Revisi Februari 2002 EE 2053 Modul 2 Elektromagnetika Telekomunikasi Medan Berubah Terhadap Oleh : driansyah, ST
Organisasi Modul 2 Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell A. Persamaan Maxwell Bentuk Integral page 3 B. Persamaan I : Hukum Faraday page 7 C. Persamaan II : Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell page 12 D. Persamaan III : Hukum Gauss Untuk Medan Listrik page 20 E. Persamaan IV : Hukum Gauss Untuk Medan Magnet page 22 F. Retarded Potentials page 23 G. Summary page 27 2
Hukum Faraday Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell Hukum Gauss A. Persamaan Maxwell Bentuk Integral Review : Pendahuluan... Konsep yang mendasari semua fenomena dalam elektromagnetika Persamaan bentuk integral di bawah menjelaskan arti fisis dari perilaku listrik dan magnit Hukum Gauss 0 d E dl B ds d H dl J ds D ds V dv Q B ds D ds Bacalah dan pahami rumus-rumus di atas, ulangi mempelajari tool matematika yang diperlukan (diferensial integral), vektor, dsb!!!! 3
Persamaan Maxwell Bentuk Integral Review : Persamaan-Persamaan Penghubung... D E B H dimana, r 0 = permitivitas bahan / medium = permitivitas relatif bahan r 0 dimana, 12 8,854.10 r 0 Farad 1 9 10 meter 36 = permeabilitas bahan / medium r = permeabilitas relatif bahan 7 Henry 0 4.10!! meter 4
Persamaan Maxwell Bentuk Integral Review : Parameter dan Satuan. Simbol Keterangan Satuan E Medan listrik Volt meter H B D V Medan magnet Rapat fluks magnetik Rapat fluks listrik Rapat muatan volume Ampere meter Weber meter persegi Coulomb meter persegi Coulomb meter kubik Q Muatan listrik Coulomb J Rapat arus Ampere meter persegi!! 5
Persamaan Maxwell Bentuk Integral Medan Statis vs Medan Dinamis... Medan Dinamis d E dl B ds d H dl J ds D ds V dv Q B ds 0 D ds E dl H dl 0 D ds B ds 0 Medan Statis J ds V dv Q Medan berubah terhadap waktu!! Medan tidak berubah terhadap waktu 6
B. Persamaan I Hukum Faraday E dl E E db d ds E BdS E dl Definisi Jika ada rapat fluks magnet (B) yang berubah terhadap waktu dan menembus suatu bidang yang dikelilingi lintasan tertutup, maka akan menghasilkan medan listrik (E) yang arahnya sesuai dengan arah lintasan tertutup tersebut ( mengelilingi bidang ds ). Arah rapat fluks magnetik (B) dan arah medan listrik (E), sesuai dengan aturan tangan kanan. Dari persamaan tersebut juga dapat menjelaskan bahwa, Medan magnet yang berubah terhadap waktu akan dapat menghasilkan medan listrik. 7
Persamaan I Hukum Faraday Mari kita ulangi, Medan magnet yang berubah terhadap waktu akan dapat menghasilkan medan listrik. Atau, Fluks magnetik yang berubah terhadap waktu akan menyebabkan medan listrik Electromotance Force (emf) / Gaya Gerak Listrik (ggl) Didefinisikan, electromotance force Persamaan Faraday!! d dimana, = fluks magnetik B S B S cos BS S adalah luas bidang yang ditembus oleh medan magnetik 8
Lihat persamaan berikut... B S cos BS Persamaan I Hukum Faraday Dari persamaan di atas kita dapat menyimpulkan bahwa fluks magnetik yang berubah terhadap waktu bisa disebabkan oleh : Medan yang berubah terhadap waktu Luas bidang (yang ditembus medan magnet) berubah terhadap waktu Jarang!! Sudut berubah terhadap waktu Paling banyak dilakukan karena tinggal memutar loop saja Lihat gambar berikut... arah E / I emf / ggl B R 9
Persamaan Faraday!! electromotance force Sehingga, emf E dl d B ds d!! Persamaan I Hukum Faraday dimana, B ds dan emf E dl Tanda minus (-) pada persamaan Faraday berarti : emf yang dihasilkan sedemikian hingga jika arus dihasilkan olehnya, maka fluks yang disebabkan arus ini akan cenderung melawan perubahan fluks asal emf juga berbanding lurus terhadap jumlah lilitan N, sehingga dapat dinyatakan : emf d N 10
