JPM IIN ntasar Vol. 01 No. 2 Januar Jun 2014, h. 95-106 OPTIMSI MSLH PNUGSN St Maslhah bstrak Pemrograman lner merupakan salah satu lmu matematka terapan yang bertuuan untuk mencar nla optmum dar suatu permasalahan, yang drumuskan dalam model matematka. Salah satu aplkasnya adalah adalah mencar nla optmum masalah penugasan (memaksmalkan penempatan tenaga kera yang sesua dengan kemampuannya atau memnmalkan baya penempatan tenaga kera). Penyelesaan masalah penugasan bsa dlakukan dengan Metode Hungaran. Selan Metode Hungaran, sudah banyak shoftware yang dapat dgunakan untuk mengeksekus masalah penugasan, salah satu shoftware tersebut adalah LINGO. Kata kunc: metode penugasan, Hungaran, LINGO. Pendahuluan Pemrograman Lner dsngkat PL merupakan metode matematk dalam mengalokaskan sumber daya yang terbatas untuk mencapa suatu tuuan sepert memaksmumkan keuntungan dan memnmumkan baya. PL banyak dterapkan dalam masalah ekonom, ndustr, mlter, sosal dan lan-lan. PL berkatan dengan penelasan suatu kasus dalam duna nyata sebaga suatu model matematk yang terdr dar sebuah fungs tuuan lner dengan beberapa kendala lner. Dewasa n banyak usaha yang memproduks barang dan asa, d mana produk yang dhaslkan harus mampu menyang produk yang lan. Sehngga perusahaan harus panda mengelola aspek produks dan penempatan tenaga keranya. Dharapkan dengan penempatan tenaga kera yang tepat akan memaksmalkan hasl knera yang ddapatkan. Untuk tu dbutuhkan suatu metode atau cara bagamana menempatkan tenaga kera yang tepat agar hasl keranya maksmum/ optmum. PL mampu menawab masalah tersebut untuk mengoptmalkan sumber daya/ tenaga kera yang ada. Salah satu metode yang dgunakan untuk masalah penugasan optmal 95
96 St Maslhah adalah Metode Hungaran. Metode n dkembnagkan oleh seorang ahl matematka yang berkebangsaan Hungara yang bernama D Kong pada tahun 1916. Kaan Pustaka Masalah penugasan merupakan kasus khusus dar masalah transportas, d mana yang menad sumber adalah tenaga kera dan yang menad tuuan adalah ens pekeraan yang terseda. fungs tuuan : Max/ Mn Z = C 11 X 11 + C 12 X 12 + C 1n X 1n C 1 X 1 C 21 X 21 + C 22 X 22 + C 2n X 2n.. C2 X 2 C m1 X 11 + C m2 X m2 + C mn X mn C m X m Kendala sumber : X 11 + X 12 +... X 1n a 1 a X1 1 X 21 + X 22 +... X 2n a 2 a Kendala tuuan :.. X 2 2 X m1 + X m2 +... X mn a m X X 11 + X 21 +... X m1 > b 1 1 m a m X b1 X 12 + X 22 +... X m2 > b 2.. X 2 b2 X 1n + X 2n +... X mn > bn X n b n
Optmas Masalah Penugasan 97 Model d atas dapat drngkas menad f.t mn Z = C X = 1,2,... m = 1,2,... n dk: X a X X 0 b Syarat penyelesaan tersebut dengan model penugasan adalah model dalam keadaan sembang, yatu : Banyaknya pekera = banyaknya pekeraan a b Masalah penugasan bermula dar penempatan para pekera pada bdang yang terseda agar baya yang dtanggung perusahaan dapat dmnmalkan. Jka pekera danggap sebaga sumber dan pekeraan danggap sebaga tuuan, maka model penugasan akan sama dengan masalah transportas, dmana umlah sumber dan tuuan sama, setap sumber hanya menghaslkan satu demkan pula setap tuuan hanya