan energi pada persamaan Schrödinger, potensial

39 non sentral Rosen Morse memiliki variabel yang terpisahkan. Potensial non sentral Rosen Morse memiliki bentuk persamaan, V r, θ = ħ ν ν + mr sin θ μ cot θ (.5) Dengan ħ adalah konstanta planck, m merupakan adalah massa partikel elementer, ν dan μ adalah konstanta. Dari uraian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa penyelesaian fungsi gelombang dan energi untuk persamaan Schrödinger dapat diselesaikan dengan persamaan hypergeometry dengan melakukan substitusi variabel yang cocok sehingga penyelesaian persamaan Schrödinger dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan fungsi gelombang pendekatannya. Dalam penelitin ini, akan dilakukan penyelesaian fungsi gelombang dan energi untuk potensial shape invariant dengan menggunakan polinomial Romanovski. Potensial yang dipilih adalah kombinasi antara potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, dan potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb.

40 BAB III METODOLOGI PENELITIAN A. Lokasi dan Waktu Penelitian Waktu penelitian selama 8 bulan mulai dari bulan Januari sampai Oktober 0 dan penelitian dilakukan di Ruang Prodi Ilmu Fisika, PPs, Universitas Sebelas Maret. B. Objek Penelitian Objek dalam penelitian ini adalah kombinasi dari dua persamaan potensial efektif yang shape invariant, yaitu : a. Non sentral Rosen Morse plus Hulthen b. Non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse c. Non sentral Rosen Morse plus Coulomb C. Instrumentasi Penelitian Instrumentasi penelitian yang digunakan :. Satu unit notebook AMD Athlon X, 3 Gb memory. Perangkat lunak (Software) Matlab 00 :

4 D. Prosedur Penelitian. Langkah kerja a. Menentukan salah satu potensial efektif yaitu diantara potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, atau potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, atau potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb, b. Mensubstitusi potensial efektif yang dipilih dari salah satu kombinasi potensial pada langkah a kedalam persamaan Schrödinger, c. Menyelesaikan persamaan Schrödinger dengan sparasi variabel sesuai fungsi gelombangnya masing-masing, yaitu bagian polar dan bagian radial, d. Menyelesaikan masing-masing bagian fungsi gelombang hingga diperoleh persamaan differensial orde, e. Melakukan substitusi variabel terhadap persamaan differensial yang terbentuk dengan variabel yang cocok dengan mempertimbangkan hasil penjabaran persamaan differensial yang diperoleh dari langkah d memiliki koefisien pada suku pertama yaitu + x. Substitusi variabel dilakukan dengan merubah variabel trigonometri dengan orde yang lebih tinggi menjadi variabel yang linier. f. Menjabarkan persamaan differensial orde yang variabelnya telah di substitusi menjadi persamaan hypergeometry perantara yang memiliki bentuk seperti persamaan (.74),

4 g. Mensubstitusi fungsi gelombang dari persamaan hypergeometry perantara dengan persamaan (.77) dan menjabarkannya hingga diperoleh persamaan hypergeometry polinomial Romanovski seperti pada persamaan (.76), h. Menentukan nilai β dan nilai α dari suku terakhir persamaan hypergeometry polinomial Romanovski serta dari memperbandingkan persamaan hypergeometry polinomial Romanovski yang diperoleh dari hasil penjabaran dengan hypergeometry polinomial Romanovski dari persamaan (.76). Nilai β dan nilai α yang memiliki penyelesaian dipilih salah satunya dengan pertimbangan parameter Romanovski dimana nilai β > n, i. Untuk fungsi gelombang polar, langkah selanjutnya adalah menentukan nilai bulangan kuantum orbital l dengan cara mengkombinasikan hubungan β pada persamaan yang berbeda seperti yang ditunjukan pada bab 4. Nilai l tersebut akan dipergunakan bersama untuk menentukan kedua fungsi gelombang, yaitu fungsi gelombang polar dan fungsi gelombang radial, j. Menentukan fungsi gelombang polar keadaan khusus dengan memberikan variasi nilai ν dan μ dimana kedua nilai tersebut secara fisis akan mempengaruhi besar gangguan potensial non sentral Rosen Morse terhadap potensial sistem, karena kedua nilai tersebut mempengaruhi nilai l yang juga digunakan dalam penentuan penyelesaian khusus fungsi gelombang radial. Dari hasil variasi nilai ν

