JURNAL GAUSSIAN, Volume, Nomor, Tahu 0, Halama 9-8 Ole d: htt://ejoural-s.ud.ac.d/dex.h/gaussa ANALISIS REGRESI LINIER PIECEWISE DUA SEGMEN Sylf, Dw Isryat, Dah Saftr 3 Mahasswa Jurusa Statstka FSM Uverstas Doegoro,3 Staf Pegajar Jurusa Statstka FSM UNDIP ABSTRACT Regresso aalyss s a statstcal method that s wdely used research. I geeral, the regresso aalyss s the study of the relatosh of oe or more deedet varables wth the deedet varable. I aalyze the fuctoal relatosh betwee X as the deedet varables ad Y as the deedet varable, there may be a lear relatosh s dfferet for each terval X. If the regresso of X o Y has a lear relatosh o the certa of the terval of X, but also has a dstct lear relatosh at aother terval of X, so the use of ecewse lear regresso s arorate ths case. Pecewse lear regresso s a method regresso aalyss that dvded the deedet varable to several segmets based o a artcular value called the X-kots, ad each segmet of the data cotaed lear regresso model. X-kot s a value o the deedet varable, where X s the curret value of the X- kots, t wll form a lear regresso equato of the le that s dfferet tha the curret value of X s uder X-kots. Pecewse lear regresso ca be aled may felds, oe of them the waters of the aalyss regardg the fluece of rver dscharge o the bass of the umber of trasort sedma. By comarso MSE smle lear regresso ad multle lear ecewse two segmets, the result that the two segmets ecewse lear regresso s a model that descrbes the fluece of rver dscharge o the bass of the umber of bedload trasort. Keywords: two-segmet ecewse lear regresso, X-kots, dscharge, bedload trasort.. PENDAHULUAN Latar Belakag Regres ler adalah metode statstka yag dguaka utuk membetuk model atau hubuga atara satu atau lebh varabel bebas X dega sebuah varabel reso Y. Aalss regres dega satu varabel bebas X dsebut sebaga regres ler sederhaa, sedagka jka terdaat lebh dar satu varabel bebas X, dsebut sebaga regres ler bergada (Kurawa, 008). Dalam megaalss hubuga fugsoal atara varabel bebas X da varabel reso Y, ada kemugka terjad hubuga ler yag berbeda utuk seta terval X. Aabla regres X terhada Y memlk hubuga ler tertetu ada terval X tertetu, teta juga memlk hubuga ler yag berbeda ada terval X yag la, maka egguaa model regres ler sederhaa kurag teat ada kasus tersebut karea hasl aalss tdak daat memberka formas meyeluruh tetag data. Regres ler ecewse meruaka betuk regres yag melut berbaga model regres ler yag cocok dega data utuk seta terval X (Rya da Porth, 007). Regres ler ecewse daat dteraka d berbaga bdag, salah satuya d bdag erara yag meyagkut aalss egaruh debt suga terhada jumlah agkuta sedme dasar. Dalam aalss regres ler ecewse, harus destmas la X-kot otmum dega sebuah la dugaa awal yag terseda. Sela tu, la-la
