MAKALAH RUANG VEKTOR UMUM Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusun oleh Kelompok II: Mujiati 08411.192 Puji Astuti 08411.226 Siti Nur Aminah 08411.255 Supinaryuti 08411.264 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2010
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah memberikan rahmat dan Karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judul Ruang Vektor Umum. Dalam menyelesaikan makalah ini, penulis telah mendapatkan bantuan dari berbagai pihak. Penulis menyadari dalam penulisan makalah ini, masih banyak kekurangan atau bahkan kekeliruan dalam penyusunannya. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan. Semoga makalah ini, bermanfaat bagi penulis khususnya dan pembaca pada umumnya. Madiun, Oktober 2010 Penulis ii
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i KATA PENGANTAR... ii DAFTAR ISI... iii BAB I PENDAHULUAN... 1 A.Latar Belakang... 1 B.Rumusan Masalah... 1 C.Tujuan Penulisan... 1 D.Manfaat Penulisan... 1 BAB II PEMBAHASAN... 2 A.Ruang Vektor Dan Aksioma Yang Terdapat Di Dalam Vektor... 2 B.Macam-macam Ruang Vektor... 3 C.Sifat-sifat Vektor... 5 BAB III PENUTUP... 6 A.Simpulan... 6 DAFTAR PUSTAKA HASIL DISKUSI TANYA JAWAB iii
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pada bab ini, kita menggeneralisasikan konsep vektor lebih lanjut lagi. Kita akan menyusun satu himpunan aksioma yang jika dipenuhi oleh suatu golongan objek yang disebut sebagai vektor. Vektor vektor yang di generalisasi inin antara lain berbagai matrik dan fungsi. Dalam bab ini akan memberikan suatu cara yang sangat berguna untuk mengembangkan visualisasi geometrik dalam berbagai variasi soal matematika, dimana instuisi geometrik tidak dapat digunakan. Kita dapat memvisualisasikan vektor vektor pada dan sebagai anak panah, sehingga kita dapat menggambar atau menyusun gambar gambar untuk membantu menyelesaikan soal karena aksioma aksioma yang dapat digunakan untuk mendefinisikan vektor vektor pada dan, maka vektor vektor baru tersebut akan memiliki banyak sifat. B. Rumusan Masalah 1. Apakah yang dimaksud dengan vektor, dan apa saja aksioma yang terdapat didalam vektor? 2. Apa saja macam macam dari ruang vektor? 3. Bagaimana sifat sifat dari vektor? C. Tujuan Penulisan 1. Untuk mengetahui pengertian dari ruang vektor dan aksioma yang terdapat terdapat didalam vektor. 2. Untuk mengetahui macam macam ruang vektor. 3. Untuk mengetahui sifat sifat vektor. D. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui pengertian dari ruang vektor beserta aksioma-aksioma yang terdapat di dalam suatu vector dan mengetahui sifat dan macam dan sifat dari ruang vektor. 1
BAB II PEMBAHASAN A. Ruang Vektor dan Aksioma yang terdapat didalam vektor Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dan objek objek sembarang, dimana operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar didefinisikan. Operasi penjumlahan (addition) suatu aturan yang mengasosialisasikan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek disebut jumlah (sum) dari u dan v. u v yang Operasi perkalian sckalar(scalar multiplication); suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada V dengan suatu objek k.u, yang disebut kelipatan scalar (scalar multiple) dari u oleh k. Jika aksioma aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada Vdan semua scalar k dan l, maka kita menyebut objek objek pada V sebagai ruang vektor (vector space) dan kita menyebut objek objek pada V sebagai vektor. Berikut ini diberikan sepuluh aksioma mengenai ruang vektor umu yang berguna untuk menjadi pedoman kita dalam melakukan operasi ialjabar pada vektor. Operasi aljabar pada vektor : 1. Jika u dan v adalah objek objek pad V, maka u v berada pada V, 2. u v = v u 3. u ( u w) ( u v) w 4. Terdapat suatu objek 0 di V yang disebut vektor nol (zero vektor) untuk V, sedemikian rupa sehingga 0 u u 0 u untuk semua u padav, 5. Untuk setiap u di V, terdapat suatu objek u di V, yang disebut sebagai negative u, sedemikian rupa sehingga u ( u) ( u) u 0 2
6. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang objek di V, maka k. u berada di V. 7. k( u v) ku kv 8. ( k l) ku lu 9. k( l. u) ( k. l)( u) 10. l. u u B. Macam Macam Ruang vektor Macam macam vektor ruang antara lain : 1. Ruang vektor matrik 2x2 Himpunan V dari semua matrik 2x2 dengan entri entri real adalah suatu ruang vektor yang jika penjumlahan vektor didefinisikan sebagai perkalian scalar matrik. Bukti : Misalkan dan. Untuk membuktikann aksioma 1, maka kita harus menunjukkan bahwa u v adalah objek di V. dengan kata lain kita, kita harus menunjukkan bahwa dapat diper oleh dan didefinisi penjumlahan matrik, kerena : u v adalah matrik 2x2. Hal ini Dengan cara serupa, aksioma 6 juga berlaku, karena untuk bilangan real sembarang k kita memperoleh : Sehingga ku adalah matriks 2x2 dan yang berarti merupakan objek di V. Aksioma 2 sesuai dengan teorema 1 karena : 3
Demikian juga aksioma 3 sesuai dengna bagian dari teorema tersebut, dan aksioma 7, 8, 9 berturut-turut sesuai dengan bagian untuk membuktikan aksioma 4, kita harus menentukan suatu objek D di V sedemikian rupa sehingga o+u = u+o = u untuk semua u di objek V. Ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan o sebagai : Yakni matriks nol, dengan definisi ini maka : Dan demikian juga untuk u+o = u Untuk membuktikan aksioma 5, kita harus menunjukkan bahwa setiap objek U di V memiliki bentuk negatif u. u +(-u)= 0 dan (-u)+u = 0 ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan negatif u sebagai : dengan definisi tersebut kita peroleh : = = dan dengan demikian juga (-u)+u = 0. Akhirnya, aksioma 10 merupakan perhitungan yang sederhana sebagai berikut : dengan demikian, matriks berordo 2 merupakan suatu ruang vektor. 2. Ruang vektor dari fungsi bernilai Real 4
Misalkan V adalah himpunan fungsi-fungsi bernilai real yang didefinisikan sepanjang garis real (-, ). Jika F = F(x) dan g = g(x) adalah dua fungsi sedemikian dan k adalah bilangan real sembarang maka : (F+g) (x) = F(x) + g(x) dan (kf) (x) = kf(x) Dengan kata lain: Nilai dan fungsi f+g pada x diperoleh dengan menjumlahkan nilai-nilai dari f dan g pada x. Nilai kf pada x adalah k kali nilai dari f pada x. 3. Ruang vektor nol Misalnya V terdiri dari suatu objek tunggal, yang dinotasikan dengan 0, definisi: 0+0 = 0 dan k0 = 0 Untuk semua skalar k. 4. Himpunan yang bukan merupakan ruang vektor Misalkan V=R 2 dan didefinisikan operasi-operasi penjumlahn dan perkalian sebagai berikut: Jika u = (u 1, u 2 ) dan v = (v 1, v 2 ) maka: u+v = (u 1 + v 1, u 2 +v 2 ) dan jika k adalah bilangan real ssembarang, maka: ku = (ku,0) contoh: Jika u = (2,4), v = (-3,5), dan k=7, maka: U+v = (2+(-3), 4+5) = (-1,9) Ku = 7u = (7.2,0) = (14,0) Operasi penjumlahan merupakan operasi penjumlahan standar pada R 2, tetapi operasi perkalian scalar bukan merupakan perkalian skalar standar. Terdapat nilai-nilai u yang menyebabkan aksioma 10 tidak berlaku. Sebagai contoh, jika u = (u 1, u 2 ) sedemikian rupa sehingga u 2 0, maka: 1u = 1 (u 1, u 2 ) = (1. u 1,0) u Jadi, V bukan merupakan ruang vektor. C. Sifat Sifat Vektor 5
