MATERI STATISTIK II Teori Probabilitas Variabel Acak dan Nilai Harapan Distribusi Teoritis Distribusi Sampling Pengujian Hipotesis Regresi dan Korelasi Linear Sederhana Statistik Nonparametrik
Daftar Pustaka Dayan, Anto ( 1998 ), Pengantar Metode Statistik, Jilid 2 LP3ES, Jakarta Mendenhell, W, J.E. Reinmuth and R.J. Beaver, (1993), Statistic for Management and Economics, Duxbury Press Belmount, California Supranto, J. (1994), Statistik: Teori dan Aplikasi, jilid 2, Penerbit Erlangga, Jakarta Walpole, R.E. ( 1998 ), Pengantar Statistika, Edisi 3, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta Ir. M. Iqbal Hasan, M.M, ( 2001 ) Pokok-Pokok materi Statistik 2, Edisi kedua, Penerbit Bumi Aksara
PERMUTASI DAN KOMBINASI A. Permutasi Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n 1 cara, kejadian kedua dalam n 2 cara, dan seterusnya, maka n 1 X n 2 X X n k cara. Faktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya. Faktorial dilambangkan dengan!
Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu. 1. Permutasi dari n objek tanpa pengembalian : - Permutasi dari n objek seluruhnya : npn = n! - Permutasi sebanyak r dari n objek : npr = n!/(n-r)! dimana (n>=r) - Permutasi melingkar : (n 1)! 2. Permutasi dari n objek dengan pengembalian npr = n r dimana r <= n 3. Permutasi dari n objek yang sama : npn 1, n 2, n 3, = n! / (n 1! X n 2! X n 3! X ) dengan n 1 + n 2 + n 3, + = n
B. Kombinasi Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut 1. Kombinasi r dari n objek yang berbeda : c n r = n! / ( r! ( n-r )! n >= r 2. Hubungan Permutasi dengan Kombinasi berbeda : P n r = r! c n r atau c n r = P n r / r!
C. Probabilitas Pengertian probabilitas : suatu indeks atau nilai yg digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yg bersifat random/acak. 1. Pendekatan klasik : hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin P(A) = X / n dimana : P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A X = peristiwa yang dimaksud n = banyaknya peristiwa yg mungkin terjadi
2. Pendekatan frekwensi relatif : proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang jika kondisi stabil atau frekwensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan P(X i ) = limit f i / n dimana : n ~ P(X i ) = probabilitas peristiwa i f i = frekwensi peristiwa i n = banyaknya peristiwa yg bersangkutan 3. Pendekatan subjektif : tingkat kepercayaan individu yang didasarkan pada peristiwa masa lalu yang berupa terkaan saja
1. Percobaan adalah proses pelaksanaan pengukuran atau observasi yg bersangkutan, misalnya pelemparan 2 buah uang logam 2. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yg mungkin pada suatu percobaan, misalnya {A,G}, {A,A},{G,G}, {G,A} 3. Titik sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel, misalnya G (gambar) dan A (angka) 4. Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel pada suatu percobaan, atau hasil dari suatu percobaan, misalnya A dengan A, A dengan G dan G dengan G
Probabilitas beberapa peristiwa 1. Peristiwa saling lepas (mutually exclusive) : Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan, disebut juga peristiwa saling asing. P(A B) atau P(A atau B) = P(A) + P(B)
2. Peristiwa tidak saling lepas (nonexclusive) : Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu dapat terjadi pada saat yang bersamaan, disebut juga peristiwa bersama. P(A atau B) = P(A) + P(B) P(A dan B) P(A B) = P(A) + P(B) P ( A B ) 3 peristiwa A, B, C tidak saling lepas : P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P ( A B ) P ( A C ) P ( B C ) + P ( A B C )
3. Peristiwa saling bebas (independen) : Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling bebas jika terjadinya peristiwa yg satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yg lain. a. Probabilitas marginal atau tak bersyarat, adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa yg tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain, jadi tidak saling mempengaruhi b. Probabilitas gabungan adalah probabilitas terjadinya dua peristiwa atau lebih secara berurutan dan peristiwa peristiwa tersebut tidak saling mempengaruhi P(Adan B) = P ( A B ) = P(A) X P(B) P(A B C) = P(A) X P(B) X P(C) c. Probabilitas bersyarat adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dulu. P(B/A) = P(B)
3. Peristiwa tidak saling bebas (dependen) : Dua peristiwa / lebih disebut tdk saling bebas jika peristiwa yg satu dipengaruhi terjadinya peristiwa yg lain a. Probabilitas bersyarat adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dgn syarat peristiwa lain harus terjadi dulu & saling mempengaruhi : P(B/A) = P(B A) / P(A) b. Probabilitas gabungan adalah probabilitas terjadinya dua peristiwa atau lebih secara berurutan/bersamaan & peristiwa peristiwa tersebut saling mempengaruhi P(Adan B) = P ( A B ) = P(A) X P(B/A) P(A B C) = P(A) X P(B/A) X P(C/A B)
c. Probabilitas marginal adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain tetapi peristiwa tersebut saling mempengaruhi : P(A) = ΣP(B A) ΣP(A i ) X P(B/A i ), i = 1, 2, 3, Probabilitas Beberapa Peristiwa dengan Pendekatan Kombinasi : n! C n r =, r =< n r! ( n r )!
