PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh : f(x) = + 3x x + 4y z = 6 x + 3x 3x 3 + x 4 = 0 Purwnto,S.Si BENTUK UMUM SISTEM LINIER BENTUK MATRIKS Sistem n persmn linier terdiri dri n buh persmn linier dengn n peubh yng tk dikethui sebgi penyelesinny. Bentuk umum sistem linier dengn n persmn dn n peubh yng tk dikethui : x + x + 3 x 3 + + n x n = b x + x + 3 x 3 + + n x n = b x + x + 3 x 3 + + n x n = b x + x + 3 x 3 + + n x n = b 3 x + 3 x + 33 x 3 + + 3n x n = b 3 n x + n x + n3 x 3 + + nn x n = b n Dimn : AX = B 3 x + 3 x + 33 x 3 + + 3n x n = b 3 3 n x b n x + n x + n3 x 3 + + nn x n = b n Dimn i,j =,,3,,n ; ij = konstnt, x j = peubh Purwnto,S.Si 3 3 n A = X = 3 n 3 33 3n n n3 nn x x 3 B = x n b b 3 b n Purwnto,S.Si 4
Contoh PENERAPAN SPL ). Sistem linier : x + 7x = -x + 5x = 3 ). Sistem linier : x + 3x + 4x 3 = 0 x + x + x 3 = 6 x - x + x 3 = 8 SPL : pers & peubh SPL : 3 pers & 3 peubh Olymipic Bike sebuh perushn pembut seped gunung memproduksi du buh seped gunung bru yitu Deluxe dn Profesionl yng kerngkny terbut dri Aluminum Alloy dn Steel Alloy. Merek memperkirkn keuntungn yng dpt diperoleh dri penjuln per unit untuk Deluxe $0 dn Profesionl $5. Jumlh bhn bku yng dibutuhkn (dlm stun pounds) dlh Aluminum Alloy Steel Alloy Deluxe 3 3). Sistem linier : x - y + z = x + 6y + z = 0 3x + y + 4z = - SL : 3 pers & 3 peubh Purwnto,S.Si 5 Profesionl 4 Sedngkn perushn hny mmpu menyedikn bhn bku 00 pounds luminum lloy dn 80 pounds steel lloy tip mingguny. Berp bnyk Deluxe dn Profesionl hrus diproduksi gr perushn memperoleh keuntungn terbesr tip mingguny? Purwnto,S.Si 6 PENERAPAN SPL PENERAPAN SPL Mtriks Deluxe Produk Profesionl Jumlh Bentuk SPL Mximumkn Keuntungn tip minggu Keuntungn /Minggu 0 5 Mksimum Z = 0x + 5x Aluminum Alloy Steel Alloy Bnykny produk 3 x Misl : x = jumlh produk Deluxe x = jumlh produk Profesionl 4 x 00 80 Fungsi Kendl Aluminum Alloy : x + 4x 00 Steel Alloy : 3x + x 80 Bnykny produk : x, x 0 Purwnto,S.Si 7 Purwnto,S.Si 8
Penyelesin Sistem Linier Menyelesikn Sistem Linier Mislkn terdpt sistem linier x + by = c (,b 0) g x + b y = c (,b 0) g Mk solusi SPL yng mungkin g g y x Tdk mpy solusi Solusi Tunggl g SOLUSI TUNGGAL y g x g g y x mpy solusi tk hingg Purwnto,S.Si 9 Selesiknlh sistem linier berikut ini : x + 7x = -x + 5x = 0 Solve : Eliminsi x : x + 7x = Subtitusi x = x + 7x = -x + 5x = 0 x + + 7() = x = x = 7 x = x = -5 Solusi sistem linier dlh x = -5 dn x = Determinn Mtriks Ordo x Purwnto,S.Si 0 Syrt sutu sistem linier Ax = B mempunyi solusi tunggl jik determinn/norm mtriks konstnt A tidk sm dengn nol. Det (A) = Norm(A) 0 Misl mtriks A berordo x : A = c b d Mtriks A mempunyi determinn : det( A) = A = c b = d bc d Purwnto,S.Si Purwnto,S.Si