43 dan μ akan diperoleh nilai β dan nilai α yang kemudian kedua nilai tersebut digunakan untuk menentukan fungsi gelombang polar dengan menggunakan persamaan polinomial Romanovski seperti yang ditunjukan pada persamaan (.77b) dengan faktor bobot pada persamaan (.80), k. Menentukan persamaan tingkat energi pada penyelesaian fungsi gelombang radial dengan mengkombinasikan hasil β pada persamaan yang berbeda dari hasil penjabaran fungsi gelombang radial masing-masing, sehingga setiap kombinasi potensial efektif memiliki persamaan tingkat energi yang berbeda-beda, l. Menentukan fungsi gelombang radial keadaan khusus dengan memberikan variasi nilai l yang diperoleh dari penyelesaian fungsi gelombang bagian polar dimana nilai l tersebut merupakan penghubung dari potensial gangguan menuju potensial sistem yang diganggu. Fungsi gelombang radial keadaan khusus dapat dibentuk dengan menggunakan persamaan (.77b) dengan faktor bobot pada persamaan (.80), m. Khusus untuk kombinasi potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb, penyelesaian persamaan Schrödinger bagian radial tidak memiliki faktor trigonometri, sehingga dilakukan penyelesaian tingkat energi dan fungsi gelombang dengan menggunakan metode yang lebih umum daripada metode polinomial Romanovski, yaitu metode Nikiforov-Uvarov (NU),

44 n. Menyelesaikan persamaan Schrödinger bagian radial menjadi bentuk persamaan differensial orde NU seperti pada persamaan (.8), o. Membandingkan koefisien persamaan differensial orde NU hasil penyelesaian persamaan Schrödinger bagian radial dengan koefisien persamaan (.8), sehingga didapatkan nilai ς, ς, τ, dan ς, p. Menentukan nilai π r dari nilai ς, ς, τ, dan ς yang diperoleh dari langkah o, dengan menggunakan persamaan (.95), q. Menentukan nilai τ r dari nilai τ r yang diperoleh dari langkah o dan nilai π r yang diperoleh dari langkah p, r. Menentukan nilai λ dari nilai k yang diperoleh dari langkah p dan nilai turunan pertama π r yang diperoleh dari langkah p, s. Menentukan nilai λ nr dari nilai turunan pertama τ r yang diperoleh dari langkah q dan nilai turunan kedua ς yang diperoleh dari langkah o dengan mengunakan persamaan (.03), t. Menentukan persamaan tingkat energi untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb dengan membandingkan nilai-nilai λ yang diperoleh dari langkah r dengan nilai λ nr yang diperoleh dari langkah s dengan menggunakan hubungan λ = λ nr, u. Menentukan nilai φ r dengan persamaan (.84) dan nilai ρ r dari hubungan persamaan (.05), v. Menyelesaikan polinomial dengan formula Rodrigues seperti yang ditunjukan oleh persamaan (.04) dengan nilai ρ r yang diperoleh dari langkah u,

45 w. Menyelesaikan fungsi gelombang radial keadaan khusus dengan nilai φ r dari langkah u dan formula Rodrigues dengan menggunakan hubungan persamaan (.06).. Bagan Alir Penelitian Potensial Persamaan Schrodinger 3D Sparasi Variabel Substitusi Variabel Persamaan Hypergeometry Perantara Fungsi Gelombang Romanovski Persamaan Differensial Romanovski Energi Fungsi Gelombang