Peristiwa Komplementer : dua peristiwa disebut peristiwa komplementer apabila peristiwa yg satu melengkapi peristiwa lainnya atau peristiwa yg saling melengkapi. P(A) + P(B) = 1 Atau P(A) = 1 P(B) atau P(B) = 1- P(A)
Harapan matematika (ekspektasi matematis ) / nilai harapan : jumlah dari semua hasil perkalian antara nilai variabel random dengan probabilitas yg bersesuaian dengan nilai tersebut. E(X) = ΣX. P(X) E(X)= x 1.P(x 1 ) + x 2.P(x 2 ) + + x n. P(x n )
Distribusi Teoritis Variabel random (variabel acak) : variabel yg nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau varibel yg dapat bernilai numerik yg didefinisikan dalam suatu ruang sampel. 1. Variabel random diskrit : tidak mengambil seluruh nilai yg ada pada suatu interval atau variabel yg hanya mempunyai nilai tertentu, contohnya angka yg muncul pada pelemparan dadu, jumlah anak dalam suatu sebuah keluarga 2. Variabel random kontinu : mengambil seluruh nilai yg ada pada suatu interval atau variabel yg dapat mempunyai nilai-nilai pada suatu interval tertentu, contohnya tinggi badan mahasiswa dan usia orang
Pengertian Distribusi Teoritis Suatu daftar yang disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa bersangkutan dengan perhitungan (matematis). Contoh hasil perhitungan pelemparan mata uang logam sebanyak 4 kali : X P(X) 0 0,0625 1 0,25 2 0,375 3 0,25 4 0,0625 Jumlah 1,00
Jenis-jenis Distribusi Teoritis a. Distribusi teoritis diskrit adalah distribusi dari semua nilai variabel random diskrit dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. Suatu fungsi f dikatakan merupakan fungsi probabilitas/distribusi diskrit bila : 1. f(x) 0, x Є R 2. f(x) = 1 3. P(X=x) = f(x) Distribusi yang termasuk ke dalam distribusi diskrit antara lain : - Distribusi binomial - Distribusi hipergeometrik - Distribusi Poisson
b. Distribusi teoritis kontinu adalah distribusi dari semua nilai variabel random kontinu dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. Suatu fungsi f dikatakan merupakan fungsi probabilitas/distribusi kontinu (fungsi densitas) bila : 1. f(x) 0, x Є R x 2. -~~ f(x)dx = 1 3. P(a<X<b) = ab f(x)dx Distribusi yang termasuk ke dalam distribusi kontinu antara lain : - Distribusi x 2 - Distribusi F - Distribusi t
Nilai Harapan/Rata-rata Hitung Distribusi Teoritis Merupakan nilai rata-rata hitung tertimbang jangka panjang dari distribusi teoritis yang disimbolkan dengan E(X) atau µ. 1. Untuk distribusi probabilitas diskrit : E(X)= µ = Σ x. f(x) atau Σ ( x. P(x) ) 2. Untuk distribusi probabilitas kontinu : E(X)= µ = -~~ x. f(x)dx
Varians dan Simpangan Baku Distribusi Teoritis Varians dan simpangan baku dari distribusi teoritis/probabilitas dapat dihitung dengan menggunakan nilai harapan : Atau Var(X)= σ 2 = E(X) 2 (E(X)) 2 Var(X)= σ 2 = Σ((x-µ) 2. P(x)) σ = Var(X)
Distribusi Binomial Disebut juga distribusi Bernoulli (krn ditemukan James Bernoulli) merupakan distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari 2 kejadian yang berkomplemen, seperti sukses gagal, ya tidak, hidup-mati, kepala-ekor. Ciri-ciri distribusi ini : 1. Setiap percobaan memiliki 2 peristiwa seperti ya-tidak 2. Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan 3. Percobaannya bersifat independen : peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi/di-pengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya 4. Jumlah atau banyaknya percobaan merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu
Probabilitas binomial suatu peristiwa P(X=x) = b(x;n,p) = C xn. p x. q n-x x = banyaknya peristiwa sukses n = banyaknya percobaan p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 p = probabilitas peristiwa gagal Probabilitas binomial kumulatif n PBK = Σ C xn. p x. q n-x x=0 n PBK = Σ P(X=x) x=0 PBK = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) +.. + P(X=n)
Rata-rata : n E(X)= µ = Σ x (C xn. p x. q n-x ) x=0 Varians : σ 2 n = Σ x 2 (C xn. p x. q n-x ) - µ 2 x=0 Simpangan Baku : σ = Σ x 2 (C xn. p x. q n-x ) - µ 2 Secara singkat nilai rata-rata, varians dan simpangan baku dapat dihitung dengan rumus : 1. rata-rata ( µ ) = n.p 2. varians ( σ 2 ) = n. p. q 3. simpangan baku ( σ ) = n. p. q
Distribusi Hipergeometrik Juga termasuk distribusi teoritis yang menggunakan varibel diskrit. Perbedaan utama dengan distribusi Binomial adalah pengambilan sampelnya tanpa pengembalian. P(X=x) = h(x; N, n, k) = C xk C C n N N-k n-x Dimana : N = ukuran populasi n = ukuran sampel k = banyaknya unsur yang sama pada populasi x = banyaknya peristiwa sukses
Distribusi Poisson Distribusi ini jarang terjadi, merupakan distribusi nilainilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di daerah tertentu. Ciri-ciri distribusi ini : 1. Banyaknya hasil percobaan yg terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yg terjadi pada interval waktu atau daerah lain yg terpisah 2. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yg singkat atau dalam suatu daerah yg kecil, sebanding dengan panjang interval atau besarnya tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya percobaan yg terjadi pada interval waktu atau daerah lain yg terpisah 3. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yg terjadi dalam interval waktu yg singkat atau dalam daerah yg kecil dapat diabaikan
Contoh : Peristiwa datangnya kendaraan yg lewat dalam suatu interval waktu di suatu ruas jalan. Dari peristiwa tersebut dapat diamati : 1. Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan dapat dihitung berdasarkan data masa lalu 2. Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan per satuan waktu adalah konstan 3. Banyaknya kedatangan kendaraan dalam suatu interval waktu tertentu merupakan peristiwa independen (bebas) 4. Probabilitas kedatangan kendaraan-kendaraan itu dalam suatu interval waktu adalah sangat kecil, dan dapat dikatakan mendekati nol
Distribusi Poisson digunakan dalam hal berikut: 1. Menghitung probabilitas terjadinya perisiwa menurut satuan waktu, ruang/isi, luas, panjang tertentu, seperti menghitung probabilitas dari : a) Banyaknya penggunaan telepon/menit, banyaknya kendaraan yg lewat/10 menit di suatu ruas jalan b) Banyaknya bakteri dalam setetes atau seliter cairan c) Banyaknya kesalahan ketik perhalaman dari sebuah buku d) Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol untuk suatu periode tertentu 2. Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n 30) dan p kecil (p<0,1)
Rumus probabilitas Poisson suatu peristiwa: P(X=x) = λ x e -λ x! Dimana : λ= rata-rata terjadinya suatu peristiwa e = bilangan alam/natural = 2,71828 Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yg mengikuti proses Poisson dirumuskan : P(X=x) = e -λt (λt) x Dimana : λ= tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktu t= banyaknya satuan waktu X= banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu x!
Probabilitas Poisson Kumulatif = probabilitas dari peristiwa Poisson yang lebih dari satu. λ x e P(X=x) = Σ n -λ X=0 x! PPK = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + + P(X=n) Distribusi Poisson sebagai pendekatan distribusi binomial : P(X=x) = (np) x. e -np x!
