BAB 3 TABEL KEBENARAN 1. Pendahuluan Logika adalah ilmu tentang penalaran (reasoning). Penalaran berarti mencari bukti validitas dari suatu argumen, mencari konsistensi dan pernyataan-pernyataan, dan membahas materi tentang kebenaran dan ketidakbenaran. Logika hanya berhubungan dengan bentuk-bentuk (form) logika dari argumen-argumen, serta penarikan kesimpulan tentang validitas dari argumen tersebut, ataupun isi dari pernyataan. Contoh 1: Manusia mempunyai 2 mata Badu seorang manusia Dengan demikian, Badu mempunyai 2 mata Contoh 2: Binatang mempunyai 2 mata Manusia mempunyai 2 mata Dengan demikian, binatang sama dengan manusia Argumen pada contoh 1 masih masuk akal, tetapi kesimpulan dari argumen contoh 2 adalah tidak mungkin. Logika hanya menekankan bahwa premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan yang benar (valid) tetapi bukan kebenaran secara aktual atau kebenaran sehari-hari. 2. Tabel kebenaran Pernyataan majemuk terdiri dari satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung kalimat (connective) tertentu. Dalam bahasa Indonesia kita sering menggunakan kata-kata tidak (not), dan (and), atau (or), jika... maka... (if then), jika dan hanya jika ( if and only if ). Marilah sekarang kita memperhatikan penggunaan kata-kata itu dengan lebih cermat dalam matematika (dan membandingkannya dengan penggunaan dalam percakapan sehari-hari). Kita pelajari sifat-sifatnya untuk memperjelas cara berpikir kita dan terutama karena pentingnya kata-kata itu untuk
melakukan pembuktian. Dalam pelajaran logika (matematika), kata-kata itu disebut kata hubung kalimat, ada lima macam kata hubung kalimat yaitu negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional, dan bikondisional. Negasi tidak menghubungkan dua buah pernyataan sederhana, tetapi tetap dianggap sebagai kata hubung kalimat, yaitu menegasikan pernyataan sederhana (ada yang menganggap bahwa negasi suatu pernyataan sederhana bukan pernyataan majemuk). Masalahnya adalah bagaimana mendefinisikan penghubung secara logika antara dua pernyataan yang dapat kita gunakan untuk membentuk pernyataan majemuk. Misalkan p serta q berturut-turut pernyataan sederhana berbunyi musim hujan dan rumput hijau, kita ingin mempunyai simbol untuk menyatakan kalimat seperti p tidak benar, atau jika p maka q, p dan q dan sebagainya. Dalam hal ini kita menginginkan pula untuk dapat memberikan nilai kebenaran bagi kombinasi p dan q tersebut. Tentunya pemberian nilai kebenaran tersebut adalah dengan cara yang konsisten sesuai dengan penggunaan yang biasa dilakukan. Contoh: Jika hari hujan, maka Badu basah kuyub. Pernyataan Jika hari hujan pada kalimat di atas jika benar, maka pernyataan maka Badu basah kuyub masih dipertanyakan kebenarannya. Basah kuyubnya Badu masih bisa diperdebatkan karena mungkin Badu memiliki payung, atau Badu berteduh, atau Badu disiram air oleh temannya dan berbagai kemungkinan lainnya. Logika tidak berhubungan dengan kemungkinan-kemungkinan, logika hanya mengambil nilai kebenarannya. Badu menangkap bola dan menendangnya. Badu menendang bola dan menangkapnya. Pernyataan pertama masuk akal secara alamiah atau secara hard logic memang harus demikian kejadiannya, tetapi pada pernyataan kedua, terasa tidak masuk akal karena tidak mungkin ada kejadian menendang bola kemudian menangkapnya. Tetapi sekali lagi logika tidak mempermasalahkan pengertian sesuai bahasa sehari-hari, karena logika lebih mementingkan bentuk dari pernyataan-pernyataan.
Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana. 3. Operator Setiap operator atau perangkai pada logika memiliki kebenarannya masing-masing sesuai jenis perangkai logika yang digunakan. Untuk mengetahui nilai kebenarannya, digunakan aturan dengan memakai tabel kebenaran. Perangkai-perangkai yang digunakan adalah: Tabel 3.1 Perangkai dan Simbolnya Simbol Arti Bentuk Tidak / Not / Negasi Tidak Dan / And / Konjungsi dan Atau / Or / Disjungsi atau Implikasi/if then Jika maka Bi-Implikasi/ if only if bila dan hanya bila Perangkai logika atau operator dalam bentuk simbol dipergunakan untuk membuat bentukbentuk logika atau ekspresi logika. Disini hanya digunakan konstanta proposisional T untuk True dan F untuk False, bukan B dan atau S. 3.1. Konjungsi [ ] Konjungsi adalah kata lain dari perangkai dan (and), dan konjungsi mempunyai Tabel Kebenaran seperti berikut: Tabel 3.2 Aturan And A B A B
Pada tabel kebenaran dari konjungsi, hanya ada satu nilai T jika pasangan tersebut keduanya bernilai T, lainnya pasti F. Perangkai atau operator disebut perangkai binary karena ia merangkai dua variabel proposisional. Latihan soal: Carilah nilai fungsi kebenaran dari perangkai untuk nilai konjungsi berikut: A B C A B (A B) C B C A (B C) 3.2. Disjungsi [ ] Tanda digunakan sama dengan perangkai atau (or). Disjungsi juga berfungsi sebagai perangkai binary. Tabel 3.3 Aturan Or A B A B Dari tabel kebenaran di atas, nilai A B bernilai F jika nilai A dan B keduanya F, lainnya pasti T.
