Program Linear PETA STANDAR KOPETENSI MATEMATIKA NON TEKNIK II TINGKAT II SEMESTES SEMESTER STANDAR KOPETENSI G STANDAR KOPETENSI I STANDAR KOPETENSI H STANDAR KOPETENSI J KETERANGAN : SEMESTER Standar Kopetensi G Standar Kopetensi H SEMESTER Standar Kopetensi I Standar Kopetensi J : Meneelesakan Masalah Program Linier : Menerapakan Logika Matematika Dalam Penelesaian Masalah Yang Berkaitan Dengan Pernaaataan Majemuk Dan Pernataan Kuantor : Menerapkan Konsep Barisan Dan Deret Dalam Pemecahan Masalah : Memecahkan Masalah Keuangan Menggunakan Konsep Matematika e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
Standar Kopetensi G Menelesaikan Masalah Program Linier Tingkat 2 ; Semester ; Waktu jam@5 menit ============================================================== A. Membuat Grafik Himpunan Penelesaian Sistem Pertidaksamaan 1. Pengertian Program Linier Program linier adalah suatu cara penelesaian masalah dengan menggunakan konsep pertidaksamaan linier. a. Pertidaksamaan linier dengan ditentukan daerah penelesaian na. Sebelum kita membahas lebih lanjut kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang perstidaksamaan linier dan juga cara menentukan daerah penelsaian ( himpunan penlesaian). Petidasamaan linier adalah kalimat terbuka ang menggunakan tanda <, >,, dan Contoh : 1.Tentukan himpunan penelesaian dari a. < d. > 2 b. 2 e. -1 c. > - Jawab : 1.a. < = e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
b. 2 = 2 c. > - = - d. > 2 = 2 e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
e. -1 = -1 2. Tentukan himpunan penelesaian dari -2 < untuk R Jawab : 2. -2 < untuk R = -2. = b. Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variable ditentukan daerah penelesaian Contoh 1 : Tunjukan himpunan penelesaian ang memenuhi sstem pertidaksamaan 2 + ; ;, untuk, R Jawab : Langkah langkah : Lukislah grafik 2 + dengan cara : i. Tentukan titik potong sumbu dan sumbu dengan table Jika = maka = Jika = maka = Tabel ii. Buatlah garis =, ang merupakan sumbu, derah ang memenuhi adalah daerah di sebelah kanan sumbu. iii.buatlah garis =, ang merupakan sumbu, derah ang memenuhi adalah daerah di atas sumbu. e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
iv.ganbar grafik dalam koordinatkartesius sehingga terlihat himpunan penlesaianna : v. Daerah grafik ang diarsir. Uji titik (, ) maka 2. + maka titik (, ) memenuhi. - - - + + + (,) (,) Contoh 2 : Diketahui sebuah daerah himpunan penelesaian OABC ang digambarkan pada grafik di bawah ini : untuk O(,),A(7,),B(,5),dan C(,7). Tentukan nilai maksimum dari fungsi obektif z = + pada daerah OABC di bawah ini! c B A Jawab : Nilai optimum terletak pada titik titik sudut dari daerah penelesaian, sehingga carilah nilaina untuk setiap titik tersebut : Untuk titik O(,) maka z = Untuk titik A(7,) maka z =.7 + = 21 Untuk titik B(,5) maka z =. + 5 = 17 Untuk titik C(,7) maka z =. + 7 = 7 Jadi nilai maksimum dari + adalah 21 di titik A(7,) e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
B. Menetukan Model Matematika Dari Soal Cerita ( Kalimat Verbal ) Model matematika adalah suatu cara penelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model ang selanjutna diselesaikan dengan pendekatan matematika. Contoh : Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan ang tersedia aitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 2 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 15 gram bahan jenis A dan 5 gram bahan jenis B. Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 5, dan paku II dengan harga Rp 5, maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II ang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum? Jawab : Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas Misalkan : Paku jenis I = dan Paku jenis II = Tabel Barang Bahan A Bahan B Paku jenis I 2 gram 75 gram Paku jenis II 15 gram 5 gram Jumlah 5.5 gram 2. gram Berdasarkan table sebelumna didapat persamaan sebagai berikut : 2 + 15 5.5 75 + 5 2. Sedangkan fungsi objektifna adalah z = 5 + 5 Kita sederhanakan dulu persamaan diatas 2 + 15 5.5 + 11 75 + 5 2. + 2 8 Mencari dearah penelesaian untuk sstem pertidaksamaan di atas + 11 55 2 11 + 2 8 8 e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