Distribusi Normal Merupakan salah satu distribusi variabel kontinu, disebut juga Distribusi Gauss sesuai nama penemunya Karl Gauss. f(x) = 1 e -½(x-µ)2 / σ σ 2π Distribusi normal merupakan distribusi yang simetris dan berbentuk lonceng. 95,45% 68,27% 99,73% -3σ -2σ -1σ µ +1σ +2σ +3σ
Kurva tersebut dipengaruhi oleh rata-rata (µ) dan simpangan baku (σ), jika rata-rata dan simpangan baku besar, maka n kurvanya makin datar (platikurtik), sebaliknya jika kecil kurvanya makin tinggi (leptokurtik). Sifat-sifat distribusi normal : 1. Bentuk lonceng dengan satu puncak (unimodal) 2. Rata-rata terletak di tengah sama dengan modus dan median 3. Ujung-ujung sisi kurva sejajar dengan sumbu X dan tidak akan pernah memotong sumbu tersebut Jarak ±1σ = 68,26% Jarak ±2σ = 95,46% Jarak ±3σ = 99,74%
Distribusi normal standar mempunyai rata-rata (µ) = 0 dan simpangan baku (σ) = 1, sehingga : f(z) = n 1 e -½z 2π Sifat-sifatnya : - Kurva simetris pada sumbu Y -Mempunyai titik tertinggi (0, ( 2π) -1 ), dengan ( 2π) -1 = 0,4 -Cekung kebawah mulai X= -1 sampai X=1, cekung ke atas untuk nilai yang lain -Luas seluruh daerah di bawah kurva dan di atas sumbu X = 1 -Untuk mengubah distribusi normal menjadi yang standar, gunakan nilai Z ( angka yang menyatakan penyimpangan suatu nilai random (X) dari rata-rata dihitung dalam satuan simpangan baku : dimana Z = (X - µ ) / σ 2
Penggunaan Kurva Normal Standar Untuk menentukan luas daerah di bawah kurva normal standar, telah dibuat n tabel luas kurva normal standar dengan nilai Z tertentu. Dengan tabel tersebut luas dari distribusi standar dapat dicari. Karena seluruh luas kurva adalah 1 dan kurva simetris terhadap µ=0, maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri maupun ke kanan adalah 0,5 yang diartikan P(Z>0)= 0,5. Luas daerah kurva normal pada interval tertentu dapat ditulis P(0<Z<b). Contoh : P(0<Z<2,13) maka : 2,13 = 2,1 + 0,03 Dengan tabel dicari 2,1 pada kolom Z (kolom paling kiri) dan 0,03 pada baris pertama (baris paling atas) Pertemuan baris 2,1 dan kolom 0,03 merupakan nilai Z dari P(0<Z<2,13), yaitu 0,4834
Menentukan luas kurva normal yang bukan baku : n 1. Menghitung nilai Z sampai 2 desimal 2. Menggambarkan kurva normal standarnya 3. Meletakkan nilai Z pada sumbu X dan tarik garis vertikal memotong kurva 4. Nilai daftar distribusi normal standar merupakan luas daerah antara garis tersebut dengan garis vertikal titik nol 5. Cari luas pda tabel sesuai tempat nilai Z
Rata-rata, Varians & Simpangan Baku Distribusi Normal : n 1. Rata-rata : 2. Varians : ΣX µ = n Σ(X-µ) σ 2 = 2 n 3. Simpangan baku : σ = (Σ(X-µ) 2 ) / n
Hubungan Distribusi Normal dengan Distribusi Binomial : Distribusi binomial akan mendekati distribusi normal jika nilai p sama dengan ½ dan nilai n besar. Tetapi dalam prakteknya aturan ini tidak mutlak diperhatikan. Penggunaan distribusi normal untuk menyelesaikan kasus distribusi binomial dapat dilakukan dengan menggunakan aturan/penyesuaian berupa faktor koreksi yaitu menambahkan dan mengurangkan variabel X dengan 0,5 sebagai berikut : batas bawah (kiri) variabel X dikurangi 0,5 dan batas atas (kanan) ditambah 0,5, sehingga Z i = n (X i ± 0,5) - µ σ i = 1, 2 µ = n. p σ = n. p. q
Distribusi Sampling 1.Populasi : keseluruhan dari semua objek (individu) yang memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang akan diteliti. Objeknya disebutnya unit analisis atau elemen populasi 2.Sampel : bagian dari populasi yang diambil melalui cara-cara tertentu yg juga memiliki karakteristik, jelas dan lengkap yang dianggap mewakili populasi. Objeknya disebutnya unit analisis. Metode Sampling adalah cara pengumpulan data yang hanya mengambil sebagian elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi. Sensus adalah cara pengumpulan data yang mengambil setiap elemen populasi atau karakteristik yg ada dalam populasi
