Hatane Semuel FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS KRISTEN PETRA
TEORI EKONOMI, MATEMATIKA EKONOMI, DAN STATISTIKA Teori Ekonomi mengungkapkan hubungan antar variabel ekononomi secara kualitatif Misalnya, jika harga naik/turun kuantitas permintaan berkurang/naik Teori Ekonomi tidak memberikan ukuran kekuatan hubungan secara tegas antara variabel ekonomi tersebut. Matematika Ekonomi dapat membantu menyederhanakan hubungan tersebut dalam model matematika, misal Q = f(p), dengan Q adalah kuantitas permintaan dan P harga yang kemudian dapat diperjelas dengan model linear Q = a + bp Sehingga model teori ekonomi yang kualitatif dapat didekati dengan model kuantitatif matematika.
TEORI EKONOMI, MATEMATIKA EKONOMI DAN STATISTIKA Menemukan nilai parameter a dan b dalam persamaan matematika Q = a + bp di atas dapat didekati dengan konsep matematika maupun statistika Untuk itu dalam matematika ekonomi perlu dipelajari konsep-konsep persamaan, pertidaksamaan, dan konsep lainnya yang dibutuhkan.
PERSAMAAN DERAJAT SATU DENGAN SATU VARIABEL SEBUAH PERNYATAAN PERSAMAAN ADALAH KESAMAAN DARI DUA EKSPRESI ALJABAR, DAPAT DINYATAKAN DALAM SATU ATAU LEBIH VARIABEL sebagai contoh : 3x 10 = 22 5x (satu variabel derajat satu) 2r 5s + 3 8t = 100 (tiga variabel derajat satu) w 2 5w = -16 (satu variabel derajat 2)
JAWABAN PERSAMAAN JAWABAN DARI SEBUAH PERSAMAAN TERDIRI ATAS ANGKA ATAU BILANGAN, KETIKA DISUBSTITUSI UNTUK VARIABEL DALAM PERSAMAAN AKAN MENJADI BENAR BILANGAN ATAU NILAI DARI VARIABEL YANG MEMBUAT PERSAMAAN ITU MENJADI BENAR DISEBUT DENGAN AKAR PERSAMAAN
IDENTIFIKASI JENIS PERSAMAAN PERSAMAAN YANG BENAR UNTUK SETIAP NILAI UNTUK VARIABEL DALAM PERSAMAAN 5(X+Y) = 5X + 5Y PERSAMAAN YANG HANYA MEMPUNYAI NILAI TUNGGAL UNTUK VARIABEL X + 3 = 5 PERSAMAAN YANG MERUPAKAN PERNYATAAN YANG SALAH, TIDAK TERDAPAT SATU NILAIPUN YANG MEMENUHI X = X + 5
ATURAN MANIPULASI PERSAMAAN NILAI JAWABAN PERSAMAAN TIDAK BERUBAH JIKA KEDUA SISI PERSAMAAN DITAMBAH DENGAN BILANGAN YANG SAMA NILAI JAWABAN PERSAMAAN TIDAK BERUBAH JIKA KEDUA SISI PERSAMAAN DIKALIKAN ATAU DIBAGI DENGAN BILANGAN KONSTAN YANG SAMA ( 0) KEDUA SISI PERSAMAAN DIKUADRATKAN ATAU DIAKARKAN ATAU DILAKUKAN OPERASI YANG SAMA (LOGARITMA) KEDUA SISI PERSAMAAN DAPAT DIBAGI DENGAN VARIABEL YANG SAMA, DENGAN SYARAT NILAINYA 0
PERSAMAAN LINEAR
BEBERAPA ALASAN PERLUNYA PERSAMAAN LINEAR KEBANYAKAN FENOMENA NYATA DAPAT DIREPRESENTASIKAN SECARA MATEMATIK, SALAH SATUNYA ADALAH HUBUNGAN LINEAR, ATAU PALING TIDAK DAPAT DIDEKATI SECARA LINEAR APLIKASI KONSEP LINEAR CUKUP LUAS PENERAPANNYA LEBIH MUDAH MENGINTERPRETASI HUBUNGAN LINEAR DIBANDING NON LINEAR
KARAKTERISTIK PERSAMAAN LINEAR BENTUK UMUM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL ax + by = c; x,y adalah variabel a,b dan c konstante LINEAR KARENA PANGKAT VARIABEL DALAM PERSAMAAN ADALAH PANGKAT SATU (1) DAN TIDAK TERDAPAT BENTUK PERKALIAN ANTAR VARIABEL
REPRESENTASE MENGGUNAKAN PERSAMAAN LINEAR SUATU PERSAMAAN LINEAR ax+by=c MEMPUNYAI HIMPUNAN JAWABAN PASANGAN TERURUT (x,y) YANG MEMENUHI PERSAMAAN TERSEBUT JIKA S ADALAH HIMPUNAN JAWABAN DAPAT DITULIS; S = {(x,y)/ax + by = c}
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR UNTUK MENDAPATKAN NILAI PASANGAN TERURUT (x,y) ASUMSIKAN SALAH SATU NILAI DAN SUBSTITUSIKAN KE PERSAMAAN UNTUK MENDAPATKAN PASANGAN NILAINYA contoh: persamaan 2x + 4y = 16; untuk x = -2; y = 5 untuk y = 0; x = 8
APLIKASI PADA BIDANG PRODUKSI SEBUAH PERUSAHAAN MEMPUNYAI DUA JENIS PRODUK; YAITU A DAN B, MINGGU DEPAN PERUSAHAAN ALOKASIKAN 120 JAM KERJA UNTUK MENGHASILKAN DUA PRODUK TERSEBUT. DALAM MENGEJAR TARGET, PERUSAHAAN MENGALOKASIKAN WAKTU 3 JAM UNTUK PRODUK A DAN 2.5 JAM UNTUK PRODUK B. BAGAIMANA MODEL PERSAMAANNYA?
Jawaban : Jika didefinisikan variabel: y = banyak unit produk A yang diproduksi x = banyak unit produk B yang diproduksi Maka alokasi jam produksi untuk dua jenis produk tersebut adalah : 2.5 x + 3 y = 120 Jika produksi produk B, x = 30 unit, maka produk A diproduksi, y = 15 unit
PERSAMAAN LINEAR DENGAN n VARIABEL Persamaan linear dengan n variabel meliputi x 1, x 2, x 3,.., x n, mempunyai bentuk umum : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +..+ a n x n = b, dengan a 1, a 2, a 3,, a n dan b adalah bilangan konstan dan a 1, a 2, a 3,, a n tidak semuanya nol. Sebagai contoh: (1).3x 1-2x 2 + 5x 3 = 0; (2). 2x 1 + 5x 3 + 2x 4 + 4x 5 = 10
JAWABAN PERSAMAAN LINEAR Jawaban Persamaan linear dengan n variabel adalah mentukan himpunan S = {(x 1, x 2, x 3,.., x n ) a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +..+ a n x n = b} Contoh: diberikan persamaan linear 2x 1 + 3x 2 -x 3 + x 4 = 16, a. Berapakah derajat bebas persamaan? b. Tentukan himpunan jawaban untuk setiap kombinasi nilai tiga variabel yang sama dengan nol.
KARAKTERISTIK GRAFIK PERSAMAAN LINEAR Suatu persamaan linear yang mengandung dua variabel digambarkan sebagai grafik garis lurus dalam dua dimensi. Garis lurus dapat digambarkan melalui dua pasangan titik (x,y) yang memenuhi persamaan linear Pasangan titik (x,y) yang terletak pada garis akan merupakan kombinasi x dan y yang memenuhi persamaan, artinya tidak ada jawaban tunggal.
