ANALISIS ENERGI RELATIVISTIK DAN FUNGSI

Transkripsi

1 ANALISIS ENERGI RELATIVISTIK DAN FUNGSI GELOMBANG PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL RADIAL ECKART PLUS MANNING ROSEN YANG DIKOPLING DENGAN POTENSIAL TENSOR TIPE- COULOMB UNTUK EXACT SPIN SIMETRI DAN EXACT PSEUDOSPIN SIMETRI MENGGUNAKAN AIM (ASYMPTOTIC ITERATION METHOD) Disusun Oleh: CICI MARLINA RAHAYU M SKRIPSI JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit Januari, to 2016 user

2 ANALISIS ENERGI RELATIVISTIK DAN FUNGSI GELOMBANG PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL RADIAL ECKART PLUS MANNING ROSEN YANG DIKOPLING DENGAN POTENSIAL TENSOR TIPE- COULOMB UNTUK EXACT SPIN SIMETRI DAN EXACT PSEUDOSPIN SIMETRI MENGGUNAKAN AIM (ASYMPTOTIC ITERATION METHOD) Disusun Oleh: CICI MARLINA RAHAYU ` M SKRIPSI Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit Januari, to 2016 user

3 ii

4 iii

5 PERNYATAAN Dengan ini saya menyatakan bahwa isi intelektual Skripsi saya yang berjudul Analisis Energi Relativistik dan Fungsi Gelombang Persamaan Dirac untuk Potensial Radial Eckart plus Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb untuk Exact Spin Simetri dan Exact Pseudospin Simetri menggunakan AIM (Asymptotic Iteration Method) adalah hasil kerja saya dan sepengetahuan saya hingga saat ini. Skripsi tidak berisi materi yang telah dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain atau materi yang telah diajukan untuk mendapatkan gelar kesarjanaan di Universitas Sebelas Maret atau di Perguruan Tinggi lainnya kecuali telah dituliskan di daftar pustaka. Skripsi ini dan segala bentuk bantuan dari semua pihak telah ditulis di bagian ucapan terimakasih. Isi Skripsi ini boleh dirujuk atau difotokopi secara bebas tanpa harus memberitahu penulis. Surakarta, Januari 2016 CICI MARLINA RAHAYU iv

6 MOTTO Berdirilah dipuncak tertinggi, walau akan merasa takut dan tak bisa kembali turun, tetaplah menjadi yang diinginkan (be your self). Boleh jadi kamu membenci sesuatu, padahal ia amat baik bagimu, dan boleh jadi (pula) kamu menyukai sesuatu padahal ia amat buruk bagimu; Allah mengetahui, sedang kamu tidak mengetahui. (QS. Al-Baqarah :216) dan jangan kamu berputus asa dari rahmat Allah. Sesungguhnya tiada berputus asa dari rahmat Allah, melainkan kaum yang kafir". QS. Yusuf : 87. Fighting!!!! v

7 PERSEMBAHAN Dengan menyebut nama Allah yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang Skripsi ini saya persembahkan kepada: Allah SWT. Tuhan Seluruh Alam, Rasululloh Muhammad SAW., Keluarga Kecilku: Mamah, Ayah, dan Kecebong Rawa (Adikku) Segenap Keluarga Besarku, Kedua Pembimbing, Rekan-rekan FISIKA 2011 dan aku yang tidak mengerti sedikitpun tentang suatu gerak partikel dan potensialpotensialnya, hingga persamaan yang ngejelimet, walaupun belum sepenuhnya mengerti. Serta teruntuk, Agen-agen ciptaan Tuhan yang se-habitat denganku yang juga berkecimpung di keindahan Fisika Kuantum. vi