Titik potong garis + = 11 dan + 2 = 8 adalah + = 11 2 8 + = 22 + 2 = 8 9 + = 2 - = -2 = 2 untuk = 2 + 2 = 8.2 + 2 = 8 2 = 8 = 2 = 1 maka titik potong (2,1) 2 Gambar grafik fungsi penelesaianna C(,11/) B(2,1) + = 11 A(8/,) + 2 = 8 Daerah himpunan penelesaian adalah OABC, sedangkan titik titik optimumna adalah O(,), A(8/,), B(2,1), dan C(,11/) Nilai fungsi obekna adalah : Untuk O(,) z = 5. + 5. = UntukA(8/,) z = 5.8/ + 5. = 1. UntukB(2,1) z = 5.2 + 5.1 = 1.5 UntukC(,11/ z = 5. + 5.11/ = 12. Jadi agar mendapat penghasilan maksimum aitu Rp 1.5, maka pengusaha harus membuat 2 buah paku I dan 1 buah paku II. C. Menentukan Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier. D. Garis Selidik dengan Prsamaan a + b = k Untuk menentukan nilai optimum,selain dengan mencari titik titik ang koordinat koordinatna memenuhi sarat ang diberikan, dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis garis sejajar itu mempunai persamaan a + b = k,dengan k R dan a + b merupakan bentuk obektif. Kerena garis garis ang sejajar itu di gunakan untuk menelidiki nilai optimum,maka garis garis itu disebut garis selidik.agar himpunan garis garis sejajar a + b = k mudah dilukis, maka mulailah dengan melukis garis ang melalui tttik pangkal, aitu e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
jika k =. Kemudian, garis garis a + b = k untuk k = 1,2,,, dilukis dengan penggaris. Contoh : Tentukan nilai maksimum dari + 2 ang memenuhi : + 5 ; ; Jawab ; +2 = k 2 maka. + 2.5 = 1 +2 = k 2 maka.5 + 2. = 15 Jadi nilai maksimum adalah 15 + =5 + 2 = k + 2 = k 1 + 2 = k 2 A. Latihan 1 : 1. Hitunglah nilai maksimum dari daerah ang diarsir pada gambar ini merupakan daerah penelesaian sstem prtidaksamaan linear. Dimana fungsi obektif z = + e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
5 2 1 (1,) (2,2) (,5) (5,) (,) 1 2 5 2. Tentukan sstem pertidaksamaan daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini. Adalah himpunan penelesaian dari sstem pertidaksamaan.. 8 2 2 8 1 12 2 (,). Tentukan nilai minimum dengan fungsi obektif z = 2 + 5 pada daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini.. 2.Tentukan himpunan penelesaian untuk dan R dari sistem pertidaksamaan berikut : 2 + 5 < 2 ; ; e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
5. Tentukan himpunan penelesaian untuk dan R dari sstem Pertidaksamaan berikut : + ; + 8 2 ; ;. Tentukan himpunan penelesaian untuk dan R dari sstem Pertidaksamaan berikut : + 2 ; + 2 2 ; ; 7.Tentukan nilai minimum fungsi obektif z = 2 + dari sstem pertidaksamaan : 2 + 11 ; + 2 1 ; ; untuk, R 8.Tentukan nilai maksimum fungsi obektif z = 2 + dari sstem pertidaksamaan : + 1 ; + 2 2 ; ; untuk, R 9. Sebuah kereta api tiap gerbong penumpang terdiri dari kelas I dan II ang memuat penumpang. Setaip penumpang kelas I berhak membawa barang 2 kg dan penumpang kelas II hana 8 kg,tempat bagasu memiliki daa muat maksimum.8 kg. Jika penumang kelas I banakna orang dan penumpang kelas II banakna orang,ubahlah kedalam kalimat matematikana! 1. Seorang penjahit akan membuat dua model pakaian. Untuk model I, waktu ang diperlukan memotong kain 2 jam dan untuk menjahit jam. Untuk model II, Waktu an diperlukan untuk memotong jam dan menjahit 2 jam. Waktu ang disdiakan untuk memotong tidak lebih dari 2 jam dan untuk menjahit tidak lebih dari 1 jam. Jika pakaian model I seharga Rp., dan model II seharga Rp 1.,,berapa pakian harus dibuat agar pendapatan maksimum? B. Latihan 2 Pilihlah jawaban ang paling tepat dengan memberi tand silang pada huruf a, b, c, d, atau e! 1. Dari diagram dibawah ini daerah ang diarsir merupakan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan :.. 2 a. + ; 2; e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
