31 Bab V MetodeFunctional Statistics Algorithm (FSA) dalam Sintesis Populasi V.1 Mengenal Metode Functional Statistics Algorithm (FSA) Metode Functional Statistics Algorithm (FSA) adalah sebuah metode yang dikembangkan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan distribusi data. Metode ini digunakan untuk menganalisis distribusi, untuk mendapatkan sesuatu dari distribusi tersebut. FSA merupakan algoritma yang lengkap untuk menentukan parameter, yang diperoleh dengan menganalisis distribusi yang telah ditentukan fungsinya. Selain dapat menentukan parameter, FSA digunakan untuk langkah fitting suatu data distribusi agar memiliki galat (error) yang kecil, sehingga didapatkan distribusi terbaik yang mendekati teori (kebenaran). FSA bekerja tanpa melibatkan angka random. Ide utama FSA adalah menyelesaikan masalah distribusi secara statistik, tanpa melibatkan angka random, tetapi menggunakan pembobotan noninteger pada distribusi frekuensi yang diasumsikan. FSA menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan statistik dengan cara memeriksa atau meneliti fungsi distribusinya saja, kemudian kita tentukan nilai di setiap titik distribusi. Secara umum, berdasarkan hal tersebut, maka FSA membutuhkan fungsi yang kontinu, agar nilai pada setiap titiknya diketahui. FSA membutuhkan beberapa konsep untuk memudahkan penyelesaian masalah statistik distribusi ini, yaitu : konsep kekontinuan fungsi dan konsep interpolasi. Hal ini menunjukkan bahwa FSA dapat bekerja dengan jumlah titik data yag sedikit, atau bahkan memungkinkan untuk menyelesaikan masalah distribusi tanpa data, FSA hanya memerlukan fungsi saja, kemudian dihitung nilai fungsinya berdasarkan distribusi frekuensi yang diasumsikan dengan memasukkan bobot non-integer terhadap nilai fungsi tersebut. Metode FSA dapat diterapkan dalam distribusi apapun. Asalkan fungsinya diketahui, kita akan mengetahui nilai di setiap titik distribusinya sepanjang fungsi yang membentuk distribusi. Kita akan menggunakan metode FSA ini dalam mengestimasi parameter dalam diagram HR, beserta proses fittingnya. Proses fitting biasanya dengan menggunakan isochrone fitting, dahulu dilakukan secara subjektif, bergantung kepada orang yang melakukan proses isochrone fitting, yaitu dengan chi by eye. Maka
32 disusunlah metode yang mencoba menghilangkan subjektivitas dalam proses isochrone fitting, yaitu dengan FSA. Dengan menggunakan metode FSA, membuat hasil lebih objektif, karena perhitungan FSA lebih presisi dan galat yang dihasilkan sangat kecil, tidak tergantung kepada orang yang melakukan proses fitting. FSA merupakan algoritma yang tidak melibatkan angka random, sehingga komputasinya lebih efisien dibandingkan dengan metode yang melibatkan angka random dalam jumlah yang sangat besar, yaitu metode Monte Carlo. Kita akan melihat perbandingan metode manakah yang lebih efektif dan efisien dalam menyelesaikan masalah distribusi data. Kedua metode yang digunakan dalam simulasi masing-masing memiliki kelemahan dan kelebihan dalam menyelesaikan masalah distribusi. Di satu sisi salah satu metode lebih unggul dibandingkan metode yang lainnya. Akan tetapi di sisi yang lain, mungkin terjadi sebaliknya. Kita harus bisa memanfaatkan metode mana yang harus digunakan pada masalah yang dihadapi, apakah menggunakan metode FSA atau menggunakan metode Monte Carlo. Hal yang harus diingat adalah keefektifan dan keefisienan. V.2 Metode FSA : sebuah alternatif dari metode Monte Carlo dalam penyelesaian masalah distribusi (khususnya dalam analisis diagram HR) Menurut Wilson (2001) dan Wilson & Hurley (2003), Metode Functional Statistics Algorithm (FSA) dikembangkan dalam analisis diagram HR. Akan tetapi metode ini dapat diterapkan dalam berbagai masalah distribusi, yang biasanya diselesaikan dengan metode Monte Carlo. FSA adalah algoritma lengkap untuk mengestimasi parameter, termasuk langkah fitting. FSA menyelesaikan masalah statistik dengan menghitung fungsi, tanpa melibatkan angka random. Dengan tidak melibatkan angka random, membuat FSA lebih efisien dibandingkan dengan metode Monte Carlo dalam hal komputasinya, karena FSA tidak menghasilkan noise dalam komputasi teoritis yang disebabkan oleh percobaan random dengan jumlah yang besar. FSA hanya membutuhkan beberapa titik data, sebagai contoh yang realistis yang mewakili rentang distribusi statistik fungsi yang dimaksud. Jadi FSA tidak membutuhkan distribusi yang besar, hanya memerlukan fungsinya saja. Hal yang mendasar dalam pemikiran saintifik adalah bahwa noise observasi mengganggu perhitungan akurat. Salah satu efek yang ditimbulkan karena adanya noise tersebut adalah menjadikan observasi dan komputasi teoritis tidak sama dalam kenampakan dan distribusi.