8 Analisis Energi Relativistik dan Fungsi Gelombang Persamaan Dirac untuk Potensial Radial Eckart plus Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb untuk Exact Spin Simetri dan Exact Pseudospin Simetri menggunakan AIM (Asymptotic Iteration Method) CICI MARLINA RAHAYU Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret ABSTRAK Penyelesaian persamaan Dirac kombinasi potensial Radial Eckart plus potensial Manning Rosen yang dikopling dengan potensial Tensor Tipe-Coulomb untuk kondisi exact spin simetri dan exact pseudospin simetri diselesaikan dengan menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM). Kombinasi dari ketiga potensial disubstitusikan dalam persamaan Dirac. Penyelesaian menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM) dilakukan dengan mereduksi persamaan diferensial orde dua menjadi persamaan diferensial tipe hipergeometri dengan melakukan substitusi variabel dan fungsi gelombang, sehingga diperoleh persamaan diferensial tipe AIM. Spektrum energi relativistik sistem dihitung menggunakan software Matlab 2011a. Penelitian ini dibatasi untuk kasus exact spin simetri dan exact pseudospin simetri, dimana peningkatan bilangan radial n r menyebabkan energi semakin besar pada kedua kasus tersebut. Energi relativistik yang dihasilkan akibat pengaruh potensial Eckart plus Manning Rosen tanpa dikopling potensial Tensor Tipe-Coulomb menyebabkan harga energi bernilai sama pada saat κ < 0 dan κ > 0, sementara itu nilai energi berbeda didapatkan ketika dikopling dengan Tensor Tipe-Coulomb. Kata Kunci : Persamaan Dirac, Potensial Radial Eckart, Potensial Manning Rosen, Potensial Tensor Tipe-Coulomb, Asymptotic Iteration Method (AIM) vii

9 Analysis of Relativistic Energy and Wave Function of Dirac equation for Potential Radial Eckart plus Manning Rosen were coupled with Tensor Coulomb-Type Potential for Exact Spin Symmetry and Exact Pseudospin Symmetry using AIM (Asymptotic Iteration Method) bh4 CICI MARLINA RAHAYU Physics Department, Faculty of Mathematics and Natural Science Sebelas Maret University ABSTRACT Solution of the Dirac equation for Eckart Radial potential plus Manning Rosen potential were coupled with Tensor Coulomb- Type potential in exact spin symmetry and exact pseudospin symmetry is solved by using Asymptotic Iteration Method (AIM). The combination of three potentials were substituted in the Dirac equation. Solution of the Dirac equation by using Asymptotic Iteration Method (AIM) was done by reduce the second order differential equation into hipergeometri type differential equation by performing variable substitution and wavefunction, then reduce it to the type-aim differential equation. Relativistic energy system is calculated using Matlab 2011a software, where increasing radial quantum numbers nr cause greater energy in both cases. Relativistic energy due to the influence of Eckart Radial potential plus Manning Rosen potential without coupled Tensor Coulomb- Type potential causes the same value of energy when κ < 0 andκ > 0. The different energy values was obtained when the Dirac equation was coupled with Tensor Coulomb- Type. Keywords: Dirac Equation, Radial Eckart Potential, Manning Rosen Potential, Tensor Coulomb- Type Potential, Asymptotic Iteration Method (AIM) viii

10 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Semesta Alam Allah SWT., karena atas rahmat dan karunia-nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi yang penulis susun sebagai bagian dari syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains ini diberi judul Analisis Energi Relativistik dan Fungsi Gelombang Persamaan Dirac untuk Potensial Radial Eckart plus Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb untuk Exact Spin Simetri dan Exact Pseudospin Simetri menggunakan AIM (Asymptotic Iteration Method). Selesainya skripsi ini adalah suatu kebanggan tersendiri bagi penulis setelah sekitar dua semester penulis berjuang untuk menyelesaikan skripsi ini tepat waktu. Segala suka duka dilalui dengan lapang hati, hingga pada akhirnya skripsi ini dapat diselesaikan. Keberhasilan Skripsi ini tak lepas dari bantuan, bimbingan, serta dukungan semua pihak terkait. Untuk itu, penulis mengungkapkan terimakasih kepada : 1. Prof. Ir. Ari Handono Ramelan M.Sc.(Hons), Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret. 2. Dr. Fahru Nurosyid S.Si., M.Si. selaku Kepala Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret. 3. Prof. Dra. Soeparmi M.A., Ph.D. selaku Pembimbing I yang senantiasa meminta penulis selalu belajar, belajar, dan belajar, serta membimbing dari awal hingga skripsi ini dapat selesai. 4. Prof. Drs. Cari M.A., M.Sc., Ph.D. selaku Pembimbing II yang senantiasa membimbing hingga skripsi ini dapat selesai. 5. Mamah dan Ayah serta keluarga yang selama ini telah mendukung, memotivasi, serta mendoakan penulis. 6. Ayahanda Drs. Suharyana M.Sc. selaku Penguji II dan Pembimbing Akademik yang senantiasa mendengar keluh kesah penulis sebagai anak yang rewel. ix

