Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Perambatan Gelombang

Metode Elemen Batas (MEB) untuk Model Perambatan Gelombang Moh. Ivan Azis September 13, 2011 Abstrak Metode Elemen Batas untuk masalah perambatan gelombang akustik (harmonis) berhasil diturunkan pada tulisan ini. Sistem yang diperhatikan terpakai untuk media yang anisotropik. Daftar Isi 1 Pendahuluan 1 2 Masalah Nilai Batas 2 3 Solusi fundamental 2 4 Persamaan integral batas 3 5 Diskritisasi 4 6 Hasil numerik 7 7 Konklusi 10 1 Pendahuluan Tulisan ini mendiskusikan pembentukan MEB untuk solusi numerik masalah nilai batas yang dibangun oleh persamaan berbentuk λ ij 2 ϕ + k 2 ϕ = 0, untuk i, j = 1, 2 (1) x i x j Dipublikasikan pada Jurnal Fisika FUSI Jurusan Fisika FMIPA Unhas, Vol. 6, Nomor 8, 2002, Halaman 64-70 Dosen Jurusan Matematika Fak. MIPA Unhas, Makassar Indonesia. Email:mohivanazis@ hotmail.com 1

dimana kofisien λ ij dan k konstan, dan matriks kofisien [λ ij ] merupakan matriks bilangan real definit positif dan simetris. Juga, pada (1) penjumlahan untuk index yang berulang (jumlahan dari 1 sampai 2) diberlakukan, sehingga secara eksplisit (1) dapat dituliskan sebagai 2 ϕ 2 ϕ 2 ϕ λ 11 + 2λ x 2 12 + λ 22 + k 2 ϕ = 0 1 x 1 x 2 x 2 2 Bila λ 11 = λ 22 = 1 dan λ 12 = 0 maka persamaan (1) adalah persamaan Helmholtz yang merupakan persamaan pembangun untuk model perambatan gelombang harmonis waktu (time-harmonic waves) dalam media isotropik, yaitu gelombang kontinyu pada suatu frekuensi tetap, dimana ϕ melambangkan potensial kecepatan (velocity potential) dan k adalah bilangan gelombang (wave number) (lihat misalnya Wu [4]). 2 Masalah Nilai Batas Dengan merujuk pada sistim kordinat Cartesian Ox 1 x 2 solusi dari (1) dicari dimana solusi tersebut valid dalam daerah Ω di R 2 dengan batas Γ yang terdiri dari sejumlah berhingga kurva mulus bagian demi bagian. Pada Γ salah satu dari ϕ(x) atau P (x) = λ ij ϕ(x) x i n j (x) diberikan, dimana x = (x 1, x 2 ), n = (n 1, n 2 ) melambangkan vektor normal satuan mengarah ke luar di batas Γ. Metode solusi yang dipakai akan bekerja dengan cara menurunkan suatu persamaan integral batas, yang relevan untuk persamaan differensial (1), darimana nilai numerik ϕ dan P dapat ditentukan untuk semua titik dalam daerah Ω. 3 Solusi fundamental Persamaan integral batas yang disebutkan pada Pasal 2 melibatkan suatu fungsi solusi fundamental ϕ yang didefinisikan sebagai λ ij 2 ϕ + k 2 ϕ = δ(x ξ) (2) x i x j dimana ξ = (ξ 1, ξ 2 ) dan δ adalah fungsi delta Dirac. Solusi fundamental ϕ ini dapat dituliskan sebagai berikut (lihat Azis [2] untuk penurunan ϕ ) ( ) ık ϕ (x, ξ) = R 4 H(2) 0 (ωr) (3) 2