CONTOH GRAFIK PERSAMAAN LINEAR Buat grafik dari persamaan 2x + 4y = 16 y (0,4) (8.0) x
Gambarkan grafik 4x-7y = 0 y 4 4x-7y = 0 (7,4) 7 x
PERSAMAAN KONSTAN PERSAMAAN x = k y x = k (k,0) x
PERSAMAAN KONSTAN PERSAMAAN y = k (0,k) y y = k x
SLOPE GARIS LURUS Sebuah garis lurus kecuali garis vertikal, dapat dikarakterisasi berdasarkan slope garisnya. Dengan slope garis dapat diketahui garis bergerak naik atau turun dari kiri ke kanan sepanjang sumbu x Slope garis lurus dapat positip, nol, negatip, atau tidak terdefenisikan.
SLOPE GARIS LURUS y (+) y x (-) x y (tidak didefinisikan) x y (0) x
PERSAMAAN KUADRAT
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT SATU VARIABEL BENTUK UMUM DARI PERSAMAAN KUADRAT DENGAN SATU VARIABEL X SEBAGAI BERIKUT: ax 2 + bx + c = 0, a 0 Identifikasi nilai a, b, dan c dari persamaan berikut: 6x 2-2x + 1 = 0; 3x 2-12= 0; 2x 2-1= 5x+9 SEBUAH PERSAMAAN KUADRAT DAPAT MEMPUNYAI KONDISI JAWABAN (AKAR PERSAMAAN): 1. TIDAK MEMPUNYAI JAWABAN NYATA 2. MEMPUNYAI SATU JAWABAN NYATA 3. MEMPUNYAI DUA JAWABAN NYATA
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT SATU VARIABEL TERDAPAT BEBERAPA PROSEDUR YANG DAPAT DIGUNAKAN UNTUK MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN KUADRAT. PROSEDUR YANG SANGAT UMUM DIGUNAKAN ADALAH METODE FAKTORISASI DAN PENGGUNAAN RUMUS abc. METODE FAKTORISASI MENCOBA MEMBUAT PERSAMAAN KUADRAT MENJADI PERKALIAN DARI DUA FAKTOR SAMA DENGAN NOL, SEHINGGA HASIL PERKALIAN TERSEBUT DAPAT TERJADI KARENA PALING SEDIKIT SALAHSATU FAKTOR SAMA DENGAN N0L
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT SATU VARIABEL CONTOH: AKAR PERSAMAAN X 2 4X = 0, DIFAKTOR X(X-4) = 0; SEHINGGA X = 0 ATAU X-4=0, ATAU X=4. UNTUK MEMBEDAKAN KEDUA AKAR PERSAMAAN DISEBUT X 1 = 0, DAN X 2 = 4 AKAR PERSAMAAN X 2 10X + 24 = 0, DIFAKTORKAN (X-4)(X-6)=0; SEHINGGA, (X-4)=0 ; X 1 = 4; ATAU (X-6)=0 ; X 2 =6.
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT SATU VARIABEL PENGGUNAAN RUMUS abc Akar-akar persamaan kuadrat: ax 2 + bx + c = 0, adalah: x 1,2 = b ± b 2 2a 4ac b 2 4ac disebut Diskriminan atau D
INTERPRETASI DISKRIMINAN D Jika D > 0, terdapat dua akar nyata Jika D = 0, terdapat satu akar nyata Jika D < 0, tidak ada akar nyata Tentukan akar-akar persamaan: 1. x 2 + 3x + 1 = 0 2. 3x 2-2x + 5 = 0 3. x 2 + 10x + 25 = 0
KETIDAKSAMAAN Ketidaksamaan adalah ekspresi dua kuantitas yang tidak sama. Satu cara untuk menyatakan hubungan ketidaksamaan adalah < (lebih kecil) atau > (lebih besar) Ketidaksamaan Interpretasi 3 < 5 3 kurang dari 5 x > 100 0<y<10 Nilai x lebih besar dari 100 Nilai y lebih besar dari 0 dan kurang dari 10
INTERVAL TERBUKA DAN TERTUTUP Notasi interval terbuka; (a,b) = {x/a<x<b} Notasi interval tertutup kiri; [a,b) = {x/a x<b} Notasi interval tertutup kanan; (a,b] = {x/a<x b} Notasi interval tertutup; [a,b] = {x/a x b}
PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN 2X + 3-5, JAWAB [-4,~) -3 < x-2 < 2, JAWAB (-1,4) 3X + 14 5x, JAWAB [7, ~) 2x 5 3x + 2, JAWAB (-~,-7] (x-2)(x-3) 0, JAWAB [2,3] X 2 + x 12 0 x x 2 3 0 ( x 2) 0 ( x 3)( x + 1)
NILAI ABSOLUT NILAI ABSOLUT ADALAH SEBUAH BILANGAN SEBAGAI JARAK, YANG HARUS LEBIH BESAR ATAU SAMA DENGAN NOL, ATAU DARI NOL KE SEBUAH BILANGAN NYATA PADA GARIS BILANGAN NILAI ABSOLUT DARI a DITULIS a DEFINISI DARI NILAI ABSOLUT a ADALAH: a jika a>0 a = 0 jika a=0 -a jika a<0
SIFAT NILAI ABSOLUT a 0 -a = a X-Y = Y-X ab = a b a b = a b
HIMPUNAN
Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Penyajian Himpunan Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Operasi Himpunan Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan
HIMPUNAN Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang didefinisikan dengan jelas. Benda atau obyek yang dimuat suatu himpunan disebut anggota himpunan atau elemen.
Notasi Himpunan Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. Secara umum himpunan dilambangkan A, B, C,... Z Obyek dilambangkan a, b, c,... z Notasi : - p A p anggota A - A B A himpunan bagian dari B -A = B himpunan A sama dengan B - = ingkaran
Penyajian Himpunan Penyajian Himpunan a. cara deskripsi (kata-kata) A= {himpunan bilangan prima kurang dari 10} b. cara daftar (roster) A = {1,2,3,4,5} berarti himpunan A beranggotakan bilanganbilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5. c. cara kaidah (rule) A={x /0 < x < 6; x bil bulat} berarti himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.
Himpunan Universal dan Himpunan Kosong U adalah himpunan universal atau himpunan besar dan dapat terdiri dari beberapa himpunan bagian { } atau Ø adalah himpunan kosong (tidak punya satu anggota), selain itu himpunan kosong juga merupakan himpunan bagian dari setiap hipunan apapun. U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } A = {0,1,2,3,4} B = {5,6,7,8,9 } C = {0,1,2,3,4 }
Contoh Soal Soal : 1. Dari kumpulan hewan dibawah ini, manakah yang merupakan himpunan yang memiliki anggota atau himpunan kosong. a. Kumpulan hewan melata b. Kumpulan hewan herbivora c. Kumpulan hewan langka d. Kumpulan hewan yang hidup di air e. Kumpulan hewan berkaki tiga f. Kumpulan hewan bermata satu
Pembahasan : Yang merupakan himpunan yang memilki anggota : a. Kumpulan hewan melata b. Kumpulan hewan herbivora c. Kumpulan hewan yang hidup di air d. Kumpulan hewan langka Yang merupakan himpunan kosong: a. Kumpulan hewan berkaki tiga b. Kumpulan hewan bermata satu
2. Nyatakan himpunan dibawah ini dengan : metode deskripsi, metode rule, metode Roster a. A adalah himp bilangan genap positip kurang dari 12 b. B adalah himp bilangan prima kurang dari 8 c. C adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 8 d. D adalah himpunan huruf vokal
Pembahasan : A adalah himp bilangan genap kurang dari 12 A = { himpunan bilangan genap kurang dari 12 } A = { x x himp bilangan genap kurang dari 12 } A = { 2, 4, 6, 8, 10 }
Pembahasan : B adalah himp bil. prima kurang dari 8 B = { himpunan bil. prima kurang dari 8} B = { x x himp bil. prima kurang dari 8} B = { 2, 3, 5, 7 }
Pembahasan : C adalah himp bilangan cacah kurang dari 8 C = { himpunan bilangan cacah kurang dari 8 } B = { x x himp bilangan cacah kurang dari 8} C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
Pembahasan : D adalah himpunan huruf vokal D = { himpunan huruf vokal } D = { x x himpunan huruf vokal } D = { a, e, i, o, u }
LATIHAN - 1 P = { faktor dari 30 yang habis dibagi 3 }. Pernyataan yang benar dibawah ini adalah a. 6 P b. 9 P c. 12 P d. 15 P
Pembahasan Faktor 30 yang habis dibagi 3 adalah bilangan kelipatan 3 yang habis membagi 30 yaitu : 3, 6, 12, 15, 30. Jadi : P = { 3,6, 15, 30 }, maka : 6 P ( salah ) 9 P ( salah ) 12 P ( salah ) 15 P ( benar ).