Persamaan I Hukum Faraday Penurunan Bentuk Diferensial (Bentuk Titik)... Ingat Teorema Stokes!!, yang menjelaskan perubahan bentuk integrasi.. H dl H ds E dl E ds L Maka, E dl S d BdS E ds E ds d BdS B ds t L Substitusi... E S B t Bentuk titik persamaan Maxwell I!!!! 11
HdL J ds C. Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell d DdS Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell (th 1864..) HdL J ds Hukum Ampere (th 1820..) I H H ds H H dl Jika ada rapat arus J dan rapat fluks listrik D yang berubah terhadap waktu yang menembus suatu bidang ds yang dikelilingi lintasan tertutup, maka akan dihasilkan medan magnet (H) yang arahnya sesuai dengan lintasan teertutup tersebut ( mengelilingi bidang ds ). J dd Sama dengan Hukum Faraday, arah medan magnet (H), rapat arus (J) dan rapat fluks listrik (D), adalah sesuai dengan aturan tangan kanan. Continued... 12
Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell Maxwell menemukan fenomena arus pergeseran tanpa melakukan eksperimen, tetapi dengan melakukan analisis matematis bentuk diferensial / bentuk titik Hukum Ampere. Bagaimana analisis matematis yang telah dilakukan Maxwell? Bentuk integral hukum Ampere HdL J ds I Maxwell (1864) H J Teorema Stokes H dl H L S ds Bentuk diferensial Hukum Ampere Masing-masing ruas persamaan didivergensikan... 13
Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell H J J 0 Lihat identitas vektor! divergensi dari suatu pusaran/curl pasti adalah NOL Persamaan di atas tidak berlaku untuk medan dinamis, karena pada medan dinamis berlaku Hukum Kontinuitas dimana, J t v Artinya, H J tidak berlaku untuk t v 0 14
kemudian... Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell Maxwell memberikan suku tambahan bada bentuk titik dari Hukum Ampere, H J G H J G H J G = 0 Masing-masing ruas persamaan didivergensikan... Lihat identitas vektor! divergensi dari suatu pusaran/curl pasti adalah NOL G J 15
G G G J t D t v Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell Hukum Kontinuitas, t v J t Ingat pengertian kita dahulu, bahwa Divergensi dari rapat fluks listrik yang menembus suatu permukaan tertutup adalah sama dengan rapat muatan yang dilingkupi permukaan tertutup tersebut D v D t G v Suku telah ditemukan!! D G t (Maxwell : th 1864) 16
Kembali pada pemisalan sebelumnya,,!! H H S J J G D t Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell Dimana, D G t Bentuk diferensial / bentuk titik dari Persamaan Maxwell II : Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell Integrasi terhadap luas D t H ds J ds ds S S 17
S D t H ds J ds ds S Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell S!! H dl S J ds Jika kita terapkan Teorema Stokes H dl H ds L S D t ds S Bentuk integral Persamaan Maxwell II : Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell 18
Jenis-Jenis Rapat Arus... Lihat kembali persamaan Maxwell II bentuk titik berikut... H J Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell D t Terdiri atas 2 macam rapat arus, 1. Rapat arus konduksi Merupakan gerakan J E muatan (elektron bebas) = konduktivitas 2. Rapat arus konveksi J v Merupakan gerakan rapat muatan Rapat arus pergeseran / displacement current I d B I k 19