11 7. Drs. Darmanto M.Si. selaku Penguji I yang senantiasa memberikan bimbingan dalam kelancaran skripsi ini. 8. Ibunda Dr. Yofentina Iriani S.Si., M.Si. selaku dosen yang senantiasa berperan besar dalam penjurusan skripsi saya hingga masuk kedalam Fisika Teori (Fisika Kuantum). 9. Segenap Dosen dan Staff Jurusan Fisika yang telah banyak membantu dan memberi bimbingan selama perkuliahan. 10. Beta Nur Pratiwi selaku kakak pertama di seperguruan Fisika Teori, serta adikadik seperguruan caty peri, sendro, rijal dan mba mas Pascasarjana yang sering membantu saya. 11. Keluarga Besar Tiny Company, sahabat-sahabat, eyang, umi, emak, mbokde, kakak suti, sepupu, anak, ponakan, serta kekasih tercinta, terimakasih atas segala dukungan, serta bantuan yang diberikan selama ini. 12. Rekan-rekan FISIKA 2011 dan LPM SCIENTA. 13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Tuhan membalas jerih payah dan pengorbanan yang telah diberikan dengan balasan yang lebih baik. Penulis menyadari akan banyaknya kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Namun demikian. Penulis berharap semoga karya kecil ini bermanfaat. Surakarta, Januari 2016 Cici Marlina Rahayu x

12 HALAMAN PUBLIKASI Sebagian skripsi saya yang berjudul Analisis Energi Relativistik dan Fungsi Gelombang Persamaan Dirac untuk Potensial Radial Eckart plus Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb untuk Exact Spin Simetri dan Exact Pseudospin Simetri menggunakan AIM (Asymptotic Iteration Method) dipublikasikan di Repositori Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret. xi

13 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN PERNYATAAN... iv HALAMAN MOTTO... v HALAMAN PERSEMBAHAN... vi HALAMAN ABSTRAK... vii HALAMAN ABSTRACT... viii KATA PENGANTAR... ix HALAMAN PUBLIKASI... xi DAFTAR ISI... xii DAFTAR TABEL... xv DAFTAR GAMBAR... xvii DAFTAR SIMBOL... xviii DAFTAR LAMPIRAN... xx BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Batasan Masalah Rumusan Masalah Tujuan penelitian Manfaat Penelitian... 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Persamaan Dirac Persamaan Dirac Spinor Potensial Khusus Potensial Sentral Potensial Non-Sentral Potensial Sentral Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb Generalisasi potensial Sentral Radial Eckart hyperbolic dengan parameter fungsi hiperbolik ke dalam persamaan umum Radial Eckart Persamaan umum potensial sentral Manning Rosen dan tensor Tipe-Coulomb dalam bentuk radial hiperbolik Asymptotic Iteration Method (AIM) BAB III METODOLOGI PENELITIAN Tempat dan waktu penelitian Alat dan Bahan Penelitian Alat yang Digunakan dalam Penelitian Bahan yang Digunakan dalam penelitian Metode penelitian xii

14 Studi Literatur Analisa persamaan kombinasi potensial Radial Eckart plus potensial Manning Rosen yang dikopling dengan potensial tensor Tipe-Coulomb Penulisan Persamaan Dirac Spinor untuk Kombinasi Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb pada Eksak Spin Simetri Penulisan Persamaan Dirac Spinor untuk Kombinasi Potensial Radial Eckart plus Potensial manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb pada Eksak Pseudospin Simetri Penentuan Fungsi Energi dan Fungsi Gelombang Persamaan Dirac Kasus Eksak Spin Simetri dan Eksak Pseudospin Simetri untuk Kombinasi Potensial Eckart plus Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb Visualisasi Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang dengan software Matlab 2011a Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Kesimpulan BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Pendahuluan Penyelesaian Persamaan Dirac Kasus Eksak Spin Simetri (Upper Case) Penyelesaian Persamaan Dirac Kasus Eksak Pseudospin Simetri (Lower Case) Visualisasi Tingkat Energi Relativistik Persamaan Dirac pada Kasus Eksak Spin Simetri untuk Kombinasi Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe- Coulomb Visualisasi Tingkat Energi Relativistik Persamaan Dirac pada Kasus Eksak Pseudospin Simetri untuk Kombinasi Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe- Coulomb Visualisasi Gelombang Radial Kasus Eksak Spin Simetri Persamaan Dirac Kombinasi Potensial Radial-Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb Visualisasi Gelombang Radial Kasus Eksak Pseudospin Simetri Persamaan Dirac Kombinasi Potensial Radial-Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb BAB V PENUTUP Kesimpulan Saran xiii