LATIHAN - 2 Q = { huruf pembentuk kalimat SAHABAT SAYA BAIK SEKALI }. Nilai n(q) =... a. 10 b. 12 c. 15 d. 21
Pembahasan Kalimat : SAHABAT SAYA BAIK SEKALI, Huruf penyusunnya : S, A, H, B, T, Y, I, K, E, L P = { s, a, h, b, t, y, i, k, e, l } n ( Q ) = 10 Jadi jawabannya adalah A
LATIHAN - 3 Diketahui K = { bilangan asli kuadrat kurang dari 60 }. Himpunan K dinyatakan dengan Roster adalah... a. { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 } b. { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 } c. { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 } d. { 4, 9, 16, 25, 36, 49 }
Pembahasan K = { bilangan asli kuadrat kurang dari 60 } K = { 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 2, 7 2 }. K = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 } Jadi jawaban yang benar adalah C
Operasi Himpunan Gabungan (Union) A U B = {x; x Є A atau x Є B} Irisan (Intersection) A B = {x; x Є A dan x Є B} Selisih A - B = A B = {x; x Є A tetapi x B} Pelengkap (Complement) Ā = {x; x Є U tetapi x A} = U A
Diagram Venn Gabungan ( A U B ) Irisan
Lanjutan... Selisih ( A B = A B ) Pelengkap / complement ( Ā )
Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan Kaidah Idempoten a. A U A = A b. A A = A Kaidah Asosiatif a. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A B ) C = A ( B C ) Kaidah Komutatif a. A U B = B U A b. A B = B A Kaidah Distributif a. A U ( B C ) = ( A U B ) ( A U C ) b. A ( B U C ) = ( A B ) U ( A C )
Lanjutan... Kaidah Identitas a. A U Ø = A b. A Ø = Ø c. A U U = U d. A U = A Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = U b. A Ā= Ø c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø= U Kaidah De Morgan a. (A U B)= Ā B b. (A B) = Ā U B
Soal 1. Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika : U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A B (c) A B (e) A B (b) B A (d) A U B (f) B A
Soal 2. Dari 200 mahasiswa fakultas ekonomi ada yang mengikuti semester pendek, paling banyak mengambil 3 mata kuliah, yaitu A, B, dan C. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut : Mengikuti mata kuliah A sebanyak 45 mahasiswa Mengikuti mata kuliah B sebanyak 50 mahasiswa Mengikuti mata kuliah C sebanyak 75 mahasiswa Mengikuti mata kuliah A dan B sebanyak 20 mahasiswa Mengikuti mata kuliah A dan C sebanyak 15 mahasiswa Mengikuti mata kuliah C dan B sebanyak 20 mahasiswa Mengikuti mata kuliah A,B, dan C sebanyak 10 mahasiswa Tentukan : a) Jumlah mahasiswa yang tidak kuliah semester pendek b) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 1 mata kuliah c) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 2 mata kuliah
GAMBARAN DIAGRAM VENN S 75 A 20 10 5 10 10 20 B 50 C n(aubuc) = 125 n(aubuc) = n(s) n(aubuc) =200-125 = 75
CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN KARTESIAN) Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B } (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar
CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN KARTESIAN) Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A. B. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a). Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong. Jika A = atau B =, maka A B = B A =
CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN KARTESIAN) Contoh : Misalkan A = himpunan makanan = { s = soto, g = gadogado, n = nasi goreng, m = mie rebus } B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet } Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas? Jawab: 4 x 3 = 12 yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN KARTESIAN) Contoh : Daftarkan semua anggota himpunan berikut: (a) P( ) (b) P( ) (c) { } P( ) (d) P(P({3})) Penyelesaian: (a) P( ) = { } (b) P( ) = (ket: jika A = atau B = maka A B = ) (c) { } P( ) = { } { } = {(, )) (d) P(P({3})) = P({, {3} }) = {, { }, {{3}}, {, {3}} }
CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN KARTESIAN) Perkalian Cartesian himpunan A dan B ditulis A x B = {(a,b)/ a є A dan b є B} 1.Jika A = { a1,a2,a3} dan B = { b1,b2 } Tentukan himpunan AxB AxB = {(a1,b1), (a1,b2), (a2,b1), (a2,b2), (a3,b1), (a3,b2)} 2. Jika A = {x/x bilangan ganjil 2 < x < 10} B = { y/y bilangan kelipatan 3 dengan 0 < y < 10} tentukan himpunan A x B A = {3,5,7,9}; B = {3,6,9} AxB = {(3,3), (3,6),., (9,9)}
FUNGSI Dalam model matematika, relasi khusus dapat direpresentasikan dengan fungsi matematika atau fungsi. Definisi Fungsi Suatu fungsi dapat ditunjukan sebagai suatu proses input menjadi output. input fungsi output
Defenisi fungsi Jika y = x 2 + 2x + 1, maka akan ditemukan sebagai berikut : Input Hubungan Output Jika x =1 y = (1) 2 + 2(1) + 1 = 4 Jika x = -1 y = (-1) 2 + 2(-1) + 1 = 0 Jika x = 2 y = (2) 2 + 2(2) + 1 = 9 Persamaan di atas menunjukan suatu aturan yang mentransformasikan satu nilai dari x kepada satu nilai y Jadi defenisi fungsi adalah : merupakan suatu aturan yang menghubungkan setiap nilai input kepada satu dan hanya satu nilai output Defenisi Domain/Range Domain dari sebuah fungsi adalah suatu himpunan yang terdiri dari seluruh nilai input yang dimungkinkan. Range dari sebuah fungsi adalah suatu himpunan yang terdiri dari seluruh nilai output yang dimungkinkan.
PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini. A B
ILUSTRASI FUNGSI A f B Input Kotak hitam Output Ditulis f : A B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut kodomain (range). Elemen a A disebut argumen dan f(a) B disebut bayangan(image) dari a. Himpunan R f := { y B : y = f(x) untuk suatu x A } disebut daerah jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S A maka himpunan f(s) := { f(s) : s S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.
ILUSTRASI FUNGSI (LANJ) A B Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan. Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan.
GRAFIK FUNGSI Misalkan f: A B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {(a,f(a))/a A} Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb: B A
CONTOH FUNGSI 1. Fungsi kuadrat f : R R, dimana f(x) := x 2 +x+1. x jika x 0 2. Fungsi nilai mutlak f : R R +, dimana f ( x) : = fungsi ini ditulis juga f(x) := x. x jika x < 0 3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota di dunia, f : A B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia maka f(x) = Kuala Lumpur, f(inggris) = London. 4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan perintah diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb. Ini mendef. fungsi f : A Z + dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x. 5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif Fungsi f : A B dimana f(s) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S = (1001101) maka f(s) = 4. 6. Bila f(s) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi?
