PENERBIT ITB CATATAN KULIAH FI-0 FISIKA DASAR I (Edisi Revisi) Oleh D.Eng. MIKRAJUDDIN ABDULLAH, M.Si. PROGRAM STUDI FISIKA
Dafta Isi Bab Geak Dua Dimensi Bab Geak Peluu 7 Bab 3 Geak Melingka 36 Bab 4 Hukum Newton dan Dinamika 50 Bab 5 Hukum Gavitasi 8 Bab 6 Usaha Enegi 99 Bab 7 Elastisitas Bahan 3 Bab 8 Momentum Linie dan Impuls 47 Bab 9 Dinamika Benda Tega 8 Bab 0 Statika Fluida 9 Bab Fluida Dinamik 6 Bab Teoi Kinetik Gas 94 Bab 3 Temodinamika 37 Bab 4 Teoi Relativitas Khusus 356 ii
Kata Penganta Guna mempekaya matei kuliah bagi mahasiswa Tahap Pesiapan Besama (TPB) Institut Teknologi Bandung, kami mencoba menyusun diktat kuliah Fisika Dasa I sebagai pelengkap sejumlah efeensi yang telah ada. Di dalam diktat ini kami mencoba menyodokan pendekatan yang lebih sedehana dalam memahami Fisika Dasa yang meupakan mata kuliah wajib di TPB. Diktat vesi evisi ini meupakan pebaikan diktat yang tebit petama kali tahun 006. Bebeapa kesalahan yang muncul pada diktat vesi petama ditekan seminim mungkin pada diktat vesi evisi ini. Fomat juga ditata ulang sehingga lebih enak untuk dibaca dan dipelajai. Bebeapa ilustasi juga ditambah untuk membuat diktat lebih menaik. Atas hadinya diktat ini kami mengucakan teima kasih kepada Penebit ITB yang besedia menebitkannya sehingga dapat sampai di tangan paa mahasiwa yang mengambil mata kuliah tesebut. Kami menyadai masih banyak kekuangan yang dijumpai dalam diktat ini meskipun sudah dilakukan evisi. Koeksi dai siapa pun, apakah dosen, mahasiswa, atau lainnya sangat kami nantikan untuk pebaikan selanjutnya. Semoga bemanfaat Wassalam Juni 007 Mikajuddin Abdullah iii
Bab Geak Dua Dimensi Besaan-besaan geak sepeti posisi, pepindahan, kecepatan, pecepatan, gaya, dan sebagainya meupakan besaan-besaan vekto. Oleh kaena itu pembahasan tentang geak akan lebih lengkap kalau diungkapkan dengan metode vekto. Awalnya penggunaan medote vekto teasa sulit. Namun, apabila kita sudah tebiasa maka akan mendapatkan bahwa metode vekto cukup sedehana. Analisis yang cukup panjang dan umit yang dijumpai pada metode skala seing menjadi sangat singkat dan sedehana jika dilakukan dengan metode vekto.. Analisis Vekto Untuk Geak Dua Dimensi Untuk memahami peneapan metode vekto dalam analisis geak, mai kita mulai mengkaji benda yang melakukan geak dua dimensi. Bebeapa besaan geak sebagai beikut. Posisi Untuk menjelaskan geak dua dimensi secaa lengkap, kita pelu menggunakan koodinat dua sumbu. Kita gunakan sumbu x yang aahnya hoizontal dan sumbu y yang aahnya vetikal. Posisi benda diuku dai pusat koodinat ditulis dalam notasi vekto sebagai x iˆ + y ˆj (.) dengan x y : vekto yang pangkalnya di sumbu koodinat dan ujungnya di posisi benda. : komponen vekto dalam aah sumbu x (poyeksi vekto sepanjang sumbu x) : komponen vekto dalam aah sumbu y (poyeksi vekto sepanjang sumbu y) î : vekto satuan yang seaah dengan sumbu x dan ĵ adalah vekto satuan yang seaah sumbu y. Vekto satuan atinya vekto yang panjangnya satu, atau i ˆ dan ˆ j.
Panjang vekto memenuhi x + y (.) y x Gamba. Posisi sebuah benda dalam koodinat dua dimensi Sifat pekalian vekto satuan Sebelum melangkah lebih jauh, mai kita lihat sifat pekalian vekto satuan. Sifat pekalian skala yang dipenuhi adalah i ˆ iˆ ˆ j ˆj i ˆ ˆj 0 ˆ j iˆ 0 (.3) Pepindahan Misalkan sebuah benda mula-mula beada di titik A dengan vekto posisi. Bebeapa saat beikutnya, benda tesebut beada pada titik B dengan vekto posisi. Kita mendefinisikan pepindahan benda dai titik A ke titik B sebagai (.4)
y Lintasan benda x Gamba. Vekto pepindahan benda adalah selisih vekto posisi akhi dengan vekto posisi awal Tampak dai Gb.. bahwa, vekto pepindahan adalah vekto yang pangkalnya beada di ujung vekto dan kepalanya beada di ujung vekto. Kita juga dapat menulis vekto dan dalam komponen-komponennya, yaitu x iˆ + y ˆj x iˆ + y ˆj (.5) dengan x : komponen vekto dalam aah x y : komponen vekto dalam aah y x : komponen vekto dalam aah x y : komponen vekto dalam aah y Dinyatakan dalam komponen-komponen vekto maka kita dapat menulis vekto pepindahan sebagai beikut ( x iˆ + y ˆ) j ( x iˆ + y ˆj ) ( x x )ˆ i + ( y y ) ˆj (.6) Besa pepindahan benda, yaitu panjang pepindahan, adalah 3
( x x y y ) + ( ) (.7) Contoh. Mula-mula posisi sebuah benda dinyatakan oleh vekto 8ˆ i + 0 ˆj m. Bebeapa saat beikutnya, posisi benda menjadi 5 iˆ + 0 ˆj m. Beapakah vekto pepindahan seta besa pepindahan benda? ( 5ˆ i + 0 ˆ) j (8ˆ i + 0 ˆj ) ( 5 8)ˆ i + (0 0) ˆj 3ˆ i + 0 ˆj m Besa pepindahan benda ( 3) + (0) 69 6,4 m Contoh. Posisi benda tiap saat ditentukan oleh pesamaan 0t iˆ + (0t 5t ) ˆj (satuan mete). (a) Tentukan posisi benda pada saat t s dan t 0 s. (b) Tentukan pepindahan benda selama selang waktu t s sampai t 0 s. (a) Posisi benda saat t s 0 ˆ i + (0 5 ) ˆj 0iˆ + 5 ˆj m Posisi benda saat t 0 s 0 0iˆ + (0 0 5 0 ) ˆj 00iˆ 400 ˆj m 4
(b) Pepindahan benda antaa t s sampai t 0 s ( 00ˆ i 400 ˆ) j (0ˆ i + 5 ˆj ) ( 00 0)ˆ i + ( 400 5) ˆj 90ˆ i 405 ˆj m Kecepatan Rata-Rata Kita mendefinisikan kecepatan ata-ata sebagai pebandingan antaa pepindahan dengan lama waktu melakukan pepindahan. Misalkan saat t posisi benda adalah dan pada saat t, posisi benda adalah. Maka Pepindahan benda adalah: Lama waktu benda bepindah adalah: t t t Definisi kecepatan ata-ata adalah v t (.8) Di sini kita gunakan tanda kuung siku,, sebagai simbol untuk ata-ata. Kecepatan ata-ata juga meupakan besaan vekto. Contoh.3 Pada saat t s posisi sebuah benda adalah iˆ 0 m dan pada saat t 6 s posisi benda menjadi 8 ˆj m. Beapakah kecepatan ata-ata benda selama pepindahan tesebut? Pepindahan benda ( 8 ˆ) j (0ˆ) i 0ˆ i + 8 ˆj m. Lama pepindahan benda t 6 4 s 5
Kecepatan ata-ata benda v t 0ˆ i + 8 ˆj 4,5ˆ i + ˆj m/s Contoh.4 Posisi sebuah benda yang sedang begeak memenuhi hubungan 3ˆ i + 5t ˆj m. Beapakah kecepatan ata-ata benda antaa t 0 s sampai t 5 s? Posisi benda saat t 0 s 3ˆ i + 5 0 Posisi benda saat t 5 s 3ˆ i + 5 5 ˆj 3iˆ m ˆj 3ˆ i + 5 ˆj m Pepindahan benda ( 3ˆ i + 5 ˆ) j (3i ) 5 ˆj Lama pepindahan benda t 5-0 5 s Kecepatan ata-ata benda 5 ˆ j v 5 ˆj m/s. t 5 Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat dipeoleh dai kecepatan ata-ata dengan mengambil selang waktu yang sangat kecil, yaitu mendekati nol. Dapat pula dikatakan bahwa kecepatan sesaat meupakan kecepatan ata-ata pada selang waktu yang sangat kecil (mendekati nol). Jadi, definisi kecepatan sesaat adalah v t (.9) dengan t 0. Definisi ini dapat ditulis dalam bentuk difeensial sebagai beikut 6
