ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 9 Vektor dalam Ruang Euklidian Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 16 日 ( 日 )
Vektor dalam Ruang Euklidian Sebelum kita menginjak teori dan pembahasan vektor dalam ruang Euklidian, ada beberapa pengertian vektor yang telah dipelajari dirangkum dalam modul ini. Vektor dalam matematika merupakan besaran dengan arah tertentu. Vektor dapat dideskripsikan dengan sejumlah komponen tertentu, tergantung dari sistem yang digunakan. Contoh dari vektor yang terkenal adalah gaya gravitasi. Gaya gravitasi tidak hanya memiliki besar, namun juga arah yang menuju pusat gravitasi. Panjang Vektor Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut: Kesamaan Dua Vektor Dua buah vektor dinamakan sama apabila dua-duanya memiliki panjang dan arah yang sama. Kesejajaran Dua Vektor Dua buah vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar. Operasi Vektor Perkalian Skalar Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah: Penambahan Vektor dan Pengurangan Vektor Sebagai contoh vektor a=a 1 i + a 2 j + a 3 k dan b=b 1 i + b 2 j + b 3 k. Hasil dari a ditambah b adalah: pengurangan vektor juga berlaku dengan cara yang kurang lebih sama. 2
Vektor Satuan (Unit Vektor) Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara: Vektor dalam Ruang Euklidian Euklidian dalam n-ruang Vektor di dalam n-ruang, Definisi: Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a 1.a 2...a n ). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruang dan dituliskan sebagai Rn. Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini. Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a 1, a 2, a 3 ) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda: ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a 2, a 2, a 3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vektor, dimana a 1, a 2, a 3 merupakan komponen vektor. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n grup topel (a 1, a 2,..., a n ) bisa dilihat sebagai antara sebuah poin umum atau vektor umum - perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0, 1, 6) antara poin dalam R5 atau vektor pada R5. u 1 = v 1 u 2 = v 2 u n = v n Penjumlahan u + v didefinisikan oleh u + v = (u 1 + v 2, u 2 + v 2,..., u n + v n ) Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh ku = (k u 1, k u 2,..., k u n ) 3
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor 0 = (0, 0,..., 0) Jika u = (u1, u2,..., un) dalam setiap vektor dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh u dan dijelaskan oleh -u = (-u1, -u2,..., -un) Perbedaan dari vektor dalam Rn dijelaskan oleh v u = v + (-u) atau, dalam istilah komponen, v u = (v1-u1, v2-u2,..., vn-un) Sifat-sifat dari vektor dalam R n Jika,, dan adalah vektor dalam R n sedangkan k dan m adalah skalar, maka: (a) u + v = v + u (b) u + 0 = 0 + u = u (c) u + (v + w) = (u + v) + w (d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0 (e) k (m u) = (k m) u (f) k (u + v) = k u + k v (g) (k + m) u = k u + m u (h) 1u = u Perkalian dot product didefinisikan sebagai 4
Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi Data Eksperimen Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vektor y = (y1, y2,..., yn) dalam R n dalam setiap y 1, y 2,..., y n adalah nilai yang terukur. Penyimpanan dan Gudang Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x = (x 1,x 2,...,x 15 ) dalam setiap x 1 adalah jumlah truk dalam depot pertama dan x 2 adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya. Rangkaian listrik Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vektor dalam R 4 dan tegangan output bisa ditulis sebagair 3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input v = (v 1, v 2, v 3, v 4 ) dalam R 4 ke vektor keluaran w = (w 1, w 2, w 3 ) dalam R 3. Analisis citra Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x, y, h, s, b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h, s, b adalah hue, saturation, dan brightness. Ekonomi Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dengan 10-topel s = (s 1, s 2, s 3,..., s 10 ) dalam setiap angka s 1, s 2,..., s 10 adalah output dari sektor individual. Sistem Mekanis Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalahx 1, x 2,..., x 6 dan kecepatan mereka adalah v 1, v 2,..., v 6. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vektor. 5
V = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, t) Dalam R 1 3. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t. Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi. Menentukan norm dan jarak Menghitung panjang vektor u dalam ruang R n jika u = (u 1,u 2,u 3,...,u n ) maka panjang vektor u Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v Bentuk Newton Interpolasi polinominal p(x) =a n x n + a n-1 x n-1 +...+ a 1 x + a 0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain. Contohnya, kita mencari interpolasi titik dari data (x 0, y 0 ),(x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),(x 3, y 3 ). Jika kita tuliskan P(x)=a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 bentuk equivalentnya: p(x) =a 3 (x-x 0 ) 3 + p(x) = a 2 (x-x 0 ) 2 + p(x) = a 1 (x-x 0 ) + a 0 dari kondisi interpolasi p(x 0 ) = y o maka didapatkan a 0 = y o, sehingga dapat kita tuliskan menjadi, p(x) = b 3 (x-x 0 )(x-x 1 )(x-x 2 ) + b 2 (x-x 0 )(x-x 1 ) + b 1 (x-x 0 ) + b 0 inilah yang disebut newton form dari interpolasi, sehingga kita dapatkan: p(x 0 ) = b 0 p(x 1 ) = b 1 h 1 + b 0 p(x 2 ) = b 2 (h 1 +h 2 )h 2 + b 1 (h 1 +h 2 ) + b 0 p(x 3 ) = b 3 (h 1 +h 2 +h 3 )(h 2 +h 3 )h 3 + b 2 (h 1 +h 2 +h 3 )(h 2 +h 3 ) + b 1 (h 1 +h 2 +h 3 ) + b 0 6
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matriks. Operator Refleksi Berdasarkan operator T:R 2 -> R 2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=t(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah: x 1 = -x = -x + 0y x 2 = y = 0x + y atau dalam bentuk matrik : Secara umum, operator pada R 2 dan R 3 yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier. Operator Proyeksi Berdasarkan operator T:R 2 -> R 2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w = T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah: x 1 = x = x + 0y x 2 = 0 = 0x + y atau dalam bentuk matrik : Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matriks T adalah: Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R 2 dan R 3 merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya. 7
Operator Rotasi Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R 2 melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R 2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w = T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w 1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w 2 = r sin (ɵ + ɸ) Menggunakan identitas trigonometri didapat: w 1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ w 2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ kemudian disubtitusi sehingga: w 1 = x cos Θ - y sin Θ w 2 = x sin Θ + y cos Θ Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan diatas adalah: SOAL-SOAL 1. Carilah u v bila, a. u = (2, 3), v = (5, 7) b. u = ( 2, 2, 3), v = (1, 7, 4) 2. Carilah kosinus dari sudut Θ antara u dan v bila, a. u = ( 6, 2), v = (4, 0) b. u = (1, 5, 4), v = (3, 3, 3) 8
3. Periksalah apakah u dan v membentuk suatu sudut lancip, tumpul atau ortogonal. a. u = (6, 1, 4), v = (2, 0, 3) b. u = ( 6, 0, 4), v = (3, 1, 6) c. u = (2, 4, 8), v = (5, 3, 7) 4. Carilah proyeksi ortogonal dari u terhadap v. a. u = ( 1, 2), v = ( 2, 3) b. u = (3, 1, 7), v = (1, 0, 5) 5. Bila u = (3, 4), v = (5, 1) dan w = (7, 1), hitunglah, a. u (7v + w) b. u (v w) c. ( u v) w 6. Bila p = (2, К) dan q = (3, 5), carilah К sedemikian rupa sehingga, a. p dan q sejajar b. p dan q ortogonal 7. Hitunglah jarak antara titik dan garis berikut ini, a. (2, 5), y = 4x + 2 b. (1, 8), 3x + y = 5 8. Carilah sudut antara diagonal ruang suatu kubus dan salah satu sisinya. 9. Buktikan identitas: u + v 2 + u v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 10. Buktikan identitas: u v = ¼ u + v 2 ¼ u v 2 9