#2 PROBABILITAS 2.1. Pendahuluan Kata probabiliitas sering dipakai jika kehilangan sentuhan dalam mengimplikasikan bahwa suatu kejadian yang mempunyai peluang yang bagus akan terjadi. Dalam hal ini penilaian yang dilakukan ini adalah ukuran yang bersifat subyektif atau kualitatif. Adalah penting untuk menyadari bahwa probabilitas mempunyai arti secara teknis karena secara ilmiah probabilitas dapat ditafsirkan sebagai ukuran dari kemungkinan, yaitu mendefinisikan secara kuantatif kemungkinan dari suatu event atau kejadian secara matematis. Probabilitas merupakan suatu indeks numerik yang nilainya antara 0 dan 1. Indeks numerik 0 akan mendefinisikan suaatu kejadian yang pasti tidak akan terjadi, sedang indeks numerik 1 akan mendefinisikan suatu kejadian yang pasti terjadi. Dari pengertian tentang konsep probabilitas diatas jelas terlihat bahwa sangat sedikit sekali kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 atau 1. Yang ada adalah hampir semua kejadian mempunyai nilai probabilitas antara 0 dan 1. Untuk keperluan teori keandalan, nilai probabilitas secara garis besar dapat dikelompokan menjadi dua keluaran yaitu keluaran yang mewaakiliii kejadian yang didefinisikan sebagai kejadian yang sukses, sedang keluaran yang lainnya mewakili kejadian yang didefinisikan sebagai kejadian yang gagal. Bila ada lebih dari dua keluaran yang mungkin dari suatu event atau kejadian, maka keluaran itu dapat dikelompokan menjadi kelompok keluaran yang mewakili kejadian yang sukses sedang sisanya bisa dikelompokan sebagai kejadian yang gagal. Bila suatu eksperimen akan menghasilkan berbagai kemungkinan keluaran maka semua keluaran yang mungkin dari eksperimen tersebut disebut sebagai ruang sampel (sample space). Jika semua keluaran dari eksperimen ini bisa dikelompokan menjadi dua yaituu kelompok keluaran atau kejadian yang didefinisikan sebagai kejadian sukses, sedang kelompok lainnya adalah kelompok yang didefinisikan sebagai kelompok kejadian gagal maka secara umum probilitas sukses dan gagal dari kejadian diatas dapat didefinisikan sebagai. (2.1) (2.2) Dimana: p = banyaknya cara kejadian sukses yang dapat terjadi q = banyaknya cara kejadian kegagalan yang dapat terjadi Contoh 2.1 Pada eksperimen pelemparan tiga buah mata uang logam sebanyak tiga kali maka ruang sampel dari eksperimen itu adalah: Hal. 1 / 13
S = { KKK, KKE, KEK, EKK, KEE, EKE, EEK, EEE } Dengan K adalah bagian atas dan E adalah bagian belakang dari mata uang logam tersebut. Jika didefinisikan kejadian yang menghasilkan ketiga bagian atas dari mata uang logam itu sebagaii kejadian sukses maka probabilitas sukses dari eksperimen itu adalah: 2.2. Permutasi Sebuah susunan dari n buah obyek dalam urutan tertentu disebut permutasi dari obyek. Susunan dari sembarang r dari n obyek dengan r n disebut permutasi r atau permutasi r obyek dari n obyek dan dinotasikan sebagai P(n,r) atau npr. Secara umum permutasi r obyek dari n obyek dan dirumuskan oleh: Dengan n! = n.(n 1).(n 2)..1 ; 0! = 1 (2.3) Contoh 2.2 Dari 10 buah persediaan pompa yang ada di gudang, 4 diantaranya akan di instal pada empat buah subsistem yang berbeda. Ada beberapa cara untuk memilih 4 buah pompa ini dari 10 buah pompa yang ada. Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan menggunkan konsep permutasi, mengingat penempatan pompa pada subsistem tertentu identik dengan memberikan urutan tertentu pada pompa yang akan dipasang. Dari n obyek yang mengalami permutasi mungkin ada r obyek diantaranya yang sama, sehingga r1 + r2 + + rk = n. Untuk menghitung banyaknya permutasi dari kasus ini, rumus yang dituliskan pada persamaan 2.3 akan berubah menjadi: (2.4) Contoh 2.3 Beberapa patern yang berbeda yang dapat dibuat dalam sebuah baris bila ada 10 buah lampu berwarna yang 4 diantaranya berwarna merah, 3 diantaranya berwaarna kuning dan 3 diantaranya berwarna hijau. Hal. 2 / 13