b. - ; 2; c. + ; 2; d. + ; 2; e. - ; 2; 2. Dari diagram dibawah ini daerah ang diarsir merupakan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan :.. a. 2 + ; ; ; b. 2 - ; ; ; c. 2 + ; ; ; d. + 2 ; ; ; e. + 2 ; ; ; 2. Dari diagram dibawah ini daerah ang diarsir merupakan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan :.. a. 2 + ; ; ; b. 2 - ; ; ; c. 2 + ; ; ; d. + 2 ; ; ; e. + 2 ; ; ;. Dari diagram dibawah ini daerah ang diarsir merupakan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan :.. 2 8 72 a. + 8; + 72; ; b. + 8; + 72; ; c. + 8; + 72; ; d. + 8; + 72; ; e. + 8; + 72; ; e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
5. Seorang penjual buah ang menggunakan gerobak mempuni modal Rp 1..,. Ia telah membeli jeruk denga harga Rp., per kg dan pisang Rp 1., per kg. Jika banak jeruk ang dibeli kg, sedangkan muatan gerobak tidak dapat melebihi g, maka sstem pertidaksamaan ang memenuhi permasalahan diatas adalah.. a. 5 + 25; + ; ; b. 5 + 125; + ; ; c. 5 + 2 125; + ; ; d. 5 + 2 12; + ; ; e. 5 + 75; + ; ;. Daerah ang diarsir pada diagram dibawah ini merupakan himpunan penelesaian dari suatu pertidaksamaan. Nilai maksimum untuk T = 5 + dari daerah penelesaian tersebut adalah. 8 a. b. 28 c. 22 d. 2 e. 1 7. Daerah ang merupakan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan +2 12; +2 8; 8; adalah daerah ang di tunjukan oleh II III I IV V 8 a. I b. II c. III d. IV e. V 8. Daerah ang merupakan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan 5 +2 2; 7 +2 8; 2 + 5 2; ; adalah daerah ang di tunjukan oleh e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
1 I 7 II V III IV 1 a. I b. II c. III d. IV e. V 9. Nilai minimum fungsi obektif (, ) = + dari sstem pertidaksamaan 2 + 1; + 2 1; ; adalah a. 15 b. 22 c. 25 d. e. 1. Tempat parker seluas m 2,dapat menampung tidak lebih dari kendaraan. Untuk parker sebuah sedan diperlukan m 2 dan sebuah bus 2 m 2. Jika untuk sedan dinatakan dalam dan bus dinatakan dalam, maka model matematika dari pernataan diatas adalah. a. + ; + ; ; b. + ; + < ; ; c. + ; + ; ; d. + < ; + ; ; e. + < ; + ; ; 11. Daerah ang diarsir pada diagram dibawah ini merupakan himpunan penelesaian dari suatu pertidaksamaan. Nilai maksimum untuk fungsi obektif f (,) = + 8 tersebut adalah (,5) (,7) (5,) (7,) (2,1) a. b. c. 7 d. 78 e. 8 e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
12. Daerah penelesaian dari pertidaksamaan 2 + ; ;, untuk, R adalah. a. d. b. - c. - e. - - 1. Seorang ibu penjual jamu tradisional ingin membuat porsi jamu sebanak banakna dari 2 jenis jamu A dan B dengan ketentuan seperti dibawah ini : Jenis Jamu Ramuan I Ramuan II A B 2 g 1 g 25 g 5 g Tersedia kg 1, kg Banakna porsi ang optimal adalah... a. 27 b. 2 c. d. 2 e. 28 1. Nilai maksimum dari 5 + ang memenuhi dari sstem pertidaksamaan 2 + 8; + 9; ; adalah. a. 1 b. 18 c. 19 d. 27 e. 15. Titik titik (,), (,5), (5,), (,) dan (,) adalah titik titik sudut suatu daerah himpunan penelesaian program linier. Nilai optimum bentuk 1(+2) adalah... a. Maksimum 18, minimum a. Maksimum 19, minimum a. Maksimum 21, minimum a. Maksimum 19, minimum 8 a. Maksimum 8, minimum 1. Perhatikan gambar berikut ini! e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
1 1 Daerah ang diarsir pad gambar di atas merupakan daerah penelesaian dari suatu sstem pertidak samaan, Nilai minimum ang dipenuhi fungsi obektif : f (, ) = + adalah a. 2 d. 2 1 b. e. c. 1 17. Perhatikan gambar berikut ini! 5 Nilai maksimum dari fungsi f (, ) = 7 + 2 a. 5 d. 28 b. 1 e. 8 c. 18. Nilai maksimum dari 2 + ang memenuhi sstem pertidaksamaan : + 2 1 1 + 7, R adalah, a. 1 d. 2 b. 15 e. 21 e-mail : jon_ano@ahoo.co.id
c. 17 19. Jika diketahui bahwa P = + dan Q = 5 + maka nilai maksimum dari P dan Q pada sstem pertidaksamaan,, + 2 12 dan 2 + 12 adalah : a. 8 dan d. dan 2 b. dan e. 8 dan 2 c. dan 2. Apabila, R terletak pada himpunan penelesaian sstem pertidak - Samaan,, + 8, 2 + 5 1 maka nilai maksimum dari Z = + 2 pada himpunan penelesaian tersebut adalah a. 1 d. b. 2 e. 5 c. e-mail : jon_ano@ahoo.co.id