dimana R melambangkan bagian real dari bilangan (kompleks) argumen ı = 1 K = ρ/d D = [λ 11 + λ 12 (ρ + ρ) + λ 22 ρρ]/2 ω = k / D R = (x 1 + ρx 2 ξ 1 ρξ 2 ) 2 + ( ρx 2 ρξ 2 ) 2 ρ dan ρ berturut-turut merupakan bagian real dan imajiner positif dari akar kompleks ρ dari persamaan kuadrat λ 11 + 2λ 12 ρ + λ 22 ρ 2 = 0 dan H (2) 0 adalah fungsi Hankel jenis kedua orde nol, serta tanda bar (.) melambangkan operasi konjugat untuk bilangan kompleks. Selain ϕ kita juga memerlukan fungsi P, yang didefinisikan sebagai P ϕ (x, ξ) (x, ξ) λ ij n j (x) x i untuk evaluasi persamaan integral batas tersebut di atas. Fungsi P ini dapat dituliskan sebagai ( ) ıkω P R = R λ ij n j H (2) 1 (ωr) (4) 4 x i dimana H (2) 1 adalah fungsi Hankel jenis kedua orde satu, dan R x i R x 1 = 1 R (x 1 + ρx 2 ξ 1 ρξ 2 ) R x 2 = 1 R [ ρ(x 1 + ρx 2 ξ 1 ρξ 2 ) + ρ( ρx 2 ρξ 2 )] diberikan oleh Perlu dicatat bahwa P memiliki titik singular pada x = ξ. 4 Persamaan integral batas Bila (1) diperkalikan dengan ϕ lalu diintegralkan, maka 2 ϕ λ ij ϕ dω + k 2 ϕϕ dω = 0 (5) x i x j Ω Dengan menggunakan Teorema Divergensi Gauss pada integral pertama dalam persamaan (5) kita akan memperoleh ϕ λ ij n j ϕ ϕ ϕ dγ λ ij dω + k 2 ϕϕ dω = 0 (6) Γ x i Ω x i x j Ω Ω 3

Penggunaan Teorema Divergensi Gauss sekali lagi pada integral kedua dalam persamaan (6) akan menghasilkan ( ) ϕ λ ij n j ϕ ϕ ) ϕ λ ij n j dγ + (λ 2 ϕ ij + k 2 ϕ ϕ dω = 0 x i x i x i x j Γ atau ) (λ 2 ϕ ij + k 2 ϕ ϕ dω = (P ϕ P ϕ) dγ (7) Ω x i x j Γ Sebagai salah satu sifat dari fungsi delta Dirac, persamaan berikut berlaku ϕ(x) δ(x ξ) dω(x) = η(ξ) ϕ(ξ) (8) Ω dimana η = 1 bila ξ berada pada batas domain Γ dan Γ mempunyai kemiringan yang 2 berubah secara kontinyu pada ξ, η = 1 bila ξ berada di dalam domain Ω, η = 0 bila ξ berada di luar domain Ω. Substitusi persamaan (2) ke dalam persamaan (7) dan penggunaan persamaan (8) memberikan η(ξ) ϕ(ξ) = [P (x, ξ) ϕ(x) P (x) ϕ (x, ξ)] dγ(x) (9) Γ Persamaan (9) dapat digunakan untuk menentukan solusi ϕ dan P di setiap titik x di batas Γ dan di dalam domain Ω. Dan kalkulasi solusi ini sepenuhnya hanya memerlukan kalkulasi integral batas pada ruas kanan persamaan (9). Tetapi secara umum integral batas ini tidak mudah dikalkulasi secara analitik, karena bentuk geometri dari Γ tidak beraturan atau kelakuan dari fungsi ϕ dan P sangat bervariasi. Untuk itu, nilai integral batas ini lalu diapproksimasi dengan cara memenggal-menggal batas domain Γ menjadi segmen-segmen kecil berupa garis lurus dan kelakuan dari fungsi ϕ dan P pada setiap segmen juga didekati dengan mengasumsikan bahwa fungsi-fungsi ini konstan, atau bervariasi secara linear, kuadratik dan seterusnya. Lalu integral dihitung untuk setiap segmen dan kemudian menjumlahkannya. Dengan kata lain batas domain Γ diapproksimasi oleh suatu poligon yang jumlah sisinya diambil sebanyak mungkin sehingga nilai pendekatan akurat dapat diperoleh. 5 Diskritisasi Misalkan batas domain Γ didekati oleh suatu poligon dengan sejumlah J sisi, sehingga Γ terdiri atas segmen-segmen garis lurus Γ j [, q j ], j = 1, 2,..., J dimana dan q j adalah titik-titik ujung awal dan akhir dari segmen Γ j, maka persamaan (9) dapat ditulis sebagai η(ξ) ϕ(ξ) = Ω Γ j [P (x, ξ) ϕ(x) P (x) ϕ (x, ξ)] dγ(x) (10) Selanjutnya, bila kita mengasumsikan bahwa pada setiap segmen Γ j nilai ϕ dan P konstan, dan masing-masing diwakili oleh nilainya pada titik-tengah q j = ( +q j )/2 4

