5. RUANG-RUANG VEKTOR

5. RUANG-RUANG VEKTOR Rng-Rng Vektor 5.. RUANG-N EUCLIDIS DEFINISI 5.: RUANG -N Jik n dlh sebh bilngn blt positif mk n-psngn terrt dlh (.. n ) dimn i i..n dlh bilngn riil. Himpnn sem n-psngn terrt ini dinmkn rng-n dn dinytkn dengn R n DEFINISI 5. D ektor (... n ) dn (.. n ) pd R n D ektor dinytkn sm bil... n n Jmlhn + ( + + n + n ) Jik terdpt k R k 0 mk perklin sclr k (k k k n ) Vektor Nol : 0 (00 0) Iners ditif (negtif) : - (- -... - n ) Pengrngn : ( - - n - n ) TEOREMA 5.: Jik U V W R n kl R mk : () Jik V mk + V (b) + + (c) +(+w) (+)+w (d) Jik 0 V sehingg 0 + + 0 V (e) V - V (negtif ). sehingg + (-) (-) + 0 (f) Jik kl R V mk k V (g) k ( + ) k + k (h) (k+l) k + l (i) k(l ) (kl) (j) DEFINISI 5.4: EUCLIDEAN INNER PRODUCT Jik U V R n mk yng disebt sebgi Ecliden Inner prodct dlh U.V + +... + n n (5.) Jik U! n V! mk U.V V t U 5.. SUBSPACE (SUBRUANG) DEFINISI 5.5 : SUBRUANG Jik W V W diktkn sebgi sbrng V jik W it sendiri dlh rng ektor di bwh penmbhn dn perklin sklr yng didefinisikn pd V. Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr

TEOREMA 5.6 Jik W dlh himpnn dri st t lebih ector dri sebh rng ector V mk W dlh sbrng dri V jik dn hny jik kondisi-kondisi berikt berlk: () Jik dn dlh ector-ektor pd W mk + terletk di W (b) Jik k R dlh sebrng ektor pd W mk k berd di W. DEFINISI 5.7 : KOMBINASI LINEAR Sebh ektor w dinmkn kombinsi liner dri ektor-ektor.. r jik ektorektor tersebt dpt ditliskn dlm bentk: W k + k +...+k r r dimn k i i..r R (5.) DEFINISI 5.8: SPAN Jik.. r dlh ektor-ektor pd rng ektor Vdn jik msing-msing ektor pd V dpt dinytkn sebgi kombinsi liner dri.. r mk ektor-ektor ini diktkn Spn di V (merentng di V) TEOREMA 5.9 Jik.. r dlh ektor-ektor pd rng ektro V mk : () Himpnn w dri sem kombinsi liner.. r dlh sbrng V (b) W dlh sbrng terkecil dri V yng mengndng.. r dlm rti bhw setip sbrng lin dri V yng mengndng.. r hrs mengndng W. NOTASI Rng Lin W yng spn oleh himpnn ektor-ektor S {.. r } kn dinytkn oleh : Lin(S) t Lin {.. r } 5.. KEBEBASAN LINEAR DEFINISI 5.0 : KEBEBASAN LINEAR Jik S {.. r } dlh himpnn ektor mk persmn ektor : k + k +...+k r r 0 (5.) mempnyi pling sedikit st pemechn yit k 0 k 0 k r 0 Jik ini dlh st-stny pememchn dri (5.) mk S dinytkn sebgi himpnn yng bebs liner. Jik terdpt st sj dri k i 0 i r dn memenhi persmn (5.) mk himpnn S dinytkn sebgi himpnn yng bergntng liner (tk bebs liner) TEOREMA 5. Himpnn S dengn d ektor t lebih dlh : () Tk bebs liner jik dn hny jik pling tidk st dintr ektor-ektor ini dpt dinytkn sebgi kombinsi liner dri ector-ektor linny. (b) Bebs liner jik dn hny jik tidk d ector-ektor yng dpt dinytkn sebgi kombinsi liner dri ector-ektor lin yng d di S. 4 Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr

Rng-Rng Vektor TEOREMA 5. () Jik sebh himpnn mengndng ektor nol mk himpnn it tidk bebs liner (b) Sebh himpnn yng mempnyi persis d ektor tk bebs liner jik dn hny jik slh st dri ektor it dlh perkli sklr dri ektor linny. TEOREMA 5. Mislkn S {.. r } dlh himpnn ektor-ektor pd R n jik r > n mk S tk bebs liner. 5.4. BASIS DAN DIMENSI DEFINISI 5.4 : BASIS Jik V d;j sebrng rng ektor dn S {.. r } merpkn himpnn berhingg dri ektor-ektor pd V mk S dinytkn sebgi bsis ntk V jik () S dlh bebs liner dn (b) S spn di V DEFINISI 5.5 Sebh rng ector tk nol V dinytkn berdimensi berhingg jik rng ektor tersebt mengndng sebh himpnn berhingg dri ektor-ektor {.. n } yng membentk sebh bsis. Jik tidk d himpnn seperti it mk V dinytkn berdimensi tk berhingg CATATAN 5.6 Rng ektor nol dinggp sebgi rng berdimensi berhingg wlpn tidk mempnyi himpnn bebs liner dn tidk mempnyi bsis sert didefinisikn berdimensi nol. TEOREMA 5.7 Jik S {.. n } dlh bsis ntk rng ector V mk setip himpnn dengn lebih dri n ector dlh tk bebs liner COROLLARY 5.8 Sebrng d bsis ntk rng ektor berdimensi berhingg mempnyi jmlh ektor yng sm. DEFINISI 5.9 Dimensi sebh rng ektor V yng berdemensi berhingg didefinisikn sebgi bnykny ektor pd bsis ntk V. TEOREMA 5.0 () Jik S {.. n } dlh sebh himpnn n ekor bebs liner pd sebh rng V yng berdimensi n mk S dlh sebh bsis ntk V (b) Jke S {.. n } dlh sebh himpnn n ektor yng spn pd rng V yng berdimensi n mk S dlh bsis ntk V. Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr 5

(c) Jik S {.. r } dlh sebh himpnn bebs liner pd rng V yng berdimensi n dn r < n mk S dpt diperbesr menjdi bsis ntk V yit ektorektor r+... n sedingg {.. r r+ n } dlh sebh bsis ntk V. 5.5. RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS RANK DAN PENERAPANNYA UNTUK MENCARI BASIS DEFINISI 5.: Tinjlh mtriks mxn A! n n " " " n n! nn Vektor-ektor : r (.. n ) r (.. n )! r m ( m m.. mn ) terbentk dri bris-bris A yng dinmkn sebgi ektor bris dri A dn ektor ektor : c! m c! m c n terbentk dri kolom-kolom dri A yng dinmkn sebgi ektor ektor kolom dri A. Sbrng R n yng spn oleh ektor ektor bris ini dinmkn sebgi rng bris (row spce) A dn sbrng R m yng spn oleh ektor ektor kolom dinmkn rng kolom (colmn spce) dri A.! TEOREMA 5. Opersi bris elementer tidk mengbh rng bris dri sebh mtriks. TEOREMA 5. Vektor ektor bris tk nol berbentk eselon bris dri mtriks A membentk bris ntk rng bris A. TEOREMA 5.4 Jke A dlh sebrng mtriks mk rng bris dn rng kolom dri A mempnyi dimensi yng sm DEFINISI 5.5: RANK Dimensi rng bris dn rng kolom mtriks A dinmkn rnk A dn dinytkn dengn Rnk(A) n n mn 6 Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr

Rng-Rng Vektor TEOREMA 5.6 Jik A dlh mtriks n x n mk pernytn-pernytn berikt ekilen st sm lin: () A dpt diinerskn (b) Ax 0 hny mempnyi pemechn triil (c) A ekilen bris dengn I n (d) Ax b konsisten ntk tip-tip mtriks b yng berkrn n x (e) Det (A) 0 (f) A mempnyi rnk n (g) Vektor ektor bris A bebs liner (h) Vektor ektor kolom A bebs liner TEOREMA 5.7 Sebh sistem persmn liner Ax b dlh konsisten jik dn hny jik b berd pd rng kolom A. TEOREMA 5.8 Sebl sitem persmn liner Ax b kn konsisten jik dn hny jik rnk dri mtriks koefisien A sm dengn rnk dri mtriks yng diperbesr [A b] TEOREMA 5.9 Jik Ax b dlh sistem persmn liner konsisten dri m psngn n bilngn tk dikethi dn jik A mempnyi rnk r mk pemechn sistem persmn liner tersebt mengndng n-r prmeter. 5.6. INNER PRODUCT SPACE (RUANG HASIL KALI DALAM) DEFINISI 5.0 Sebh inner prodct pd rng ektor riil V dlh fngsi yng mengsosisikn bilngn riil <> dengn msing-msing psngn ektor dn pd V sedemikin hingg ksiom-ksiom berikt dipenhi ntk sem ektor dn w di V dn jg sem sklr k. () <> <> ksiom simetris () <+w> <w> + <w> ksiom penmbhn () <k > k <> ksiom kehomogenn (4) <> 0 <> 0! 0 ksiom kepositifn Sebh rng ektor riil dengn sebh inner prodct dinmkn rel inner prodct spce. 5.7. PANJANG DAN SUDUT DI INNER PRODUCT SPACE MOTIVASI: Di R pnjng ektor ( ) diberikn oleh / +. (. ) (5.4) Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr 7