d v dt (.0) Contoh.5 Sebuah benda begeak dengan posisi yang memenuhi Tentukan kecepatan sesaat benda pada saat t s. 4t iˆ + (6t 5t ) ˆj m. Kecepatan sesaat benda pada sembaang waktu adalah v d dt 4iˆ + (6 0t) ˆj m/s Kecepatan sesaat benda pada saat t menjadi v 4iˆ + (6 0 ) ˆj 4ˆ i 4 ˆj m/s Pecepatan ata-ata Pecepatan ata-ata didefinisikan sebagai pebandingan antaa peubahan kecepatan benda dengan lama kecepatan tesebut beubah. Misalkan saat t kecepatan sesaat benda adalah v dan pada saat t kecepatan sesaat benda dalah v. Maka Peubahan kecepatan benda adalah v v v Lama waktu kecepatan beubah adalah t t t Definisi pecepatan ata-ata adalah a v t (.) Pecepatan ata-ata juga meupakan besaan vekto. Contoh.6 Sebuah benda begeak dengan kecepatan yang memenuhi pesamaan [ cos(0,π t) iˆ + sin (0, t) ˆj ] v π waktu t 0/6 s sampai t 0 s. m/s. Tentukan pecepatan ata-ata benda antaa selang 7
Kecepatan benda saat t 0/6 s v 0 iˆ 0 + ˆ π j iˆ π cos 0,π sin 0,π cos + sin ˆj 6 6 6 6 3 iˆ + ˆj 3 iˆ + ˆj m/s Kecepatan benda saat t 0 s v { cos( 0,π 0) iˆ + sin ( 0,π 0) ˆj } cos( π ) iˆ + sin ( ) { ˆj } π { } i ( )ˆ i + 0 ˆj ˆ m/s Peubahan kecepatan benda antaa t 0/6 sampai t 0 s adalah v v v ( ˆ) i ( 3ˆ i + ˆ) j ( + 3)ˆ i ˆj m/s Lama waktu peubahan kecepatan benda t 0 0/6 60/6 0/6 50/6 s Pecepatan ata-ata benda v i ˆ ( + 3)ˆ j a 0,45iˆ 0, ˆj t 50 / 6 m/s. Pecepatan sesaat Jika selang waktu yang kita ambil dalam menghitung pecepatan ata-ata mendekati nol, maka pecepatan ata-ata tesebut beubah menjadi pecepatan sesaat. Jadi, pecpetan sesaat didefinisikan sebagai a v t (.) dengan t diambil menuju nol. Juga definisi ini dapat ditulis dalam bentuk difeensial sebagai beikut dv a (.3) dt 8
Contoh.7 Kecepatan sesaat benda sebagai fungsi waktu dibeikan oleh hubungan v 0t iˆ + 3 ˆj m/s. Beapakah pecepatan sesaat benda pada saat t 5 s? Petama kita tentukan pecepatan sesaat pada sembaang waktu, yaitu dv a 0t iˆ m/s dt Pecepatan sesaat pada saat t 5 s adalah a 0 5iˆ 00iˆ m/s Sampai di sini kita sudah membahas bagaimana mendapatkan besaan-besaan geak dimulai dai posisi benda. Dai posisi benda kita mendapatkan kecepatan ata-ata dan kecepatan sesaat dan dai kecepatan sesaat kita bisa menentukan pecepatan ata-ata dan pecepatan sesaat. Bagaimana dengan sebaliknya? Jika kita mengetahui pecepatan, dapatkah kita menentukan kecepatan? Dan jika kita mengetahui kecepatan, dapatkan kita menentukan posisi? annya, dapat. Dan itu yang akan kita pelajai selanjutnya.. Menentukan kecepatan dai pecepatan Kita mulai dai definisi pecepatan sesaat pada pesamaan (.3). Pesamaan tesebut dapat ditulis ulang menjadi dv adt (.4) Lalu kita integal uas kii dan kanan dengan batas-batas: (i) kecepatan dai v dan (ii) waktu dai t sampai t : o v o sampai v dv vo t to adt Integal uas kii bisa segea diselesaikan dan hasilnya adalah v v o (.5). Integal di uas 9
kanan bau dapat dilakukan setelah kita mengetahui bentuk eksplisit dai fungsi a. Dengan mengganti integal uas kii dengan v v kita dapatkan o v v o t to adt atau v v o t + adt to (.6) Pesamaan (.6) meupakan bentuk yang umum yang belaku untuk pecepatan apa pun, baik yang konstan maupun tidak konstan. Kalau kita tinjau kasus khusus untuk pecepatan yang konstan, maka pecepatan pada integal pesamaan (.6) dapat dikeluakan dai integal dan kita peoleh v v v o o + a + a t to dt ( t to ) (.7) Contoh.8 (pecepatan konstan) Pada saat t o s sebuah patikel memiliki kecepatan 3 iˆ + 4 ˆj m/s. Beapa kecepatan patikel pada sembaang waktu jika pecepatannya adalah 0 iˆ + ˆj m/s? Dai soal kita daatkan infomasi t o s, v o 3 iˆ + 4 ˆj m/s dan a 0 iˆ + ˆj m/s. Kaena pecepatan konstan maka kita bias langsung menggunakan pesamaan (.7) v v o + a t t ( o ) ( 3ˆ i + 4 ˆ) j + ( 0ˆ i + ˆ)( j t ) [ 3 0( t )]ˆ i + [4 + ( t )] ˆj 0
( 3 0t)ˆ i + (t) ˆj m/s Contoh.9 (pecepatan sembaang) Sebuah benda memiliki pecepatan a 4tiˆ + 5t ˆj m/s. Jika pada saat t 4 kecepatan benda adalah v o 0 ˆj m/s, tentukan kecepatan benda pada sembaang waktu. Kaena benda memiliki pecepatan yang sembaang, maka kita gunakan pesamaan umum (.6). Kita dapatkan kecepatan benda adalah v v o t + adt to t 0 ˆj + ( 4tiˆ + 5t 4 ˆ) j dt 5 0 ˆ j + t iˆ + t 3 3 ˆ j t 4 0 ˆj ( t ) iˆ 5 3 6 + ( t 64)j ˆ 3 ( t ) iˆ 5 3 350 3 + t ˆj m/s 3 3.3 Menentukan posisi dai kecepatan Kita beangkat dai definisi kecepatan sesaat yang dibeikan oleh pesamaan (.9). Kita dapat menulis ulang pesaman tesebut menjadi d vdt (.8) Misalkan pada saat t o benda beada pada posisi o dan dapa saat t sembaang posisi benda dinyatakan oleh. Dua uas dalam pesamaan (.8) dapat diintegal menjadi
d o t to vdt (.9) Integal di uas kii dapat segea diselesaikan dan membeikan. Integal di uas kanan bau dapat diselesaikan setelah kita mengetahui bentuk eksplisit dai fungsi v. Dengan mengganti uas kii pesamaan (.9) dengan kita peoleh o o o t to vdt atau o t + vdt to (.0) Pesamaan (.0) meupakan bentuk yang umum yang belaku untuk kecepatan apa pun, baik yang konstan maupun tidak konstan. Kalau kita tinjau kasus khusus untuk kecepatan yang konstan, v, maka kecepatan pada integal pesamaan (.0) dapat dikeluakan dai integal dan kita peoleh o o o + v + v t o to dt o ( t to ) (.) Kasus khusus lainnya adalah untuk geak dengan pecepatan yang konstan. Untuk kasus ini maka kecepatan pada integal pesamaan (.0) diganti dengan kecepatan pada pesamaan (.7) sehingga dipeoleh t + ) dt o t [ vo + a( t to ] to + v dt + a( t t ) dt o to o t to o
t + v dt + a ( t t ) dt o o to t to o o + vo ( t to ) + a( t to ) (.) Contoh.0 (pecepatan konstan) Sebuah benda begeak dengan pecapatan a 0 ˆj m/s. Pada waktu nol detik, kecepatan benda adalah 5î m/s dan posisinya 50 ĵ m. Tentukan: (a) kecepatan benda pada sembaang waktu (b) Posisi benda pada sembaang waktu. Dai soal kita dapat infomasi t o 0, a 0 ˆj m/s, v o 5iˆ m/s, dan 50 ˆj m. o a) Kaena pecepatan benda konstan maka kecepatan benda pada sembaang waktu tentukan dai pesamaan (.7), yaitu v v o + a t t ( o ) 5iˆ + ( 0 ˆ)( j t 0) 5iˆ 0t ˆj m/s b) Posisi benda tiap saat dihitung dengan pesamaan (.) o + vo ( t to ) + a( t to ) 50 ˆj + (5ˆ)( i t 0) + ( 0 ˆ)( j t 0) ˆj t iˆ 50 + 5 5t ˆj t iˆ 5 + (50 5t ) ˆj m Contoh. Pada saat t 0, benda beada pasa posisi o 0 iˆ + 0 ˆj m. Benda tesebut begeak dengan kecepatan v 0ˆ i + 5t / ˆj m/s. Tentukan posisi benda pada 3