FUNGSI FLOORING dan CEILING 1. Fungsi flooring f : R Z, dimana f(x):= bil bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = x. 2. Fungsi ceiling f : R Z, dimana f(x):= bil bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = x. CONTOH : Beberapa nilai fungsi flooring dan fungsi ceiling: 0.5 = 0, 0.5 = 1, -0.5 = -1, -0.5 = 0 3.1 = 3, 3.1 = 4, 6 = 6, 6 = 6. Grafik flooring Grafik ceiling
SIFAT-SIFAT FUNGSI FLOORING DAN FUNGSI CEILING 1. x = n bila n x < n+1 2. x = n bila n-1< x n 3. x = n bila x-1 < n x 4. x = n bila x n < x+1 5. x-1 < x x x < x+1 6. -x = - x 7. -x = - x 8. x+n = x +n 9. x+n = x + n
CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinyatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit. PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan 100/8 = 12.5 = 13 byte. CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik. PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar 500,000 * 60*8 = 240,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu 240,000,000/424 = 70,754 ATM.
OPERASI ALJABAR FUNGSI Misalkan f, g : A B maka fungsi f + g, cf dan f g didefinisikan oleh : (f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x). Contoh: misalkan f, g : R R dimana f(x) = x 2 dan g(x) := x x 2. Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x 3 -x 4. Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya. Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x 2-4)/(x+2) sama?
FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF) Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) x = y ], atau [x y f(x) f(y)]. Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE: x y [f(x) = f(y) x = y] atau x y [x y f(x) f(y)] maka fungsi f disimpulkan satu-satu. Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu. A B A B satu-satu tidak satu-satu
CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif? PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif. CONTOH: Apakah fungsi f: R R dengan f(x) = x 2 satu-satu? PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu. CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif? PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x y, diperoleh x + 5 y + 5 g(x) g(y). Jadi g injektif.
FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF) Fungsi f : A B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y B terdapat x A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut: y B x A sehingga y = f(x) maka f surjektif. Namun, bila ada y B sehingga setiap xa, f(x) y maka f tidak surjektif. A B A B kepada tidak kepada
CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x 2 dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x 2 = f(x) y. Jadi, f tidak surjektif. CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka y = x-3 x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.
INVERS FUNGSI Misalkan f : A B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B A. DKL, y = f(x) x = f -1 (y) f -1 (b)=a f(a) b=f(a) A f -1 (b) B Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.
FUNGSI BIJEKTIF Fungsi f : A B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu prabayangan di A. A B fungsi bijektif CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif. PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satusatu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.
CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya. PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel dengan f -1 (1)=c, f -1 (3)=b dan f -1 (2)=a. CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x 2. Apakah f invertibel. PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.
KOMPOSISI FUNGSI Misalkan g: A B dan f: B C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f g adalah fungsi f g: A C dengan (f g)(x):= f(g(x)). g f Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi A B C f g terdefinisi hanya bila f(a) D. f g
FUNGSI MERUPAKAN HUBUNGAN MATEMATIS ANTARA SUATU VARIABEL DENGAN VARIABEL LAINNYA. UNSUR-UNSUR PEMBENTUK FUNGSI ADALAH; VARIABEL, KOEFISIEN, DAN KONSTANTE ATAU PARAMETER. VARIABEL MERUPAKAN UNSUR YANG SIFATNYA BERUBAH- UBAH DARI SATU KEADAAN KE KEADAAN LAINNYA, DAN DALAM SUATU RUMUSAN FUNGSI DAPAT DIBEDAKAN MENJADI VARIABEL BEBAS DAN TIDAK BEBAS. VARIABEL BEBAS YAITU VARIABEL YANG DAPAT MENERANGKAN VARIABEL LAINNYA (MEMPENGARUHI) VARIABEL TIDAK BEBAS YAITU VARIABEL YANG DITERANGKAN OLEH VARIABEL BEBAS (DIPENGARUHI)
KOEFISIEN IALAH BILANGAN ATAU ANGKA YANG DILETAKKAN TEPAT DIDEPAN SUATU VARIABEL, DAN TERKAIT DENGAN VARIABEL YANG BERSANGKUTAN. KONSTANTA ADALAH SUATU BESARAN BILANGAN ATAU ANGKA YANG SIFATNYA TETAP DAN TIDAK TERKAIT DENGAN SUATU VARIABEL KONSTANTA DAN KOEFISIEN YANG SIFATNYA UMUM DISEBUT SEBAGAI PARAMETER, ARTINYA BESARANNYA TETAP UNTUK SUATU KASUS, TETAPI BERUBAH PADA KASUS LAINNYA
FUNGSI FUNGSI ALJABAR FUNGSI NON ALJABAR ATAU TRANSENDEN FUNGSI IRRASIONAL FUNGSI POLINOM FUNGSI LINEAR FUNGSI KUADRAT FUNGSI KUBIK FUNGSI RASIONAL FUNGSI PANGKAT FUNGSI EKSPONEN FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI FUNGSI HIPERBOLA
PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR Y KONSTANTA (0,4) VARIABLE Tdk bebas Y = 4 + 2 X bebas (-2,0) 0 Y Tdk bebas X bebas KOEFISIEN (0,4) Y = 4 2 X 0 (2,0) X
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR MODEL UMUM FUNGSI LINEAR : Y = a + b X ; a, b, konstanta (parameter) X, Y variabel UNTUK MENEMUKAN NILAI a DAN b PADA PERSAMAAN LINEAR DI ATAS DAPAT DILAKUKAN DENGAN 1. ELIMINASI DAN SUBSTITUSI CARA INI MEMBUTUHKAN DUA PERSAMAAN YANG MENGANDUNG DUA NILAI YANG TIDAK DIKETAHUI, YAITU a DAN b, UNTUK ITU DIBUTUHKAN DUA PASANGAN NILAI (X,Y)
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR MISAL TERDAPAT HUBUNGAN ANTARA X DAN Y DENGAN KONDISI X = 4, Y = 12, DAN X = 8, Y = 20, JIKA HUBUNGAN ANTARA X DAN Y LINEAR, TENTUKAN PERSAMAAN ; Y = a + b X PENYELESAIAN X = 4 ; Y = 12; JADI 12 = a + 4b (1) X = 8 ; Y = 20; JADI 20 = a + 8b - (2) -8 = -4b b = 2 SUBSTITUSI b = 2 PADA PERSAMAAN (1) DIPEROLEH ; a = 12 8 = 4 PERSAMAAN FUNGSI LINEAR Y = 4 + 2X