Besaran Lambang Parameter (Populasi) Lambang Statistik (Sampel) Rata-rata µ Varians σ 2 S 2 Simpangan Baku σ S Jumlah Observasi N n Proporsi P p
Alasan dipilihnya sampling antara lain : 1. Objek penelitian yg homogen : objek 100% sama, sehingga tak perlu dilakukan sensus untuk memperoleh data yg diperlukan, contohnya darah dlm tubuh manusia, kadar air. 2. Objek penelitian yg mudah rusak : sensus tak mungkin dilakukan sebab akan merusak objek yg akan diteliti. Contohnya QC terhadap makanan. 3. Penghematan biaya dan waktu : karena sampling objeknya lebih kecil, maka biaya yg dikeluarkan juga kecil dan waktu yg dibutuhkan lebih pendek. 4. Masalah ketelitian : semakin banyak objek, semakin kurang ketelitiannya 5. Ukuran populasi : jumlah populasi yg sangat besar, bahkan tak berhingga tak mungkin dilakukan sensus, 6. Faktor ekonomis : hasil penelitian sepadan dengan biaya, waktu dan tenaga yg dikeluarkan. Metode sampling pada dasarnya dibedakan atas 2 macam, yaitu sampling random dan sampling nonrandom.
Sampling random / probabilitas : semua objek atau elemen populasi memiliki kesempatan yg sama untuk dipilih sebagai sampel. Jadi bersifat objektif. 1.Sampling random sederhana : tiap sampel yg berukuran sama memiliki probabilitas sama untuk terpilih dari populasi. Sampling ini dilakukan jika : elemen-elemen populasinya homogen dan atau hanya diketahui identitas dari satuan individu (elemen) tanpa adanya keterangan derajat keseragaman, pembagian dalam golongangolongan tak diketahui dsbnya. Sampling random / probabilitas a) Metode undian yg prosesnya dilakukan dengan undian sebagai berikut : memberikan no urut pada semua elemen populasi pada lembar kertas kecil, menggulungnya, memasukkan ke dalam kotak, mengocok dan mengambil satu persatu b) Metode tabel random yg prosesnya dilakukan dgn menggunakan tabel bilangan random
2.Sampling berlapis (stratified) : populasinya dibagi dlm kelompok-kelompok yg disebut strata. Dipilih jika elemen populasi heterogen, ada kreteria dasar stratifikasi, adanya data pendahuluan dari data populasi mengenai kreteria dalam stratafikasi dan dapat diketahui dgn tepat jumlah satuan-satuan individu dari setiap strata 3.Sampling sistematis : elemen-elemen yg akan diteliti diurutkan tertentu dan telah disusun secara teratur. Dilakukan jika nama dari elemen terdapat dalam suatu daftar sehingga dapat dilakukan penomoran dan populasi memiliki pola berurutan seperti rumah dlm suatu kompleks 4.Sampling kelompok (cluster) : populasi dibagi menjadi beberapa kelompok dgn aturan tertentu. Caranya bagi populasi ke sub subkelompok, pilih secara random 1 atau lebih subkelompok dan tentukan sampel dari subkelompok yg terpilih
Sampling nonrandom/nonprobabilitas : semua objek atau elemen populasi tidak memiliki kesempatan yg sama untuk dipilih sebagai sampel. Jadi bersifat subjektif karena berdasarkan aspek pribadi seseorang 1.Sampling kuota : merincikan lebih dahulu segala sesuatu yg berhubungan dgn pengambilan sampel, petugas hanya mengumpulkan data mengenai sesuatu yg telah dirinci dan menentukan unit samplingnya juga 2.Sampling pertimbangan: pengambilan sampelnya ditentukan peneliti berdasarkan pertimbangan atau kebijaksanaan, misalnya untuk studi kasus. 3.Sampling seadanya : pengambilan sampelnya dilakukan seadanya atau berdasarkan kemudahan mendapatkan data, jadi mengabaikan faktor representatif.