sembaang waktu Kaena pecepatan benda tidak konstan maka kita gunakan bentuk umum yang diungkapkan oleh pesamaan (.0) o t + vdt t o t / ( 0ˆ i + 0 ˆ) j + ( 0ˆ i + 5t ˆj )dt 0 0 ( 0ˆ i + 0 ˆ) j + 0tiˆ t 3 j 3 / ˆ t 0 0 0 ( 0ˆ i 0 ˆ) j 0tiˆ t 3 / ˆ j ( 0t 0) iˆ 0 t 3 / + + + ˆj m 3 3 Soal dan Penyelesaian ) Kecepatan sebuah mobil dapat dinyatakan dalam pesamaan v 30 iˆ + 50 ˆj km/jam. Pada saat t 0 posisi mobil adalah o 0iˆ 30 ˆj km. Tentukan posisi mobil pada saat t 0,5 jam. Dai bentuk kecepatan, tampak bahwa geakan mobil meupakan geak dengan kecepatan konstan, sehingga kita dapat langsung menggunakan umus o + vt ( 0ˆ i 30 ˆ) j + (30ˆ i + 50 ˆ) j 0,5 ( 0ˆ i 30 ˆ) j + (5ˆ i + 5 ˆ) j (0 + 5)ˆ i + ( 30 + 5) ˆj 5iˆ 5 ˆj km. 4
4 ) Posisi sebuah benda memenuhi pesamaan ( t) t iˆ tˆj m. Tentukan: a) Posisi benda pada saat t s b) Posisi benda pada saat t 3 s c) Pepindahan benda antaa t s sampai t 3 s. d) Kecepatan ata-ata benda antaa t s sampai t 3 s. e) Kecepatan sesaat benda 4 a) () iˆ ˆj ˆ i ˆj m. 4 b) (3) 3 iˆ 3 ˆj 8ˆ i 6 ˆj m. c) ( 3) () (8ˆ i 6 ˆ) j (ˆ i ˆ) j 80ˆ i 4 ˆj m. d) Selang waktu pepindahan benda t s. Kecepatan ata-ata benda 80ˆ i 4 ˆj 80 4 v iˆ ˆj 40ˆ i ˆj m/s. t d e) v 4t 3 iˆ ˆj dt m/s 3) Antaa t s sampai t 3 s kecepatan sebuah benda adalah v iˆ 0 m/s dan antaa t 3 s sampai t 8 s, kecepatan benda adalah v 4 iˆ + 8 ˆj m/s. Beapa kecepatan ata-ata benda antaa t s sampai t 8 s? Kita hitung dulu pepindahan total benda. Penpindahan benda antaa t s sampai t 3 s adalah v t ( 0ˆ) i (3 ) 0iˆ m. Penpindahan benda antaa t 3 s sampai t 8 s adalah v t ( 4ˆ i + 8 ˆ) j (8 3) 0iˆ + 40 ˆj m. 5
Pepindahan total benda antaa t s sampai t 8 s + 0 iˆ + (0ˆ i + 40 ˆ) j 40ˆ i + 40 ˆj Selang waktu peubahan tesebut adalah t 8 7 s. Kecepatan ata-ata benda v t 40ˆ i + 40 ˆj 7 40 iˆ + 7 40 7 ˆj m/s. Soal Latihan. Pilot mengaahkan pesawat ke selatan dengan laju 500 km/jam. Pada saat itu angin betiup ke aah tenggaa (ditengah-tengah antaa aah selatan dan baat) dengan laju 00 km/jam. (a) Hitung kecepatan pesawat elatif tehadap tanah. (b) Beapa penyimpangan posisi pesawat dai posisi yang dihaapkan pilot setelah 0 menit (misalkan pilot tidak melakukan koeksi selama waktu itu)?. Kembali ke soal. Ke mana pilot haus mengaahkan pesawat aga dilihat dai tanah, pesawat tepat begeak ke aah selatan? 3. Sebuah boat yang memiliki laju, m/s pada ai yang diam haus menyebeang sungai yang lebanya 0 m. Dingginkan boat tesebut haus mencapai tempat di sebeang sungai pada jaak 0 m di debelah atas titik tegak luus alian sungai dai posisi boat stat. Untuk mencapai posisi tesebut, tenyata boat haus diaahkan membentuk sudut 45 o tehadap gais potong sungai. Beapakah kecepatan alian ai sungai? 6
Bab Geak Peluu Sekaang kita akan mempeluas pemahaman kita tentang geak dengan mempelajai geak dalam uang dimensi dua. Contoh geak dua dimensi adalah geak benda dalam bidang data, atau geak benda yang dilempakan ke atas dengan sudut elevasi tetentu (tidak tegak ke atas), seta geak peikan kembalng api. Lebih lanjut dalam bab ini kita akan secaa khusus membahas geak peluu. Gamba. Contoh geak peluu Kalau kita masuk ke pesoalan geak dalam dua dimensi, maka penggunaan satu koodinat saja untuk posisi menjadi tidak cukup. Posisi benda bau tedefinisi secaa lengkap apabila kita menggunakan dua buah koodinat posisi. Di sini kita gunakan koodinat x dan y di mana dua sumbu koodinat tesebut saling tegak luus. Sepeli lazimnya digunakan, kita pilih sumbu x dalam aah hoizontal dan sumbu y dalam aah vetical (catatan: sebenanya kita bebas memilih aah dua koodinat tesebut, asalkan tidak sejaja).. Geak Peluu Salah satu geak dua dimensi yang paling popula bagi kita adalah geak peluu. Peluu yang ditembakkan dengan kecepatan awal membentuk sudut elevasi tetentu tehadap sumbu data akan mengambil lintasan sepeti pada Gamba. 7
y y Lintasan benda v o θ Lokasi penembakan Lokasi jatuh x v yo v o θ v xo v y v x v x Gamba. (kii) Lintasan benda yang ditembakkan dengan membentuk sudut elevasi tetentu, dan (kanan) komponen-komponen kecepatan benda selama begeak Selama benda begeak: i) Benda mendapat pecepatan gavitasi dalam aah vetikal ke bawah. ii) Tidak ada pecepatan dalam aah hoisontal. iii) Kecepatan awal benda membentuk sudut θ tehadap aah hoisontal Dai sifat-sifat tesebut kita dapat menulis a gj ˆ (.) v o v o cosθ iˆ + v o sinθ ˆj (.) Keana meupakan geak dengan pecepatan konstan maka i) Kecepatan benda tiap saat memenuhi pesamaan (.7), yaitu v v o + a ( t to ) ( v cosθ iˆ + v sin ˆj ) + ( gj ˆ)( t t ) θ o o o v cosθ iˆ + [ v sinθ g( t t )] ˆj (.3) o o ii) Posisi benda tiap saat memenuhi pesamaan (.), yaitu o + vo ( t to ) + a( t to ) o ( v cosθ iˆ + v sin ˆj )( t t ) + ( gj ˆ)( t t ) x iˆ + y ˆ) j + θ ( o o o o o o [ x v t t ] iˆ o + o cosθ ( o ) + yo vo sin ( t to ) g( t t ˆ + θ o ) j (.4) 8
Pesamaan (.3) dan (.4) dapat pula diuaikan atas komponen-komponen kecepatan maupun komponen-komponen posisi dalam aah sumbu x maupun y. Dai pesamaan (.3) kita dapatkan komponen-komponen kecepatan sebagai beikut v x v o cosθ (.5a) v y v sinθ g( t t ) (.5b) o o Dai pesamaan (.4) kita dapatkan komponen-komponen posisi sebagai beikut x x + v cosθ ( t t ) (.6a) y o o sin ( o ) yo + vo θ t to g( t to ) (.6b) Ketinggian maksimum Tampak dai pesamaan (.5b) laju dalam aah vetikal yang mula-mula v yo makin lama makin kecil, kemudian menjadi nol pada puncak lintasan lalu membalik aah ke bawah. Beapa ketinggian maksim lintasan benda? Lihat Gamba. untuk penjelasan tentang ketinggian maksimum. y Puncak lintasan v o h m θ x R Gamba. Penjelasan ketinggian maksium dan jangkauan maksimum peluu. 9
Pada puncak lintasan belaku v y 0. Jika benda beada pada titik tetinggi lintasan tejadi saat t m, maka waktu yang dipelukan benda sejak ditembakkan sampai mencapai ketinggian maksimum adalah T t t. Bedasakan pesamaan (.5b) dipeoleh m m waktu yang dipelukan untuk mencapai ketinggian maksimum adalah v T yo m g (.7) o Kita simbolkan ketinggian maksimum sebagai h m y y. Dengan menggunakan pesamaan (.6b) dan (.7) dipeoleh ketinggian maksium benda adalah o h m v yo T m gt m v yo v g yo v g g yo v yo g (.8) Gamba.3 Atlit lombat tinggi beusaha mencapai ketinggian maksimum yang paling besa Jangkauan Maksimum Misalkan peluu ditembakkan pada bidang data. Jangkauan maksimum adalah jaak aah hoizontal diuku dai tempat penembakan peluu ke tempat jatuhnya peluu (lihat Gamba. untuk lebih jelasnya). Untuk menentukan jangkauan maksium, telebih dahulu kita tentukan waktu yang dipelukan sampai peluu kembali ke tanah. 0