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR 2. Geometri garis lurus Perhatikan gambar garis di bawah ini: Terlihat bahwa garis lurus melalui pasangan titik (x1,y1) dan (x2,y2), jika perubahan y ditulis y = y2-y1, dan perubahan x adalah x = x2 x1, maka terlihat bahwa tg(β) = y/ x. Y x-x1 y2 y y1 y= y2 y1 β x =x2-x1 y-y1 x1 x x2 y = a + bx y tgβ = x juga tgβ = X y x y2 y1 =...(1) x2 x1 y1...(2) x1
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR Persamaan (1) dan persamaan (2) di atas mempunyai nilai yang sama, sehingga dapat ditemukan : atau 1 2 1 1 2 1 x x x x y y y y = 1 1 1 2 1 2 x x y y x x y y =
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (4,12) dan (8,20). y y y y 2 1 1 = x x1 x x 2 1 y 12 20 12 = x 4 8 4 Y = 2x + 4
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR Jika tgβ atau slope garis lurus y = a + bx diketahui, maka tgβ = b, dan persamaan garis lurus melalui (x1,y1) di atas dapat ditulis sebagai berikut : y y 1 = b(x x 1 )
PERSAMAAN FUNGSI LINEAR Misal Y = a + bx, mempunyai sifat apabila x berubah satu satuan x maka y berubah 1/2 satuan y, dan untuk x = 2, y = 5. tentukan persamaan linear tersebut. x = 1, y = ½, jadi b = y/ x = ½, sehingga persamaanya menjadi: y-5 = ½(x-2) y = ½ x -1 + 5 y = ½ x + 4
HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS LURUS Jika terdapat dua garis lurus: y 1 = a 1 + b 1 X dan y 2 = a 2 + b 2 X maka dapat terjadi : y 1 sejajar y 2 pada saat b 1 = b 2 y 1 berpotongan y 2 jika b 1 b 2, dan khusus berpotongan tegak lurus b 1 = -1/b 2
Gambar Grafik Garis Sejajar Y Y 2 = a 2 + b 2 X a2 a1 α1 α2 Y1 // Y2 Y 1 = a 1 + b 1 X b 1 = b 2 atau tg α1 = tg α2 X
Gambar Grafik Garis Berpotongan tegak lurus Y Y 2 = a 2 + b 2 X a1 a2 Y1 Y2 b 1 = -1/ b 2 Y 1 = a 1 + b 1 X X
Gambar Grafik Garis Berpotongan Y Y 2 = a 2 + b 2 X Y 1 = a 1 + b 1 X a1 a2 Y1 X Y2 b 1 b 2 X
Menentukan Titik Potong Untuk menentukan titik potong dua garis lurus y1 dan y2 pada gambar di atas, tidak lain adalah mencari pasangan titik (x,y) yang memenuhi persamaan y1 = y2. Misal, tentukan titik potong antara garis lurus y = x - 10, dan y = 5 x
Gambar Grafik Y = x 10, titik potong sb-x; y = 0 x 10 = 0, x=10, atau (10,0) Titik potong sb-y; x=0, y = -10 atau (0,-10) Y = 5 x, titik potong sb-x; y = 0 5 x = 0, x=5, atau (5,0) Titik potong sb-y; x=0, y = 5 atau (0,5)
Gambar Grafik Titik potong garis lurus, x-10=5-x; 2x = 15, x = 15/2. Substitusi nilai x=15/2 pada salah satu persamaan garis lurus; misal untuk y = x- 10, diperoleh y = 15/2-10 = -5/2 Jadi titik potong antara dua garis lurus tersebut adalah (15/2,-5/2)
Gambar Grafik Y 5 Y = x - 10 0 5 15/2 10 X -5/2 Y = 5 - x -10
Fungsi Kuadrat Fungsi Kuadrat, adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat tertinggi dua (kuadrat). Bentuk umumnya untuk y = f(x) adalah : Y = ax 2 + bx + c ; a 0 Grafik dari fungsi kuadrat adalah parabola, dengan sumbu simetri sejajar sumbu-y
Parabola Dengan Sumbu Simetri Sejajar Sumbu Y Y Y = ax 2 + bx + c a < 0 X Sumbu simetri
Parabola Dengan Sumbu Simetri Sejajar Sumbu Y Y Sumbu simetri Y = ax 2 + bx + c a > 0 X
Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat Fungsi Kuadrat mempunyai nilai ekstrem tunggal (mutlak), atau hanya satu-satunya Jenis Ekstrem fungsi Kuadrat akan sangat bergantung pada nilai koefisien X 2, yaitu (a) jika a > 0, maka ekstrem Minimum jika a < 0, maka ekstrem Maksimum
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat dapat didekati dengan dua pendekatan, yaitu 1. Pendekatan Model Kuadrat Sempurna 2. Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan (D) 1. Pendekatan Model Kuadrat Sempurna Perhatikan model fungsi kuadrat: Y = ax 2 + bx + c, a 0 jika b = 0, maka persamaan kuadrat di atas menjadi : Y = ax 2 + c, a 0 dan disebut sebagai persamaan kuadrat sempurna.
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat Nilai X 2 >0, untuk setiap nilai X Jika a > 0, maka ax 2 > 0, sehingga untuk : c > 0, ax 2 + c > c c < 0, ax 2 + c > c dan pada saat x = 0, Y = ax 2 + c Y = 0 + c Y = c, merupakan nilai terkecil Jadi Y(minimum) = c untuk x = 0.
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat Nilai X 2 >0, untuk setiap nilai X Jika a < 0, maka ax 2 < 0, sehingga untuk : c > 0, ax 2 + c < c c < 0, ax 2 + c < c dan pada saat x = 0, Y = ax 2 + c Y = 0 + c Y = c, merupakan nilai terbesar Jadi Y(maksimum) = c untuk x = 0.
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat Analogi dengan bentuk kuadrat sempurna di atas, maka: Jika Y = au 2 +c, akan memberikan kesimpulan yang sama, yaitu, jika a>0, maka y(minimum) = c untuk U = 0, dan jika a<0, maka y(maksimum) = c untuk U = 0. Apabila U=X+b, maka, bentuk di atas menjadi Y = a(x+b) 2 + c Bagaimana Nilai Y (minimum atau maksimum)?
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat Jika a>0; Y(minimum) = c untuk U = 0, atau X+b=0, atau X = -b. Jika a<0; Y(maksimum) = c untuk U = 0, atau X+b=0, atau X = -b. Andaikan a = 1; b = 2, dan c = 4 bagaimana penerapannya? Andaikan a = -2, dan b = 3, dan c=10 bagaimana penerapannya
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat a D a b a ac b a b a b a b a b a b a b X a Y maka ac b D X a Y c X a Y c X a Y c X X a Y 4 2 2 2 4 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 ) ( :, 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 + = = + = + = + + = + + = 2. Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan (D) Perhatikan model fungsi kuadrat: Y = ax 2 + bx + c, a 0; Model ini dapat dimanipulasi menjasi :
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat Jadi untuk model fungsi kuadrat: Y = ax 2 +bx+c, a 0; atau D Y = a ( X + b ) 2 2 a 4a nilai ekstremnya adalah: y = -D/4a Dengan D = b 2-4ac, disebut Diskriminan D 4 a D 4 a Jika a > 0, Y(minimum)= untuk X=-b/2a Jika a < 0, Y(maksimum)= untuk X=-b/2a
Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat Tentukan Ekstrem fungsi: 1. Y = 4 2x + x 2 2. Y = 10 + 6x -3x 2 3. Y = ½ x 2 + x + 2 Gambar grafiknya Peny. 1. Y = x 2-2x + 4 Y = (x-1) 2 +3 Y(min) = 3 untuk x = 1 Titik potong sumbu-y (0,4)
GAMBAR GRAFIK PARABOLA 4 Y Y = x 2-2x + 4 Y = (x-1) 2 + 3 3 1 X
GAMBAR GRAFIK PARABOLA Y Y = ½ x 2 + x + 2 Y = ½ (x 2 + 2x) + 2 Y = ½ (x + 1) 2 + 3/2 2 3/2-1 X
GAMBAR GRAFIK PARABOLA Y 13 10 1 Y = 10 + 6x -3x 2 Y = -3(x 2 2x) + 10 Y = -3(x -1) 2 + 13 X