Teknik Penentuan Jumlah Sampel 1.Untuk pengambilan sampel dgn pengembalian : elemen sampel yg terambil dikembalikan lagi ke populasi sehingga ada kemungkinan terambil kembali. N m Secara teoritis populasi berhingga yg dilakukan sampling dgn pengembalian dianggap populasi tak berhingga karena populasi tak akan habis 2.Untuk Pengambilan sampel tanpa pengembalian : elemen sampel yg terambil tidak dikembalikan lagi ken! populasi. C N n = n!( N n)! N = jumlah populasi n = jumlah sampel
Distribusi Sampling adalah distribusi dari besaran-besaran statistik, seperti rata-rata, simpangan baku, proporsi (persentasi) yg mungkin muncul dari sampel-sampel. Distribusi dari rata-rata sampel disebut distribusi sampling rata-rata atau distribusi ratarata sampel, distribusi dari proporsi sampel disebut distribusi sampling proporsi atau distribusi proporsi sampel dan sebagainya. JENIS-JENIS DISTRIBUSI SAMPLING 1.Distribusi Sampling Rata-rata (distribusi ratarata sampel) adalah distribusi dari besaran ratarata yg muncul dari sampel-sampel. a.pemilihan sampel dari populasi terbatas Bila populasi terbatas yg berukuran N dan berdistribusi normal dgn besaran-besaran statistik dgn sampel random berukuran n, mempunyai distribusi normal dgngenrawan rata-rata Hoendarto dan simpangan baku :
1.Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian n/n >5% : σ N n µ x = µ σ = x n N 1 2.Untuk pengambilan sampel pengembalian n/n 5% : µ x = µ σ x b.pemilihan sampel dari populasi tak terbatas Jika populasi jumlahnya tak berhingga dan didistribusikan secara normal dgn rata-rata µ dan simpangan baku σ, maka rata-rata sampel X akan berlaku : σ σ = µ x = µ dan x = n σ n
b.daftar distribusi normal untuk distribusi sampling rata-rata Penggunaan daftar distribusi normal untuk distribusi sampling rata-rata dapat digunakan rumus : χ µ Z = σ χ 1.Untuk populasi terbatas atau n/n >5% : χ µ χ µ Z = atau Z = σ σ N n χ 2.Untuk pengambilan sampel pengembalian n/n 5% : χ µ χ µ Z = atau Z = σ σ χ n N n 1
Teori Limit Sentral Yaitu normalitas dari distribusi sampling yg dinyatakan sebagai berikut : 1.Jika populasi cukup besar dan berdistribusi secara normal maka distribusi sampling rataratanya akan normal. 2.Jika distribusi tidak normal maka distribusi sampling rata-ratanya akan mendekati normal, bila jumlag sampel cukup besar (n 30) 3.Distribusi normal dari rata-rata sampel memiliki rata-rata yg sama dengan rata-rata harapan E(X) dan simpangan baku σ x. Ini dapat dihitung dari rata-rata populasi (µ) dan simpangan baku populasi (σ).
Distribusi Sampling Proporsi Yaitu distribusi dari proporsi (persentasi) yg diperoleh dari semua sampel sama besar dari satu proporsi. Distribusi ini digunakan untuk perbandingan antara 2 hal yg berkomplemen (peristiwa binomial). Proporsi dari populasi dinyatakan dgn P=X/N dan proporsi untuk sampel dinyatakan dgn p=x/n. Pada distribusi sampling proporsi berlaku : 1. Untuk pengambilan sampel dgn pengembalian atau jika perbandinganp populasi (1 P) dan PQ sampel n/n 5% : µ p = p σ p = = n n 2. Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian atau jika perbandinganp (1 populasi P) dan N nsampel PQn/N N >5% n : µ p = p σ p = = = n N 1 n N 1
3. Daftar distribusi normal untuk distribusi sampling dapat ditentukan sebagai berikut : p P a. Jika n besar, maka nilai Z adalah Z = σ p b. Jika n sangat kecil, maka nilai Z adalah 1 Distribusi Sampling yang Lain a.distribusi sampling beda dua rata-rata yaitu distribusi dari perbedaan dua besaran rata-rata yg muncul dari sampel-sampel dua populasi. Misalkan dua populasi normal N 1 dan N 2, maka : Rata-rata : Simpangan baku : = µ µ µ χ 1 χ 2 1 2 σ Z 2 σ = 1 + χ χ 1 1 2 n n p ± = 2n σ σ 2 2 2 p P
Untuk n1 dan n2 yg lebih besar dari 30, distribusi sampling beda rata-rata akan mendekati distribusi normal, dgn rumus Z-nya : ( χ1 χ 2) ( µ 1 µ 2) Z = σ χ χ 1 2 b.distribusi sampling beda dua proporsi yaitu distribusi dari perbedaan dua besaran proporsi yg muncul dari sampel dua populasi. Misalkan ada dua populasi N1 dan N2 (2 populasi binomial) yg diambil sampel random n1 dan n2 dgn P1 dan P2, maka beda antara kedua sampel proporsi (p1-p2) membentuk distribusi sampling beda proporsi. µ Rata-rata : p1 p = P 2 1 P2 Simpangan baku : σ p p = P (1 P) P (1 P ) 1 1 2 2 1 2 n n 1 + 2