Jika ketinggian posisi pelempaan dan posisi peluu jatuh kembali ke tanah sama maka peluu akan jatuh kembali setelah selang waktu T T m (.9) Selajutnya, dengan menggunakan pesamaan (.6a) maka jangkauan maksimum peluu adalah R x v T v v xo xo x o xo v yo g ( Tm ) vxov yo (.0) g Petanyaan selanjutnya adalah beapa sudut penembakan aga tecapai jangkauan maksimum di bidang data? annya dapat dipeoleh dai pesamaan (.0). Dengan menggunakan hubungan vox vo cosθ dan v oy vo sinθ maka pesamaan (.0) dapat ditulis ( v R v o o cosθ )( v g o sinθ ) vo g (cosθ sinθ ) sin θ (.) g Nilai maksimum R dicapai jika uas kanan mencapai haga maksimum. Kaena haga maksimum fungsi sinus adalah satu dan tejadi ketika sudut sama dengan 90 o maka jangkauan maksimum twecapai jika θ 90 o, atau θ 45 o. Contoh. Peluu ditembakkan dengan laju awal 00 m/s dengan sudut elevasi 30 o. Tentukan a) Komponen kecepatan awal peluu b) Komponen dan kecepatan dan posisi peluu lima detik setelah penembakan.
c) Waktu saat peluu mencapai ketinggian maksium d) Ketinggian maksimum peluu e) Waktu yang dipelukan peluu mencapat sepeempat ketinggian maksium f) Waktu yang dipelukan peluu mencapai tanah kembali jika peluu ditembakkan pada bidang data g) Jangkauan maksimum peluu Kaena tidak ada penjelasan tentang kapan peluu ditembakkan maka untuk mudahnya kita ambil t o 0. a) Komponen kecepatan awal peluu o vxo vo cos θ 00 cos30 00 00 m/s o v yo v o sin θ 00 sin 30 00 00 m/s b) Komponen kecepatan peluu saat t 5 s dihitung dai pesamaan (.5a) dan (.5b) v v 00 m/s x xo v y v yo gt 00 0 5 50 m/s Komponen posisi peluu saat t 5 s dihitung dengan pesamaan (.6a) dan (.6b). Kaena tidak ada penjelsan di soal di mana peluu ditembakkan, untuk mudahnya kita ambil x o 0 dan y o 0. x xo + vxot 0 + 00 3 5 500 3 m y y 0 00 5 0 5 o + v yot gt + 375 m. c) Waktu yang dipelukan peluu mencapai ketinggian maksium dihitung dengan pesamaan (.7) v yo 00 tm 0 s g 0
d) Ketinggian maksimum peluu dihitung dengan pesamaan (.8) v yo (00) hm 500 m g 0 e) Waktu yangdipelukan peluu mencapai sepeempat ketinggian maksimum kita hitung sebagai beikut. h hm 500 5 m 4 4 Selanjutnya kita gunakan pe samaan (.6b) dengan menggunakan definisi h y - y o h v t gt yo 5 00 t (/) 0 t atau 5 00 t 5 t t 0t + 5 0 ( 0) ( 0) 4 5 0 300 t 0 5 3,34 s ( 0) + ( 0) 4 5 0 + 300 t 0 + 5 3 8,66 s Ada dua waktu yang kita peoleh kaena sepeempat ketinggian maksium dicapat dalam dua waktu, sebelum benda mencapai ketinggian maksium dan saat benda begeak dai ketinggian maksium menuju tanah. f) Waktu yang dipelukan peluu mencapai jangkauan maksium T t m 0 0 s. g) Jangkauan maksimum peluu 3
R v yo T 00 3 0 000 3 m Beapa jangkauan maksimum jika peluu jatuh pada ketinggian yang bebeda dengan lokasi penembakan? Ini bisa tejadi jika peluu ditembakkan di pemukaan tanah yang tidak data. Sebagai ilustasi, lihat Gamba.3. Caa yang kita tempuh untuk menentukan jangkauan maksimum sebagai beikut. Tentukan waktu yang dipelukan peluu mencapai posisi jatuh, yaitu posisi vetikal yang memenuhi y y. Misalkan waktu tesebut adalah T t - t o. Dengan menggunakan pesamaan (.6b) kita peoleh atau y y + v sinθ T o o gt gt vo sinθ T + ( y yo ) 0 (.) Solusi untuk T dipeoleh dengan menggunakan metode standa beikut ini (solusi pesamaan ABC) T v o sinθ ± ( vo sinθ ) 4 ( g / ) ( y ( g / ) y o ) v sinθ ± ( vo sinθ ) g( y y g o o ) (.3) 4
R y -y o y o Xx y -x o Gamba.4 Peluu ditembakkan pada pemukaan yang tidak data Tedapat dua buah solusi untuk T yang dibeikan oleh pesamaan (.3), yaitu T v sinθ + ( vo sinθ ) g( y y g o o ) (.4a) T v sinθ ( vo sinθ ) g( y y g o o ) (.4b) Dai dua macam waktu di atas kita identifikasi bahwa T adalah waktu yang dipelukan benda mencapai posisi y pada saat begeak menuju ke puncak lintasan (saat begeak ke atas). Sedangkan T adalah waktu yang dipelukan benda mencapai posisi y setelah meninggalkan puncak lintasan (saat begeak ke bawah). Misalkan peluu jatuh kembali ke tanah setelah melewati puncak lintasan. Dengan demikian kita menggunakan T. Dai waktu tesebut kita dapat menentukan pepindahan benda dalam aah hoisontal dengan menggunakan pesamaan (.6a), yaitu X x x v cosθ T (.5a) o o Pepindahan benda dalam aah vetikal adalah 5
Y y (.5b) y o Akhinya, jangkauan peluu adalah X Y (.6) R + Lintasan Paabolik Dai pesamaan (.6a), jika kita anggap mula-mula peluu beada pada x o 0 maka kita dapat menulis x t to v cosθ o x v xo (.7) Masukkan t - t o dalam ungkapan pesamaan (.7) ke dalam pesamaan (.6b) sehingga dipeoleh y y o + v v yo x v xo g g x v xo yo yo + x x (.8) vxo vxo Pesamaan di atas tidak lain daipada pesamaan paabola. Kalian ingat pesamaan paabola mempunyai bentuk umum dapat mengidentifikasi A + Bx Cx. Untuk pesamaan (.8) kita y + A y o (.9a) B v yo / v xo (.9b) C ( / ) g / vxo (.9c) Kaena bentuk lintasan yang paabolik sepeti ini maka geak peluu seing disebut juga geak paabola. 6
Contoh. Sebuah batu dilempakan dengan laju awal 80 m/s dan membentuk sudut elevasi 45 o. Tentukan pesamaan yang menyatakan hubungan ketinggian dan jaak hoizontal batu. o vox v o cos θ 80cos 45 80 5 m/s o voy v o sin θ 80sin 45 80 5 m/s Misalk an posisi penembakan peluu adalah x o dan y o 0 maka dengan menggunakan pesamaan (.8) kita dapatkan hubungan antaa x dan y v y v oy ox x g v ox x 5 5 x 0 ( 5 ) x x x 50 Contoh.3 Sebuah peluu yang ditembakkan dengan laju dan sudut elevasi tetentu memiliki lintasan yang memenuhi pesamaan y 4 + 0,5x 0,x (semua dalam satuan SI) Bedasakan pesamaan tesebut tentukan i) ketinggian tempat peluu ditembakkan ii) laju awal peluu iii) sudut elevasi penembakan iv) ketinggian maksimum lintasan peluu v) jangkauan maksimum peluu jika tanah meupakan bidang data Dai soal kita dapatkan A -4, B 0,5 dan C -0,. Dengan menggunakan pesamaan (.9a) sampai (.9c) kita dapatkan 7