arameter regres ler ecewse juga harus destmas sehgga deroleh model regres yag daat mejelaska hubuga atara debt suga terhada jumlah agkuta sedma dasar (Rya da Porth, 007). Regres ler ecewse yag dbahas dalam tulsa adalah aalss regres ler ecewse dua segme yag dbadgka dega aalss regres ler sederhaa, metode yag dguaka utuk megestmas arameter regres ler ecewse dua segme yatu metode teras Gauss-Newto. Tujua eulsa tulsa adalah :. Megestmas la X-kot otmum da meguj sgfkasya.. Megestmas la-la arameter regres sehgga deroleh model regres ler ecewse dua segme. 3. Meguj kecocoka model regres ada masg-masg segme. 4. Membadgka hasl aalss regres ler sederhaa da regres ler ecewse dua segme ada kasus egaruh debt suga terhada jumlah agkuta sedma dasar da memlh model terbak berdasarka krtera RKS terkecl.. TINJAUAN PUSTAKA Regres Ler Sederhaa Aalss regres meruaka metode statstka yag bayak dguaka dalam eelta. Istlah regres ertama kal derkealka oleh Sr Fracs Galto ada tahu 986. Secara umum, aalss regres adalah kaja terhada hubuga satu varabel yag dsebut sebaga varabel yag dteragka dega satu atau dua varabel yag meeragka. Varabel yag dteragka selajutya dsebut sebaga varabel reso, sedagka varabel yag meeragka basa dsebut varabel bebas (Gujarat, 003). Model regres ler sederhaa yatu : Y X, =,,, 0 (Draer da Smth, 99) Estmas arameter regres ler sederhaa megguaka metode kuadrat terkecl. Metode ddasarka ada asums bahwa model yag bak adalah model yag memlk jumlah kuadrat sesata (selsh atara data yag damat dega model) terkecl. Utuk medaatka eaksr yag bak bag arameter regres (β 0 da β ) daat dguaka metode kuadrat terkecl dega cara memmumka jumlah kuadrat sesata (JKS). Sela tu, estmas arameter regres daat dlakuka dega erhtuga matrks. Adau tabel aalss vara regres ler sederhaa yaut : Tabel : Tabel Aalss Vara Regres Ler Sederhaa Sumber Varas db JK RK F htug F tabel Regres JKR Y Y Sesata - JKS ˆ ˆ RKR JKR Y Y Total - JKT Y Y JKS RKS RKR RKS F ;-;α (Draer da Smth, 99) Dalam mela bak burukya model yag dguaka dega data, dbutuhka ukura kecocoka model yag dsebut koefse determas (R ) yag drumuska sebaga berkut : JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 0
R JKR JKT atau R JKS JKT Sedagka koefse korelas drumuska dega : X X Y Y ; - r X, Y r X, Y X X Y Y (Draer da Smth, 99) Sela tu, model regres yag deroleh harus duj kecocokaya megguaka uj F sebaga berkut : Hotess H 0 : β = 0 (Model regres tdak cocok terhada data) H : β 0 (Model regres cocok terhada data) Statstk Uj RKR F htug RKS Krtera Peolaka H 0 dtolak jka F htug > F α,,-. (Draer da Smth, 99) Deret Taylor Msalka fugs f adalah fugs dar dua varabel X da Y. Deret Taylor daat dguaka utuk mecar la suatu fugs d ttk x da y jka laya d ttk x0 da y 0 yag berdekata dega ttk tersebut dketahu, maka berlaku eksas dar f x, y sebaga berkut : f x y x, y f x0, y0 x x0 y y0 f x, y x x y y f x y! x y x x y y f x, y x y 0, 0 x 0, R ( ) 0 0 x y 0 4! x y 0 0, 4 x y 0, 0 (Segel, 006) Estmas Noler Secara umum model regres oler dega Y sebaga varabel reso ada relkas sebayak da X meruaka varabel bebas daat dyataka dalam ersamaa sebaga berkut : Y f, ;,,..., X dega f adalah fugs regres dega arameter adalah resdual dega mea 0 da vara. yag harus destmas da (Rley, 00) Regres Ler Pecewse Regres ler ecewse adalah suatu metode dalam aalss regres yag membag varabel bebas X mejad beberaa segme berdasarka la tertetu yag dsebut X- kot (dsmbolka dega X ), dmaa ada seta segme data terdaat model regres ler. X meruaka suatu la ada varabel bebas X, dmaa saat la X berada d JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama
atas X, maka aka terbetuk ersamaa gars regres ler yag berbeda dbadgka saat la X berada d bawah X (Rya & Porth, 007). Dalam regres ler ecewse, terdaat dua kasus berkata dega lokas X. Kasus ertama adalah lokas X dketahu, sedagka kasus kedua adalah lokas X tdak dketahu da harus destmas. Kasus kedua adalah lokas X tdak dketahu da harus destmas. Salah satu cara utuk meduga la awal X adalah dega membuat dagram ecar atara varabel bebas X da varabel reso Y, kemuda meduga la awal X berdasarka eyebara data ada dagram ecar (Shofyat, 008). Regres Ler Pecewse Dua Segme Regres ler ecewse dua segme dsahka oleh sebuah X. Kedua segme dkedalka oleh dua buah varabel dummy yatu D da D (Marsh, dkk, 990). Persamaa awal regres ler ecewse dua segme adalah sebaga berkut : Y a b X D a b X D ;,,..., Persamaa d atas dskotu d ttk ersamaa akhr Y a b X D X D b X X D X. Melalu eurua rumus, deroleh ;,,..., (Marsh, dkk, 990) Meurut Rya da Porth (007), ersamaa regres ler ecewse ada masgmasg segme daat dtuls sebaga berkut : a b X ; X X Y a b b X b X ; X X Estmas Model Regres Ler Pecewse Dua Segme dega Metode Iteras Gauss-Newto Utuk melakuka teras Gauss Newto, ertama-tama dlakuka edekata terhada fugs f X, megguaka deret Taylor d sektar tal value yag laya dtetuka. Pedekata terhada fugs f X, d sektar dega megguaka deret Taylor orde ertama daat dtulska sebaga berkut : Jka ddefska : Maka : Terlhat bahwa ersamaa () adalah ersamaa yag ler dalam arameter, sehgga dega megguaka metode ordary least square deroleh estmas sebaga berkut : Persamaa berkut bayakya teras. meruaka ersamaa Gauss-Newto dega t meujukka JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama
Iteras aka berhet jka telah tercaa kekovergea yatu jka. (Marsh, dkk, 990) Aalss Vara Regres Ler Pecewse Dua Segme Aalss vara (ANOVA) regres ler ecewse dua segme meruaka egembaga dar aalss vara regres ler sederhaa. ada taha, terdaat eguraa jumlah kuadrat total atas kedua komoeya yatu jumlah kuadrat regres da jumlah kuadrat sesata. Nla statstk uj F ada tabel ANOVA daat dguaka utuk meguj sgfkas X ˆ otmum, dmaa hotess ol meyataka bahwa X ˆ otmum tdak sgfka atau tdak memberka kotrbus dalam erbaka model regres (Oosterbaa, 990). Tabel : Tabel Aalss Vara Regres Ler Pecewse Dua Segme Sumber Varas db JK RK F htug F tabel Regres 3 JKR RKR JKR / 3 RKR RKS F 3;-4;α Sesata -4 JKS JKS RKS 4 Total - JKT (Oosterbaa, 990) Koefse Determas da Korelas Regres Ler Pecewse Dua Segme R Y Y dega Y Y Koefse determas ada masg-masg segme adalah sebaga berkut: R R m m Y Yˆ Y Y m m Y Yˆ Y Y ; Y m m Y ; Y m Y m (Oosterbaa, 990) Aalss Resdual Meurut Gujarat (003), asums-asums resdual yag harus deuh dalam aalss regres ler sederhaa adalah oautokorelas, homoskedaststas da ormaltas. 3. METODOLOGI Varabel eelta dalam tulsa adalah debt suga (m 3 /detk) sebaga varabel bebas da jumlah agkuta sedma dasar (kg/detk) sebaga varabel reso. Data meruaka data sekuder dega ukura samel = 3 yag deroleh dar hasl stud JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 3