46 BAB IV HASIL DAN ANALISA A. Pendahuluan Pada bab ini, akan ditampilkan penyelesaian persamaan Schrödinger untuk beberapa potensial shape invariant dengan menggunakan metode polinomial Romanovski, khususnya untuk penyelesaian bagian radial dan polar pada potensial Hulthen plus Rosen Morse, dan Rosen Morse radial plus Rosen Morse. Proses penyelesaian terlebih dahulu dilakukan dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger menjadi persamaan differensial orde tipe hypergeometry seperti yang ditunjukan pada persamaan (.7) melalui substitusi variabel yang cocok untuk memperoleh persamaan hypergeometry perantara seperti yang ditunjukan pada persamaan (.74). Sedangkan penyelesaian fungsi gelombangnya diberikan permisalan fungsi gelombang seoerti pada persamaan (.75a). Kemudian untuk penyelesaian potensial Coulombic plus Rosen Morse, bagian radial tidak berbentuk potensial trigonometri, sehingga penyelesaiannya dilakukan dengan menggunakan metode NU. Proses penyelesaiannya dengan terlebih dahulu menyelesaikan persamaan Schrödinger ke arah persamaan differensial orde NU pada persamaan (.79) dan diselesaikan dengan persamaan

47 (.93). Setelah itu, fungsi gelombangnya dapat dinyatakan dengan formula Rodrigues seperti yang ditunjukan pada persamaan (.0) dan (.04). Hasil penyelesaian yang berupa persamaan tingkat energi (eigenvalue) dan fungsi gelombang (eigenfunction) dari masing-masing potensial divisualisasikan dengan Matlab 00. B. Penyelesaian Bagian Polar Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen Dari kombinasi persamaan (.07a) dan (.5), persamaan potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen adalah, V r, θ = ħ m r V 0 e a r e a + ħ ν ν+ mr sin θ μ cot θ (4.) dari hubungan, sinh x = e x e x dan cosh x = e x +e x maka persamaan (4.) dapat ditulis kembali menjadi, V r, θ = ħ m V 0 coth r + ħ ν ν + a mr sin θ μ cot θ (4.) dengan V 0 > 0 Kemudian persamaan (4.) dimasukkan kedalam persamaan Schrödinger untuk koordinat bola, karena potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen merupakan bentuk potensial fungsi radial r dan fungsi polar θ dimana masing-

48 masing dimensi diwakili oleh satu fungsi gelombang, maka persamaan Schrödinger untuk persamaan (4.) adalah, ħ m r r r r + r sin θ θ sin θ θ + r sin θ φ ψ r, θ, φ + ħ m V 0 coth r a + ħ mr ν ν + csc θ μ cot θ ψ r, θ, φ = Eψ r, θ, φ (4.3) Persamaan (4.3) merupakan persamaan Schrödinger dengan fungsi gelombang umum. Untuk penyelesaiannya, fungsi gelombang persamaan Schrödinger ψ r, θ, φ diuraikan dalam batasan fungsi gelombang tiap dimensi melalui proses sparasi variabel, dengan memisalkan, ψ r, θ, φ = R r P θ φ φ (4.4) permisalan yang muncul pada persamaan (4.4) mengandung fungsi-fungsi gelombang dari tiap-tiap dimensi yaitu R r merupakan fungsi gelombang radial, P θ merupakan fungsi gelombang polar, dan φ φ merupakan fungsi gelombang azimuthal. Untuk menguraikan bentuk persamaan (4.3), persamaan (4.4) disubstitusikan ke persamaan (4.3), yaitu, R r r r r R r + P θ sin θ θ sin θ θ P θ + φ φ sin θ φ φ φ + r V 0 coth r a ν ν + csc θ μ cot θ + mr ħ E = 0 (4.5)

49 Persamaan (4.5) telah memiliki bentuk yang tiap sukunya mewakili satu fungsi gelombang. Sebelum menyelesaikannya, suku-suku yang mengandung fungsi gelombang yang sama dikelompokkan dalam satu ruas, yaitu, ħ m r r r r + r sin θ θ sin θ θ + r sin θ φ ψ r, θ, φ + ħ m V 0 coth r a + ħ mr ν ν + csc θ μ cot θ ψ r, θ, φ = Eψ r, θ, φ x mr ħ r r r r r + r sin θ θ sin θ + θ r sin θ R r P θ φ φ + φ r V 0 coth r a ν ν + csc θ μ cot θ R r P θ φ φ = mr ħ ER r P θ φ φ P θ φ φ r r r R r + R r φ φ sin θ θ sin θ θ P θ + R r P θ sin θ φ φ φ + r V 0 coth r a ν ν + csc θ μ cot θ R r P θ φ φ = mr ħ ER r P θ φ φ : R r P θ φ φ