y o -4 m v oy v ox 0,5 g 0, v ox i) Dai pesamaan petama tampak bahwa ketinggian tempat peluu ditembakkan adalah 4 m. ii) Dai pesamaan teakhi kita dapatkan g / 0,4 0 / 0,4 5, atau v 5 m/s. v ox ox Dai pesamaan kedua dipeoleh v 0, 5,5 /s. Dengan demikian, laju awal oy v ox peluu adalah v o vox + voy 5 +,5 5,6 m/s iii) Sudut elevasi penembakan memenuhi voy tan θ 0,5 v ox yang membeikan θ 7 o. iv) Ketinggian maksimum lintasan peluu voy (,5) hm 0,3 m g 0 v) Jangkauan maksimum voxv R g oy 5,5 0,5 m Soal dan Penyelesaian ) Seeko haimau meloncat aah hoizontal pada sebuah batu yang yingginya 7,5 mete dengan laju awal 4,5 m/s. Beapa jauh dai dasa batu haimau mendaat? 8
4,5 m/s 7,5 m X? o v ox v o cos θ 4,5cos0 4,5 m/s v cos θ 4,5sin 0 oy v o o 0 Ketinggian haimau tiap saat y gt y + v t o oy 7,5 + 0 0 t 7,5 5 Haimau mencapai dasa ketika y 0 atau pada saat waktu t yang memenuhi 0 7,5 5t atau t t 7,5/5,5 t, 5, s Jauh dai dasa batu tempat haimau mendaat adalah x vox t 4,5, 5,5 m ) Seoang penyelam meloncat dalam aah hoisontal dengan laju,6 m/s pada sebuah tebing kemudian menyentuk ai 3 detik kemudian. Beapa tinggi tebing dai pemukaan ai dan beapa jauh dai dasa tebing penyelam itu menyentuh ai?,6 m/s y? total waktu 3 s X? 9
o ox v o cos θ,6cos,6 m/s v 0 o oy v o cos θ,6sin 0 v 0 Komponen geak aah vetical y y o + v oy t gt Ketika penyelam menyentuh ai, y 0 sehingga 0 atau + 0 0 3 y o yo y o 45 m Jadi tinggi tebing adalah 45 m. 45 Jaak jatuh pengamat dai dasa tebing x vox t,6 3 4,8 m 3) Romeo melempakan keleeng pada jendela kama Juliet. Tinggi jendela adalah 8 mete dan jaak tembok dai tempat bedii Romeo adalah 9 mete. Romeo melempa keleeng tesebut sedemikian sehingga tepat saat mencapai jendela, keleeng tesebut hanya memiliki kecepatan aah hoizontal. Beapa cepat keleeng mengenai jendela? v? 8 m 9 m 30
Tepat di jendela, keleeng mencapai ketinggian maksimum lintasannya. Jadi h 8 m m Kaena komponen geak vetical meupakan geak dengan pecepatan konstan (pecepatan gavitasi ke bawah) maka tepenuhi hubungan v y voy gh Saat mencapai ketinggian maksimum, v y 0 sehingga 0 gh 0 8 v v oy m voy oy 60 atau v 60,65 m/s oy Waktu untuk mencapai ketinggian maksium v oy,65 t m,7 s g 0 Jaak tempat bedii Romeo ke tembok sama dengan setengah jangkauan maksimum. Jadi jangkauan maksimum R 9 8 m. Waktu yang dipelukan untuk mencapai jangkaaun maksimum adalah t m. Dengan demikian, R v ox t ) atau ox ( m 8 v (,7) v ox 8,54 7, m/s,54v ox Kaena geak aah mendata meupakan geak dengan kecepatan konstan maka laju keleeng saat mengenai jendeala adalah 7, m/s. 4) Batu dilontakan dengan laju awal 0 m/s dan sudut elevasi 37o. Beapakah laju batu saat menyentuh tanah kembali dan sudut yang dibentuk vecto kecepatannya? Komponen kecepatan batu tiap saat 3
v x v xo y 0 m/s 37 o v x α? x v y v? v y v yo gt Untuk menentukan kecepatan batu saat menyentuh tanah kembali, pelu kita tentukan telebih dahulu waktu yang dipelukan batu untuk kembali menyenyuh tanah, yaitu o v yo vo sinθ 0 sin 37 0 (3/ 5) T tm,4 s. g g 0 0 Kecepatan batu saat menyentuh tanah v x v xo v o o cos θ 0 cos37 0 (4 / 5) 6 m/s v y v gt v sin θ gt yo o o 0 sin 37 0,4 0 (3/ 5) 4 m/s Tanda negatif menyatakan bahwa aah Laju benda saat menyentuh tanah v y ke bawah. v v x + v 6 + ( ) 400 0 m/s y Sudut yang dibentuk batu dengan aah hoizontal memenuhi v 4 tanα y atau α -37 o 6 5 v x 5) Sebuah pesawat peang tebang dalam aah mendata dengan laju 00 m/s. Pesawat tesebut dilengkapi dengan senapan yang dapat memuntahkan peluu dengan laju 400 3
m/s. Suatu saat pilot mengaahkan moncong senapan dengan membentuk sudut elevasi 37o dan menembakkan peluu dengan senapan tesebut. Jika saat itu ketinggian pesawat dai tanah adalah km, beapa ketinggian maksium lintasan peluu dai tanah dan beapa jangkauan maksimum peluu dai tanah? Bedasakan infomasi soal kita peoleh Ketinggian awal peluu y o km 000 m Sudut elevasi peluu menuut pilot: ϕ 37o Laju pesawat (aah hoizontal) u 00 m/s Laju awal peluu tehadap pesawat w o 400 m/s. 400 m/s 37 o 00 m/s 000 m y m.? X.? Maka komponen kecepatan awal peluu tehadap pesawat: o 4 wox w o cos ϕ 400 cos37 400 30 m/s 5 o 3 woy w o sin ϕ 400 sin 37 400 40 m/s 5 Komponen kecepatan awal peluu tehadap tanah vox wox + u 30 + 00 50 m/s v w 40 m/s oy oy Waktu yang dipelukan peluu mencapai puncak lintasan 33
t v g 40 4 0 oy m s Ketinggian maksimum lintasan peluu y m y o + v oy t m gt 000 + 40 4 (/) 0 (4) m 000 + 5760 880 3880 m Untuk menentukan jangkan maksimum peluu, mai kita telebih dahulu tentukan waktu yang dipelukan peluu mencapai tanah, yaitu saat y 0. atau 0 yo + voyt gt 0 000 + 40 T (/) 0 T 0 000 + 40 T 5 T T 48T 00 0 T, ( 48) ± ( 48) 4 ( 00) 48 ± 304 + 800 48 ± 304 48 ± 55,7 Dipeoleh T (48+55,7)/ 5,85 s T (48-55,7)/ -3,85 s Kaena waktu haus positif maka kita ambil T T 5,85 s. Dengan demikian, jangkauan maksimum R v T 50 5,85 6.96 ox peluu adalah m. Soal Latihan ) Sebuah bola dilempakan aah mendata dai puncak bangunan dengan laju, m/s. Bola tesebut mendaat pada jaak 36 mete dai dasa bangunan. Beapa tinggi bangunan tesebut? ) Bola sepak yang beada di tanah ditendang dengan laju 0 m/s pada sudut elevasi 34
37 o. Beapa lama waktu kemudian bola tesebut menyentuh tanah kembali? 3) Seoang anak melempa batu ke laut dai sebuah tebing dengan kecepatan awal 5 m/s dan sudut elevsai 37 o. Batu tesebut melewati tepi tebing tepat pada ketinggian yang sama dengan ketinggian pelempaan. Batu mendaat di pemukaan laut yang lebih endah 50 mete di bawah puncak tebing. (a) Cai jaak anak ke tepi tebing. (b) jaak hoizontal dai tepi tebing ke tempat jatuh batu di pemukaan laut. (c) Kecepatan batu tepat saat akan menyentuh pemukaan laut. 4) Seoang pemain bakset melempa bola dai ketinggian 7 kaki dai lantai. Jaak pemain tesebut dai keanjang adalah 4 kaki. Bola tesebut masuk ke dalam keanjang yang tingginya 0 kaki di atas lantai dalam waktu,5 detik sejak dilempakan. Cai komponen hoisontal kecepatan awal, komponen vetical kecepatan awal, dan ketinggian maksimum yang dicapai bola diuku dai lantai. 5) Sebuah bola baseball dipukul dengan laju 00 kaki/s dan sudut elevasi 53 o. Bola tesebut meninggalkan pemukul yang beketinggian 4 kaki dai tanah. Beapa ketinggian bola dai tanah seta jaak hoizontal dai tempat pemukulan (a) setelah 3 detik, (b) setelah 4 detik, (c) apakah bola snggup mencapai ketinggian 0 kaki pada jaak 80 kaki dai tempat pemukulan untuk membuat home-un? 6) Cai laju minimum bola baseball haus dipukul dengan sudut elevasi 53 o dai ketinggian 4 kaki untuk melampau ketinggian 40 kaki pada jaak 30 kaki dai tempat pemukulan. 7) Seoang pegolf memukul bola kelua dai tempat bepasi. Jika bola tebang dengan sudut elevasi 53 o, beapa kecepatan yang dimiliki bola aga jatuh pada tempat sejauh 60 m? Beapa ketinggian yang dicapai bola? Beapa lama bola beada di udaa? 8) Seoang atlit lompat jauh meninggalkan tanah dengan sudut elevasi 30 o dan sanggup meloncat sejauh 7,80 m. Beapakan kecepatan awal pelompat jauh tesebut? 35