Perpotongan Parabola Dengan Garis Lurus Jika parobola y 1 =ax 2 + bx +c, a>0, dan garis lurus y 2 = px + q, p<0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut : Y Y = ax 2 + bx + c Y 1 = Y 1 2 a > 0 Y 2 = px + q; p<0 X
Perpotongan Parabola Dengan Garis Lurus Jika parabola y 1 =ax 2 +bx+c, a<0 dan garis lurus, y 2 = px + q, p>0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut: Y Y2 = px + q Y1=Y2 Y1 = ax 2 + bx + c a < 0 X
Perpotongan Parabola Dengan Parabola Jika parabola y1=ax 2 +bx+c, a>0 dan parabola y2 = px 2 + qx + r, p<0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut: Y Y1 = ax 2 + bx + c a > 0 Y1 = y2 Y2 = px 2 + qx + r p < 0 X
HUBUNGAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA FUNGSI EKSPONEN MEMPUNYAI HUBUNGAN YANG ERAT DENGAN FUNGSI LOGARITMA, KARENA MERUPAKAN KEBALIKAN SATU SAMA LAINNYA FUNGSI EKSPONEN BERBEDA DENGAN FUNGSI PANGKAT FUNGSI PANGKAT ADALAH FUNGSI YANG VARIABELNYA DIPANGKATKAN DENGAN BILANGAN KONSTAN FUNGSI EKSPONEN ADALAH KONSTANNYA YANG DIPANGKATKAN DENGAN VARIABEL Y = x 1/2 ADALAH FUNGSI PANGKAT Y = 2 X ADALAH FUNGSI EKSPONEN
BASIS EKSPONEN Fungsi eksponen mempunyai dua basis eksponen, yaitu (1) basis konstante a dengan 0<a<1, dan a>1 (bilangan biasa), dan (2) basis konstante e = 2.71828.. Y = a x dengan a>1, akan mempunyai perilaku sebagai berikut : Nilai Y akan mendekati tak berhingga jika x menuju tak berhingga positip, akan mendekati nol apabila x menuju tak berhingga negatip Nilai Y = 1 untuk x = 0 untuk setiap a
GRAFIK FUNGSI EKSPONEN Grafik dari fungsi Y = 2 x Y Y = 2 x 2 1 1 X
Grafik fungsi eksponen Y = 2 -x Y = 2 -x Y 2 1-1 X
KARAKTERISTIK FUNGSI EKSPONENSIAL Jika terdapat a>0 dan b> 0 dan m dan n bilangan nyata, maka berlaku : 1. b m b n = b m+n 2. b m /b n = b m-n 3. (b m ) n = b mn 4. a m b m = (ab) m 5. b m/n = (b m ) 1/n 6. a m = a n, maka m = n
FUNGSI LOGARITMA Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari sebuah bilangan pokok untuk menghasilkan bilangan tertentu yang diinginkan. Bilangan dasar atau basis dari logaritma adalah bilangan bulat positip kecuali bilangan 1 Dalam kasusus umum bilangan pokok yang digunakan adalah 10 atau e Bilangan pokok atau basis 10 biasanya tidak ditulis, sehingga log 10 = 1, karena 10 1 = 10 Bilangan pokok e juga tidak ditulis, tetapi penulisan ln e = 1, artinya e log e = 1
GRAFIK FUNGSI LOGARITMA Grafik fungsi logaritma merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, namun grafik fungsi logaritma Y = log X hanya berada pada nilai Domain: x > 0, dan nilai Range -~<Y<~; sedangkan grafik fungsi eksponen mempunyai Domain: 0<x<~ dan Range : -~<Y<~
GRAFIK FUNGSI LOGARITMA Grafik y = log x y y = logx 1 x
SIFAT-SIFAT LOGARITMA Untuk a dan b bilangan positip log ab = log a + log b log a/b = log a log b log a b = b log a log 1 = 0 ; log 10 = 1 log a = log b maka a = b Sifat yang sama berlaku untuk logaritma dengan basis e atau (ln), misal ln e = 1, dst
APLIKASI FUNGSI LINEAR DAN KUADRATIK
APLIKASI FUNGSI LINEAR PADA FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN BERIKUT INI DATA TENTANG HARGA, KUANTITAS PERMINTAAN, DAN KUANTITAS PENAWARAN SEBUAH KOMODITI TENTUKAN : A. PERSAMAAN FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARANNYA B. KESEIMBANGAN HARGA DAN KUANTITAS C. GAMBAR GRAFIKNYA D. ARSIR DAERAH SURPLUS KONSUMEN DAN SURPLUS PRODUSEN
Harga P Permintaan Qd Penawaran Qs 30 10 35 20 40 10 P Keseimbangan harga. 30 25.4 E Qs = -40 + 2.5P 20. Qd = 100-3P.... Q 10 23.8 35 40 Keseimbangan kuantitas
KESEIMBANGAN KUANTITAS DAN HARGA Qd = Qs 100-3P = -40 + 2.5P 5.5 P = 140 Pe = 25.4 Qe = 100 3(25.4) = 23.8
Fungsi Biaya, Penerimaan, Keuntungan Suatu perusahaan mempunyai biaya tetap produksi 2000 dan biaya variabel per unit Q adalah 25. Harga jual produknya 50 per unit Q. Tentukan : - Fungsi Biaya Total C - Fungsi Penerimaan R - Fungsi Keuntungan Π - Titik Pulang Pokok (BEP) - Gambar Grafiknya
Fungsi Biaya, Penerimaan, dan Keuntungan Fungsi Biaya Total TC = FC + VC; FC = biaya tetap VC = total biaya variabel Jadi TC = 2000 + 25 Q Fungsi Penerimaan TR = p Q ; p = harga jual per unit Q TR = 50 Q Fungsi Keuntungan Π = TR TC = 50Q (2000+25Q) = 25Q 2000 BEP dicapai pada Π = 0, jadi Q = 80
GRAFIK FUNGSI TC,Π,TR TR = 50 Q TC = 2000 + 25Q 4000 BEP 2000 Π = 25Q - 2000-2000 80 Q
Fungsi Biaya, Penerimaan, dan Keuntungan KUANTITAS Q TOTAL BIAYA C 50 3500 25 100 4000 HARGA JUAL P Tentukan, fungsi Biaya C, Penerimaan R, Keuntungan π, BEP, dan Gambar grafiknya
jawab GRAFIK FUNGSI TC,Π,TR TR = 25 Q TC = 3000 + 10Q 5000 BEP 3000 Π = 15Q - 3000-3000 200 Q
FUNGSI PENDAPATAN, CONSUMSI DAN TABUNGAN BERIKUT INI DATA PENDAPATAN, CONSUMSI DAN TABUNGAN SUATU NEGARA DENGAN SATUAN MATA UANG TERTENTU. TENTUKAN: A. FUNGSI CONSUMSI C = c o + cy B. FUNGSI TABUNGAN S = s o + sy C. KESEIMBANGAN PENDAPATAN NASIONAL Y E DAN GAMBAR GRAFIK
HUBUNGAN c DAN s, SERTA c 0 DAN s 0 Y = C + S 1 = c + s, sehingga s = 1-c c = C/ Y disebut marginal propencity to consum (MPC) dan s = S/ Y, disebut marginal propencity to save C = perubahan konsumsi C akibat perubahan pendapatan Y S = perubahan Tabungan S akibat perubahan pendapatan Y c 0 adalah consumsi pada saat Y = 0, s 0 adalah tabungan pada saat Y = 0, jadi s 0 = - c 0 Contoh: Jika Consumsi C = 2500 + 0.75 Y, maka Tabugan S = -2500 + 0.25Y
Pendapatan Y Consumsi C Tabungan S 180 192-12 250 220 30 C, Y, S Y=Y C = 120 + 0.4 Y 220 200 E 120 S = 0.6Y - 120 45 0 Ye = 200 250 Y -120
P P2 P 2 = a(q+1) 2 + 1, P = 2 untuk Q = 0 P 2 = Q 2 + 2Q + 2-1 12 Pe 2 1 Qe 12 GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN P1 DAN FUNGSI PENAWARAN P2 DARI SUATU KOMODITI, TENTUKAN : a. FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN b. KESEIMBANGAN HARGA DAN KUANTITAS P1 Q P1 = 12 - Q P1 = P2 Q 2 + 2Q + 2 = 12-Q Q 2 +3Q-10 = 0 (Q+5)(Q-2) = 0 Qe = 2, Pe = 10
Perpotongan Parabola Dengan -1 14 Pe -1/2 P 13 1 3/4 P2 Qe P1 Parabola GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN P1 DAN FUNGSI PENAWARAN P2 DARI SUATU KOMODITI, TENTUKAN : a. FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN b. KESEIMBANGAN HARGA DAN KUANTITAS P1 = a(q+1) 2 + 14; Q = 0, P = 13 P2 = a(q+1/2) 2 + 3/4; Q = 0, P = 1 Q
Q Q1=a(P+1)2-2 Q1=P 2 +2P-1 9 Qe GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN Q2 DAN FUNGSI PENAWARAN Q1 DARI SUATU KOMODITI, TENTUKAN : a. FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN b. KESEIMBANGAN HARGA DAN KUANTITAS -1-1 -2 Pe Q2 = 9 P 2 P Q1 = Q2 P 2 + 2P -1 = 9 P 2 2P 2 + 2P -10 = 0 P 2 + P 5 = 0
