2012 ANALISIS VARIABEL REAL 2 www.alfirosyadi.wordpress.com UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 1/1/2012
IDENTITAS MAHASISWA NAMA : NIM : KELAS : KELOMPOK : 2
PENDAHULUAN Modul ini disusun untuk membantu mahasiswa dalam mempelajari materi : 1. Turunan a. Kekontinuan b. Teorema nilai rata-rata c. Teorema L Hospital 2. Integral a. Jumlah Riemann b. Teorema dasar Kalkulus c. Integral dengan Pendekatan Limit Modul ini terdiri dari peta konsep, aplikasi materi pada bidang teknologi, kegiatan belajar. Pada masing-masing kegiatan belajar, Anda diberi kesempatan untuk melakukan diskusi dengan kelompok Anda untuk menyelesaikan permasalahan yang sudah diberikan. Hasil diskusi Anda, tuliskan pada lembar jawaban yang sudah disediakan. Anda diharapkan mempelajari modul ini dengan baik, kemudian jika ada kesulitan dalam mempelajarinya coba tanyakan pada dosen pengampu. Selamat Belajar! 3
Materi turunan yang kita bahas dalam modul ini dapat disajikan dalam peta konsep berikut! Turunan Kekontinuan definisi aturan pencarian turunan aplikasi teorema aturan rantai Teorema nilai rata-rata 4
KEGIATAN BELAJAR 1 Diskusikan dengan anggota kelompok Anda tentang definisi turunan dan kekontinuan suatu fungsi yang sudah pernah Anda peroleh di kalkulus I. DEFINISI TURUNAN Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah Asalkan limit ini ada DEFINISI KEKONTINUAN FUNGSI (Kekontinuan di satu titik). Kita katakana bahwa f kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan 5
Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! 1. Berikan penjelasan tentang definisi dari turunan dengan menggunakan ilustrasi secara geometri! (kaitkan dengan konsep gradien) 2. Apakah ada suatu fungsi f sedemikian hingga f =f? Jika ada, berikan contohnya! 3. Apakah keterkaitan antara limit dengan turunan? 4. Apakah keterkaitan antara kekontinuan dengan turunan? 5. Misalkan, tentukan nilai dari! Lembar Jawaban 6
LATIHAN SOAL 1 1. Tentukan fungsi kontinu atau tidak di! 2. Misalkan. Definisikan f agar kontinu di 3. Tentukan di titik mana saja tak kontinu? Lembar Jawaban 7
TEOREMA NILAI RATA-RATA Jika f kontinu pada selang tertutup dan terdiferensialkan pada titiktitik dalam dari, maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam dimana Atau dapat dituliskan Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! 1. Jelaskan maksud teorema rata-rata tersebut dengan menggunakan ilustrasi grafik! 2. Buktikan teorema nilai rata-rata tersebut! (gunakan ilustrasi secara geometri) 3. Kaitkan teorema nilai rata-rata tersebut dengan turunan dan kekontinuan yang sudah Anda pelajari sebelumnya! 8
Lembar Jawaban 9
LATIHAN SOAL 2 Pada soal nomor 1-3, didefinisikan sebuah fungsi dan diketahui sebuah selang tertutup. Tentukan, apakah teorema nilai rata-rata dapat digunakan pada fungsi yang diketahui pada selang yang diberikan? Jika iya, carilah nilai c yang mungkin! Cika perlu, sketsakan grafiknya pada selang yang diberikan! 1. 2. 3. Lembar Jawaban 10
Lembar Jawaban 11
ATURAN L HOPITAL untuk bentuk Andaikan lim diartikan untuk salah satu lambang ini:,,, atau. Andaikan dan. Apabila lim ada, baik ia terhingga atau tak terhingga, maka Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! Gunakan aturan L Hospital untuk menentukan nilai dari 1. 2. 3. 4. 5. 12
Lembar Jawaban 13
ATURAN L HOPITAL untuk bentuk Andaikan lim diartikan untuk salah satu lambang ini:,,, atau. Andaikan dan. Apabila lim ada, baik ia terhingga atau tak terhingga, maka Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! Gunakan aturan L Hospital untuk menentukan nilai dari: 1. 2. Lembar Jawaban 14
Materi turunan yang kita bahas dalam modul ini dapat disajikan dalam peta konsep berikut! Integral Jumlah Riemann Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Aturan Trapesium 15
JUMLAH RIEMANN Misalkan sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup. Pandang suatu partisi P dari selang menjadi n selang bagian (tidak perlu panjangnya sama) memakai titik-titik. Andaikan. Pada setiap selang, ambillah sebarang titik, kita sebut sebagai titik sampel untuk suatu selang bagian ke-i. Bentuklah penjumlahan Yang selanjutnya kita sebut sebagai jumlah Riemann untuk f yang berpadanan dengan partisi P Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! 1. Berikan contoh sebuah fungsi, definisikan batasnya, selanjutnya tentukan luasnya dengan menggunakan jumlah Riemann! 2. Ilustrasikan soan nomor 1 secara geometri! 16
Lembar Jawaban 17
INTEGRAL TENTU Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup. Jika ada, kita katakan f adalah terintegralkan pada. Lebih lanjut, disebut integral tentu (Integral Reimann) f dari a ke b, diberikan oleh Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! Hitunglah integral tentu memakai definisi 1. (gunakan ) 2. (gunakan ) 18
Lembar Jawaban 19
TEOREMA DASAR KALKULUS Andaikan f kontinu (karena terintegralkan) pada sebarang anti turunan dari f disana, maka dan andaikan F Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan! 1. Buktikan teorema dasar kalkulus tersebut dengan menggunakan jumlah rieman dan teorema nilai rata-rata! 2. Carilah semua sifat-sifat integral tentu, kemudian tuliskan pada lembar jawaban! 20
Lembar Jawaban 21
TUGAS PROYEK Carilah aturan Integral yang Anda ketahui, misalnya aturan trapezium, aturan parabol/simpson, dll. Kemudian buatlah rangkumannya, berikan satu contoh soal, dan presentasikan hasil kerja Anda 22