Misalkan V adalah suatu ruang vektor, u adalah suatu vektor pada V dan k adalah suatu skalar, maka didapat sifat vektor, antara lain : 1. 0u = 0 2. k0 = 0 3. (-1)u = -u 4. Jika ku = 0, maka k=0 atau u=0 6
BAB III PENUTUP A. Simpulan Vektor umum mempunyai aksioma yang berguna untuk menjadi pedoman dalam melakukan operasi aljabar. Sepuluh aksioma mengenai ruang vektor : 1. Jika u dan v adalah objek objek pad V, maka u v berada pada V, 2. u v = v u 3. u ( u w) ( u v) w 4. Terdapat suatu objek 0 di V yang disebut vektor nol (zero vektor) untuk V, sedemikian rupa sehingga 0 u u 0 u untuk semua u padav, 5. Untuk setiap u di V, terdapat suatu objek u di V, yang disebut sebagai negative u, sedemikian rupa sehingga u ( u) ( u) u 0 6. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang objek di V, maka k. u berada di V. 7. k( u v) ku kv 8. ( k l) ku lu 9. k( l. u) ( k. l)( u) 10. l. u u Macam-macam vektor : 1. Ruang vektor matriks 2x2. 2. Ruang vektor dari fungsi bernilai real. 3. Ruang vektor nol. 4. Himpunan yang bukan merupakan ruang vektor. Sifat-sifat vektor : 1. 0u = 0 2. k0 = 0 3. (-1)u = -u 4. Jika ku = 0, maka k=0 atau u=0 7
DAFTAR PUSTAKA Heri Purwanto, Gina Indriani, Erlina Dayanti. 2005. Aljabar Linier. PT Ercontara Rajawali; Jakarta
HASIL DISKUSI TANYA JAWAB 1. Pertanyaan dari ELIN EKAWATI S. (08411.117) Menurut makalah hal. 2 point 6 Jika k adalah sembarang skalar dan uadalah sembarang objek di V, maka k.u berada di V. Bagaimana menurut anda / bagaimana penggambarannya? Jawab: ku adalah matriks 2x2 yang merupakan objek di V. 2. Pertanyaan dari ARLITA ROSYIDA (08411.081) Menurut buku modul hal. 144 Ku = (ku 1,0), 0 (nol). Didapat dari mana? Jawab: Karena 0 (nol) sebagai devinisi operasi ku = (ku 1,0) 3. Pertanyaan dari SUPRIHATIN (08411.265) Menurut modul hal. 147 latihan 4.2 Himpunan semua pasangan bilangan real (u,v) dengan operasi (u,v) + (u,v ) = (u+u,v+v ) dan k(u,v) = (2ku,2kv). Bagaimana penyelesaiannya? Jawab: Dimulai dari pembuktian dari 10 aksioma.» Aksioma 1 u+v = (u 1,u 2 ) + (v 1,v 2 ) = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) = (u 1,u 2 ) + (v 1,v 2 ) = u+v
(Terbukti)» Aksioma 2 v+u = (u 1,u 2 ) + (v 1,v 2 ) (Terbukti) = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 ) = (v 1 +u 1, v 2 +u 2 ) = (v 1,v 2 ) + (u 1,u 2 ) = v+u» Aksioma 3 u+(v+w) = (u+v)+w (Terbukti)» Aksioma 4 0+u = u+0 = u = (u 1,u 2 )+((v 1,v 2 )+ (w 1,w 2)) = (u 1,u 2 )+ (v 1+ w 1, v 2+ w 2) = u 1 +(v 1+ w 1), u 2+( v 2+ w 2) = (u 1 +v 1)+ w 1, (u 2+ v 2)+ w 2 = (u 1 +v 1, u 2+ v 2)+( w 1,w 2) = (u 1,u 2 )+(v 1,v 2 )+ (w 1,w 2) = (u+v)+w 0+u = (0,0) + (u 1,u 2 ) = (0+u 1, 0+u 2 ) = (u 1,u 2 ) = u u+0 = (u 1,u 2 ) + (0,0) = (u 1+ 0, u 2+ 0)
= (u 1,u 2 ) = u (Terbukti)» Aksioma 5 u+(-u) = (-u)+u+0 ambil uϵv sebarang sehingga v = (v 1,v 2 ) terdapat u = (-u 1,-u 2 ) (Terbukti) u+(-u) = (v 1,v 2 ) + (-u 1,-u 2 ) = (u 1 -v 1, u 2 -v 2 ) = (0,0) = 0 (-u)+u = (-u 1,-u 2 ) + (v 1,v 2 ) = (-u 1 +v 1, -u 2 +v 2 ) = (0,0) = 0» Aksioma 6 Ambil u+v sebarang dan KϵR Ku = K(u 1,u 2 ) = (2ku 1, 2ku 2 ) ϵk (Terbukti)» Aksioma 7 k(u+v) = k((u 1,u 2 ) + (v 1,v 2 )) = k(u 1 +v 1, u 2 +v 2 ) = (k(u 1 +v 1, u 2 +v 2 )) = (ku 1 +kv 1, ku 2 +kv 2 )
(Terbukti) = (ku 1,ku 2 ) + (kv 1,kv 2 ) = k(u 1,u 2 ) + k(v 1,v 2 ) = ku+kv» Aksioma 8 (k+l)u = (k+l) (u 1,u 2 ) = (2(k+l)u 1, 2(k+l)u 2 ) = (2ku 1 + 2lu 1, 2ku 2 + 2lu 2 ) = (2ku 1, 2ku 2 + 2lu 1, 2lu 2 ) = k(u 1, u 2) + l(u 1, u 2 ) = ku + lu (Terbukti)» Aksioma 9 (kl)u = (kl) (u 1, u 2 ) = (2(kl)u 1, 2(kl)u 2 ) k(lu) = k(l(u 1, u 2 ) = k(2lu 1, 2lu 2 ) = (2k2lu 1, 2k2lu 2 ) = (4klu 1, 4klu 2 ) (Tidak Terbukti Sama)» Aksioma 10 1u = 1(u 1, u 2 ) = (2u 1, 2u 2 ) u = (u 1, u 2 ) (Tidak Terbukti Sama)