33 Metode Monte Carlo, justru menimbulkan masalah ini, yaitu dengan menghadirkan noise ke komputasi teoritis, sehingga perhitungannya menjadi lebih lama dibandingkan dengan menggunakan metode FSA. Dalam menganalisis diagram HR, FSA efisien untuk masalah multiple stars dan untuk distribusi komposisi kimia, ekstingsi antar bintang dan parameter lainnya. FSA bekerja secara statistik ketika menghilangkan keterlibatan angka random. FSA menggunakan pembobotan non-integer berdasarkan pada distribusi frekuensi yang diasumsikan. Sebagai contoh, parameter komposisi kimia z, dalam hal ini nilai ratarata z diasumsikan memiliki distribusi Gaussian. Satu nilai z untuk keseluruhan bintang tentu akan bermanfaat, dan kita dapat menggunakan data tersebut dengan mudah. Untuk mendapatkan model yang terbaik, kita cukup melakukan perhitungan menggunakan FSA evolusi 10 bintang dengan nilai z yang bervariasi, kemudian diberikan bobot fraksi pada masing-masing bintang, yang ditambahkan kepada bobot bintang asal. FSA menggantikan setiap bintang individu dengan memberikan nilai bintang fraksi beserta dengan nilai z yang terdapat pada masing-masing bintang. Fraksi pembobotan bintang adalah daerah tepat di bawah kurva distribusi, dalam hal ini kurva distribusi Gaussian, atau dapat distribusi apapun, tergantung kepada distribusi frekuensi yang kita asumsikan. Akan tetapi dengan menggunakan metode Monte Carlo, untuk hasil yang sama dengan metode FSA, kita membutuhkan lebih banyak lagi jumlah bintang dan nilai z random yang bervariasi yang dijadikan percobaan / sampel. Hal ini disebabkan metode Monte Carlo megatasi masalah pembobotan dengan menempatkan titik distribusi angka random mengikuti distribusi frekuensi yang diasumsikan. Metode Monte Carlo mengintegrasikan di bawah distribusi dengan merata-ratakan, maka angka random yang dijadikan titik distribusi harus sangat besar, sedangkan FSA mengintegrasikan secara langsung. Dalam metode Monte Carlo, semakin banyak percobaan random yang dijadikan titik distribusi, maka akurasi distribusi data akan semakin baik. FSA bekerja dengan baik dengan jumlah titik distribusi kurang dari 10 titik serta jumlah including parameter yang sedikit, sedangkan Monte Carlo bekerja dengan baik jika jumlah percobaan randomnya sangat besar. Hal ini mengindikasikan bahwa metode FSA lebih efektif dan efisien dibandingkan metode Monte Carlo dalam hal running time komputasi. FSA memiliki kelemahan, yaitu semakin banyak jumlah including parameter, FSA akan semakin rumit dalam hal pembobotannya. Secara umum keduanya dapat diterapkan untuk
34 penyelesaian distribusi, dalam satu sisi FSA lebih efektif dibandingkan Monte Carlo, akan tetapi di sisi yang lain, Monte Carlo lebih efektif dan efisien dibandingkan dengan FSA. Salah satu masalah yang cukup sulit dalam diagram HR adalah masalah multiple star, yang menyebabkan deret utama dan juga deret lainnya berubah dan terjadi pelebaran. Pemodelan yang tepat membutuhkan pemahaman mengenai distribusi massa dari companion stars. Dengan membandingkan diagram HR teoritis dan diagram HR observasi, kita akan mendapatkan parameter distribusi dan mengestimasi parameter tersebut. Multiple star yang meliputi sistem bintang yang memiliki dua anggota (binaries), bintang ganda yang memiliki tiga anggota (triple) dan seterusnya. Sistem bintang yang memiliki dua anggota meliputi : close binaries dan wide binaries. Close binaries adalah sistem bintang dua anggota yang memiliki interaksi kuat, sedangkan wide binaries adalah sistem bintang dua anggota yang memiliki interaksi lemah. Wide binaries dilambangkan dengan w, sedangkan close binaries dilambangkan dengan c. sistem multiple dapat diimplementasikan