Untuk n1 dan n2 yg lebih besar dari 30, distribusi sampling beda proporsi akan mendekati distribusi normal, dgn rumus Z-nya : Catatan : 2 1 ) ( ) ( 2 1 2 1 p p P P p p Z = σ 2 2 1 1 2 1 n X n X p p =
Pengujian Hipotesis Hipotesis adalah suatu pernyataan yg masih lemah kebenaran dan perlu dibuktikan, atau dugaan yg sifatnya masih sementara. Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yg sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Hipotesis statistik dapat berbentuk suatu variabel seperti binomial, Poisson dan normal atau nlai suatu parameter seprti rata-rata, varians, simpangan baku dan proporsi. Hipotesis perlu diuji karena itu harus berbentuk kuantitas untuk dapat diterima atau ditolak. Keputusan pengujian hipotesis bisa salah atau benar, sehingga menimbulkan resiko. Besar kecilnya resiko dinyatakan dalam bentuk probabilitas. Pengujian hipotesis merupakan bagian terpenting dari statistik inferensi (induktif), karena berdasarkan hasil uji dapat dibuat keputusan (pemecahan) persoalan sebagai dasar penelitian lebih lanjut dapat diselesaikan.
Prosedur Pengujian Hipotesis Prosedur (langkah-langkah yg digunakan dlm menyelesaikan) pengujian hipotesis Sebagai berikut: 1. Menentukan formulasi hipotesis: a.hipotesis nol (nihil) Disimbolkan dgn H 0, yaitu hipotesis yg dirumuskan sbg suatu pernyataan yg akan diuji. Disebut nol karena tidak memiliki perbedaan atau perbedaannya nol dgn hipotesis sebenarnya. b.hipotesis alternatif (tandingan) Disimbolkan dgn H 1 atau H a, yaitu hipotesis yg dirumuskan sbg lawan (tandingan) dari hipotesis nol. Terdapat 3 keadaan dalam penyusunan hipotesis ini : - H 1 yg menyatakan harga parameter lebih besar daripada harga yggenrawan dihipotesiskan. Hoendarto Pengujian ini disebut pengujian satu sisi (satu arah), yaitu pengujian sisi (arah) kanan.
- H 1 yg menyatakan harga parameter lebih kecil daripada harga yg dihipotesiskan. Pengujian ini disebut pengujian satu sisi (arah), yaitu pengujian sisi (arah) kiri. - H 1 yg menyatakan harga parameter tidak sama dengan harga yg dihipotesiskan. Pengujian ini disebut pengujian dua sisi (arah), yaitu pengujian sisi (arah) kanan dan kiri sekaligus. H H H H 0 1 1 1 : θ = θ : θ > θ : θ < θ : θ θ 0 0 0 0 Apabila hipotesis nol diterima (benar), maka hipotesis altertnatif ditolak.
2. Menentukan taraf nyata, yaitu besarnya batas toleransi dlm menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Dinyatakan dgn α. Semakin tinggi taraf nyata yg digunakan semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol (diuji). Padahal hipotesis nol benar. Besaran yg digunakan %, yaitu 1% (0,01), 5%(0,05) dan 10% (0,1) sehingga ditulis : α 0,01, α 0,05 dan α 0,1. Besarnya nilai α tergantung keberanian pembuat keputusan yg dlm hal ini berapa besarnya kesalahan (yg menyebabkan resiko) yg akan ditolerir. Besarnya kesalahan tersebut dinamai daerah kritis pengujian atau daerah penolakan. 3. Menentukan kriteria pengujian, yaitu bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol (H 0 ) dgn cara membandingkan nilai α dgn nilai uji statistiknya, sesuai dgn bentuk pengujiannya (sisi dan arah pengujian). Penerimaan H 0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih kecil atau lebih besar daripada nilai positif atau
Penerimaan H 0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih kecil atau lebih besar daripada nilai positif atau negatif dari tabel α. Penolakan H 0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih besar atau lebih kecil daripada nilai positif atau negatif dari tabel α. Atau nilai uji statistik berada di dalam nilai kritis. 4. Menentukan nilai uji statistik, uji statistik merupakan perhitungan untuk menduga parameter data sampel yg diambil secara random dari sebuah populasi menggunakan rumus-rumus yg berhubungan dgn distribusi tertentu dlm pengujian hipotesis. 5. Membuat kesimpulan untuk menetapkan keputusan dlm hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol (H 0 ) sesuai dgn kreteria pengujiannya. Penerimaan H 0 terjadi jika nilai statistik berada di luar nilai kritisnya, dan penolakan H 0 terjadi jika nilai uji statistik berada di dlm nilai kritisnya.
