A. Pengertian Matriks Editor Penusun : Sulistowati, S.Pd. ; Sumani, S.Pd. : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si.. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Matriks ang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalna : tabel matrikulasi di sekolah, penajian data pada suatu sekolah ang disajikan dalam bentuk matriks, sebagaiberikut. Contoh : tabel matrikulasi ang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita Ι ΙΙ ΙΙΙ Dari tabel di atas, bila diambil angka-angkana saja dan ditulis dalam tanda siku, bentukna menjadi. Bentuk sederhana inilah ang kita sebut sebagai matriks. Pengertian Matriks : Susunan bilangan berbentuk persegi panjang ang diatur dalam baris dan kolom ang diletakkan dalam kurung biasa atau kurung siku. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, C), dan sebagaina. Contoh: A Bilangan bilangan ang tersusun dalam baris dan kolom tersebut dinamakan elemen / unsur. Elemen matriks A ang terletak di baris ke- dan kolom ke- dinotasikan sebagai a. Contoh: Berapakah nilai a dan a untuk matriks A di atas? Jawab: a, a Matriks A di atas mempunai baris dan kolom. Banakna baris dan banakna kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut. Ordo adalah ukuran suatu matriks ang dinatakan dalam banakna baris kali banakna kolom Jadi matriks A berordo dan ditulis A
. Jenis-jenis Matriks Setelah memahami pengertian matriks dan ordo suatu matriks, siswa dapat diperkenalkan dengan jenis-jenis matriks. Berdasarkan ordona terdapat beberapa jenis matriks, sebagai berikut : a. Matrik bujursangkar/persegi aitu matriks berordo n n atau banakna baris sama dengan banakna kolom disebut juga sebagai matriks kuadrat berordo n. Contoh: Matriks B, maka dan dikatakan berada pada diagonal utama matrik B. b. Matriks baris aitu matriks berordo n atau hana memiliki satu baris. Contoh: Matriks C [ ] c. Matriks kolom aitu matriks berordo n atau hana memiliki satu kolom Contoh: Matriks E d. Matriks tegak aitu matriks berordo m n dengan m>n Contoh: A, A berordo dan > sehingga matriks A tampak tegak e. Matriks datar aitu matriks berordo m n dengan m<n Contoh: F, F berordo dan < sehingga matriks F tampak datar Berdasarkan elemen-elemen penusunna terdapat jenis-jenis matriks : a. Matriks nol aitu matriks ang semua elemen penusunna adalah dan dinotasikan sebagai O. Contoh: O [ ], O b. Matriks diagonal aitu matriks persegi ang semua elemen diatas dan dibawah diagonalna adalah dan dinotasikan sebagai D. Contoh: D c. Matriks skalar aitu matriks diagonal ang semua elemen pada diagonalna sama. Contoh: D d. Matriks simetri aitu matriks persegi ang setiap elemenna, selain elemen diagonal, adalah simetri terhadap diagonal utama. Contoh: F
e. Matriks simetri miring aitu matriks simetri ang elemen-elemenna, selain elemen diagonal, saling berlawanan. Contoh: G f. Matriks Identitas/satuan aitu matriks diagonal ang semua elemen pada diagonalna adalah dan dinotasikan sebagai I. Contoh: I g. Matriks segitiga atas aitu matriks persegi ang elemen-elemen di bawah diagonal utamana adalah. Contoh: G h. Matriks segitiga bawah aitu matriks persegi ang elemen-elemen di atas diagonal utamana adalah. Contoh: H i. Matriks transpose aitu matriks ang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen baris menjadi elemen kolom dan elemen-elemen kolom menjadi elemen baris. Sebagai pengingat adalah trans perpindahan dan pose letak. Transpose matriks A dilambangkan dengan A T Contoh: A, maka A T, perhatikan bahwa ordo dari A T adalah X. Kesamaan Matriks Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama bila dan hana bila mempunai ordo ang sama dan elemen-elemen penusun ang seletak juga sama. Contoh: A, B maka A B Perhatikan bahwa C seletak dan nilaina tidak sama. Perhatikan juga bahwa D sama. dan C A karena ada elemenna ang dan D A karena ordo kedua matriks tersebut tidak
