Probabilitas dan Proses Stokastik Tim ProStok Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 2014
O U T L I N E 1. Capaian Pembelajaran 2. Pengantar dan 3. Contoh 4. Ringkasan 5. Latihan 2
Capaian Pembelajaran Mahasiswa mampu: menjelaskan teori probabilitas berdasarkan pendekatan frekuensi relatif dan aksioma probabilitas. 3
Pengantar Probabilitas merupakan bilangan yang ditugaskan pada event yang menunjukkan kemungkinan event tersebut terjadi bila suatu eksperimen acak dilakukan. probabilitas dapat dibedakan dalam dua pendekatan, yaitu frekuensi relatif dan aksioma probabilitas. 4
Pendekatan Frekuensi Relatif Eksperimen acak Prosedur: Observasi: pilih bola dalam kotak yang berisi bola identik yang diberi nomor 1, 2 dan 3 catat nomor bola Eksperimen dilakukan (diulang) sebanyak n kali (trial) Data hasil eksperimen: 3 outcome k = 1, 2, 3 S = {1, 2, 3} 5
Hasil Eksperimen cak Hasil eksperimen 100 trial: 3 Outcome 2 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Trial 6
Representasi Frekuensi Relatif (1) Frekuensi relatif: f k = Nk ( n) n N k (n): jumlah tiap outcome k dalam n trial 100 trial: 1 0.8 Outcome 1 Outcome 2 Outcome 3 Relative Frequency 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Number of trials 7
Representasi Frekuensi Relatif (2) 1000 trial: 1 0.8 Outcome 1 Outcome 2 Outcome 3 Relative Frequency 0.6 0.4 0.2 0.33 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Number of trials 8
Kelemahan Frekuensi Relatif Trial yang sangat besar: lim n f = k p k p k : probabilitas outcome ke-k Fakta: eksperimen acak jarang dilakukan sampai dengan tak berhingga beberapa eksperimen tidak dapat diulang Perlu pendekatan lain 9
ksioma Probabilitas Notasi S P() : ruang sampel : event dalam ruang sampel S : probabilitas event Tiga aksioma probabilitas: 1) P() 0 mutually exclusive 2) P(S) = 1 N N 3) P n = P( n= 1 n= 1 n ) m n = m n = 1, 2,, N 10
Komplemen Event dalam Ruang Sampel Event dan c : mutually exclusive dan collectively exhaustive ksioma ke-3: c P ( ) = P( ) + P( c ) S c ksioma ke-2: P( P( ) + c ) = P( S) P( c ) = 1 Probabilitas komplemen event: P( c ) = 1 P( ) 11
Probabilitas Joint dan Union Probabilitas joint dan B: P( B) = P( ) + P( B) P( B) S B B Probabilitas union dan B: P( B) = P( ) + P( B) P( B) P ( ) + P( B) Event dan B mutually exclusive: B = probabilitas joint dan B: P( B) = P( ) = 0 12
Soal CP Contoh Ringkasan Latihan Eksperimen acak Prosedur: Pilih bola dalam kotak yang berisi bola yang dinomori 1 sampai 10 Observasi: catat nomor bola terpilih. Definisi: Event : bola bernomor genap terpilih Event B: bola bernomor lebih besar dari 6 Dapatkan probabilitas komplemen event, probabilitas joint dan union event dan B. 13
Contoh Ringkasan Latihan Solusi (1) Ruang sampel, S = {1, 2,, 10} Event, = {2, 4, 6, 8, 10} Event B, B={7,8,9,10} Event joint dan B, B={8,10} S 3 5 4 6 2 10 8 9 1 7 B P(S) = 1 P() = 5/10 = 1/2 P(B) = 4/10 14
Contoh Ringkasan Latihan Solusi (2) Komplemen, c = {1, 3, 5, 7, 9} Probabilitas komplemen : P( c ) = 5/10 = 1/2 P( c ) = 1 P() = 1/2 Probabilitas joint dan B: P( B) = 2/10 Probabilitas union dan B, B: P( B) = P() + P(B) P( B) = 5/10 + 4/10-2/10 = 7/10 15
Contoh Ringkasan Latihan Probabilitas suatu event selalu bernilai tak negatif, sedangkan probabilitas ruang sampel selalu bernilai 1 (satu) yang menyatakan bahwa ruang sampel meliputi seluruh hasil eksperimen Probabilitas union dari event-event mutually exclusive sama dengan jumlah probabilitas masing-masing event individu 16
Contoh Ringkasan Latihan Soal Latihan Dadu bermata enam dengan setiap sisi memunyai peluang muncul yang sama. Berapa probabilitas setiap outcome? Untuk event-event: = {dadu bermata genap} B = {dadu bermata ganjil} C= {mata dadu lebih dari 3} dapatkan probabilitas setiap event tersebut, probabilitas union dan B, probabilitas joint dan C. 17
Contoh Ringkasan Latihan 18