laaga ada suga yag terdaat d Colorado da Wyomg, Amerka Serkat da dublkaska ada buku berjudul A Tutoral o the Pecewse Regresso Aroach Aled to Bedload Trasort. Lagkah aalss data dalam tulsa daat dlhat ada flowchart berkut : Mula Dagram ecar Regres Ler Sederhaa Regres Ler Pecewse Dua Segme Estmas arameter regres Megurutka data berdasarka la X Meghtug la R, r da RKS Meduga la awal X da membag data egamata ada ttk tersebut Uj F Estmas fugs regres ler sederhaa ada kedua segme megguaka metode OLS Uj asums Tdk Tras formas Estmas arameter regres ler ecewse dua segme da la X otmum megguaka metode Gauss-Newto Ya Membetuk fugs regres ler ecewse dua segme yag kotu da meetuka RKS da R Uj sgfkas X otmum da uj kecocoka model ada masg-masg segme Tras formas Tdk Uj asums Ya Memlh model terbak Selesa JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 4
4. HASIL DAN PEMBAHASAN Model Regres Ler Sederhaa Setelah dlakuka aalss data egaruh debt suga (m 3 /detk) terhada jumlah agkuta sedme dasar (kg/detk), deroleh model regres ler sederhaa Yˆ 0.7 0. 065X dega koefse determas R = 0.534, koefse korelas r = 0.73 da RKS = 0.03. Berdasarka uj kecocoka model deroleh kesmula bahwa model regres cocok da berdasarka uj asums resdual dsmulka bahwa semua asums resdual tereuh. Meduga Nla Awal ˆX da Megestmas Koefse Regres Ler Pecewse Dua Segme Utuk meduga la awal ˆX dbuat dagram ecar atara varabel bebas da varabel reso. Jumlah.6.4 Agkuta. Sedme.0 Dasar 0.8 (kg/detk) 0.6 0.4 0. 0.0 Dagram Pecar 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Debt Suga (m 3 /detk) Berdasarka dagram ecar tersebut la dugaa awal ˆX yag ertama adalah ˆX = 5.689. Nla dugaa awal ˆX berada ada = 88 sehgga data dbag mejad X, 88 Y ada segme ertama da X, 3 Y ada segme kedua. Lagkah 89 selajutya adalah membetuk dua model regres ler dar data yag telah terbag dua ada X = 5.689. Dua ersamaa regres tersebut adalah : - 0.050 0.00954 X ; X 5.689 Y ˆ - 0.50 0.08 X ; X 5.689 Nla dugaa awal ˆX = 5.689 da la-la koefse regres d atas kemuda (0) dguaka sebaga la awal ˆ ada metode teras Gauss-Newto utuk megestmas la X ˆ otmum da la-la arameter regres ler ecewse dua segme yag koverge ada teras ke-5 dega RKS = 0.04. Hasl teras Gauss- Newto dtujuka sebaga berkut ; JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 5
Tabel 3 : Tabel Hasl teras Gauss-Newto Parameter Estmas Parameter Awal Estmas Parameter Akhr ˆX 5.6890 4.8375 â -0.050-0.0037 ˆb 0.00954 0.00364 ˆb 0.08 0.093 Koverge ada teras ke-5, dega JKS =.8807 (RKS = 0.04) Deroleh model regres ler ecewse ada kedua segme yag kotu ada ttk ˆ = 4.8375 adalah sebaga berkut : X otmum Yˆ 0.0037 0.00364 XD 4.8375D 0.093X 4. 8375D Persamaa regres ler ecewse dua segme jka dtulska ada masg-masg segme adalah : - 0.0037 0.00364 X ; X 4.8375 Y ˆ - 0.5350 0.093 X ; X 4.8375 Lagkah utuk mecar la X ˆ otmum da arameter regres ler ecewse dua segme dulag dega la dugaa awal ˆX yag berbeda. Setelah dlakuka teras Gauss- Newto ada emat ttk dugaa awal ˆX yag berbeda, keemat la dugaa awal ˆX tersebut meghaslka la-la arameter regres da X ˆ otmum serta RKS yag sama ada akhr teras. Perbedaaya haya terletak ada jumlah teras. Setelah deroleh ersamaa regres ler dua segme da RKS seert d atas, dlajutka dega meghtug la koefse determas regres ler ecewse dua segme. R Y Y 0,00869479,87956057 0,63765595 7,949 Uj Sgfkas X ˆ otmum da Uj Kecocoka Model Regres ada Masg-masg Segme Nla sgfkas ada uj F aka dguaka utuk meguj sgfkas X ˆ otmum da deroleh kesmula bahwa X ˆ otmum memberka kotrbus dalam erbaka model regres. Selajutya, berdasarka uj masg-masg segme, deroleh kesmula bahwa model ada segme ertama da kedua cocok terhada data. Pada eguja asums resdual segme kedua, semua asums resdual tereuh, sedagka ada segme ertama terjad elaggara asums ormaltas sehgga dlakuka l Yˆ 7.44.858 l sehgga trasformas da deroleh model regres yatu model regres ler ecewse dua segme yatu : l Yˆ 7.44.858 l ; X 4. 