dari segmen tertentu Γ j, maka persamaan (10) dapat ditulis sebagai [ ] qj η(ξ) ϕ(ξ) = ϕ(q j ) P (x, ξ) dγ(x) P (q j ) ϕ (x, ξ) dγ(x) (11) Hasil penelitian telah menunjukkan bahwa pengambilan nilai ϕ dan P pada titik-tengah q j untuk setiap segmen Γ j menghasilkan keakuratan maksimal. Sebagaimana disebutkan pada Pasal 2, pada suatu segmen Γ j hanya salah satu dari ϕ dan P diketahui. Bila nilai ϕ(q j ) diberikan maka nilai P (q j ) menjadi unknown di Γ j. Sebaliknya, bila pada segmen Γ j nilai P (q j ) diberikan maka nilai ϕ(q j ) menjadi unknown. Untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, hanya ada dua kemungkinan pengambilan posisi titik ξ, yakni diletakkan di batas domain Γ (yang mengimplikasikan bahwa η = 1 ) atau di luar domain Ω (mengimplikasikan η = 0). Kita tidak dapat 2 meletakkan ξ di dalam domain Ω (untuk mana η = 1) untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, kecuali bila kita mempunyai informasi tambahan mengenai nilai ϕ di titik dalam ξ ini. Sementara itu, peletakan titik ξ di luar domain Ω akan menghindari titik singular dari P di x = ξ dan hal ini tentu akan memiliki advantage untuk hasil evaluasi integral. Dan telah ada beberapa kajian di dalam beberapa paper yang telah terpublish, yang memakai analisis peletakan titik ξ di luar domain Ω. Umumnya kajian-kajian ini telah berhasil menentukan jarak ideal dari titik ξ ke batas domain Γ untuk tingkat keakuratan yang cukup bagus. Namun penentuan jarak optimal ini masih sebatas cara coba-coba (trial and error), dan belum dilandasi oleh dan belum dibuktikan keabsahannya secara analitik matematik. Untuk itu, pada tulisan ini kita akan memposisikan titik ξ pada batas domain Γ. Sehingga untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, nilai ϕ(ξ) pada ruas kiri (11) akan mengambil nilai ϕ(q l ) dan η(ξ) = 1. Persamaan (11) kemudian dapat 2 dituliskan sebagai 1 2 ϕ(q l) = [ ϕ(q j ) P (x, q l ) dγ(x) P (q j ) ϕ (x, q l ) dγ(x) untuk l = 1, 2,..., J. Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks ] (12) 1 2 ϕ l + Ĥ lj ϕ j = G lj P j (13) dimana ϕ j = ϕ(q j ), P j = P (q j ), dan Ĥ lj = G lj = P (x, q l ) dγ(x) (14) ϕ (x, q l ) dγ(x) (15) Evaluasi integral pada persamaan (14) dan (15) dapat dilakukan secara analitik maupun numerik. Tentunya evaluasi analitik (eksak) akan memberikan hasil yang 5