Jawab 2.3. Kombinasi Jumlah kombinasi dari n obyek yang berbeda adalah jumlah pilihan yang berlainan dari r obyek, masing-masing tanpa memandang urutan dari susunan dari obyek didalam kelompok tersebut. Hal inilah yang membedakan antara permutasi dan kombinasi. Jumlah kombinasi r obyek dari n obyek dinotasikan oleh atau. Secara umum kombinasi r obyek dari n obyek dapat diekspresikan ke dalam formula: (2.5) Contoh 2.4 Sebuah sub sistem mempunyai dua buah modul yang identik. Kedua modul ini didesain untuk bekerja secara bergiiran atau standby. Bila ada 4 buah modul yang tersedia, ada beberapa cara untuk memilih kedua modul untuk diinstal kedalam sub sistem tersebut. Untuk menginstal kedua modul ini, bisa dipilih dua modul diantara empat buah modul yang tersedia tanpa memperhatikan urutan penempatan modul itu didalam sub sistem karena modul yang diinstal adalah identik. Banyaknya cara untuk memilih modul bisa dipecahkan dengan menggunakan formula kombinasi yaitu 2.4. Pemakaian Permutasi dan Kombinasi Untuk Perhitungan Probabilitas Dalam aplikasi teori keandalan secara praktis, konsep kombinasi umumnya lebih penting dari permutasi, karena umumnya perlu untuk mengetahui event-event apa yang bila dikombinasikan akan menyebabkan kegagalan dari suatu sistem, dan urutan bagaimana kegagalan itu terjadi jarang yang peduli. Berikut ini akan diberikan beberapa contoh pemakaian permutasi dan kombinasi dalam perhitungan probabilitas Contoh 2.5 Empat buah bola lampu dipilih secara random dari 10 buah lampu yang ada dimana 3 diantaranya adalah bola lampu yang rusak. Hitung probabilitas dari pengambilan keempat bola lampu itu juga. Hal. 3 / 13
a) Keempat bola lampu yang diambil tidak ada yang cacat b) Ada satu bola lampu yang cacat c) Paling sedikit ada satu buah bola lampu yang cacat. Banyaknya cara untuk memilih 4 bola lampu dari 10 buah lampu ada a) Ada 7 buah lampu yang tidak mengalami kerusakan. Jadi banyaknya cara untukk memilih 4 buah lampu tanpa ada rusak ada b) Dari data, ada 3 buah bola lampu yang cacat dan cara untuk memilih 3 buah lampu yang tidak cacat dari 7 buah bola lampu yang tidak cacat, sehingga banyaknya cara untuk memilih empat buah bola lampu dimana satu diantaranya adalah bola lampu yang cacat adalah 3x35 = 105 cara. c) Kejadian yang mewakili pengambilan empat buah lampu paling sedikit ada satu buah lampu yang cacat merupakan komplemen dari kejadian yang mewakili pengambilan empat buah bola lampu tanpa cacat, sehingga probabilitas kejadian ini adalah: Contoh 2.6 Jika tiga buah kartu diambi secara acak dari saatu set kartu yang lengkap, hitung probabilitas a) Ketiga kartu itu adalah kartu yang bergambar hati b) Dua kartu bergambar hati dan satu bergambar diamond Banyaknya cara untuk memilih 3 buah kartu dari 52 buah kartu ada Hal. 4 / 13
a) Banyaknya cara untuk mengambil 3 buah kartu yang bergambar hati dari 13 buah kartu yang bergambar hati ada b) Banyaknya cara untuk mengambil satu kartu yang bergambar diamond ada 13 cara sedang banyaknya cara untuk mengambil 2 kartu yang bergambar hati ada Sehingga banyaknya cara untuk mengambil tiga buah kartu dimana satu kartu bergambar diamond dan dua lainnya bergambar hati ada 13 x 78 = 1014 cara. 2.5. Hukum Untuk Menggabungkan Probabilitas Kejadian bebas (Independent events) Dua buah kejadian dikatakan bebas jika hasil dari satu event tidak mempengaruhi hasil dari event yang lain. Contoh dari kejadian bebas ini adalah bila kita melemparkan sebuah dadu dan dan sebuah koin secara bersama-sama. Apapun hasil keluaran yang dihasilkan oleh dadu tidak akan mempengaruhi hasil keluaran koin. Kejadian gabungan eksklusif (Mutually exclusive events) Dua keadian dikatakan tergabung secara eksklusif bila dua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersama-sama. Contoh dari kejadian gabungan