Contoh: Badu pandai atau Badu bodoh. Bentuk tersebut diubah menjadi variabel proposisional sehingga akan menjadi: A = Badu pandai B = Badu bodoh Bentuk logikanya adalah A B, tidak boleh ditafsirkan dan diganti menjadi variabel proposisional seperti berikut: A = Badu pandai A = Badu bodoh Atau disamakan menjadi A A. Hal ini tentu saja tidak benar karena hal ini tidak boleh dilakukan dalam logika proposisional. Latihan soal: Carilah nilai fungsi kebenaran dari perangkai untuk nilai disjungsi berikut: A B C A B (A B) C B C A (B C) 3.3. Negasi [ ] Negasi digunakan untuk menggantikan perangkai tidak (not). Tabel 3.4 Aturan Not A A A
Negasi berarti hanya kebalikan dari nilai variabel proposisional yang dinegasinya. Jika F akan menjadi T dan sebaliknya, atau negasi F adalah T. Perangkai disebut perangkai unary karena hanya dapat merangkai satu variabel proposisional. Perangkai,, dan disebut perangkai alamiah atau perangkai dasar karena semua perangkai dapat dijelaskan hanya dengan tiga perangkai tersebut. 3.4. Implikasi [ ] Implikasi menggantikan perangkai jika maka (if then ). Implikasi yang memakai tanda disebut implikasi material. Tabel 3.5 Aturan Implikasi A B A B Hanya ada satu nilai F dari A B, jika A bernilai T dan B bernilai F, bukan sebaliknya. Pasangan yang terletak di sisi kiri yakni A, disebut antecedent (hipotesis/premis), sedangkan di sisi kanan yakni B, disebut consequent (kesimpulan). Oleh karena itu, implikasi juga disebut conditional atau mengkondisikan satu kemungkinan saja dari sebab dan akibat. Latihan soal: Carilah nilai fungsi kebenaran dari perangkai untuk nilai implikasi berikut: A B C A B (A B) C B C A (B C)
3.5. Ekuivalensi / Bi-implikasi [ ] Ekuivalensi dengan simbol menggantikan perangkai jika dan hanya jika ( if and only if ). Tabel 3.6 Aturan Bi-Implikasi A B A B Jadi, nilai A B mempunyai nilai T jika pasangan A dan B bernilai sama, baik T maupun F. Jika pasangannya berbeda, nilainya pasti F. Perangkai disebut biconditioanal karena ia mengkondisikan atau merangkaikan dua ekspresi logika. Latihan soal: Carilah nilai fungsi kebenaran dari perangkai untuk nilai bi-implikasi berikut: A B C A B (A B) C B C A (B C)
4. Operator khusus 4.1. Perangkai Tidak dan [ ] Tabel 3.7 Aturan Tidak dan A B A B Jika diperhatikan nilai kebenaran dari A B, maka hasilnya akan terlihat terbalik dari A B. Oleh karena itu, disebut tidak dan (not and) atau operator nand (kadang-kadang disebut Sheffer stroke, diambil dari nama Henry M. Sheffer. Simbolnya berupa vertical stroke [ ]. 4.2. Perangkai Tidak atau [ ] Tabel 3.8 Aturan Tidak atau A B A B Jika diperhatikan nilai kebenaran dari A B, maka hasilnya akan terlihat terbalik dari A B. Oleh karena itu, disebut tidak dan (not or) atau operator nor(kadang-kadang disebut Peircer Arrow, diambil dari nama Charles S. Pierce. Simbolnya berupa [ ].
4.3. Perangkai XOR [ ] Tabel 3.9 Aturan XOR A B A B Jika diperhatikan A B tampak terbalik dari A B, yakni jika A dan B nilainya sama, maka hasilnya F, tetapi jika A dan B nilainya berbeda, maka hasilnya T. Latihan soal: 1. Gunakan konstanta proposisional berikut: A = Bowo kaya raya B = Bowo hidup bahagia Selanjutnya, ubah pernyataan-pernyataan berikut ini menjadi bentuk logika: a) Bowo tidak kaya b) Bowo kaya raya dan hidup bahagia c) Bowo kaya raya atau tidak hidup bahagia d) Jika Bowo kaya raya, maka ia hidup bahagia e) Bowo hidup bahagia jika dan hanya jika ia kaya raya 2. Misalkan A, B, dan C adalah variabel proposisional: A = Anda sakit flu B = Anda ujian C = Anda lulus Ubahlah ekspresi berikut menjadi pernyataan dalam bahasa Indonesia: a) A B b) B C c) B C d) (A B) C
e) (A C) (B C) f) (A B) ( B C) 3. Berilah konstanta proposisional terserah Anda, dan ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi bentuk logika: a) Jika Bowo berada di Malioboro, maka Dewi juga ada di Malioboro b) Pintu rumah Dewi berwarna merah atau coklat. c) Berita itu tidak menyenangkan. d) Bowo akan datang jika ia mempunyai kesempatan. e) Jika Dewi rajin kuliah, maka ia pasti pandai. 4. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini dengan tabel kebenaran a) A A b) A A c) (A A) dan (A A) d) (A B) dan (B A) e) (A B) C dan A (B C) 5. Buatlah tabel kebenaran dengan semua kemungkinan nilai keenaran dari ekspresiekspresi logika berikut ini: a) ( A B) b) A (A B) c) (( A ( B C)) (B C)) (A C) d) (A B) ((( A B) A) B) e) (A B) ( B A)