50 R r r r r R r + P θ sin θ θ sin θ θ P θ + φ φ sin θ φ φ φ + r V 0 coth r ν ν + a csc θ μ cot θ = mr E ħ R r r r r R r + P θ sin θ θ sin θ θ P θ + φ φ sin θ φ φ φ + r V 0 coth r a ν ν + csc θ μ cot θ + mr ħ E = 0 R r r r r R r + r V 0 coth r a + mr ħ E = P θ sin θ θ sin θ θ P θ φ φ sin θ φ φ φ + ν ν + csc θ μ cot θ R r r r r R r + r V 0 coth r a + mr ħ E = P θ sin θ θ sin θ θ P θ φ φ sin θ φ φ φ + ν ν + csc θ μ cot θ (4.6) Dari persamaan (4.6), ruas kiri merupakan persamaan Schrödinger bagian radial, dan ruas kanan merupakan persamaan Schrödinger bagian sudut (polar dan azimuthal). Sesuai dengan persamaan (.4), kedua ruas dari persamaan (4.6) memiliki variabel-variabel yang berbeda namun keduanya dapat disebandingkan hanya jika keduanya memiliki nilai konstanta sebesar λ, sehingga penyelesaian persamaan (4.6) yang dilakukan bertahap dengan menyelesaikan

5 tiap bagian fungsi gelombang, masing-masing ruas disebandingkan dengan nilai konstanta λ. Dari persamaan (4.6), bagian fungsi gelombang yang pertama diselesaikan adalah bagian polar, yaitu: P θ sin θ θ sin θ θ P θ φ φ sin θ φ φ φ + ν ν+ sin θ μ cot θ = λ (4.7) dengan mensubstitusi persamaan (.8) dan (.30) ke persamaan (4.7), P θ sin θ sin θ + cos θ θ θ m ν ν + P θ sin + θ sin θ μ cot θ = λ P θ + cot θ θ θ m ν ν + P θ sin + θ sin θ μ cot θ = l(l + ) x P θ maka persamaan (4.7) dapat ditulis kembali menjadi, P θ θ P θ + cot θ θ m ν ν+ + sin θ sin θ μ cot θ P θ + l(l + )P θ = 0 (4.8) Persamaan (4.8) dapat direduksi menjadi persamaan differensial orde dua yang dinyatakan dalam persamaan (.76) dengan melakukan substritusi variabel yang sesuai, yaitu, cot θ = x (4.9a)

5 dx d cot θ = dθ dθ = csc θ dx = csc θ dθ csc θ = + x (4.9b) dx dθ = + x d dθ = d dx dx dθ = + d x dx d dθ = + d x dx + d x dx = + x x d d + x dx dx d dθ = + x d dx + x + x d dx jika permisalan pada persamaan (4.9a) dan (4.9a) disubstitusi ke persamaan (4.8), + x d P θ dx + x + x dp θ dx x + x dp θ dx m + x + ν ν + + x μx l(l + ) P θ = 0 + x d P θ dx + x + x dp θ dx m + x + ν ν + + x μx l(l + ) P θ = 0 : + x + x d P x dx dp x + x dx m + ν ν + μx +x l(l+) +x P x = 0 (4.0)

53 bentuk persamaan (4.0) merupakan persamaan hypergeometry perantara, dengan P x merupakan fungsi gelombang polar sehingga P x memiliki sifat yang sama dengan χ n x pada persamaan (.77). Maka penyelesaiannya adalah mensubstitusi persamaan (.77) ke persamaan (4.0), dengan terlebih dahulu menghitung, P x = βx + x β e α tan x D n p,q x α +x ( + x ) β e α tan x D n p,q x + + x β e α tan x D n p,q x P x = βx + x β e α tan x D n α ( + x ) β e α tan x D n + + x β e α tan x D n p,q x P x = βx α + x β e α tan x D n + + x β e α ta n x D n p,q x P x = β + x β e α tan x D n + βx α β x + x β e α tan x D n + βx α α + x β e α tan x D n + βx α + x β e α tan x D n p,q x + β + x β xe α tan x D n p,q x α + β x e α tan p,q x D n x + + x β e α tan x D n p,q x dan disubstitusi ke persamaan (4.0), maka menjadi,