Determinn Mtriks Ordo 3 x 3 Determinn Mtriks Ordo n x n Misl mtriks A berordo 3 x 3 : 3 A = 3 3 3 33 Mtriks A mempunyi determinn : A = 3 3 3 3 33 3 A = 33 + 3 3 + 3 3-3 3-3 3-33 Contoh Apkh sistem linier di bwh ini mpy solusi tunggl? x + 3x = -x + 5x = 0 Solve : Mtriks A = 3-5 Det(A) = ( x 5) (3 x (-)) = 5 + 3 = 8 0 Sistem linier mempunyi solusi tunggl 3 Purwnto,S.Si 3 Misl mtriks A berordo n x n : Mtriks A mempunyi determinn : det(a) = A det( A) = Contoh A = = n j= n i= ( ) ( ) i+ j i+ j ij ij M M ij ij Ekspnsi Bris Ekspnsi Kolom Apkh sistem linier di bwh ini mpy solusi tunggl? ). x + 3x + 4x 3 = 0 ). x y + z = x + x + x 3 = 6 x - x + x 3 = 8 x - 3y + z = 0 x +y - z = 3). x - 3x = 4 4). x - 4x + x 3 + x 4 = -3x -x + 4x 3 = 3 3x - 6x 3 = -7 -x - 3x + 3x 4 = 5 x + x - 3x 3 = 5 Purwnto,S.Si 4 Purwnto,S.Si 5 Purwnto,S.Si 6
Algoritm Guss-Siedel Algoritm Guss-Siedel ) Bentuk umum SPL x + x + 3 x 3 + + n x n = b x + x + 3 x 3 + + n x n = b 3 x + 3 x + 33 x 3 + + 3n x n = b 3 x + x + 3 x 3 + + n x n = b x + x + 3 x 3 + + n x n = b 3 x + 3 x + 33 x 3 + + 3n x n = b 3 n x + n x + n3 x 3 + + nn x n = b n n x + n x + n3 x 3 + + nn x n = b n Mk diperoleh : Tip persmn diubh bentukny sehingg msing - msing peubh (x i ) merupkn stu - stuny komponen yng berd pd rus kiri x = (b - ( x + 3 x 3 + + n x n ))/ Purwnto,S.Si 7 Purwnto,S.Si 8 Algoritm Guss-Siedel Algoritm Guss-Siedel x + x + 3 x 3 + + n x n = b x + x + 3 x 3 + + n x n = b x + x + 3 x 3 + + n x n = b x + x + 3 x 3 + + n x n = b 3 x + 3 x + 33 x 3 + + 3n x n = b 3 3 x + 3 x + 33 x 3 + + 3n x n = b 3 n x + n x + n3 x 3 + + nn x n = b n n x + n x + n3 x 3 + + nn x n = b n Mk diperoleh : Mk diperoleh : x = (b - ( x + 3 x 3 + + n x n ))/ x = (b - ( x + 3 x 3 + + n x n ))/ x = (b - ( x + 3 x 3 + + n x n ))/ x = (b - ( x + 3 x 3 + + n x n ))/ x 3 = (b 3 - ( 3 x + 3 x + + 3n x n ))/ 33 Purwnto,S.Si 9 Purwnto,S.Si 0
Algoritm Guss-Siedel Algoritm Guss-Siedel x + x + 3 x 3 + + n x n = b x + x + 3 x 3 + + n x n = b x + x + 3 x 3 + + n x n = b x + x + 3 x 3 + + n x n = b 3 x + 3 x + 33 x 3 + + 3n x n = b 3 3 x + 3 x + 33 x 3 + + 3n x n = b 3 n x + n x + n3 x 3 + + nn x n = b n n x + n x + n3 x 3 + + nn x n = b n Mk diperoleh : Mk diperoleh : x = (b - ( x + 3 x 3 + + n x n ))/ x = (b - ( x + 3 x 3 + + n x n ))/ x = (b - ( x + 3 x 3 + + n x n ))/ x = (b - ( x + 3 x 3 + + n x n ))/ x 3 = (b 3 - ( 3 x + 3 x + + 3n x n ))/ 33 x 3 = (b 3 - ( 3 x + 3 x + + 3n x n ))/ 33 x n = (b n - ( n x + n x + + (n-)(n-) x (n-) ))/ nn Purwnto,S.Si x n = (b n - ( n x + n x + + (n-)(n-) x (n-) ))/ nn Purwnto,S.Si Contoh Algoritm Guss-Siedel SPL : 4x + y + z = 5 x + y + z = 0 x + y + 3z = 6 Diperoleh sistem persmn untuk itersi :. Menentukn nili wl untuk setip peubh (x i ) 3. Lkukn itersi secr berurutn terhdp peubh (x i ) 4. Itersi peubh selnjutny menggunkn nili terkhir dri peubh x = (5 y z)/4 y = 0 x z z = (6 x y)/3 Purwnto,S.Si 3 Purwnto,S.Si 4
