Analisa Numerik Matriks dan Komputasi
M AT R I K S Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan, variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi dan biasanya ditutup dengan tanda kurung
K O N S E P M AT R I K S Setiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A, B, C,... dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c,..., dan seterusnya. Contoh : A = a c b d Kolom ke 1 Kolom ke 2 baris ke 1 baris ke 2
A = a c b d Kolom ke 1 Kolom ke 2 baris ke 1 baris ke 2 Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 X 2 ditulis A 2X2 atau (a 22 ). Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.
Ke s a m a a n M a t r i k s Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B. Contoh : A = a b c d e f dan B = a b c d e f Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 x 3
M A C A M - M A C A M M AT R I K S
M AT R I K S B A R I S Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh : A = ( 4 3 2 4 )
M AT R I K S KO L O M Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom Contoh : A = 4 5-1
M AT R I K S P E R S E G I ATA U M AT R I K S B U J U R S A N G K A R Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom Contoh : Contoh : A = 4 5-1 5 2 4 3 2 1 jumlah baris = jumlah kolom
M AT R I K S N O L Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n,ditulis dengan huruf O Contoh : O 2X3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MATRIKS SEGI TIGA Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 (nol). Contoh : 2 0 0 0 3 7 0 0 C = -9 0 8 0, D = 4 1-3 5 8 2 1-3 0 6 5 4 0 0 3 7 0 0 0 9
M AT R I K S D I AG O N A L Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya, kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol. Contoh : E = 5 0 0 0 0 7 0 0 0 0-2 0 0 0 0 8
M AT R I K S S K A L A R Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama. Contoh : F = 7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7
M AT R I K S I D E N T I TA S ATA U M AT R I K S S AT U A N Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya 1 (satu) ditulis dengan huruf I. Contoh : 1 0 0 0 1 0 I 3 =, I 4 = 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I 3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I 4 adalah matriks identitas ordo 4
M AT R I K S S I M E T R I S Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga a ij = a ji. Contoh : G = 1 3 2 5 3 4 6 9 2 6 7 8 5 9 10 2 Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga
M AT R I K S M E N D ATA R Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom. Contoh : H 2X3 = 3 2 1 4 5 1
M AT R I K S T E G A K Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom. Contoh : K 3x2 = 1-8 4 1 9 1
Penulisan Matriks dengan Matlab
Contoh Tuliskan matriks berikut: A(3,1) = 3; A = Cara I: A(1,1) = 1; A(1,2) = 2; A(1,3) = 3; A(1,4) = 4; A(2,1) = 2; A(2,2) = 0; A(2,3) = 0; A(2,4) = 0; A(3,2) = 0; A(3,3) = 0; A(3,4) = 0; A(4,1) = 4; A(4,2) = 0; A(4,3) = 0; A(4,4) = 0;
Cara 2 A = [ 1 2 3 4; 2 0 0 0; 3 0 0 0; 4 0 0 0]; Cara 3 >> A = zeros(4); (Ket: semua elemen diisi dgn nol >> r = 1:4; >> A(:,1) = r'; (ket: % kolom pertama) >> A(1,:) = r; (Ket: % baris pertama) >> A Cara 4 >> A = [1 2 3 4; 2 zeros(1,3); 3 zeros(1,3); 4 zeros(1,3)];
M AT R I K S T R A N S P O S ( notasi A t ) Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga = elemen baris ketiga matriks A. Misal Matriks A = 1-2 5 8 9 1 4 2 0 3-2 -3 Maka Transpos A adalah A t = 1 9 0-2 1 3 5 4-2 8 2-3 Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3
Transpose dengan Matlab Cari transpose Matriks: Jawab >> A = [3 8-1; 5 2 0]; >>A >> transpose (A) Lihat apa yang terjadi
O P E R A S I M AT R I K S
P E N J U M L A H A N D A N P E N G U R A N G A N 2 M AT R I K S Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama. Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
C O N TOH 3 2 1 Jika A =, dan B = 5 4 6 7 5-3 -2 1 0 Maka A + B = 10 7-2 3 5 6 3-7 2-5 1-(-3) A - B = = 5-(-2) 4-1 6-0 -4-3 4 7 3 6
Penjumlahan/Pengurangan dengan Matlab Diketahui: Maka nilai C = A+B dan D = A B adalah
P E R K A L I A N B I L A N G A N R E A L D E N G A N M A T R I K S Jika k adalah suatu bilangan Real (skalar) dan Matriks A = (a ij ), maka Matriks ka = (ka ij ) adalah suatu matriks yang di peroleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. a 11 a 12 ka 11 ka 12 a 21 a 22 ka 21 ka 22 Jadi, jika A =, maka : ka = 7 5-3 Contoh : Misal A =, -2 1 0 7 5-3 maka 3A = 3 = = -2 1 0 3.7 3.5 3.(-3) 3.(-2) 3.1 3.0 21 15-9 -6 3 0
Dengan Matlab >> A = [7 5-3; -2 1 0]; >> B = 3* A Hasilnya: B = 21 15-9 -6 3 0
PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS (PERKALIAN 2 MATRIKS) Matriks A yang berordo mxp dengan suatu matriks B yang berordo pxn adalah matriks C yang berordo mxn. A mxp.b pxn = C mxn Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah : Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.
Secara umum jika A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 >> ordo matriks 2x3 B = b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 >> ordo matriks 3x2 C = A. B = c 11 c 12 >> ordo matriks 2x2 c 21 c 22 Dimana c 11 = a 11 b 11 +a 12 b 21 +a 13 b 31 c 12 = a 11 b 12 +a 12 b 22 +a 13 b 32 c 21 = a 21 b 11 +a 22 b 21 +a 23 b 31 c 22 = a 21 b 12 +a 22 b 22 +a 23 b 32
Contoh Diketahui A = I dan Hitung A*B dan A/B! Hasilnya: >>A = eye(2); B = [1 2; 3 4]; >>C = A*B C = 1 2 3 4 >> C = A/B C = -2.0000 1.0000 1.5000-0.5000
Latihan Diketahui: Buatlah script untuk menghitung: Transpose matriks A, B, dan X A + B dan A B A x B, X x A, dan X x B
Hatur Nuhun