15 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiv

16 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4.1. Tingkat Energi relativistik ( 1 ) dari partikel Kasus Eksak Spin Simetri fm yang dipengaruhi oleh Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb variasi H(fm 1 ) dan variasi к pada n r = 0 dengan M = 5; V 0 = 5; V 1 = 3; v = 0,25; q = 0,5; a = 0, Tabel 4.2. Tingkat Energi relativistik ( 1 ) dari partikel Kasus Eksak Spin Simetri fm yang dipengaruhi oleh Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb variasi H(fm 1 ) dan variasi к pada n r = 1 dengan M = 5; V 0 = 5; V 1 = 3; v = 0,25; q = 0,5; a = 0, Tabel 4.3. Tingkat Energi relativistik ( 1 ) dari partikel Kasus Eksak Spin Simetri fm yang dipengaruhi oleh Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb variasi H(fm 1 ) dan variasi к pada n r = 2 dengan M = 5; V 0 = 5; V 1 = 3; v = 0,25; q = 0,5; a = 0, Tabel 4.4. Tingkat Energi relativistik ( 1 ) dari partikel Kasus Eksak Pseudospin fm Simetri yang dipengaruhi oleh Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe- Coulomb variasi H(fm 1 ) dan variasi к pada n r = 0 dengan M = 5; V0 = 5; V1 = 3; v = 0,25; q = 0,5; a = 0, Tabel 4.5. Tingkat Energi relativistik ( 1 ) dari partikel Kasus Eksak Pseudospin fm Simetri yang dipengaruhi oleh Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe- Coulomb variasi H(fm 1 ) dan variasi к pada n r = 1 dengan M = 5; V0 = 5; V1 = 3; v = 0,25; q = 0,5; a = 0, Tabel 4.6. Tingkat Energi relativistik ( 1 ) dari partikel Kasus Eksak Pseudospin fm Simetri yang dipengaruhi oleh Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe- Coulomb variasi H(fm 1 ) dan variasi к pada n r = 2 dengan M = 5; V0 = 5; V1 = 3; v = 0,25; q = 0,5; a = 0, Tabel 4.7. Fungsi Gelombang bagian Radial pada Kasus Eksak Spin Simetri untuk Kombinasi Potensial Radial Eckart Plus Potensial manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb pada κ < Tabel 4.8. Fungsi Gelombang bagian Radial pada Kasus Eksak Spin Simetri untuk Kombinasi Potensial Radial Eckart Plus Potensial manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb pada κ > xv

17 Tabel 4.9. Fungsi Gelombang bagian Radial pada Kasus Eksak Pseudospin Simetri untuk Kombinasi Potensial Radial Eckart Plus Potensial manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb pada κ < Tabel Fungsi Gelombang bagian Radial pada Kasus Eksak Pseudospin Simetri untuk Kombinasi Potensial Radial Eckart Plus Potensial manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb pada κ > xvi

