Aalsa Numerk Baha Matrkulas PENDAHULUAN Metode umerk merupaka suatu tekk atau cara utuk megaalsa da meyelesaka masalah masalah d dalam bdag rekayasa tekk da sa dega megguaka operas perhtuga matematk Masalah-masalah tersebut basaya ddealka da dormulaska secara matemats Operas perhtuga matematk d dalam metode umerk basaya dlakuka secara berulag ulag Bla dlakuka secara maual operas perhtuga aka membutuhka waktu yag sagat lama Oleh karea tu, utuk operas perhtuga metode umerk dperluka batua komputer Dega batua komputer operas perhtuga yag dlakuka berulagulag dapat dselesaka dega sagat cepat Metode umerk sudah lama sejak lama dkembagka orag Aka tetap pada awal perkembagaya aplkas metode tersebut dalam meyelesaka permasalaha mash sagatlah jarag Hal dsebabka karea alat batu operas perhtuga matematk, yatu komputer mash sagatlah kurag Setelah perkembaga tekolog komputer semak pesat da pemakaa komputer sudah semak meluas, metode umerk mejad metode yag hadal utuk megaalsa da meyelesaka masalah-masalah yag terjad dalam segala bdag lmu pegetahua Masalah-masalah yag dapat dselesaka dega metode umerk tersebut tdak haya masalah sederhaa yag mash dapat dselesaka secara aalts, aka tetap juga masalah-masalah kompleks yag tdak dapat lag dselesaka secara aalts Pada awalya metode umerk bayak dperkealka oleh para ahl matematk Aka tetap selajutya dalam perkembaga metode umerk juga bayak kostrbus dar ahl rekayasa spl, mes, elektro, ekoom, sosal da bdag lmu laya Ddalam metode umerk, permasalaha-permasalaha yag dormulaska secara matemats merupaka suatu pedekata Akuras perhtuga dar permasalaha yag ddekat secara matemats sagat tergatug pada asumsasums yag dberka Msalya, utuk alra ar suga satu dmes, prol Pedahulua Metode Numerk Ahmad Zakara
Aalsa Numerk Baha Matrkulas kecepata setap ttk htug dasumska sama Semak akurat data yag dperguaka utuk perhtuga operas matematk da semak sedkt asums yag dberka maka pedekata aka memberka hasl yag lebh bak Ukura akuras dar pedekata lebh dkeal dega ama error atau kesalaha Kesalaha (error) Hasl operas perhtuga matematk dar persamaa matematk (yag merupaka pemodela dar permasalaha) merupaka suatu perkraa yag medekat la eksak, apabla persamaa tersebut dapat dselesaka secara aalts Tga macam kesalaha dalam operas perhtuga matematk adalah sebaga berkut, kesalaha bawaa kesalaha pembulata kesalaha pemotoga Kesalaha bawaa adalah suatu kesalaha yag terjad karea kesalaha put data yag dperguaka utuk perhtuga Kesalaha terjad karea kurag teltya pecatata data dar lapaga maupu pecatata dar data prmer da sekuder Kesalaha pembulata terjad karea pemotoga desmal dar blaga yag dperhtugka, bak utuk put data maupu pada waktu operas perhtuga matematk Cotoh dar kesalaha pembulata adalah sebaga berkut:,7888 dbulatka mejad,7,5965 dbulatka mejad, Kesalaha pemotoga terjad karea ddalam operas matematk tdak dlakuka prosedur perhtuga matematk yag sesua dega pemodelaya Msalya suatu Pedahulua Metode Numerk Ahmad Zakara
Aalsa Numerk Baha Matrkulas persamaa tak hgga dmodelka mejad persamaa berhgga sepert pedekata utuk metode beda hgga yag dturuka dar deret Taylor Kesalaha Absolut da kesalaha Relat Kesalaha Absolut dapat dpresetaska sebaga berkut, E e p p * dmaa: E e kesalaha absolut p la eksak p * pedekata la eksak Kesalaha relat dapat ( ε eact ) dpresetaska sebaga berkut, ε E e e p 00 % Jka la eksak tdak dketahu, perhtuga kesalaha relat ( ε dtuls sebaga berkut, appromate ) juga dapat ε a E a 00 % p * perhtuga kesalaha relat juga dapat dpresetaska, ε a p * p p * * 00 % Pedahulua Metode Numerk Ahmad Zakara