menggunakan metode FSA. FSA merepresentasikan setiap primary star pada IMF (Initial Mass Function) dengan N p. N p menunjukkan salinan bintang yang sama dengan pembobotan fraksi, ditambahkan kepada bintang asal. Salinan bintang ada yang berupa close companion stars, wide companion stars dan gabungan antara close companion stars dan wide companion stars, dan juga single stars. Maka berdasarkan hal tersebut, terdapat empat kategori sistem bintang, yaitu sistem bintang yang memiliki tiga anggota (triple stars), sistem bintang yang memiliki dua anggota (wide companion dan close companion) dan bintang tunggal (single star). Sistem bintang yang memiliki tiga anggota berasal dari gabungan dari wide companion dan close companion. Terdapat sebuah parameter yang dapat membedakan antara companion yang memiliki massa bervariasi dengan wide companion dan close companion yang terdistribusi secara uniform pada diagram. Parameter yang dimaksud adalah q, yang merupakan perbandingan antara massa companion dan massa primary. Sebagai contoh aplikasi, kita akan menggunakan lima nilai q untuk setiap kategori companion, dan menggunakan fungsi pendekatan yang sederhana. Parameter yang hendak ditentukan adalah Initial Mass Function (IMF). Kerapatan probabilitas untuk wide companion dalam satu interval q adalah P w = A w + B w q w, sedangkan kerapatan probabilitas untuk close companion dalam satu interval q
35 adalah P c = A c + B c q c. probabilitas sistem relatif untuk empat kategori companion adalah sebagai berikut : i. (1 - P w )(1 P c ), untuk sistem bintang yang memiliki satu anggota ii. P c ( 1 P w ) / 5, untuk sistem bintang close binaries iii. P w ( 1 P c ) / 5, untuk sistem bintang wide binaries iv. P c P w / 25, untuk sistem bintang yang memiliki tiga anggota Untuk sistem bintang yang memiliki tiga anggota, merepresentasikan semua kombinasi yang memungkinkan dari nilai q dari wide dan close binaries. Maka sistem bintang yang memiliki tiga anggota berjumlah 25. untuk satu primary star pada IMF, kita akan memiliki 36 sistem yang meliputi 25 buah sistem bintang yang memiliki 3 anggota, 10 buah sistem bintang yang memiliki dua anggota (5 wide companion dan 5 close companion), dan satu bintang tunggal. Dengan menggunakan FSA, kita dapat menyelesaikan masalah distribusi multiple stars, yaitu dengan konsep pembobotan. Jumlah sistem bintang yang mengalami pembobotan, sebagai koreksi cluster teoritis, yang membutuhkan sedikit data dibandingkan dengan menggunakan metode Monte Carlo. Sistem Monte Carlo dalam mensimulasi distribusinya multiple stars dengan nilai q yang bervariasi membutuhkan sekitar 10.000 data. Adapun dengan metode FSA untuk mendapatkan hal yang sama dengan metode Monte Carlo dibutuhkan sekitar 278 IMF. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, bahwa untuk satu IMF, dapat menghasilkan 36 sistem. Maka didapatkan 10.008 data yang diperoleh dari hasil kali jumlah IMF 278 dengan 36 sistem yang dihasilkan dari satu IMF. Walaupun metode FSA lebih efektif dari metode Monte Carlo dalam hal jumlah data yang diperlukan, akan tetapi sesungguhnya FSA lebih rumit dalam hal pembobotan. Kita harus melakukan pembobotan terhadap bintang tunggal, bintang ganda dan bintang triple dengan bobot yang berbeda antara satu dengan yang lainnya, kemudian dihitung parameter yang hendak dicari. Semakin banyak parameter yang hendak diketahui metode FSA semakin rumit. Kelemahan FSA adalah masalah pembobotan dan banyak including parameter. Untuk melihat perbandingan metode FSA dan metode Monte Carlo, kelebihan dan kekurangannya masing-masing, dijelaskan dalam bab VI, dengan aplikasi terhadap fungsi Gaussian 2-D dan implementasi pendekatan diagram HR.