Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear
Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear
Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen 7//7 : MA- Aljabar Linear
REFERENSI : Anton H., Rorres, C., 995, Elementary Linear Algebra : Applications Version, 6th edition, John Willey and Sons, New York Arifin, A.,, Aljabar Linear, edisi kedua, Penerbit ITB, Bandung Durbin, J. R., 99, Modern Algebra : An Introduction, rd edition, John Willey and Sons, Singapore Kreyszig E.,, 99, Advanced Enginereeng Mathematics, 8th edition, John Willey & Sons, Toronto Leon, S. J.,, Aljabar Linear dan Aplikasinya, terjemahan Penerbit Erlangga, Jakarta 7//7 : MA- Aljabar Linear 4
. Matriks dan Operasinya Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks Representasi image (citra) Chanel/Frequency assignment Operation Research dan lain-lain. 7//7 : MA- Aljabar Linear 5
. Matriks dan Jenisnya Notasi Matriks a a A M a m a m n mn n Baris pertama a a M L L O L a a a M Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n) Kolom kedua Matriks A berukuran (Ordo) mxn 7//7 : MA- Aljabar Linear 6
Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama A dan B dikatakan sama (notasi A B) jika a ij b ij untuk setiap i dan j Jenis-jenis Matriks Matriks bujur sangkar (persegi) Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah sama (n x n) Contoh : B Unsur diagonal 7//7 : MA- Aljabar Linear 7
7//7 : MA- Aljabar Linear 8 Matriks segi tiga Ada dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah. Matriks segi tiga atas Matriks yang semua unsur dibawah unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol. Matriks segi tiga bawah Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol. 8 7 9 5 E 5 F
7//7 : MA- Aljabar Linear 9 Matriks Diagonal Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol. Matriks satuan (Identitas) Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya adalah satu. D I
Transpos Matriks Matriks transpos diperoleh dengan menukar baris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya. Notasi A t (hasil transpos matriks A) Contoh : A maka - Jika matriks A A t maka matriks A dinamakan matriks Simetri. Contoh : - A t A - - 7//7 : MA- Aljabar Linear
. Operasi Matriks Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :. Penjumlahan Matriks. Perkalian Matriks Perkalian skalar dengan matriks Perkalian matriks dengan matriks. Operasi Baris Elementer (OBE) 7//7 : MA- Aljabar Linear
7//7 : MA- Aljabar Linear Penjumlahan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan Contoh a. + b. + d c b a h g f e + + + + h d g c f b e a 4 8 7 6 5 6 8
Perkalian Matriks Perkalian Skalar dengan Matriks Contoh : p q k p kq k r s kr ks Perkalian Matriks dengan Matriks Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn Syarat : A X B haruslah q m hasil perkalian AB berordo pxn Contoh : Diketahui A B X A haruslah n p hasil perkalian BA berordo mxq a d b e c f x dan B 7//7 : MA- Aljabar Linear p q r t s u x
Maka hasil kali A dan B adalah : a AB d b e c f x p q r s t u x ap+bq+cr dp+eq+fr as+bt+cu ds+et+fu x Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran sama dan α, β merupakan unsur bilangan Riil, Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :. A + B B + A. A + ( B + C ) ( A + B ) + C. α ( A + B ) αa + αb 4. (α + β ) ( A ) αa + βa 7//7 : MA- Aljabar Linear 4
Contoh : Diketahui matriks : Tentukan a. A A t b. A t A A - - 7//7 : MA- Aljabar Linear 5
Jawab : t A - - maka t AA - - - - 5 - - 4 - - - sedangkan A t A - - - - 4-4 -4 5 7//7 : MA- Aljabar Linear 6
Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi baris elementer meliputi :. Pertukaran Baris. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir ) dengan baris yang lain. Contoh : OBE A - - - 4 b b ~ - - - 4 Baris pertama (b ) ditukar dengan baris ke- (b ) 7//7 : MA- Aljabar Linear 7
OBE ke- 4-4 A - - 4 7 ¼b ~ - - - 7 Perkalian Baris pertama (b ) dengan bilangan ¼ OBE ke- A - - - 7 - - b + b ~ 7 5 Perkalian ( ) dengan b lalu tambahkan pada baris ke- (b ) 7//7 : MA- Aljabar Linear 8
Beberapa definisi yang perlu diketahui : B Baris pertama dan ke- dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan pada baris pertama dan bilangan pada baris ke- dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. Bilangan (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. Baris ke- dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke- adalah nol. 7//7 : MA- Aljabar Linear 9
Sifat matriks hasil OBE :. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah (dinamakan satu utama).. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat utama yang lebih ke kanan.. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah. 4. Pada kolom yang memuat unsur utama, maka unsur yang lainnya adalah nol. Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat,, dan (Proses Eliminasi Gauss) Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jordan) 7//7 : MA- Aljabar Linear
Contoh : Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari Jawab : A A - - - 7 - - b + b 7 5 ~ ~ b b - - 5 7 7//7 : MA- Aljabar Linear
7//7 : MA- Aljabar Linear + 5 - - ~ b b A 5 - - ~ b + - - ~ b b + b b - -
Perhatikan hasil OBE tadi : Setiap baris mempunyai satu utama. Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom 4 tidak mempunyai satu utama) 7//7 : MA- Aljabar Linear
Invers Matriks Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. B dinamakan invers dari A jika dipenuhi A B I dan B A I Sebaliknya, A juga dinamakan invers dari B. Notasi A B - Cara menentukan invers suatu matriks A adalah ( A I ) OBE ~ ( I A ) Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriks identitas maka A dikatakan tidak punya invers 7//7 : MA- Aljabar Linear 4
7//7 : MA- Aljabar Linear 5 Contoh : Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari : Jawab : b b ~ A -b +b b +b - - -
7//7 : MA- Aljabar Linear 6 -b -b + b -b + b Jadi Invers Matriks A adalah A - - -
7//7 : MA- Aljabar Linear 7 Perhatikan bahwa : dan maka A A A A
Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers : i. (A - ) - A ii. Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers maka (A. B) - B -. A - iii. Misal k Riil maka (ka) - A k iv. Akibat dari (ii) maka (A n ) - (A - ) n 7//7 : MA- Aljabar Linear 8
Latihan Diketahui A, 4 dan B C 4 5 Tentukan (untuk no 5) matriks hasil operasi berikut ini :. AB. CA. (AB)C 4. (4B)C + C 7//7 : MA- Aljabar Linear 9
7//7 : MA- Aljabar Linear Untuk Soal no. 5 7, Diketahui : dan 5. Tentukan : D + E (dimana E EE) 6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A, B, C, D, dan E 7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada) D 4 4 E