54 + x β + x β e α tan x D n + βx α β x + β x e α tan x p,q D n x + βx α α + x β e α tan x D n + βx α + x β e α tan x D n + β + x β xe α tan x D n α + β x e α tan p,q x D n x + + x β e α tan x D n + x βx α + x β e α tan x D n + + x β e α tan x D n m + ν ν + μx l(l+) +x +x + x β e α tan x D n = 0 e α tan x + x β +x D n + βx α β x D +x n + βx α α +x D n + βx α +x D n + βx +x D n α +x D n + D n + x βx α +x D n + D n m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0 + x β e α tan x + x β +x D n + βx β x +x D n α β x D +x n βαx D +x n + α 4 +x D n + βx +x D n α +x D n + p,q D n x + x βx D +x n α +x D n + D n m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0

55 + x β e α tan x + x β +x D n + β β 4x D +x n βαx D +x n + αx D +x n βαx D +x n + α 4 +x D n + βx +x D n α +x D n + D n + x βx D +x n D +x n + D n α m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0 + x β e α tan x + x β +x D n + β β 4x D +x n βαx +x D n + αx D +x n + α D 4 +x n + βx +x D n α +x D n + p,q D n x + x βx D +x n α +x D n + D n m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0 + x β +x D n + β β 4x D +x n βαx +x D n + αx D +x n + α D 4 +x n + βx +x D n α +x D n + D n + x βx D +x n D +x n + D n α m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0

56 βd n + β x +x D n βx +x D n βαx +x D n + αx +x D n + α 4 +x D n + βx D n α D n + + x D n + βx +x D n αx +x D n + x D n m + ν ν + μx +x l(l+) +x D n = 0 + x D n + βx D p,q n x α D n + x D n + βd n + β x D +x n βx +x D n βαx +x D n + α D 4 +x n + βx D +x n l(l+) +x D n = 0 αx +x D n + αx D +x n m + ν ν + μx +x + x D n + βx α + x D p,q n x + β + β x +x βx +x βαx +x + αx + α + βx +x 4 +x αx +x +x m ν ν + + μx + l(l+) +x +x D n = 0 + x D n + βx α + x D p,q n x + β + β x +x βx +x βαx +x + αx + α +x 4 +x m ν ν + + μx + l(l+) D +x +x n = 0 Dengan, β x = β +β x β +x +x = β β βx, dan = β β βx +x +x +x = β +x β + x D n + β + x α D p,q n x + β + β β +x + β +x β βαx + αx + α +x +x 4 +x m ν ν + + μx +x + l(l+) +x D n = 0

57 + x D n + β + x α D p,q n x + β β +x + β βαx + +x +x αx + α +x 4 +x m ν ν + + μx + l(l+) D +x +x n = 0 + x D n + β + x α D p,q n x β +x β +x + βαx αx +x +x α 4 +x μx +x l(l+) +x + m + ν ν + β D n = 0 + x D n + β + x α D p,q n x β β +βαx αx α 4 +x μx l(l+) + m + ν ν + β D n = 0 (4.) dari persamaan (4.), berlaku hubungan, βαx αx μx = 0 βα α μ = 0 (4.a) α 4 + β β l l + = 0 (4.b) Sehingga persamaan (4.) dapat ditulis kembali menjadi, + x D n + β + x α D p,q n x m + ν ν + β D n = 0 (4.3) persamaan (4.3) merupakan bentuk persamaan differensial orde polinomial Romanovski bagian polar untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, oleh karena itu, persamaan (4.3) dapat dibandingkan dengan persamaan (.76), sehingga diperoleh hubungan,