lebih memuaskan (akurat) daripada evaluasi numerik (pendekatan). Namun perlu diperhatikan bahwa untuk j = l selang integral dalam (14) memuat titik singular q l dari integran P (x, q l ). Untuk itu nilai prinsipal Cauchy (Cauchy principal value) dari integral ini biasanya diambil untuk evaluasi analitik. Di lain hal, dangan evaluasi numerik dari kedua integral ini, strategi pemilihan metode kuadratur (pengintegralan numerik) sangatlah penting, sebab terdapat beberapa metode kuadratur yang melibatkan dan ada pula yang tidak melibatkan (misalnya aturan trapezoidal) kalkulasi nilai fungsi integran pada titik tengah dari selang integral. Dan metode kuadratur yang terakhir inilah yang dikehendaki. Pada tulisan ini, untuk hasil numerik dari setiap contoh masalah yang akan dibicarakan pada Pasal 6, evaluasi integral dilakukan secara numerik dengan menggunakan aturan trapezoidal termodifikasi enam titik (lihat Abramowitz and Stegun [1]). Nilai fungsi-fungsi Hankel H (2) 0 dan H (2) 1 yang terlibat dalam solusi fundamental ϕ dan P dihitung dengan menggunakan pendekatan polinomial fungsinya (lihat Abramowitz and Stegun [1]). Lebih kompak, persamaan (13) dapat ditulis sebagai H lj ϕ j = G lj P j (16) dimana { Ĥlj bila l j H lj = Ĥ lj 1 bila l = j 2 Persamaan matriks (16) dapat diurutkan ulang dengan meletakkan unknown di ruas kiri dan known-nya di ruas kanan, dalam bentuk AX = B (17) dimana X adalah vektor unknown ϕ dan/atau P. Persamaan ini merupakan suatu sistem persamaan aljabar linear dengan J persamaan dan J unknown. Penyelesian sistem persamaan aljabar linear (17) dapat dilakukan dengan berbagai metode, antara lain dengan metode eliminasi Gauss. Namun, pada tulisan ini, untuk hasil numerik dari setiap contoh masalah yang akan dibicarakan pada Pasal 6, solusi sistem persamaan aljabar linear (17) ditentukan dengan menggunakan metode gradien konjugat (lihat Coleman [3]), yang secara empiris telah diketahui lebih stabil ketimbang metode eliminasi Gauss. Solusi dari persamaan (17) ini dapat ditentukan untuk unknown ϕ dan P di batas domain Γ. Sekali nilai ϕ dan P pada batas domain Γ telah diketahui, maka kita bisa menentukan nilai ϕ dan P pada sebarang titik dalam ξ dengan menggunakan persamaan (11), yakni [ ] qj ϕ(ξ) = ϕ(q j ) P (x, ξ) dγ(x) P (q j ) ϕ (x, ξ) dγ(x) (18) 6

Selain itu dapat pula ditentukan nilai turunan ϕ/ ξ 1 dan ϕ/ ξ 2 melalui persamaan berikut [ ϕ P ] (x, ξ) qj ϕ (x, ξ) (ξ) = ϕ(q ξ j ) dγ(x) P (q 1 ξ j ) dγ(x) (19) 1 ξ 1 ϕ ξ 2 (ξ) = [ ϕ(q j ) 6 Hasil numerik P (x, ξ) ξ 2 dγ(x) P (q j ) ϕ (x, ξ) ξ 2 dγ(x) Pada pasal ini beberapa contoh masalah nilai batas yang dibangun oleh persamaan (1) akan diselesaikan secara numerik. Contoh 1 : Masalah Uji Perhatikan solusi analitik untuk (1) berikut ] (20) ϕ = sin βx 2 (21) dimana β = k/ λ 22. (lihat Gambar 1) Geometri medium dan syarat batas dari masalahnya adalah P, yang dapat dihitung dari (21), diketahui pada AB, BC dan CD, ϕ, seperti diberikan oleh (21), diketahui pada AD. Kofisien λ ij dan k 2 adalah λ 11 = 1, λ 12 = 0.5, λ 22 = 0.5, k 2 = 0.5. Tabel 1 memperlihatkan perbandingan antara solusi MEB dan solusi analitik. Dapat diamati bahwa solusi MEB konvergen ke solusi analitik sejalan dengan meningkatnya jumlah segmen dari 80, 160 dan 320. Hasil ini sesuai dengan yang diharapkan, dengan alasan bahwa semakin kecil selang integral yang digunakan maka semakin akurat pendekatan integrasi numerik yang akan diperoleh. Contoh 2 Perhatikan masalah nilai batas seperti diperlihatkan dalam Gambar 2. Kofisien λ ij dan k 2 adalah λ 11 = 0.5, λ 12 = 0.2, λ 22 = 0.3, k 2 = 0.1. Tidak tersedia solusi analitik sederhana untuk contoh masalah ini. Justifikasi solusi MEB dilakukan dengan cara mengamati kekonvergenannya. Tabel 2 memperlihatkan solusi MEB dengan menggunakan 160, 320, 640 dan 1000 segmen. Dari tabel ini dapat diamati bahwa solusi MEB ini konvergen ke suatu solusi tertentu dengan penambahan jumlah segmen. 7