memerlukan satu. Supla pada semua sumber adalah 1, yatu a =1 untuk semua. Hal yang sama uga terad pada tuuan, permntaan pada semua tuuan adalah 1, yatu b =1 untuk semua. Karena x menunukkan penugasan, berart nlanya hanya 2, yatu 0 atau 1. = 1,2,... m = 1,2,... n x 1, ka pekeraan dtugaskan ke pekera (mesn) 0, ka pekeraan tdak dtugaskan ke pekera (mesn) Msalkan x adalah varabel keputusan penugasan pekera ke pekeraan, c sebaga baya penugasan pekera ke pekeraan, maka model pemrograman lnernya adalah: Mn/ maks z c x
98 St Maslhah Terhadap x 1, 1,2,..., n x 1, 1,2,..., n x 1 atau 0 dan sama karena asums dalam modelnya adalah umlah pekera sama dengan pekeraan. Penentuan solus optmal dlakukan menggunakan metode Hungaran. Langkah-langkah solus menggunakan metode Hungaran secara manual adalah sebaga berkut: 1. Menyusun tabel penugasan. Letakkan pekeraan sebaga bars dan pekera (mesn) sebaga kolom). Jumlah bars sama dengan umlah kolom, untuk memenuh asums. Jka tdak sama maka dperlukan dummy. 2. Untuk setap bars, kurangkan semua nla dengan dengan nla terbesar (untuk kasus maksmas) atau nla terkecl (untuk kasus mnmas) yang ada pada bars tersebut. 3. Perksa kolom, ka ada kolom yang belum memlk nla nol, maka semua nla pada kolom tersebut dkurang dengan nl terkecl yang ada pada kolom yang bersangkutan. 4. Perksa apakah solus layak sudah optmum. Pemerksaan dlakukan dengan menggambarkan gars-gars vertkal dan horzontal yang melewat nla nol. Jka umlah gars yang terbentuk sama dengan umlah bars/kolom maka solus layak optmal sudah dperoleh. 5. Jka solus layak optmal belum dperoleh, kurangkan semua nla yang tdak dlewat gars dengan nla terkecl, dan tambahkan nla terkecl tersebut pada nla yang terletak pada perpotongan gars. Nla lannya (yang dlewat gars tap tdak terletak pada perpotongan) tdak berubah. 6. Kembal ke langkah 4
Optmas Masalah Penugasan 99 Selan penyelesaan masalah penugasan dengan Metode Hungaran, dalam tulsan n uga dkutkan penyelesaan masalah penugasan dengan menggunakan shoftware LINGO. Contoh Kasus Sebuah perusahaan membutuhkan 7 orang tenaga kera yang akan dtempatkan d 7 ens poss yang mash kosong, setelah dlakukan tes terplhlah 7 orang. Baya penugasan seorang karyawan untuk pekeraan yang berbeda adalah berbeda karena sfat pekeraan berbeda-beda. Setap karyawan mempunya tngkat ketramplan, pengalaman kera dan latar belakang penddkan serta lathan yang berbeda pula. Sehngga baya solus pekeraan yang sama oleh para karyawan yang berlanan uga berbeda. Tabel baya sebaga berkut: 1 2 3 4 5 6 7 1.5 2 1 1.5 2 3 4 B 3 3 1.5 2 2.5 3 2 C 2 1 4 2 1 1 1 D 1.5 1.5 2 3 3 1 1.5 4 3 3 1.5 1.5 3 1 F 2 2 3 2 4 1.5 2 G 2.5 2.5 1.5 1 1.5 2 1. Bagamanakah seorang manager harus menempatkan tenaga keranya agar baya yag dkeluarkan perusahaan semnmum mungkn. Solus: Banyaknya pekeraan = banyaknya pekera, sehngga asums sdah dpenuh 1. Tabel penugasannya P K R J N P K R J 1 2 3 4 5 6 7 1.5 2 1 1.5 2 3 4 B 3 3 1.5 2 2.5 3 2 C 2 1 4 2 1 1 1 D 1.5 1.5 2 3 3 1 1.5 4 3 3 1.5 1.5 3 1 F 2 2 3 2 4 1.5 2 G 2.5 2.5 1.5 1 1.5 2 1.