Ke-5 langkah tadi dapat diringkas menjadi : 1. Menentukan formulasi hipotesis nol (H 0 ) dan hipotesis alternatifnya (H 1 ) 2. Memilih suatu taraf nyata (α) dan menentukan nilai tabel 3. Membuat kreteria pengujian berupa penerimaan dan penolakan H 0 4. Melakukan uji statistik 5. Membuat kesimpulannya dalam hal penerimaan dan penolakan H 0 Jenis-Jenis Pengujian Hipotesis 1. Berdasarkan jenis parameternya a. Pengujian hipotesis tentang rata-rata, yaitu pengujian hipotesis mengenai rata-rata populasi yang berdasarkan informasi sampelnya. Contohnya Pengujian hipotesis satu rata-rata, Pengujian hipotesis beda dua rata-rata, Pengujian hipotesis
b. Pengujian hipotesis tentang proporsi adalah pengujian hipotesis mengenai proporsi populasi yg didasarkan atas informasi (data) sampel, contohnya pengujian hipotesis satu proporsi, pengujian hipotesis beda dua proporsi dan pengujian hipotesis beda tiga proporsi c. Pengujian hipotesis tentang varian adalah pengujian hipotesis mengenai varians populasi yg didasarkan atas informasi sampelnya, contohnya pengujian hipotesis tentang satu varians dan pengujian hipotesis tentang kesamaan dua varians 2. Berdasarkan jumlah sampelnya a. Pengujian hipotesis sampel besar b. Pengujian hipotesis sampel kecil 3. Berdasarkan jenis distribusinya a. Pengujian hipotesis dgn distribusi Z,contohnya pengujian satu dan beda dua rata-rata sampel besar dan pengujian hipotesis satu dan beda dua proporsi
b. Pengujian hipotesis dgn distribusi t (t-student), contohnya pengujian hipotesis rata-rata (satu dan dua beda rata-rata) sampel kecil c. Pengujian hipotesis dgn dstribusi χ 2, contohnya pengujian hipotesis beda tiga proporsi, pengujian hipotesis indenpendensi dan pengujian hipotesis kompatibilitas d. Pengujian hipotesis dgn distribusi F (F-ratio) contohnya pengujian hipotesis beda tiga rata-rata dan pengujian kesamaan dua varians 4. Berdasarkan arah atau bentuk formulasi hipotesisnya. a. Pengujian hipotesis dua pihak ( two tail test) b. Pengujian hipotesis pihak kiri atau sisi kiri b. Pengujian hipotesis pihak kanan atau sisi kanan
Pengujian Hipotesis Rata-rata 1. Pengujian hipotesis satu rata-rata a. Sampel besar (n>30), menggunakan distribusi Z dgn prosedur sebagai berikut : 1. Formulasi hipotesis a. H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 b. H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 c. H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 2. Penentuan nilai α (taraf nyata) dan nilai Z tabel (Z α ), yaitu menentukan nilai sesuai soal, kemudian nilai Z α atau Z α/2 ditentukan dari tabel 3. Kreteria pengujian : a. Untuk H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 (1) H 0 diterima jika Z 0 -Z α (2) H 0 ditolak jika Z 0 > -Z α
b. Untuk H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 (1) H 0 diterima jika Z 0 -Z α (2) H 0 ditolak jika Z 0 < -Z α c. Untuk H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 (1) H 0 diterima jika -Z α/2 Z 0 Z α/2 (2) H 0 ditolak jika Z 0 > Z α/2 atau Z 0 < -Z α/2