58 q = α (4.4a) p + = β + (4.4b) m + ν ν + β = n l n l + n l p (4.4c) Kemudian dilakukan penentuan nilai-nilai α dan β dengan menggunakan persamaan (4.a), yaitu, β = μ α (4.5a) dan, β = α 4 + l l + + 4 (4.5b) dengan mengkombinasikan persamaan (4.5a) dan (4.5b), yaitu, α 4 + l l + + 4 = 4μ α (4.6) jika kedua ruas dari persamaan persamaan (4.6) dikalikan a, dan dikondisikan sesuai bentuk persamaan kuadrat, maka diperoleh, 4 α4 + l l + + 4 α 4μ = 0 (4.7) persamaan (4.7) memiliki penyelesaian: α = l l + + 4 + l l + + + 4μ (4.8a) 4

59 dan, α = l l + + 4 l l + + 4 + 4μ (4.8b) dari persamaan (4.8a) dan (4.8b) dapat diperoleh nilai β dengan terlebih dahulu mengkuadratkan persamaan (4.5a), yaitu, β = 4μ α (4.9) kemudian dengan mensubstitusi persamaan (4.8a) dan (4.8b) ke persamaan (4.9), diperoleh, β = μ l l+ + 4 + l l+ + 4 +4μ (4.0a) dan, β = μ l l+ + 4 l l+ + 4 +4μ (4.0b) kemudian dari persamaan (4.4b) dan (4.4c) dapat diuraikan menjadi bentuk, m + ν ν + β = n l n l + n l p, dengan p + = β + m + ν ν + β = n l n l + n l β + m + ν ν + β = n l n l + βn l + n l m + ν ν + = n l + βn l + β m + ν ν + = β + n l (4.)

60 dari persamaan (4.) diperoleh penyelesaian β, yaitu, β = m + ν ν + n l (4.a) dan, β = m + ν ν + n l (4.b) persamaan (4.a) dan (4.b) merupakan solusi nilai β untuk persamaan (.77), tetapi hanya salah satu yang memenuhi dengan mempertimbangkan parameter Romanovski, dimana β > n, sehingga dipilih penyelesaian β dari persamaan (4.b). Kemudian persamaan (4.b) tersebut disubstitusikan ke persamaan (4.5a) sehingga diperoleh, α = μ m +ν ν+ +n l + (4.3) Persamaan (4.b) dan (4.3) jika disubstitusikan ke persamaan (.77) dan (.78) maka diperoleh solusi fungsi gelombang polar untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen. Kemudian untuk memperoleh harga bilangan kuantum orbital l dilakukan dengan terlebih dahulu merubah bentuk persamaan (4.b) menjadi, β = m + ν ν + n l β = m + ν ν + + n l + (4.4)

6 kemudian persamaan (4.4) dikombinasikan dengan persamaan (4.0a) dan (4.0b), yaitu: m + ν ν + + n l + = μ l l+ + 4 ± l l+ + 4 +4μ (4.5) dengan menjabarkan persamaan (4.5), maka diperoleh penyelesaian persamaan bilangan kuantum orbital l, l + = ± ν ν + +m + n l + μ ν ν+ +m +n l + (4.6) karena nilai l 0, maka persamaan (4.6) diambil penyelesaian yang positif, yaitu, l + = ν ν + +m + n l + μ ν ν+ +m +n l + (4.7) dengan, ν dan μ m n l : konstanta, : bilangan kuantum magnetik, : bilangan kuantum polar,

6 Persamaan (4.7) merupakan penyelesaian untuk bilangan kuantum orbital dimana harga bilangan kuantum orbital digunakan bersama untuk menentukan nilai energi dan fungsi gelombang radial dan polar. Jadi, meskipun penyelesaian fungsi gelombangnya terpisah, yaitu penyelesaian radial dan penyelesaian polar, tetapi kedua penyelesaian tersebut terhubung oleh nilai bilangan kuantum orbitalnya. Dari persamaan (4.b), (4.3), (.77), (.78), dan (.80), maka didapatkan persamaan gelombang polar, w x = + x m +ν ν+ n l e μ m +ν ν + +n l + tan x (4.8) D n = Rn β, α = μ +x m +ν ν+ n m +ν ν + +n l e l + tan x d n dx n + x n l + x m +ν ν+ n l e μ m +ν ν + +n l + tan x (4.9) Maka diperoleh, P l m = + x m +ν ν + n l e μ m +ν ν + +n l + tan x μ +x m +ν ν + n l m +ν ν + +n e l + tan x d n dx n + x n l + x m +ν ν+ n l e μ m +ν ν + +n l + tan x (4.30)