Bab 3 Geak Melingka Banyak geak melingka yang kita amati dalam kehidupan sehai-hai. Geak oda kendaaan, geak CD, VCD dan DVD, geak kendaan di tikungan yang bebentuk iisan lingkaan, geak jaum jam, geak satelit mengitasi bumi, olle coaste, dan sebagainya adalah contoh geak melingka. Secaa sedehana geak melingka didefinisikan sebagai geak benda pada lintasan beupa keliling lingkaan, baik lingkaan penuh atau tidak penuh. Cii khas dai geak melingka adalah jaak benda ke suatu titim acuan, yang meupakan titik pusat lingkaan selalu tetap. Sifat lain yang menonjol pada geak melingka adalah aah kecepatan selalu menyinggung lintasan. Ini atinya pada geak melingka kecepatan selalu tegak luus jai-jai lingkaan. 3. Geak Melingka Beatuan Mai kita mulai pembahasan pada geak melingka yang sedehana, yaitu geak melingka beatuan. Pada geak ini, untuk selang waktu t yang sama, panjang lintasan yang ditempuh benda selalu sama. Laju benda sepanjang lintasan selalu tetap. Ingat, hanya laju yang konstan, tetapi kecepatan tidak konstan, kaena aahnya selalu beubah-ubah. t m t v t Gamba 3. Geak melingka beatuan. Pada selang waktu t yang sama, panjang lintasan yang ditempuh benda selalu sama. Mai kita tuunkan pesamaan-pesamaan untuk geak melingka beatuan. Jika R adalah jai-jai lintasan maka panjang satu lintasan penuh (yaitu keliling 36
lingkaan) adalah s πr (3.) Jika waktu yang dipelukan benda melakukan satu putaan penuh adalah T, maka laju benda memenuhi s πr v (3.) T T Satu lingkaan penuh membentuk sudut 360 o. Bila dinyatakan dalam adian maka satu lingkaan penuh membentuk sudut yang melakukan geak melingka beatuan θ π adian. Sehingga kecepatan sudut benda θ π ω (3.3) T T Bedasakan pesamaan (3.) dan (3.3) dipeoleh hubungan antaa laju benda dengan kecepatan sudut v ωr (3.4) Contoh 3. Sebuah benda yang diikat pada tali yang panjangnya 0,5 mete diputa dengan waktu satu putaan penuh adalah 0, sekon. Tentukan (a) laju putaan benda (b) kecepatan sudut benda Keliling lintasan s πr 3,4 0,5 3,5 m Laju benda v s/t 3,4/0, 5,7 m/s Kecepatan sudut benda ω π/t 3,4/0, 3,4 ad/s. 3. Pecepatan Sentipetal Untuk geak melingka beatuan laju benda selalu tetap. Tetapi tidak demikian dengan kecepatan. Aah kecepatan selalu menyinggung lintasan sehingga selalu beubah-ubah setiap kali tejadi peubahan posisi benda. Peubahan kecepatan hanya 37
mungkin tejadi jika ada pecepatan. Jadi, selama benda begeak melingka beatuan, pada benda selalu ada pecepatan. Pecepatan tesebut hanya mengubah aah benda, tanpa mengubah lajunya. Peubahan kecepatan yang demikian hanya mungkin jika aah pecepatan selalu tegak luus aah kecepatan benda. Yang beati aah pecepatan selalu seaah jai-jai ke aah pusat lingkaan. Dai mana pecepatan ini muncul? Tentu dai gaya yang beaah ke pusat lingkaan. Gaya macam ini banyak sekali. Untuk satelit yang mengelilingi Bumi, pecepatan ke pusat dihasilkan oleh gaya gavitasi. Untuk elekton yang mengelilingi inti, pecepatan ke pusat dihasilkan oleh gaya Coulomb. Untuk benda yang diikat pada tali dan diputa, pecepatan ke pusat dihasilkan oleh tali (gaya tegang tali). Untuk kendaaan yang begeak pada jalang yang melingka, pecepatan ke pusat dihasilkan oleh gaya gesekan pemukaan jalan dengan oda. Jika gaya yang bekeja pada benda bemassa m adalah F c, maka pecepatan ke pusat memenuhi Fc ac (3.5) m Dai pesamaan (3.5) tampak bahwa besanya pecepatan ke pusat dapat ditentukan dai infomasi tentang gaya. Tetapi kita tidak selalu bias menguku gaya tesebut secaa langsung. Adakah caa lain menentukan besanya pecpatan ke pusat tanpa pelu mengetahui gaya? annya ada. Tenyata nilai pecepatan ke pusat dapat dihitung pula dai laju benda yang beeak melingka. Untuk menunjukkan hubungan tesebut, mai kita lihat Gb 3.. Kita lihat pada Gb 3.. i) Jai-jai lintasan benda adalah R. ii) Pada titik A benda memiliki kecepatan v. iii) Pada titik B benda memiliki kecepatan v. iv) Untuk geak melingka beatuan, besa v besa v v v) Lama waktu benda begeak dai A ke B adalah t. vi) Peubahan kecepatan benda adalah v v v. Aah v tampak pada Gb 3.b. vii) Dengan demikian, pecepatan benda adalah a v / t. Selama begeak dai A ke B, panjang lintasan yang ditempuh benda adalah s. Laju benda memenuhi 38
s v (3.6) t (a) (b) A v R θ B v v v θ v u Gamba 3. Menentukan pecepatan sentipetal Hubungan antaa s, R dan θ adalah s θ (3.7) R di mana θ dinyatakan dalam adian. Sudut θ juga meupakan sudut yang dibentuk oleh vecto v dan v (lihat Gb 3. (b).) sehingga dapat ditulis pula u u θ (3.8) besanya v v Akhinya kita dapatkan u v s R atau 39
v u s (3.9) R Jika t sangat kecil, maka nilai u sangat dekat dengan v, dan v mengaah ke pusat lingkaan. Kita selanjutnya dapat menulis v v s (3.0) R Pecepatan benda menjadi a v t s t v R v v R v R Jadi pecepatan ke pusat yang dialami benda dapat dihitung bedasakan laju benda, yaitu v a (3.) R Pecepatan dalam ungkapan demikian dikenal dengan pecepatan sentipetal. Contoh 3. Lintasan bulan mengelilingi bumi hampi menyeupai lingkaan dengan jai-jai 384.000 km. Peiode evolusi bulan mengelilingi bumi adalah 7,3 hai. Beapa pecepatan sentipetal bulan ke aah bumi? Dai infomasi di soal kita dapatkan R 384.000 km 384.000.000 m 3,84 0 8 m. Peiode T 7,3 hai 7,3 hai 4 (jam/hai) 3600 (s/jam),36 0 6 s. Keliling lintasan bulan s πr π 3,84 0 8 m,4 0 9 m. Laju geak melingka bulan 9 s,4 0 v,0 0 3 m/s. T 6,36 0 40
Pecepatan sentipetal bulan v a R 3 (,0 0 ) 8 3,84 0,7 0-3 m/s. 3.3 Tetap, Lepas, dan Jatuh Misalkan gaya ke pusat yang bekeja pada benda adalah F c. Pecepatan yang ditimbulkan oleh gaya ini pada benda bemassa m adalah a c F c /m. Aga benda m tetap pada lintasan lingkaan, maka lajunya, v c, haus memenuhi Fc m vc R atau F R v c c m (3.) Ada bebeapa fenomena yang dipelihatkan oleh geak melingka sepeti diilustasikan oleh Gb 3.3. v > v c v < v c v c Gamba 3.3 Peubahan lintasan benda apabila tejadi peubahan laju i) Jika laju benda tiba-tiba lebih besa dai v c maka benda kelua dai litasan lingkaan dan selanjutnya lepas. ii) Jika laju benda tiba-tiba lebih kecil dai v c maka benda akan membelok ke aah pusat lingkaan 4