ekslusif ini adalah bila kita melempar sebuah koin, keluaran yang mungkin adalah bagian atas atau bagian bawah dari uang logam itu, tetapi keduanya tidak mungkin terjadi secara bersama-sama. Contoh lainnya adalah bila kita melempar sebuah dadu, maka mata dadu yang keluar mungkin mata 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, tetapi keenam mata dadu ini tidak mungkin keluar secara bersamaan. Kejadian komplementer (Complementary events) Dua kejadian dikatakan saling berkomplemen bila salah satu dari kejadian itu tidak terjadi maka kejadian yang lainnya pasti terjadi. Kejadian ini bisa dilukiskan dalam bentuk diagram venn seperti yang terlihat pada gambar 2.1. Dari gambar 2.1, bila P(A) mewakili probabilitas dari kejadian A dan P(B) mewakili probabilitas dari kejadian B maka hubungan antara P(A) dan P(B) dapat diekspresikan dalam sebuah formula yaitu: (2.6) Hal. 5 / 13
Gambar 2.1. Kejadian Komplementer Contoh dari kejadian komplementer ini adalah bila kita melempar sebuah mata uang logam, hanya ada dua kemungkinan keluaran yaitu bagian depan dan bagian belakang dari mata uang tersebut. Kejadian kondisional (Conditional events) Kejadian kondisional adalah kejadian yang kondisi terjadinya tergantung dari kejadian lain. Misalkan ada dua kejadian A dan B. Probabilitas dari kejadian A adalah diekspresikan dengan P(A) dan probabilitas dari kejadian B diekspresikan dengan P(B), selain itu misalkan pula ada kejadian dari A setelah kondisi B terjadi. Probabilitas dari kejadian ini dapat dinotasikan dengan ekspresi P(A B). Ekspresi P(A B) dapat dibaca sebagai probabilitas kondisional kejadian A akan terjadi pada saat kejadian B telah terjadi. Secara matematis probabilitas kondisional ini dapat diekspresikan sebagai: (2.7) persamaan 2.7 dapat pula diubah menjadi: (2.8) Contoh 2.7 Dari data perawatan peralatan-peralatan yang berada di dalam suatu sistem pembangkit tenaga listrik, 25% kerusakan yang terjadi disebabkan karena kerusakan mekanik, 15% kerusakan yang terjadi disebabkan oleh kerusakan elektrik, dan 10% kerusakan yang terjadi disebabkan karena kerusakan mekanik dan elektrik. Bila sebuah peralatan dipilih secara random tentukan a. probabilitas kerusakan peralatan itu disebabkan oleh kerusakan elektrik setelah sebelumnya terjadi kerusakan mekanik. b. probabilitas kerusakan peralatan itu disebabkan oleh kerusakan mekanik setelah sebelumnya terjadi kerusakan elektrik. Hal. 6 / 13
Misalkan, M P(M) = 0,25 E P(E) = kejadian yang mewakili kerusakan peralatan yang disebabkan oleh kerusakan mekanik. = kejadian yang mewakili kerusakan peralatan yang disebabkan oleh kerusakan elektrik. = 0,15, dan P(M E) = 0,10. a. b. Kejadian yang terjadi secara serentak (Simultaneous occurrence of events) Kejadian secara serentak dari dua kejadian A dan B adalah kejadian untuk kedua A DAN B. Secara matematis kejadian ini dapat dituliskan sebagai (A B) atau (A DAN B) atau (AB). Ada dua kasus untuk kejadian yang terjadi secara serentak ini yaitu bila kedua kejadian ini saling bebas (independent events) dan bila kedua kejadian ini tidak saling bebas (dependent events). Independent events Untuk independent events probabilitas dari masingmasing kejadian tidak saling mempengaruhi sehingga untuk kasus ini akan berlaku P(A B) = P(A) dan P(B A) = P(B). Secara matematis probabilitas kejadian secara serentak untuk dua kejadian yang saling bebas dapat diekspresikan sebagai: (2.9) Sedangkan bila ada n buah kejadian yang independent, probabilitas kejadian dari n buah kejadian yang independent yang terjdai secara serentak dapat diekspresikan sebagai: (2.10) Contoh 2.8 Seorang insinyur akan memilih dua buah modul sistem kontrol. Probabilitas modul A tidak cacat adalah 0,95 dan probabilitas modul B tidak cacat adalah 0,87. Probabilitas dari kedua modul itu untuk tidak cacat dapat dihitung sebagai: Hal. 7 / 13