Contoh Solve Selesikn sistem linier : 4x + y + z = 5 x + y + z = 0 x + y + 3z = 6 dengn menggunkn metode Guss-Siedel. Jik dikethui nili wl x =, y =, z = sert ketelitin hingg desiml. Solve Purwnto,S.Si 5 SPL : 4x + y + z = 5 x + y + z = 0 x + y + 3z = 6 4 Cek pkh SPL mpy solusi tunggl? det( A) = A = 4 = 4 0 3 x 5 y = 0 3 z 6 SPL mpy solusi tunggl shg dpt diselesikn dengn metode Guss-Seidel Itertion Purwnto,S.Si 6 SPL : 4x + y + z = 5 x + y + z = 0 x + y + 3z = 6 Diperoleh sistem persmn untuk itersi : x = (5 y z)/4 y = 0 x z Itersi x = (5 y z)/4 y = 0 x z z = (6 x y)/3 0 Dikethui nili wl : x = y = z = z = (6 x y)/3 Purwnto,S.Si 7 Purwnto,S.Si 8
Itertion Itertion Itersi x = (5 y z)/4 y = 0 x z z = (6 x y)/3 Itersi x = (5 y z)/4 y = 0 x z z = (6 x y)/3 0 0,5 3,5,67,5 3,5,67 Nili selnjutny,54 4,5,89 x = (5 y z)/4 = (5 ())/4 =,5 Nili selnjutny y = 0 x z = 0 (,5) = 3,50 x = (5 y z)/4 = (5 3,5 (,67))/4 =,54 z = (6 x y)/3 = (6 (,5) 3,5)/3 =,67 y = 0 x z = 0 (,54),67 = 4,5 z = (6 x y)/3 = (6 (,54) 4,5)/3 =,89 Purwnto,S.Si 9 Purwnto,S.Si 30 Itertion Itertion Itersi x = (5 y z)/4 y = 0 x z z = (6 x y)/3 0,5 3,5,67,54 4,5,89 3,4 4,63,96 Nili selnjutny x = (5 y z)/4 = (5 4,5 (,89))/4 =,4 y = 0 x z = 0 (,4),89 = 4,63 Solusi sistem linier telh ditemukn pd itersi ke-7. Kren nili x, y dn z konstn, sehingg ditemukn solusi z = (6 x y)/3 = (6 (,4) 4,63)/3 =,96 sistemny dlh x =,0, y = 4,98 dn z = 3 dst.. 3 Purwnto,S.Si 3 Purwnto,S.Si
Contoh Ltihn ) Selesikn sistem linier x + y + z = 9; x + 4y - 3z = ; 3x + 6y - 5z = 0, dengn menggunkn metode Guss-Siedel. Dikethui nili wl x =,8, y =,8, z = 3 sert ketelitin hingg desiml. (Lkukn itersi mksimum 0 x) ) Selesikn sistem linier x + y + z = -; x + 3y + z = 4; x + 3y + z = 3, dengn menggunkn metode Guss-Siedel. Dikethui nili wl x = 5, y =, z = 0 sert ketelitin hingg desiml. (Lkukn itersi mksimum 0 x). Selesikn sistem linier 3x - y + z = 0; x + 3y + 3z = ; x - y - z = 0, dengn menggunkn metode Guss- Siedel jik dikethui nili wl x = 0, y = 0, z = 0 sert ketelitin hingg desiml. (Lkukn itersi mksimum 0x). Dikethui sistem linier x + y z = 0 ; x - y =; y + 3z = -, dengn menggunkn metode Guss- Siedel. Dikethui nili wl x =, y = 0, z = -0,5 sert ketelitin hingg desiml. Apkh pd itersi ke - 5, dpt dihentikn (telh diperoleh penyelesin)? Purwnto,S.Si 33 Purwnto,S.Si 34 Itertion SPL : x + y + z = 9; x + 4y - 3z = ; 3x + 6y - 5z = 0 ; Nili wl x =,8, y =,8, z = 3 ; ketelitin desiml. Thnk You Purwnto,S.Si 35 Purwnto,S.Si 36
Itertion SPL x + y + z = -; x + 3y + z = 4; x + 3y + z = 3 ; Nili wl x = 5, y =, z = 0 ; ketelitin desiml. Purwnto,S.Si 37