D D D D ds D D D D Q D D. Persamaan III Hukum Gauss Untuk Medan Listrik V dv D D ds D D Q D D D ds Jumlah total rapat fluks yang meninggalkan suatu permukaan tertutup sama dengan total muatan yang dilingkupi oleh permukaan tertutup itu sendiri Persamaan diatas juga menjelaskan fenomena bahwa suatu muatan listrik ( Q ) akan menjadi sumber timbulnya medan listrik / rapat fluks listrik 20
D ds V dv Q Persamaan III Hukum Gauss DdS S v Teorema Divergensi D dv v V dv Q D v Bentuk titik Hukum Gauss untuk medan listrik 21
E. Persamaan IV Hukum Gauss Untuk Medan Magnet Persamaan IV Hukum Gauss Untuk Medan Magnet B ds 0 Persamaan keempat Maxwell di atas menjelaskan bahwa tidak ada yang dinamakan muatan magnetik sebagai sumber medan magnetik. Adapun muatan listrik hanyalah akan menghasilkan medan listrik. Medan magnetik hanya dihasilkan oleh medan listrik yang berubah terhadap waktu atau dihasilkan oleh muatan listrik yang berubah terhadap waktu seperti yang dijelaskan dari Hukum Ampere. Dengan teorema divergensi, didapat bentuk titik Hukum Gauss untuk B 0 medan magnet sbb : 22
F. Retarded Potential Potensial sebagai fungsi waktu atau berubah terhadap waktu disebut sebagai Potensial Terlambat. Pokok bahasan ini sering digunakan dalam analisis masalah radiasi antena. Pada analisis radiasi, potensial dievaluasi didaerah yang terpengaruh sumber, baik dekat maupun jauh dari sumber tersebut. Semakin jauh dari sumber, maka potensial semakin dirasakan terlambat terhadap potensial di sumber., karena memerlukan waktu untuk sampai di titik pengamatan. Sekarang mari kita amati untuk Keadaan statis / steady : Potensial Listrik Skalar Potensial Magnetik Vektor VdV V 4 V R J dv A 4R V Dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial Poisson, sbb 2 V 2 V A J 23
Retarded Potential Untuk kondisi medan statis di atas, jika potensial listrik skalar (V) dan potensial magnetik vektor (A) dapat dihitung, maka kita bisa menghitung pula medan listrik dan magnet dari hubungan : E V Untuk Medan Dinamis... Kita perhatikan lagi persamaan di atas, Pers. (2) Pers. (1) B A B A (1) dan (2) B A 0 E V Hasil divergensi kedua ruas menunjukkan persamaan di atas memenuhi persamaan Maxwell, shg pers. (2) dapat dipakai untuk medan statis maupun dinamis E V 0 Padahal, berubah terhadap menurut waktu, pers. Maxwell I, untuk medan E 0 Sehingga, perlu koreksi untuk medan dinamis 24
Misalkan ditambahkan suku vektor koreksi (N) : E V E E N Dengan mengambil cross product untuk kedua ruas, didapatkan V N 0 Dengan mengingat Hk. Faraday ( Hk. Maxwell I) N B t Karena dinyatakan bahwa, Maka, B A N t Retarded Potential A Jadi, dapat dinyatakan bahwa : N A t A t Jika kita kembalikan lagi pada pemisalan pertama di atas, didapatkan : E V A t 25
Retarded Potential Persamaan-persamaan untuk menghitung E dan H melalui penghitungan potensial dapat disubstitusikan kembali pada persamaan Maxwell, menghasilkan persamaanpersamaan potensial yang umum untuk medan berubah terhadap waktu seperti tabel di samping : Medan statis A J 2 V 2 E V A 0 B A V Medan dinamis 2 2 V V V 2 t 2 2 A A J 2 t A E V t V A t B A 26
Bentuk Integral dan Bentuk Titik Persamaan Maxwell Hukum Faraday Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell Hukum Gauss untuk medan listrik Hukum Gauss untuk medan magnet d E dl B ds d H dl J ds D ds V dv Q B ds 0 D ds G. Summary B E t D H J t D V B 0 Persamaan 2 Penghubung D E B H J C E J 27
Persamaan 2 Potensial Listrik dan Magnet Summary Medan statis A J 2 V 2 E V A 0 B A V Medan dinamis 2 2 V V V 2 t 2 2 A A J 2 t A E V t V A t B A 28