Dependent events Jika dua kejadian tidak saling bebas, maka probabilitas dari kejadian satu event akan dipengaruhi oleh kejadian lainnya. Dalam kasus ini, persamaan 2.9 akan berubah menjadi: (2.11) Minimal satu kejadian dari dua kejadian Kejadian paling sedikit satu dari dua kejadian A dan B adalah kejadian dari A atau kejadian dari B atau kedua-duanya. Secara matematis kejadian ini dapat dituliskan sebagai (A B) atau (A ATAU B) atau (A + B). Ada tiga kasus untuk kejadian seperti ini yaitu pertama bila kedua kejadian ini saling bebas (independent events) tetapi tidak tergabung secara eksklusif (not mutually exclusive), kedua bila kedua kejadian ini saling bebas (independent events) dan tergabung secara eksklusif (mutually exclusive) dan yang ketiga bila kedua kejadian ini tidak saling bebas (dependent events). Secara umum ekspresi probabilitas untuk minimal satu kejadian dari dua kejadian adalah: (2.12) Kejadian independent tetapi tidak mutually exclusive Untuk kejadian independent tetapi tidak mutually exclusive nilai dari P(A B) dapat diekspresikan dalam P(A B) = P(A).P(B), sehingga persamaan 2.12 dapat diubah menjadi: (2.13) Kejadian independent dan mutually exclusive Untuk kejadian independent dan mutually exclusive nilai dari P(A B) dapat diekspresikan dalam P(A B) = 0, sehingga persamaan 2.12 dapat diubah menjadi: (2.14) Kejadian tidak saling bebas Untuk kejadaian tidak saling bebas nilai dari P(A B) dapat diekspresikan dalam P(A B)=P(B A).P(A)=P(A B).P(B), sehingga persamaan 2.12 dapat diubah menjadi: (2.15a) (2.15b) Hal. 8 / 13
Aplikasi dari probabilitas kondisional Konsep probabilitas kondisional yang diekspresikan dalam persamaan 2.7 dan 2.8 dapat diperluas dengan memperluas salah satu event, misal event A, menjadi tergantung dari beberapa event mutually exclusive Bi. Perluasan dari konsep ini dapat dilihat pada gambar 2.2. Gambar 2.2. Probabilitas Kondisional Persamaan 2.7 dapat diubah menjadi: (2.16) Dengan mengaplikaskan persamaan (2.16) untuk mengekspresikan persamaan matematis dari diagaram venn di atas maka akan diperoleh persamaan baru yaitu:...... Dan jika digabungkan bersama-sama akan diperoleh persamaan baru (2.17) Hal. 9 / 13
Ruas kiri dari persamaan 2.17 dapat disederhanakan menjadi P(A), dan persamaan 2.17 dapat disederhanakan lagi menjadi: (2.18) Contoh 2.9 Tiga buah mesin A,B, dan C masing-masing menghasilkan produk 40%, 35%, dan 25% dari total produk yang dihasilkan oleh pabrik tersebut. Persentase dari barang-barang yang cacat yang dihasilkan oleh masing-masing mesin ini adalah 2%, 3% dan 4%. Jika sebuah produk diambil secara random, tetntukan probabilitas bahwa produk yang diambil itu adalah produk yang cacat. Jika Y = Kejadian yang mewakili sebuah item yang cacat A = Kejadian yang mewakili sebuah item diproduksi oleh mesin A B = Kejadian yang mewakili sebuah item diproduksi oleh mesin B C = Kejadian yang mewakili sebuah item diproduksi oleh mesin C Maka Contoh 2.10 Sebuah produk diproduksi dari dua plant. Plant pertama menghasilkan 60% dari seluruh produk sedang sisanya yang 40% diproduksi oleh plant 2. Dari plant 1, 95% produk diantaranya memenuhi standard yang disyaratkan sedang dari plant 2, 90% produk yang dihasilkan memenuhi standard yang ditentukan. Tentukan: a. Dari 100 produk yang dibeli oleh konsumen berapa buah yang akan memenuhi standard. b. Jika diberikan sebuah produk yang standar, berapa probabilitas bahwa produk itu di hasilkan oleh plant 2. Jika A = Kejadian yang mewakili produk yang standar Hal. 10 / 13