DEFINISI 5. Jik V dlh sebh inner prodct spce mk norm ektor yng dinytkn oleh dpt didefinisikn sebgi berkt : < > / (5.5) MOTIVASI: Di R jrk ntr d titik ( ) dn ( ) diberikn oleh : d() ( ) + ( (5.6) ) DEFINISI 5. Jik V dlh sebh inner prodct spce mk jrk ntr d titik (ektor ) dn dinytkn oleh d() didefinisikn oleh : d() (5.7) TEOREMA 5.: PERTIDAKSAMAAN CAUCHI SCHWARZ Jik dn dlh ektor pd sebh inner prodct spce mk () () () (5.8) TEOREMA 5.4 Jik V dlh inner prodct spce mk norm < > / dn jrk d() memenhi sem sift-sift berikt : N. 0 D. d() 0 N. 0! 0 D. d() 0! N. k k D. d() d( ) N4. + + D4. d() d(w) + d(w) CATATAN 5.5 Pertidksmn Cchi Schwrz dpt dignkn ntk mendefinisikn sdt-sdt pd inner prodct spce yng lebih mm. Misl dn dlh ektor ektor tk nol dlm inner prodct spce V < > t < > (5.9) Jik θ dlh sdt yng mengkr rdin dri 0 hingg π mk cos θ kn mempnyi nili ntr smpi dengn < > cos θ dn 0 θ π (5.0) DEFINISI 5.6 Dlm inner prodct spce d ector dn diktkn orthogonl jik <> 0. Selnjtny jik orthogonl terhdp setip ektor pd himpnn w mk diktkn orthogonl terhdp w. 8 Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr

Rng-Rng Vektor TEOREMA 5.7 Jik dn dlh ektor ektor orthogonl pd inner prodct spce mk + (5.) + Bkti: ( + )( ) + + + + (kren dn orthogonl mk <> 0 ) + 5.8. BASIS ORTONORMAL PROSES GRAM SCHMIDT MOTIVASI Dlm bnyk sol yng menyngkt rng ektor pemilihn bsis ntk rng tersebt sngtlh penting ntk menyederhnkn pemechn sol yng dihdpi. Pd inner prodct spce sering ditemkn kss yng pilihn terbikny dlh bsis yng sem ektorny orthogonl terhdp ektor yng linny. DEFINISI 5.8: Sebh himpnn ektor pd inner prodct spce dinmkn himpnn orthogonl jik sem psngn ector-ektor yng berbed dlm himpnn tersebt orthogonl. Sebh himpnn orthogonl yng setip ektor ny mempnyi norm st dinmkn ortonorml. Jik dlh tk nol pd inner prodct spce mk menrt sift N dri teorem 5.4 ektor kren TEOREMA 5.9 Jik S {.. r } dlh himpnn orthogonl.dn merpkn ektor tk nol dlm inner prodct spce mk S bebs liner TEOREMA 5.40 Mislkn V dlh inner prodct spce dn {.. n } dlh himpnn ortonorml dri ektor ektor di V. Jik W menytkn rng yng spn oleh.. n mk setip ektor dlm V dpt ditliskn dlm bentk : w + w (5.) dimn w terletk di W dn w ortogonl terhdp W dengn memislkn w < > + < > + + < r > r dn (5.) w - < > - < > - - < r > r Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr 9

Diktt Aljbr Liner Diktt Aljbr Liner Diktt Aljbr Liner 0 Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr TEOREMA 5.4 Setip inner prodct spce berdimensi berhingg tk nol mempnyi sebh bsis ortonorml. Bkti : Lngkh : Mislkn ektor mempnyi norm st. Lngkh : Untk membngn ektor yng memiliki norm st dn orthogonl terhdp hitnglh komponen yng orthogonl terhdp rng w yng spn oleh ll normlkn komponen tersebt. Pr Pr w w oy oy Pr Pr w w oy oy! dn setersny. Proses inilh yng dinmkn sebgi proses Grm-Schmidt