18 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 3.1. Diagram Alir Penelitian Gambar 4.1. Grafik nilai energi Persamaan Dirac Kombinasi Potensial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb Kasus Eksak Spin Simetri untuk variasi H pada κ < Gambar 4.2. Grafik nilai energi Persamaan Dirac Kombinasi Potensial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb Kasus Eksak Spin Simetri untuk variasi H pada κ > Gambar 4.3. Grafik nilai energi Persamaan Dirac Kombinasi Potensial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb Kasus Eksak Pseudospin Simetri untuk variasi H pada κ < Gambar 4.4. Grafik nilai energi Persamaan Dirac Kombinasi Potensial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial Tensor Tipe-Coulomb Kasus Eksak Pseudospin Simetri untuk variasi H pada κ > Gambar 4.5. Fungsi gelombang bagian radial tak ternormalisasi pada Kasus Eksak Spin Simetri untuk kombinasi Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial tensor Tipe-Coulomb padaκ < Gambar 4.6. Fungsi gelombang bagian radial tak ternormalisasi pada Kasus Eksak Spin Simetri untuk kombinasi Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial tensor Tipe-Coulomb pada κ > Gambar 4.7. Fungsi gelombang bagian radial tak ternormalisasi pada Kasus Eksak Spin Simetri untuk kombinasi Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial tensor Tipe-Coulomb pada κ < Gambar 4.8 Fungsi gelombang bagian radial tak ternormalisasi pada Kasus Eksak Spin Simetri untuk kombinasi Potensial Radial Eckart plus Potensial Manning Rosen yang dikopling dengan Potensial tensor Tipe-Coulomb pada κ > xvii

19 DAFTAR SIMBOL Simbol Keterangan Nilai/Satuan h Tetapan Planck 6, Js ħ h 1, Js 2π m 0 Massa diam elektron 9, kg e Muatan elektron 1, C c Kecepatan cahaya m s ε 0 Permitivitas ruang hampa 8, C2 Nm 2 r Jarak elektron ke inti m M Massa dalam medan relativistik 1 m n Bilangan Kuantum Utama (1,2,3,4,...) n r Bilangan Kuantum Kulit Bagian (0,1,2,3,...) l Bilangan Kuantum Orbital Spin (0,1,2,3,...) l Bilangan Kuantum Orbital Spin (0,1,2,3,...) m Bilangan Kuantum Magnetik - s Bilangan Kuantum Spin (+ 1 2, 1 2 ) F nk Fungsi Gelombang Spin Simetri - G nk Fungsi Gelombang Pseudospin Simetri - l Y jm Spin Harmonik Bola - l Y jm Pseudospin Harmonik Bola - j Jumlah Momentum Sudut (l ± s) к Bilangan Kuantum Pada Orbit Spin - Ψ Fungsi Gelombang - H Operator Hamiltonian - (r) Penjumlahan V(r) dan S(r) - (r) Perbedaan V(r) dan S(r) - V(r) Vektor Potensial - xviii

20 S(r) Skalar Potensial - C s Konstanta Spin Simetri - C ps Konstanta Pseudospin Simetri - U(r) Potensial Tensor Tipe-Coulomb - ψ i Komponen Spinor (1,2,3,..., N) p Operator Momentum - σ i Matriks Pauli 3 Dimensi - I Matriks Identitas V E (r) Potensial Radial-Eckart - V MN (r) Potensial Manning Rosen - xix

21 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Listing program iterasi eigennilai radial kasus eksak spin simetri dan kasus eksak pseudospin simetri Lampiran 2. Listing program Fungsi Energi potensial Radial Eckart plus Manning Rosen yang dikoping dengan Potensial tensor Tipe- Coulomb pada Kasus Eksak Spin Simetri Lampiran 3. Listing program Fungsi Energi potensial Radial Eckart plus Manning Rosen yang dikoping dengan Potensial tensor Tipe- Coulomb pada Kasus Eksak Pseudospin Simetri Lampiran 4. Listing program grafik eigennilai untuk kasus eksak spin simetri pada к < Lampiran 5. Listing program grafik eigennilai untuk kasus eksak spin simetri pada к > Lampiran 6. Listing program grafik eigennilai untuk kasus eksak pseudospin simetri pada к < Lampiran 7. Listing program grafik eigennilai untuk kasus eksak pseudospin simetri pada к > Lampiran 8. Listing program fungsi energi pada kasus eksak spin simetri pada к < Lampiran 9. Listing program fungsi energi pada kasus eksak spin simetri pada к > Lampiran 10. Listing program fungsi energi pada kasus eksak pseudospin simetri pada к < Lampiran 11. Listing program fungsi energi pada kasus eksak pseudospin simetri pada к > xx