iii) Benda akan tetap pada lintasan lingkaan hanya jika laju benda pesis sama dengan v c. 3.4 Satelit Satelit adalah benda yang mengitai planet. Contoh satelit adalah bulan yang selalu mengitai bumi. Manusia juga telah meluncukan satelit-satelit buatan. Jumlahnya sudah mencapai ibuan, mengelilingi bumi untuk bebagai tujuan sepeti komunikasi, navigasi, milite, pemetaan, ilmu pengetahuan, dan sebagainya. Aga satelit tetap pada obitnya, yaitu tidak lepas maupun tidak jatuh ke bumi maka lajunya haus memenuhi pesamaan (3.). Gaya yang bekeja pada satelit adalah gaya gavitasi bumi, yang memenuhi M Bm Fc G (3.3) R dengan G konstnta gavitasi univesal 6,67 0 - N m /kg, M B adalah massa bumi, m massa satelit, dan R jaak satelit ke pusat bumi. Dengan memasukkan pesamaan (4.3) ke dalam pesamaan (4.) maka aga tetap pada lintasannya, laju satelit haus memenuhi v M Bm R M B G G (3.4) R m R c Peiode evolusi satelit memenuhi T Keliling obit πr (3.5) v c v c Contoh 3.3 Sebuah satelit mengobit bumi pada ketinggian 000 km dai pemukaan bumi. Beapa laju satelit aga begeak dalam lintasan lingkaan? Beapa kali satelit mengobit bumi selama hai? Diketahui massa bumi 5,98 0 4 kg, jai-jai bumi 6,38 0 6 m, konstant gavitasi univesal 6,67 0 - N m kg -. 4
h R B Gamba 3.4 Misalkan massa satelit m Jaak satelit ke pusat bumi Laju satelit aga tetap pada obitnya R R + B h 6,38 06 m + 0 6 m 7,38 0 6 m v M R 5,98 0 7,38 0 4 B 7 c G 6,67 0 5,4 0 7,35 0 3 m s - 6 Peiode obit satelit T πr v c 3,4 7,38 0 3 7,35 0 6 6306 s 6306/3600 jam,75 jam. Atau selama sehai satelit mengelilingi bumi sebanyak 4/,75 3,7 kali. 3.5 Jalan Raya Ketika kendaaan melewati jalan yang menikung, pengendaa haus hati-hati dan haus menguangi kecepatan. Kenapa? Jika kecepatan telalu tinggi maka kendaaan dapat telempa kelua dai jalan. Selama melewati lintasan jalan menikung (bebentuk lingkaan) kendaaan memiliki pecepatan sentipetal akibat gesekan antaa oda kendaaan dan jalan aya. Jika f c adalah gaya gesekan, aga beada pada lintasan laju mobil haus memenuhi 43
fcr vc (3.6) m dengan R adalah jai-jai kelengkungan jalan aya dan m adalah massa kendaaan. Jika laju kendaaan lebih besa dai v maka kendaaan akan telempa kelua. Jadi, selama c melewati lintasan lingkaan, laju kendaaan tidak boleh telalu besa. Kendaaan yang odanya mulai licin haus lebih behati-hati lagi kaena gaya gesekan antaa oda dan jalan aya lebih kecil. Gamba 3.5 Ketika melewati lintasan melengkung, kendaaan haus behati-hati dan menguangi kecepatan 3.6 Geak Melingka Beubah Beatuan Kita sudah membahas geak melingka beatuan dengan sifat laju benda selalu konstan. Namun, bisa juga benda yang begeak melingka memiliki laju yang beubah-ubah tehadap waktu. Geak semacam ini tidak lagi dapat digolongkan sebagai geak melingka beatuan. Sepeti ditunjukkan dalam Gb 3.6, pada geak melingka tidak beatuan muncul dua macam pecepatan yaitu: (i) Pecepatan ke pusat lintasan, a s, (ii) Pecepatan tangensial yang aahnya menyinggung lintasan benda (sejaja dengan aah kecepatan), a. t Jika pecepatan benda aah tangensial selalu konstan maka geak melingka semacam ini disebut geak melingka beubah beatuan. Untuk geak melingka beubah beatuan, kebegantungan laju tehadap waktu dapat ditulis sebagai v v a t (3.7) o + t 44
dengan t waktu, vo laju benda saat t 0, v laju benda saat t sembaang, at pecepatan tangensial benda (menyinggung lintasan). Kalian pehatikan, hubungan di atas pesis sama dengan hubungan untuk geak luus beubah betuan. v a s a s v a t Gamba 3.6 Pada geak melingka beubah beatuan, benda memiliki dua pecepatan sekaligus, yaitu pecepatan sentipetal ke pusat dan pecepatan tangensial yang menyinggung lintasan. Makin besa laju benda, makin besa pula pecepatan sentipetalnya. Jadi, meskipun besa pecepatan tangensial tetap, tetapi pecepatan sentipetal selalu beubah menuut pesamaan a s ( v + a t) v o t (3.8) R R Dai umus laju, kita dapat menentukan kecepatan sudut benda sebagai fungsi waktu sebagai beikut ( v + a t) v o t vo at ω + t (3.9) R R R R Pesamaan (3.9) dapat disedehanakan menjadi ω ω o + αt (3.0) 45
dengan ω R adalah kecepatan sudut benda saat t 0, ω adalah kecepatan o v o / su dut b enda saat t sembaang, α a t / R adalah pecepatan sudut benda. Tampak bahwa kecepatan sudut meupakan fungsi linie dai waktu. Sudut yang ditempuh benda yang melakukan geak melingka beubah beatuan antaa selang waktu t 0 sampai sembaang waktu t sembaang adalah θ t 0 ω dt t ( ω αt) o + 0 t dt ω o dt + α t dt 0 t 0 ω t t o + α Jika saat t 0 posisi sudut benda adalah θ o dan pada saat t sembaang posisi sudut benda adalah θ maka θ θ - θ o. Dengan demikian kita peoleh atau ot θ θ t o ω + α θ ot + t θ o + ω α (3.) Contoh 3.4 Sebuah tabung pengeing beputa dai keadaan diam hingga mencapai kecepatan sudut 800 pm (otation pe minute) dalam 40 s. Hitunglah sudut yang telah diputai oleh tabung tesebut dan jumlah putaan yang telah dilakukan selama waktu tesebut. Kecepatan sudut akhi ω 800 pm 800 π ad/min 800 π ad/60 s 83,7 46
ad/s. Pecepatan sudut α (ω - ω o )/t (83,7-0)/40, ad/s. Sudut yang diputai tabung Sudut α t θ ω o t +, 40 0 40 + 680 ad. yang dibentuk selama satu putaan penuh adalah π ad. Jadi, jumlah putaan yang dilakukan tabung adalah 680/π 67,5 putaan. Soal dan Penyelesian ) Sebuah mobil memiliki oda bejai-jai 0,55 m. Cai kecepatan sudut dan pecepatan sentipetal titik yang beada di pemukaan oda ketika mobil begeak dengan laju 30 m/s. Kecepatan sudut titik di pemukaan oda ω v / R 30/0,55 54,5 ad/s. Pecepatan sentipetal titik di pemukaan oda a v / R (30) /0,55 636 m/s. ) Hitunglah laju dan pecepatan sentipetal pada benda yang beada di khatulistiwa bumi akibat otasi bumi. Jai-jai bumi di khatulistiwa adalah 6380 km. R 6380 km 6,38 0 6 m. Peiode otasi bumi T hai 4 jam 3600 s/jam 86.400 s Laju titik di khatulistiwa bumi v πr / T 3,4 6,38 0 6 /86.400 464 m/s. Pecepatan sentipetal benda di khatulistiwa a v / R (464) /6,38 0 6 0,034 m/ s. 3) Sebuah bintang neuton yang bemassa 4 0 30 kg dan jai-jai 0 km beotasi dengan peiode 50 ms. (a) Beapa pecepatan sentipetal dan (b) gaya sentipetal pada benda bemassa kg yang beada di pemukaan bintang tesebut. Laju putaan benda di pemukaan bintang 47