B. Operasi Matriks dan Sifat-sifatna Dalam menjelaskan operasi hitung pada matriks, kita dapat mengangkat peristiwa sehari-hari atau memberi contoh, sebagai berikut:. Penjumlahan Matriks Prinsip penjumlahan dua atau lebih matriks aitu menjumlahkan setiap elemenna ang seletak. Pengertian penjumlahan matriks : Jika A B C, maka elemen-elemen C diperoleh dari penjumlahan elemen-elemen A dan B ang seletak, aitu c ij a ij b ij untuk elemen C pada baris ke-i dan kolom ke-j. Akibatna, matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila kedua matriks memiliki ordo ang sama. Contoh: A, B maka A B C Perhatikan bahwa C mempunai ordo sama dengan A dan B Sifat-sifat penjumlahan matriks : a. AB BA (hukum komutatif untuk penjumlahan) b. A(BC) (AB)C (hukum asosiatif untuk penjumlahan) c. AO OA d. (AB) T A T B T. Pengurangan Matriks Operasi pengurangan pada matriks menggunakan prinsip ang sama seperti pada operasi penjumlahan. Matriks A dikurangi matriks B dengan cara mengurangi elemen matriks A dengan elemen matriks B ang seletak. Pengertian pengurangan matriks : Jika AB C, maka elemen-elemen C diperoleh dari pengurangan elemen-elemen A dan B ang seletak, aitu c ij a ij b ij atau pengurangan dua matriks ini dapat dipandang sebagai penjumlahan, aitu A (-B) Sarat : Matriks A dan B dapat dikurangkan jika ordo kedua matriks tersebut sama. Contoh: A, B AB AB A(B), atau
Kaidah ilmu hitung ang berlaku pada pengurangan adalah : a. A A O b. A O A. Perkalian Matriks Operasi perkalian pada matriks ada dua macam aitu perkalian matriks dengan skalar dan perkalian matriks dengan matriks. Sebelum memperkenalkan perkalian matriks dengan matriks, siswa terlebih dahulu diperkenalkan perkalian matriks dengan bilangan/skalar. a. Perkalian Matriks dengan skalar Matriks A dikalikan dengan c suatu bilangan/skalar maka ca diperoleh dari hasilkali setiap elemen A dengan c. Dengan demikian, matriks A dapat dipandang sebagai hasil kali matriks A dengan skalar ( ). Jadi A ( )A. Berikut ini adalah contoh perkalian matriks dengan bilangan skalar, Contoh: P maka P Jika p dan q bilangan real dan B, C dua matriks dengan ordo sedemikian hingga dapat dilakukan operasi hitung berikut, maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar : ) p (BC) pb pc ) p (BC) pb pc ) (p q) C pc qc ) (a b) C pc qc ) (pq) C p (qc) ) (pb) T pb T b. Perkalian matriks dengan matriks Untuk memahami perkalian matriks dengan matriks, kita perhatikan pernataan berikut. Dua matriks AB dapat dikalikan bila dan hana bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Jadi A m n Bn p bisa didefinisikan, tapi B n p Am n tidak dapat didefinisikan. A B AB mn np mp Perhatikan bahwa hasil kali matriks AB berordo m p Untuk menguji apakah dua matriks dapat dikalikan atau tidak dan juga untuk menentukan ordo hasil perkalianna, dapat juga menggunakan aturan memasang kartu domino sebagai berikut : sama (Hasil)
Elemen-elemen dari AB diperoleh dari hasil kali setiap baris pada matriks A dengan setiap kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan menjadi satu elemen. Untuk lebih jelasna, berikut ini diberikan contoh- contoh perkalian matriks dengan matriks. Contoh Perkalian Matriks p dengan matriks p : B [ ] dan C, B C [ ] [( ) () ()] [ ] Contoh perkalian matriks p dengan matriks p: A dan B[ ], Hasil kalina merupakan suatu matriks berordo. A B [ ] Contoh perkalian matriks mn dengan matriks np: A dan B A B () () () () () () () () () () () () Untuk matriks A didefinisikan. dan matriks C hasil perkalian A C tidak dapat Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks : ) A(BC) (AB)C ) (BC)A BACA ) A(BC) AB AC ) a(bc) (ab)c B(aC) ) (BC)A BA CA ) AI IA A ) A(BC) ABAC Perlu diingat bahwa bila AB dapat didefinisikan, maka BA belum tentu dapat didefinisikan, sehingga AB belum tentu sama dengan BA.