8375 X ˆ 0.5350 0. X Y 093 ; 4. 8375 dega RKS = 0.04. X X JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 6
Pemlha Model Terbak Krtera yag dguaka dalam emlha model terbak yatu megguaka la RKS atau MSE terkecl. Nla RKS ada regres ler sederhaa adalah 0.03, sedagka la RKS jka dguaka regres ler ecewse dua segme adalah 0.04. Dega demka, daat dsmulka bahwa model terbak yag mejelaska hubuga atara debt suga terhada jumlah agkuta sedme dasar adalah model regres ler ecewse dua segme karea meghaslka la RKS yag lebh kecl dbadgka model regres ler sederhaa. 5. KESIMPULAN. Aalss regres ler ecewse dua segme ada dasarya meruaka eurua dar aalss regres ler sederhaa. Perbedaa atara kedua metode aalss regres tersebut yatu terdaatya sebuah ttk yag dsebut X-kot.. Setelah dlakuka aalss regres ler ecewse dua segme ada data egaruh debt suga (m 3 /detk) terhada jumlah agkuta sedme dasar (kg/detk) dega la dugaa awal ˆX yag berbeda-beda, semua la dugaa awal tersebut meghaslka la-la arameter regres da X ˆ otmum serta RKS yag sama ada akhr teras. Perbedaaya haya terletak ada jumlah teras. 3. Berdasarka hasl aalss regres ler ecewse dua segme ada kasus tersebut, deroleh la X ˆ otmum = 4.8375 da model regres ler ecewse ada masgmasg segme yatu : l Yˆ 7.44.858 l ; X 4. 8375 X ˆ 0.5350 0. X Y 093 ; X 4. 8375 dega RKS = 0.04 da R = 0.6376. 4. Model regres ler sederhaa ada kasus egaruh debt suga (m 3 /detk) terhada jumlah agkuta sedme dasar (kg/detk) yatu: Yˆ 0.7 0. 065X dega RKS = 0.03, R = 0.534. 5. Berdasarka erbadga la Rataa Kuadrat Sesata (RKS) ada kasus tersebut, model regres ler ecewse dua segme meruaka model terbak dbadgka model regres ler sederhaa karea meghaslka la RKS yag lebh kecl. DAFTAR PUSTAKA Draer, N da Smth, H. 99. Aalss Regres Teraa. Ed ke-. Grameda. Jakarta. Gujarat, D. 003. Ekoometrka Dasar. Za, S, eerjemah. Erlagga. Jakarta. Terjemaha dar: Basc Ecoometrc. Kurawa, D. 008. Regres Ler. htt://www.google.co.d/008/regres.ler.html. [ Maret 0]. Marsh, L. dkk. 990. Alteratve Methods of Estmatg Pecewse Lear ad Hgher Order Regresso Models Usg SAS Software. 57-57. Uverstas Notre Dame Press. Idaa. Oosterbaa, R.J. 990. Statstcal Sgfcace of Segmeted Lear Regresso wth Break-Pot Usg Aalyss of Varace (ANOVA) ad F-Tests. htt://www.waterblog.fo. [ Maret 0]. Rley, H. 00. Aljabar Lear Elemeter. Erlagga. Jakarta. Rya, S.E da Porth, L.S. 007. A Tutoral o The Pecewse Regresso Aroach Aled to Bedload Trasort Data. Rocky Mouta Research Stato. Amerka Serkat. JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 7
Shofyat, A. 008. Kaja Aalss Regres Ler Tersegme. htt://www.google. co.d/-aals s Regres-Ler-Tersegme-008.html. [5 Arl 0]. Segel, M da Wrede, R.C. 006. Kalkulus Lajut. Erlagga. Jakarta. JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 8