PAJAK DAN SUBSIDI PAJAK DAN SUBSIDI MERUPAKAN KEBIJAKAN FISKAL PEMERINTAH PAJAK DAN SUBSIDI AKAN MENGUBAH FUNGSI PENAWARAN JIKA FUNGSI PENAWARAN SEBELUM PAJAK DAN SUBSIDI Qs = F(P), MAKA: a. setelah pajak t per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Qst = F(P-t) b. setelah subsidi s per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Qss = F(P+s) JIKA FUNGSI PENAWARAN Ps = G(Q), MAKA: a. setelah pajak t per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Pst = G(Q) + t b. setelah subsidi s per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Pss = G(Q)-s
Qs = 2P 10, JADI Q = F(P) t = 2, Qst = 2(P-2) -10 = 2P 14 s = 1, Qss = 2(P+1) 10 = 2P 8 Ps = 5 + 3Q, P = G(Q) t = 2, Pst = 5+3Q+2 = 7 + 3Q s = 1, Pss = 5 +3Q-1 = 4 + 3Q
GAMBAR PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI TERHADAP FUNGSI PENAWARAN Qst = F(P-t) P Qs = F(P) Pet Pe Pes t s Qss = F(P+s) Qet Qe Qes Qd = G(P) Q
PAJAK TANGGUNGAN KONSUMEN DAN PRODUSEN Pajak ditanggung Konsumen Qst = F(P-t) Pajak ditanggung Produsen Pet Pe P Qs = F(P) t = Pet-Po P 0 Qet Qe Qd = G(P) Q
SUBSIDI KONSUMEN DAN PRODUSEN SUBSIDI KONSUMEN P P1 Pe Pes SUBSIDI PRODUSEN s = P1-Pes Qs = F(P) Qss = F(P+s) Qe Qes Qd = G(P) Q
SOAL Diketahui fungsi permintaan suatu barang Qd=8-0.5P, dan fungsi penawaran Qs=-2+P, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila pajak t = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan a. Titik keseimbangan sebelum pajak b. Titik keseimbangan setelah pajak c. Gambar grafik, dan tentukan pajak yang ditanggung produsen dan konsumen
Keseimbangan Harga Pe dan Kuantitas Qe sebelum pajak (Qe,Pe) Qd = Qs 8 0.5 P = -2 + P 1.5 P = 10 Pe = 10/1.5 = 20/3 Qe = 14/3
Fungsi penawaran setelah pajak t = 2 Q st = -2 + (P 2) = -4 + P Keseimbangan harga setelah pajak P st dan kuantitas setelah pajak Q st adalah: (Q et,p et ) Q st = Q d -4 + P = 8 0.5P P et = 8, Q et = 4
PAJAK TANGGUNGAN KONSUMEN DAN PRODUSEN Pkon= 4 (8-20/3) = 16/3 Pajak ditanggung Konsumen Qst = -4 + P Pajak ditanggung Produsen 8 20/3 P Qs = -2 + P t = 8-6 =2 6 4 14/3 Qd = 8-0.5P Q Pprod = 4(20/3 6) = 8/3
LATIHAN SOAL Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=20-0.5Q, dan fungsi penawaran P= 4 + 2.5Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila subsidi s = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan a. Titik keseimbangan sebelum subsidi b. Titik keseimbangan setelah subsidi c. Gambar grafik, dan tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan konsumen
Keseimbangan Harga Pe dan Kuantitas Qe sebelum subsidi (Qe,Pe) Pd = Ps 20 0.5 Q = 4 + 2.5Q 3Q = 16 Qe = 16/3 Pe = 52/3
Fungsi penawaran setelah subsidi s = 2 P ss = 4 + 2.5Q - 2 = 2 + 2.5Q Keseimbangan harga setelah subsidi P ss dan kuantitas setelah subsidi Q ss adalah: (Q es,p es ) P ss = P d 2 + 2.5Q = 20 0.5Q Q es = 18/3=6, P es = 17
SUBSIDI KONSUMEN DAN PRODUSEN SUBSIDI KONSUMEN P 19 52/3 17 SUBSIDI PRODUSEN Ps =4+2.5Q Pss = 2+2.5Q Sprod. = 6(19-52/3) 16/3 6 Pd = 20-0.5Q Q Skon. = 6(52/3-17)
SOAL 1. Sebuah komoditi mempunyai perilaku permintaan dan penawaran sebagai berikut; jika harganya Rp.5.000,- perusahaan akan menawarkan 300 unit, dan permintaan barangnya 500 unit, sedangkan jika harganya naik menjadi Rp.6.000,- perusahaan menawarkan sebanyak 600 unit dan permintaannya menjadi 350 unit. Buatlah persamaan permintaan & penawarannya. Tentukan Keseimbangan harga dan kuantitasnya Jika pajak yang ditarik pemerintah Rp. 300,- per unit tentukan pajak yang ditanggung produsen dan ditanggung konsumen Gambar grafiknya Jika pada kasus di atas pemerintah memberikan susidi Rp 200,- per unit yang terjual tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan juga konsumen Gambar grafiknya 2. Sebuah negara mempunyai komponen pendapatan nasional sebagai berikut; apabila pendapatan negara tersebut tidak ada maka konsumsi 700, sedangkan untuk setiap kenaikan satu satuan pendapatan, maka 90 % digunakan untuk konsumsi, Tentukan fungsi konsumsi dan tabungannya Gambarkan fungsi konsumsi dan tabungan tersebut Tentukan keseimbangan pendapatan nasional
soal 3. Fungsi permintaan Qd = 26 P 2 dan fungsi penawaran Qs = P 2 + 2P 14 Tentukan keseimbangan harga dan kuantitas (Qe;Pe) dan gambar grafiknya 4. Diketahui fungsi permintaan suatu barang Pd=12-2Q, dan fungsi penawaran Ps=3+Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila pajak t = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan a. Titik keseimbangan sebelum pajak b. Titik keseimbangan setelah pajak c. Gambar grafik, dan tentukan pajak yang ditanggung produsen dan konsumen
5. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=10-0.5Q, dan fungsi penawaran P=4 + 2Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila subsidi s = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan a. Titik keseimbangan sebelum subsidi b. Titik keseimbangan setelah subsidi c. Gambar grafik, dan tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan konsumen
6. Cari titik keseimbangan fungsi permintaan berikut : 2P=34-3Q dan fungsi penawaran Q = 2P-2 dalam (Q ; P), dan gambar grafik 7. Jika fungsi permintaan 3P + 2Q = 27 cari jumlah penerimaan R maksimum, jika R = PQ, Gambar fungsi permintaan Qd dan R
BARISAN DAN DERET
PENDAHULUAN Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan dan aturan tertentu. Bilanganbilangan yang tersusun tersebut dikatakan suku dari barisan. Perubahan teratur dari suku-suku secara berurutan tersebut ditentukan oleh suatu ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.
BARISAN ARITHMATIKA DAN GEOMETRI Apabila barisan bilangan mempunyai tambahan bilangan yang besarannya tetap untuk dua suku berurutan, maka disebut barisan arithmatika, sedangkan untuk barisan yang mempunyai kelipatan bilangan tetap antara dua suku berurutan disebut barisan geometri.
FINITE DAN INFINITE Berdasarkan banyaknya suku dari barisan, maka barisan dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu; barisan tertentu (finite) adalah barisan yang sukusukunya terbatas, dan barisan tak tentu (infinite) adalah barisan yang sukusukunya tak terbatas.