C. Determinan Matriks Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu ang disebut determinan. Pengertian Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer ang bertanda dari A dan dinatakan dengan det(a). Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari suatu matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan atau. Untuk lebih jelasna, berikut ini diuraikan cara mencari determinan matriks berordo dan matriks berordo.. Determinan matriks berordo a b Jika matriks A maka det (A) A c d a c b d ad bc Sebagai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari a c b d Contoh: P, maka det(p) P () (). Determinan matriks berordo X Untuk mencari determinan matriks berordo X dapat digunakan dua metode, sebagai berikut : a. Metode Sarrus p q r Jika matriks B s t u v w maka det(b) B p s v q t w r u pt quv rsw rtv qs puw p q r p q Sebagai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari s t u s t v w v w Perlu diperhatikan bahwa cara demikian tidak berlaku bila matriks berordo dan ang lebih tinggi lagi. Contoh: Q, maka det(q) Q adalah det(q) () () () () () ()
b. Metode Kofaktor Terlebih dahulu siswa dijelaskan tentang sub matriks atau minor dari suatu matriks. Minor suatu matriks A dilambangkan dengan M ij adalah matriks bagian dari A ang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemenna pada baris ke-i dan elemenelemen pada kolom ke-j. Contoh: Q, maka M M ; M M, M dan M merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke- dari matriks Q. Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan i j i j K ij () M ij () det (M ij ) Untuk mencari det(a) dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke- Contoh: Q, untuk mendapatkan det(q) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu determinan-determinan minorna ang diperoleh dari ekspansi baris ke- diatas, aitu det(m ), det(m ) dan det(m ), maka : Q q.k q.k q.k q.() det(m ) q () det(m ) q () det(m )... Suatu matriks ang nilai determinanna disebut matriks singular.. Adjoin Matriks Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A (k ij ) t Contoh: Q telah diketahui dari hitungan sebelumna bahwa k, k dan k sekarang kita hana mencari kofaktor dari ekspansi baris ke- dan ekspansi baris ke-, aitu :
k () ; k () ; k () k () ; k () ; k () k k k Adj A k k k k k k Hal ang menarik dalam mencari adjoin matriks berordo ditunjukkan sebagai berikut : a b Jika A, maka kofaktor-kofaktorna adalah k d, k c, k b dan c d k k d b k a. Kemudian Adj A k k c a Hal ini sama artina dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal utamana dan mengubah tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainna D. Invers Matriks Untuk menjelaskan invers matriks, perhatikan pengertian berikut: Invers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian ang dilambangkan dengan A. Definisi: Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A B B A I, dimana I matriks identitas maka B disebut invers dari A dan A invers dari B. Karena invers matriks A dilambangkan dengan A maka berlaku : A A Contoh: Diberikan matriks A A A I, dimana I matriks identitas. dan Apakah B adalah invers matriks A? Jawab B Karena A B I dan B A I Maka B adalah invers A ditulis A B
; sarat det(a) ; sarat det(a) Cara mencari invers matriks berordo dan invers matriks berordo dipaparkan berikut ini.. Invers matriks berordo Jika A d c b a, maka A ) det( A.Adj (A) A a c b d det( A) Contoh: A, tentukan A! Jawab: det(a) ( ) ( ) A. Invers matriks berordo Jika B, maka B ) det( B.Adj(B) Contoh : B,tentukan invers dari matriks segitiga tersebut! Jawab : Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode kofaktor dengan mengekspansi baris ang memuat nol terbanak aitu baris ke-, maka det(q) Q b.k b.k b.k ) ( Adj B B