63 Beberapa penyelesaian khusus dari persamaan (4.9) dan (4.30) adalah, R 0 β, α = + x β e α tan x d 0 dx 0 + x β e α tan x = P l m = + x β e α tan x = + x β e α tan x R β, α = +x β e α tan x d dx + x β+ e α tan x = +x β e α tan x +x β+ β+ xe α tan x +x +x β+ αe α tan x +x = x β + α P l m = + x β e α tan x x β + α R β, α = +x β e α tan x d dx + x β+ e α tan x = +x β e α tan x 4 +x β+ β+ x e α tan x +x + +x β+ β+ e α tan x +x 4 +x β+ β+ x e α tan x +x 4 +x β+ β+ αxe α tan x +x + +x β+ αe α tan x +x + +x β+ α e α tan x +x = 4 β + x + β + + x 4 β + x 4 β + αx + α + α P l m = + x β e α tan x 4 β + x + β + + x 4 β + x 4 β + αx + α + α

64 Dari beberapa penyelesaian khusus fungsi gelombang polar diatas, dengan memberi variasi masukan nilai konstanta ν, μ, m, serta n l, maka dihasilkan penyelesaian-penyelesaian fungsi gelombang polar seperti yang ditampilkan pada Tabel 4. Tabel 4.. polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang polar potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen. No. n l m ν μ l R nl β, α θ Pl m. 0 0 cot θ cos θ sin θ. 0,97 cot θ + 0,8 3. 0,87 cot θ +,6 cos θ sin θ + 0,8 sin θ e 0,4 tan cot θ cos θ sin θ +,6 sin θ e 0,8 tan cot θ 4. 0,73 3,46 cot θ 3,46 cos θ sin,73 θ 5. 0 3,65 5,3 cot θ 5,3 cos θ sin,45 θ 6.,7 7. 3,6 3,46 cot θ + 0,897 5,8 cot θ + 0,966 3,46 cos θ sin,73 θ + 0,897 sin,73 θ e 0,897 tan cot θ 5,8 cos θ sin,64 θ + 0,966 sin 3,64 θ e 0,966 tan cot θ Fungsi gelombang polar potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen berupa fungsi trigonometri dan hanya dipengaruhi oleh fungsi θ. Nilai μ memberikan

Yml*(cos(theta)) Yml*(cos(theta)) perpustakaan.uns.ac.id 65 pengaruh faktor eksponensial pada fungsi gelombang sedangkan nilai ν memperbesar faktor sinusoidal fungsi gelombang. Dari tabel diatas, visualisasi fungsi gelombang polar ditampilkan pada gambar-gambar dibawah ini: μ P l m 0.8 0.6 0.4 0. 0 0-0. -0.4-0.6-0.8-0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Yml*sin(theta)*sin(phi) R ;0 = cot θ P = cos θ sin θ 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8 - -.5 - -0.5 0 0.5.5 Yml*sin(theta)*sin(phi) R ;0,8 = cot θ + 0,8 P,97 = cos θ sin θ + 0,8 sin θ e 0,4 tan cot θ

Yml*(cos(theta)) Yml*(cos(theta)) perpustakaan.uns.ac.id 66 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8 - - -.5 - -0.5 0 0.5.5 Yml*sin(theta)*sin(phi) P,87 R ;,6 = cot θ +,6 = cos θ sin θ +,6 sin θ e 0,8 tan cot θ Gambar (4.). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai μ ν P l m 0.8 0.6 0.4 0. 0 0-0. -0.4-0.6-0.8-0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Yml*sin(theta)*sin(phi) R ;0 = cot θ P = cos θ sin θ