Aalsa Numerk Baha Matrkulas Deret Taylor Pedekata ugs da ugs ( ) dega megguaka deret Taylor dapat dpresetaska sebaga berkut, Pedekata utuk, K Pedekata utuk, K Pedekata utuk satu suku pertama (orde ol) dapat dtuls sebaga, Ο Pedekata utuk dua suku pertama (orde satu) dapat dtuls sebaga, Ο dar pedekata dapat dturuka, Ο Pedahulua Metode Numerk Ahmad Zakara
Aalsa Numerk Baha Matrkulas Pedekata utuk tga suku pertama (orde dua) dapat dtuls sebaga, Ο dar pedekata d atas dapat dturuka, Ο Berdasarka ugs da ugs ( ), turua kedua dar ugs dapat dapat dsusu sebaga berkut, K K Ο Kesalaha pedekata dar persamaa d atas dapat djabarka sebaga berkut, Ο Nla eksak Nla pedekata Error Pedahulua Metode Numerk Ahmad Zakara 5
Aalsa Numerk Baha Matrkulas Dar persamaa d atas dapat dbuat sebaga berkut, ( ) ( ) lebh sederhaa persamaa dapat dsusu sebaga berkut, dmaa:,, da merupaka koese pemberat beda hgga Persamaa merupaka persamaa pedekata turua kedua ugs dega derajad kesalaha atau akuras orde dua Persamaa d atas dkeal sebaga persamaa pedekata metode beda hgga (te-derece) yag merupaka pedekata beda hgga terpusat (cetral dereces) Dega cara yag sama dapat dbuat tabel pedekata metode beda hgga utuk berbaga turua da akuras sebaga berkut: Tabel koese pemberat pedekata beda hgga utuk akuras orde - 0 - ( ) - 0 - - 6 - cetral dereces Ο Pedahulua Metode Numerk 6 Ahmad Zakara
Aalsa Numerk Baha Matrkulas Tabel koese pemberat pedekata beda hgga utuk akuras orde -8 0-8 ( ) - 6-0 6-8 ( ) -8 0-8 - 6 ( ) - -9 56-9 - cetral dereces Ο Problem Set: Dar Tabel dketahu bahwa pedekata beda hgga utuk turua orde tga adalah sebaga berkut, ( ) 0 0 Dmta: Buktka persamaa tersebut d atas Pedahulua Metode Numerk 7 Ahmad Zakara
Aalsa Numerk Baha Matrkulas Jawab: Dar deret Taylor dapat dsusu persamaa sebaga berkut, K () K () K () K () Substtus persamaa () da () ddapat persamaa (A) berkut, () () (A) Substtus persamaa () da persamaa () ddapat persamaa (B), () () (B) Substtus persamaa (A) da (B) ddapat persamaa berkut, Pedahulua Metode Numerk Ahmad Zakara 8
Aalsa Numerk Baha Matrkulas B A 6 ( ) Terbukt bahwa pedekata beda hgga utuk turua ketga adalah sebaga berkut, Pedahulua Metode Numerk Ahmad Zakara 9
Aalsa Numerk Baha Matrkulas Dar Tabel dketahu bahwa pedekata beda hgga utuk turua orde dua dega akuras orde empat adalah sebaga berkut, 6 0 6 6 0 6 Dmta: Buktka persamaa tersebut d atas Jawab: Dar deret Taylor dapat dsusu persamaa sebaga berkut, K () K () K () K () Substtuska persamaa () da (), () () (A) Pedahulua Metode Numerk Ahmad Zakara 0
Aalsa Numerk Baha Matrkulas Substtuska persamaa () da (), () () ( ) ( ) (B) Substtus persamaa (A) da (B), ( A) ( B) 6 6 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) 6 6 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 6 ( ) 0 6 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 0 6 ( ) ( ) Terbukt bahwa pedekata beda hgga utuk turua kedua akuras orde empat adalah sebaga berkut, utuk 6 0 6 Pedahulua Metode Numerk Ahmad Zakara