Sifat-sifat invers matriks :. (AB) B A. Jika AB BA I, maka A dan B dikatakan sebagai matriks ang saling invers karena A B dan B A Bila suatu matriks A mempunai determinan nol atau det(a) maka matriks A tidak mempunai invers. Suatu matriks ang tidak mempunai invers disebut matriks singular. Bila det(a), maka matriks A pasti mempunai invers. Suatu matriks persegi ang mempunai invers disebut matriks non singular. Contoh Soal Aplikasi Matriks a. Hasil matriks perkalian berikut adalah: A [ ] dan B A B [ ] b. Hasil perkalian matrik berikut adalah: P P Q [ ] dan Q c. Dewi dan teman-temanna memesan mangkok bakso dan gelas es jeruk di kantin sekolahna. Tak lama kemudian, datang Doni dan teman-temanna memesan mangkok bakso dan gelas es jeruk. Dewi menantang Amir, seorang siswa SMK non Teknik, untuk menentukan harga bakso per mangkok dan harga es jeruk per gelas jika Dewi harus membaar Rp., untuk semua pesananna, dan Doni harus membaar Rp.., untuk semua pesananna itu. Maka berapakah harga bakso per mangkok dan es jeruk per gelasna? Petunjuk : Buatlah sistem persamaan linearna lalu selesaikan dengan matriks. Jawab: Misalkan harga bakso per mangkok harga es jeruk per gelas Sistem persamaan linearna :
Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut : atau A B, maka A B A.) (. ) ( ) ( Harga bakso Rp., per mangkok dan harga es jeruk Rp., per gelas. Contoh penelesaian aplikasi matriks pada soal-soal di atas bukanlah satu-satuna cara. Siswa hendakna diperbolehkan mencari penelesaian lain selama penelesaian dibuat dengan logis dan mengikuti kaidah aljabar matriks serta memperoleh hasil sama. Untuk tahap selanjutna kepada siswa dapat diajarkan tentang persamaan dan pertidaksamaan, baik ang linear atau kuadrat, juga relasi dan fungsi. Lembar Kerja. Jika A, tentukan ordo matriks A dan a!. Sebutkan jenis matriks berikut ini : a. b. c.. Jika A, B dan A B C T, tentukanlah matriks C!.Hitunglah perkalian matriks berikut : a. b. c. [ ] d.
. Jika A dan B, maka : a. Tentukan A b. Tentukan B c. Tentukan A B d. Tentukan (A B). Jika P dan Q a. Tentukanlah PQ b. Tentukan Q P. Untuk sembarang nilai a carilah nilai ang memenuhi bila diketahui det(a) untuk matriks : a. A a a b. A a a. Jika P dan Q, hitunglah : a. Det(P) b. Det(Q) c. Det(PQ) Apa kesimpulan anda setelah melakukan perhitungan di atas?. Jika P carilah det(p) dengan menggunakan : a. Metode Sarrus b. Metode Kofaktor.Tentukan matriks X berordo ang memenuhi persamaan : a. X b. X c. X d. X. Tentukan HP sistem persamaan linear dengan cara matriks. Tentukan nilai dan ang memenuhi persamaan berikut : a. b. ooo
Trik Menghitung Bilangan Belasan Menghitung perkalian dua angka belasan dapat dilakukan dengan cara konvensional juga dapat dilakukan dengan trik perkalian khusus. Tulisan ini akan membahas bagaimana melakukan perkalian mudah dengan contoh kita akan mencoba perkalian. Langkahna adalah sebagai berikut:. Hasil akhir perkalian diasumsikan lebih, jadi asumsikan hasil akhir diawali angka.. Tambahkan angka satuan dari dua bilangan tersebut aitu nilaina adalah. Sekarang kita memperoleh hasil sementara _ ( dari langkah, dan dari langkah ) atau lebih.. Sekarang lakukan perkalian angka satuan dari dua bilangan, aitu sehingga nilaina.. Tambahkan nilai hasil dari langkah dan, aitu sehingga ditemukan nilai akhir. Untuk angka ang lebih besar, dengan hasil penambahan dan perkalian angka satuan (langkah dan ) maka angka puluhan ditambahkan dengan ke digit depanna. Misalna perkalian angka. Hasil penambahan adalah. Angka puluhan harus ditambahkan ke digit depanna (aitu angka, lihat langkah ) sehingga menjadi. Hal ang sama dilakukan untuk langkah perkalian. Semoga Bermanfaat.