DERET Deret (series) adalah jumlahan suku-suku dalam barisan, sehingga dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu deret arithmatika (deret hitung) dan deret geometri (deret ukur). Dari banyak suku, deret geometri juga digolongkan manjadi deret geometri hingga (finite geometric series) dan deret geometri tak-hingga (infinite geometric series).
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA Barisan arithmatika adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, misalnya : 2, 4, 6, 8, 10,.. Tiap suku pada barisan di atas mempunyai beda yang sama dengan suku sebelumnya, yaitu sebesar 2. Hubungan bilangan pada suku barisan dengan suku pertama dapat dijelaskan sebagai berikut : U1 = 2 U2 = 2 + 2 = U1 + 1.2=4 U3 = U2 + 2 = U1 + 2 + 2 = U1 + 2(2) = 6 U4 = U3+2=U1+3(2)=8 U5 = U4+2=U1+4(2)=10
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA Seterusnya dapat ditentukan suku ke i+1 adalah suku ke i ditambah 2, yaitu U i+1 = Ui + 2. Terlihat bahwa beda antara dua suku berurutan adalah sama (konstan). Barisan seperti ini disebut barisan arithmatika. Secara umum apabila setiap suku barisan arithmetika dapat ditulis sebagai berikut : U1, U2, U3, U4, U5,..,Un maka hubungan yang dapat dijelaskan adalah; U2 = U1 + b U3 = U1 + 2b U4 = U1 + 3b.. Un = U1 + (n-1)b, merupakan suku ke-n dengan b adalah beda antara dua suku berurutan.
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA Contoh 1. Tentukan suku ke-15 dari barisan arithmatika; 7, 10, 13, 16,.. Penyelesaian; Suku pertama U1 = 7 dan beda b = 10-7 = 3. Dengan menggunakan rumus Un = U1 + (n-1)b, maka; U15 = 7 + (15-1)3 = 7 + 42 = 49.
Contoh 2. Tentukan suku ke-20 dari barisan arithmatika jika diketahui suku ke-5 = 17 dan suku ke-8= 26. Penyelesaian ; Suku ke-5 = 17 ditulis U5 = 17 artinya 17 = U1 + 4b Suku ke-8 = 26 ditulis U8 = 26 artinya 26 = U1 + 7b Jika kedua persamaan di atas diselesaikan diperoleh beda b = 3 dan suku pertama U1 = 5, sehingga suku ke-20 dari barisan ini adalah; U20 = U1 + 19 b = 5 + 19(3) = 5 + 57 = 62
DERET ARITHMETIKA Deret arithmetika adalah jumlah dari suku-suku dalam suatu barisan arithmatika, bentuk umumnya adalah; S n = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + + U n, atau jika digunakan beda b dan suku pertama U 1, Maka Sn dapat ditulis ; S n = U 1 + (U 1 +b)+ (U 1 +2b) +(U 1 +3b) +(U 1 +4b) + +(U 1 +(n-1)b) Jika U 1 diganti dengan simbol a (sering digunakan), maka deret tersebut dapat ditulis ; S n = a + (a+b)+ (a+2b) +(a+3b) +(a+4b) + +(a+(n-1)b) Nilai dari S n dapat ditentukan sebagai berikut ; S n = a +(a+b) + +(a+(n-3)b)+ (a+(n-2)b)+ (a+(n- 1)b) S n =(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+...+ (a+2b) + (a+b) + a
S n = a +(a+b) +...+(a+(n-3)b)+ (a+(n-2b)+ (a+(n-1)b) S n =(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+...+ (a+2b) + (a+b) + a + 2Sn = (2a + (n-1)b)+ (2a+(n-1)b)+......+ (2a+(n-1)b) 2Sn = n (2a + (n-1)b) Sn = n/2(2a + (n-1)b) atau Sn = n/2 (U1 + Un)
BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA Contoh 1 ; Carilah jumlah 15 suku pertama dari barisan arithmatika ; 13, 18, 23, 28,. Penyelesaian; Pada kasus ini dapat diidentifikasi ; a = 13 b = 5 dan n = 15, jadi S 15 = 15/2(26 + (15-1)5) = 720
BARISAN DAN DERET GEOMETRI Barisan geometri adalah barisan dengan rasio antara dua suku berurutan (r) sama Bentuk umum : a, ar, ar 2, ar 3, ar 4,..., ar n-1 Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku dalam suatu barisan geometri, yaitu; S n = a + ar +ar 2 + ar 3 + ar 4 + +ar n-1 r = ar/a = U2/U1 disebut rasio antara dua suku berurutan, dan a = suku pertama Nilai dari S n diperoleh sebagai berikut ;
Sn = a + ar +ar 2 + ar 3 + ar 4 +... +ar n-1 rsn = ar +ar 2 + ar 3 + ar 4 + +ar n-1 + ar n - Sn- rsn = a - ar n (1-r)Sn = a ar n = a(1 - r n ) Sn = a (1 r n )/(1-r), untuk r < 1; dan ditulis : Sn = a (r n - 1)/(r 1), untuk r > 1
BARISAN DAN DERET GEOMETRI Contoh 3. Dengan adanya undang-undang tentang dampak lingkungan, maka perusahaan Hatsam menyisihkan dananya untuk mengawasi polusi udara disekitar pabriknya pada tahun pertama (2003) sebesar Rp. 12.500.000,- dan meningkat 15% setiap tahun berikutnya. Apabila komitmen ini tidak berubah berapakah dana yang harus disiapkan pada awal tahun 2008? Jawaban : Dalam kasus ini diketahui ; a = 12.500.000, r = 1+0.15 = 1.15, dan n = 6 Jadi suku ke-6 U6 = 12.500.000 (1.15) 5, = 25.141.965; sehingga dana yang harus disediakan pada tahun 2008 sebesar Rp. 25.141.965,-
DERET DALAM HITUNGAN KEUANGAN
Hitung Keuangan Bunga Tunggal Bunga Majemuk Anuitas
1. Bunga Tunggal Bunga adalah Selisih jumlah nominal uang yang dipinjam dan jumlah yang dikembalikan. Bunga pinjaman merupakan beban ganti rugi bagi peminjam. Hal ini disebabkan peminjam menggunakan uang pinjaman tersebut untuk usaha. Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase). Bunga tunggal adalah besarnya bunga sebagai jasa peminjaman yang dibayarkan tetap untuk setiap periode
Misalkan uang sebesar Rp100.000,00 dibungakan atas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10% per bulan. Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama: Rp100.000,00 + 10% Rp100.000,00 = Rp100.000,00 (1 +10%) Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua: Rp100.000,00 + 10% Rp100.000,00 + 10% Rp100.000,00 = Rp100.000,00 (1 + 2 10%) Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga: Rp100.000,00 + 10% Rp100.000,00 + 10% Rp100.000,00 + 10% Rp100.000,00 = Rp100.000, 00 (1 + 3 10%) Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-t: Rp100.000,00 + 10% Rp100.000,00 +... + 10% Rp100.000,00 = Rp100.000,00 ( 1+ t 10%)
Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut. B = M t i o M t = M o(1 + t i) Keterangan : M = modal t B o Mt = periode waktu dengan tingkat suku bunga i = bunga = besar modal akhir periode t
Contoh 1: Koperasi Jatra Lestari memberikan pinjaman kepada anggotanya atas dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Jika seorang anggota meminjam modal sebesar Rp3.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 1 tahun, tentukan a. besar bunga setiap bulannya; b. besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang ditentukan. Jawab: Besar bunga dihitung setiap bulan. Diketahui r = 2%, M o = Rp3.000.000,00, dan t = 12 bulan. a. Besar bunga setiap bulan adalah B = M o 1 r = Rp3.000.000,00 1 2% = Rp60.000,00
b. Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 12 bulan adalah M = M (1 + t r) t o M 12 = Rp3.000.000,00(1 + 12 2%) = Rp3.000.000,00(1,24) = Rp3.720.000,00