x 2 D(0, 1) C(1, 1) x 1 A(0, 0) B(1, 0) Gambar 1: Geometri dari masalah uji Tabel 1: Solusi MEB dan analitik untuk Contoh 1 Posisi MEB Analitik (x 1, x 2 ) ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 80 segmen (.5,.1).0987.0011 1.0014.0998.0000.9950 (.5,.3).2954.0009.9593.2955.0000.9553 (.5,.5).4800.0000.8799.4794.0000.8776 (.5,.7).6451 -.0009.7660.6442.0000.7648 (.5,.9).7844 -.0006.6218.7833.0000.6216 160 segmen (.5,.1).0993.0006.9982.0998.0000.9950 (.5,.3).2955.0004.9574.2955.0000.9553 (.5,.5).4797.0000.8788.4794.0000.8776 (.5,.7).6447 -.0004.7654.6442.0000.7648 (.5,.9).7839 -.0003.6216.7833.0000.6216 320 segmen (.5,.1).0996.0003.9966.0998.0000.9950 (.5,.3).2955.0002.9564.2955.0000.9553 (.5,.5).4796.0000.8782.4794.0000.8776 (.5,.7).6444 -.0002.7651.6442.0000.7648 (.5,.9).7836 -.0001.6216.7833.0000.6216 8

x 2 D(0, 1) P = 1 C(1, 1) P = 0 P = 0 x 1 A(0, 0) ϕ = 0 B(1, 0) Gambar 2: Geometri untuk Contoh 2 Tabel 2: Solusi MEB untuk Contoh 2 Posisi 160 segmen 320 segmen (x 1, x 2 ) ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 (.5,.1).4091 -.4731 4.4210.4117 -.4763 4.4314 (.5,.3) 1.3863-1.3552 5.2268 1.3910-1.3602 5.2364 (.5,.5) 2.4516-1.8318 5.3398 2.4580-1.8366 5.3473 (.5,.7) 3.5016-1.9743 5.1312 3.5093-1.9794 5.1381 (.5,.9) 4.4977-1.9931 4.8224 4.5067-1.9987 4.8284 Posisi 640 segmen 1000 segmen (x 1, x 2 ) ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 2 (.5,.1).4130 -.4779 4.4366.4135 -.4784 4.4386 (.5,.3) 1.3933-1.3627 5.2413 1.3942-1.3636 5.2431 (.5,.5) 2.4612-1.8391 5.3511 2.4623-1.8400 5.3525 (.5,.7) 3.5132-1.9822 5.1417 3.5147-1.9832 5.1431 (.5,.9) 4.5114-2.0019 4.8318 4.5131-2.0032 4.8331 9

7 Konklusi Suatu MEB untuk solusi masalah nilai batas untuk model perambatan gelombang dalam suatu medium anisotropik telah ditemukan. MEB ini secara umum cukup mudah untuk diimplementasikan untuk memperoleh solusi numerik untuk masalah tertentu. Hasil numerik yang diperoleh dengan menggunakan MEB ini mengindikasikan bahwa MEB ini dapat menghasilkan solusi numerik yang cukup akurat. Evaluasi integral secara analitik, penerapan proses refinement untuk penyelesaian sistim persamaan aljabar linear, dan strategi peletakan titik ξ di luar domain Ω akan memberikan hasil yang lebih akurat. References [1] Abramowitz, M. and Stegun, A. Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York, 1970. [2] Azis, M. I. (2001). On the boundary integral equation method for the solution of some problems for inhomogeneous media (PhD Thesis), Department of Applied Mathematics, University of Adelaide. [3] Coleman, C. J. University of Wollonggong, Australia. [4] Wu, T. W. (editor) Boundary Element Acoustics Fundamentals and Computer Codes, Wessex Institute of Technology Press, Southampton, Boston, 2000. 10