πr v T 3,4 0 5 0 4,56 0 6 m/s (a) Pecepatan sentipetal benda di pemukaan bintang 6 v (,56 0 ) a,58 0 6 m/s R 6 0 (b) Gaya sentipetal pada benda F m a,58 0 6,58 0 6 N 4) Sebuah mobil balap begeak dai keadaan diam di lintasan balap bebentuk lingkaan dengan jai-jai 500 m dan pecepatan konstant dan mencapai laju 35 m/s dalam detik. (a) Beapa pecepatan aah menyinggung lintasan dan (b) pecepatan sentipeal seta pecepatan total ketika laju mobil 30 m/s? (a) Pecepatan aah menyinggung lintasan a v v ) / t (35-0)/ 3, m/s. t ( o (b) Saat laju mobil 30 m/s, pecepatan sentipetal adalah a v R 30 s / /500,8 m/s. Pecepatan total mobil (kaena a t dan a s saling tegak luus) adalah a T a + a s 3, +,8 3, t 7 m/s. 5) Pada laju minimum beapakah sebuah olle-coaste yang sedang beada di puncak lintasan (menghadap ke bawah) haus begeak aga olle-coate tidak lepas dai lintasan? Anggap jai-jai kelengkungan lintasan adalah 8,6 m. Pecepatan aah ke bawah yang dialami olle-coaste adalah pecepatan gavitasi sebesa 0 m/s. Aga olle coaste tidak jatuh maka lajunya haus menghasilkan pecepatan sentipetal yang lebih besa atau sama dengan pecepatan gavitasi. Atau laju minimum olle-coate haus memenuhi 48
v g, atau v gr 0 8, 6 9,3 m/s. R Soal Latihan ) Sebuah bintang neuton yang bemassa 4 0 30 kg dan jai-jai 0 km beotasi dengan peiode 50 ms. Beapa pecepatan sentipetal dan gaya gavitasi pada benda bemassa kg yang beada di pemukaan bintang tesebut. ) 3) 4) 5) Sebuah pesawat jet tebang dengan laju 800 km/jam dan membentuk lintasan dengan jai-jai 6 km. Bepakah pecepatan sentipetal pesawat? Beapakah pecepatan tesebut dinyatakan dalam pecepatan gavitasi bumi g? Pada lomba balap di Sentul, sebuah mobil begeak dengan pecepatan menyinggung lintasan yang konstant pada lintasan bebentuk setengah lingkaan dengan jai-jai 00 m. Dai keadaan diam, mobil mencapai ujung lintasan sepeempat lingkaan dengan laju 30 km/jam. Beapakah pecepatan menyinggung lintasan (tangensial) dan pecepatan sentipetal mobil? Sebuah oto sentifuge beotasi pada kecepatan 50.000 pm (otation pe minute). Tabung-tabung yang panjangnya 4 cm ditempatkan dalam sentifue tsb di mana salah mulut tabung beada pada jaal 6 cm dai sumbu otasi dan dasanya beada pada jaak 0 cm dai sumbu otasi. Hitunglah pecepatan sentipetal di dasa dan di mulut tabung dinyatakan dalam g (pecepatan gavitasi bumi). Sebuah pulsa memiliki diamete 5 km dan beotasi dengan fequendi 9 Hz. Hitung laju dan pecepatan sentipetal titik di khatulistiwa pulsa tesebut. 49
Bab 4 Hukum Newton dan Dinamika Sejauh ini kita sudah membahas bemacam-macam geak dalam dua dimensi. Namun, ada yang kuang dalam pembahasan-pembahasan tesebut, yaitu kita mempelajai geak tanpa peduli dengan apa yang menyebabkan geak itu tejadi. Kita mempelajai benda memiliki pecepatan, tetapi kita tidak penah betanya mengapa pecepatan itu muncul. Bidang fisika yang hanya mempelajai geak tanpa mengindahkan penyebab munculnya geak tesebut dinamakan kinematika. Dalam kinematika kita membahas benda yang tiba-tiba begeak, tiba-tiba behenti, tiba-tiba beubah kecepatan, tanpa mencai tahu mengapa hal tesebut tejadi. Pada bab ini dan bebeapa bab beikutnya kita akan mempelajai geak beseta penyebab munculnya geak tesebut. Dalam fisika bidang ini dinamakan dinamika. 4. Hukum Newton tentang Geak Newton meumuskan hukum-hukum geak yang sangat lua biasa. Newton menemukan bahwa semua pesoalah geak di alam semesta dapat diteangkan dengan hanya tiga hukum yang sedehana. Hukum Newton I Semua benda cendeung mempetahankan keadaannya: benda yang diam tetap diam dan benda yang begeak, tetap begeak dengan kecepatan konstant Hukum Newton II Sebelum mengungkapkan hokum Newton II mai kita definisikan besaan yang namanya momentum yang meupakan pekalian dai massa dan kecepatan, yaitu p mv (4.) dengan p momentum, m massa, dan v kecepatan. Hukum Newton II menyatakan bahwa laju peubahan momentum benda sama dengan gaya yang bekeja pada benda tesebut dp F (4.) dt 50
Pesamaan (4.) dapat juga diungkapkan dalam bentuk lain. Kita dapat menulis mdv + vdm dv F m + v dt dt dm dt dm ma + v (4.3) dt Khusus untuk benda yang tidak mengalami peubahan massa selama begeak maka dm / dt 0 sehingga F ma (4.4) Pesamaan (4.) atau (4.3) meupakan hukum II Newton dalam bentuk paling umum. Ke dua pesamaan tesebut diteapkan untuk kasus di mana massa benda beubah-ubah selama geak atau tidak beubah. Massa benda yang beubah selama geak dijumpai pada oket atau benda yang begeak mendekati laju cahaya di mana efek elativitas sudah mulai muncul. Pada kecepatan tesebut massa benda begantung pada kecepatanya. Untuk kondisi di mana massa benda tidak beubah tehadap waktu, maka pesamaan (4.4) dapat langsung diteapkan. Hukum Newton III Hukum ini mengungkapkan kebeadaan gaya eaksi yang sama besa dengan gaya aksi, tetapi belawanan aah. Jika benda petama melakukan gaya pada benda kedua (gaya aksi), maka benda kedua melakukan gaya yang sama besa pada benda petama tetapi aahnya belawanan (gaya eaksi) Jika kamu mendoong dinding dengan tangan, maka pada saat besamaan dinding mendoong tanganmu dengan gaya yang sama tetapi belawanan aah. Bumi menaik tubuh kamu dengan gaya yang sama dengan beat tubuhmu, maka pada saat besamaan tubuh kamu juga menaik bumi dengan gaya yang sama besa tetapi belawanan aah. 4. Diagam Gaya Bebas Dalam hukum Newton II sepeti diungkapkan dalam pesamaan (4.) - (4.4), yang dimaksud gaya F adalah gaya total yang bekeja pada benda. Jika pada benda bekeja sejumlah gaya maka semua gaya tesebut haus dijumlahkan telebih dahulu (secaa vekto) sebelum meneapkan pesamaan (4.) - (4.4) untuk menghitung 5
pecepatan. Untuk menghandai kesalahan dalam menghitung gaya-gaya yang bekeja pada benda, kita akan sangat tetolong apabila telebih dahulu melukis diagam gaya bebas yang bekeja pada benda. Contoh, sebuah benda beada di atas bidang data yang licin ditaik ke kanan dengan gaya F (lihat gamba 4.) Gamba 4. Benda di atas bidang data yang licin diatik ke kanan dengan gaya F. N T W Gamba 4. Diagam gaya bebas pada benda. Gaya-gaya yang bekeja pada benda adalah: Gaya beat (akibat gavitasi) yang aahnya ke bawah Gaya penahan yang dilakukan oleh lantai yang aahnya ke atas, tegak luus lantai. 5