B1 = Kejadian yang mewakili produk yang dihasilkan oleh plant 1 B2 = Kejadian yang mewakili produk yang dihasilkan oleh plant 2 Maka P(A B1) = 0,95 ; P(A B2) = 0,90 ; P(B1) = 0,6 ; dan P(B2) = 0,4. a. Dari 100 item yang dibeli oleh konsumen, 0,93 x 100 = 93 diantaranya akan memenuhi standar. b. Pertanyaan ini dapat diselesaikan dengan persamaan Sehingga Persamaan 2.18 dapat dipakai untuk evaluasi keandalan dari suatu sistem yang mempunyai blok diagram yang sangat komplek. Untuk keperluan ini, misalkan sebuah kejadian A hanya bergantung dari kejadian B yang memiliki dua kejadian yang mutually exclusive yaitu Bs dan Bf yang masing-masing mewakili kejadian dari komponen B dalam keadaan baik dan dalam keadaan buruk. Persamaan 2.18 dapat ditulis menjadi: (2.19) Khusus untuk keperluan pengevaluasian keandalan dari suatu sistem, tujuan dari pengevaluasian adalah untuk mengevaluasi probabilitas kesuksesan atau probabilitas kegagalan dari suatu sistem, sehingga untuk keperluan ini, persamaan (2.19 ) dapat dimodifikasi menjadi: (2.20) Sedangkan probabilitas dari kejadian komplemennya adalah (2.21) Contoh 2.11 Sebuah subsistem terdiri dari dua komponen yaitu komponen A dan komponen B. Agar subsistem ini sukses menjalankan misinya, kedua komponen ini harus bekerja dengan baik. Dengan menggunakan persamaan 2.20, dapatkan probabilitas untuk sukses dari subsistem tersebut. Hal. 11 / 13
Misalkan, RA = Probabilitas kesuksesan dari komponen A untuk dapat menjalankan misinya. QA = Probabilitas kegagalan dari komponen A untuk dapat menjalankan misinya. dan RA + QA = 1 RB = Probabilitas kesuksesan dari komponen B untuk dapat menjalankan misinya. QB = Probabilitas kegagalan dari komponen B untuk dapat menjalankan misinya. Maka, dan RB + QB = 1 Contoh di atas merupakan sebuah contoh untuk sistem yang mempunyai susunan seri, dimana kedua komponen harus bekerja dengan baik agar sistem dengan susunan seri dapat sukses dalam menjalankan misinya. Contoh 2.12 Dari data perawatan peralatan-peralatan yang berada didalam suatu sistem pembangkit tenaga listrik, 25 % kerusakan yang terjadi disebabkan karena mekanik, 15 % kerusakan yang terjadi disebabkan karena elektrik, dan 10% kerusakan yang terjadi disebabkan karena kerusakan mekanik dan elektrik. Bila sebuah peralatan dipilih random tentukan a. Probabilitas kerusakan peralatan itu disebabkan oleh kerusakan elektrik setelah sebelum nya terjadi kerusakan mekanik. b. Probabilitas kerusakan peralatan itu disebabkan oleh kerusakan mekanik setelah sebelumnya terjadi kerusakan elektrik Misalkan M = Kejadian yang mewakili kerusakan peralatan yang disebabkan oleh kerusakan mekanik. P(M) = 0,25 E = Kejadian yang mewakili kerusakan peralatan yang disebabkan oleh kerusakan elektrik. P(E) = 0,15 P(M E) = 0,10. Hal. 12 / 13
a. b. 2.6. Teorema Binomial Pangkat n dari bentuk (p+q) dapat diekspresikan dalam suku-suku koefisien binomial seperti pada persamaan di bawah ini (2.22) Jika p dan q masing-masing menyatakan probabilitas dari suatu event, maka persamaan (2.22) akan menyatakan persamaan distribusi binomial bila beberapa syarat berikut ini dapat dipenuhi. Syarat-syarat yang harus dipenuhi adalah: Jumlah trial harus tetap, atau n harus diketahui. Masing-masing trial harus menghasilkan event sukses atau event gagal, atau dengan kata lain hanya ada dua keluaran yang mungkin dan p + q = 1. Semua trial harus memiliki probabilitas sukses yang identik, dengan demikian trial harus memiliki probabilitas kegagalan yang identik pula, atau nilai dari p dan q tetap konstan. Semua trial harus independen. 2.7. Referensi dan Bibliografi 1. Priyanta. Dwi, [2000], Keandalan dan Perawatan, Institut Teknologi Sepuluh Nopemeber,Surabaya 2. Billinton, R. and Ronald N. Allan [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2nd edition, Plenum Press, New York and London 3. Frankel, Ernst G., [1988], Systems Reliability and Risk Analysis, 2nd edition, Kluwer Academic Publishers, PO BOX 17, 3300 AA Dordrecht, The Netherlands. 4. Ramakumar, R [1993]., Engineering Reliability : Fundamentals and Applications, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey 07632. Hal. 13 / 13