100 St Maslhah 2. Pengurangan nla terkecl pada setap bars P K R J N P K R J 1 2 3 4 5 6 7 0.5 1 0 0.5 1 2 3 B 1.5 1.5 0 0.5 1 1.5 0.5 C 1 0 3 1 0 0 0 D 0.5 0.5 1 2 2 0 0.5 3 2 2 0.5 0.5 2 0 F 0.5 0.5 1.5 0.5 2.5 0 0.5 G 1.5 1.5 0.5 0 0.5 1 0.5 3. Berdasarkan tabel d atas, kolom 1 belum memlk angka 0, dan nla terkecl pada kolom tersebut adalah 0.5, sehngga semua angka pada kolom 1 dkurang dengan nla terkecl pada kolom tersebut yatu angka 0.5, sehngga tabelnya menad sepert berkut: P K R J N P K R J 1 2 3 4 5 6 7 0 1 0 0.5 1 2 3 B 1 1.5 0 0.5 1 1.5 0.5 C 0.5 0 3 1 0 0 0 D 0 0.5 1 2 2 0 0.5 2.5 2 2 0.5 0.5 2 0 F 0 0.5 1.5 0.5 2.5 0 0.5 G 1 1.5 0.5 0 0.5 1 0.5 4. Berdasarkan tabel d atas, karena banyaknya gars tdak sama dengan banyaknya bars/kolom maka solus belum optmal, sehngga angka yang tdak terkena gars harus dkurang dengan angka terkecl yang tdak terkena gars tersebut, dan angka yang terkena coretan sebanyak 2 kal dtambahkan dengan angka terkecl yang tdak terkena gars tersebut. ngka terkecl yang tdak dlalu gars pada tabel d atas adalah angka 0.5
Optmas Masalah Penugasan 101 P K R J N P K R J 1 2 3 4 5 6 7 0 0.5 0 0 0.5 2 3 B 1 1 0 0 0.5 1.5 0.5 C 1 0 3.5 1 0 0.5 0.5 D 0 0 1 1.5 1.5 0 0.5 2.5 1.5 2 0 0 2 0 F 0 0 1.5 0 2 0 0.5 G 1.5 1.5 1 0 0.5 1.5 1 5. Pada tabel d atas banyaknya gars adalah 7 sama dengan banyaknya bars/kolom sehngga dkatakan solus sudah optmal. Pembacaan tabel optmlnya dengan mencoba menugaskan pekera ke pekeraan dengan nla pada tabel optmal adalah 0. Berdasarkan nla 0 pada tabel d atas dapat dgambarkan sebaga berkut: Pekera Kemungknan pekeraan Baya Pekeraan 1, D, F 1.5 2 C, D, F D 1.5 3, B B 1.5 4, B,, F, G G 1 5 C, C 1 6 D, F F 1.5 7 1 Total nla obektf 9 Masalah penugasan tersebut d atas bsa dselesakan dengan menggunakan shoftware LINGO. Berkut n adalah sntaxnya: sets: pekera/1..7/; pekeraan/ B C D F G/; lnks(pekera,pekeraan):cost,penugasan; endsets!fungs obektf; mn=@sum(lnks:penugasan*cost);!kendala; @for (pekeraan():@sum (pekera():penugasan(,))=1;); @for(pekera():@sum (pekeraan():penugasan(,))=1;);
102 St Maslhah data: cost=1.5 2 1 1.5 2 3 4 3 3 1.5 2 2.5 3 2 2 1 4 2 1 1 1 1.5 1.5 2 3 3 1 1.5 4 3 3 1.5 1.5 3 1 2 2 3 2 4 1.5 2 2.5 2.5 1.5 1 1.5 2 1.5; enddata end Hasl runnng dar sntax d atas adalah sebaga berkut: Global optmal soluton found at teraton: 13 Obectve value: 9.000000 Varable Value Reduced Cost COST( 1, ) 1.500000 0.000000 COST( 1, B) 2.000000 0.000000 COST( 1, C) 1.000000 0.000000 COST( 1, D) 1.500000 0.000000 COST( 1, ) 2.000000 0.000000 COST( 1, F) 3.000000 0.000000 COST( 1, G) 4.000000 0.000000 COST( 2, ) 3.000000 0.000000 COST( 2, B) 3.000000 0.000000 COST( 2, C) 1.500000 0.000000 COST( 2, D) 2.000000 0.000000 COST( 2, ) 2.500000 0.000000 COST( 2, F) 3.000000 0.000000 COST( 2, G) 2.000000 0.000000 COST( 3, ) 2.000000 0.000000 COST( 3, B) 1.000000 0.000000 COST( 3, C) 4.000000 0.000000 COST( 3, D) 2.000000 0.000000 COST( 3, ) 1.000000 0.000000 COST( 3, F) 1.000000 0.000000 COST( 3, G) 1.000000 0.000000 COST( 4, ) 1.500000 0.000000 COST( 4, B) 1.500000 0.000000 COST( 4, C) 2.000000 0.000000 COST( 4, D) 3.000000 0.000000 COST( 4, ) 3.000000 0.000000 COST( 4, F) 1.000000 0.000000 COST( 4, G) 1.500000 0.000000 COST( 5, ) 4.000000 0.000000
Optmas Masalah Penugasan 103 COST( 5, B) 3.000000 0.000000 COST( 5, C) 3.000000 0.000000 COST( 5, D) 1.500000 0.000000 COST( 5, ) 1.500000 0.000000 COST( 5, F) 3.000000 0.000000 COST( 5, G) 1.000000 0.000000 COST( 6, ) 2.000000 0.000000 COST( 6, B) 2.000000 0.000000 COST( 6, C) 3.000000 0.000000 COST( 6, D) 2.000000 0.000000 COST( 6, ) 4.000000 0.000000 COST( 6, F) 1.500000 0.000000 COST( 6, G) 2.000000 0.000000 COST( 7, ) 2.500000 0.000000 COST( 7, B) 2.500000 0.000000 COST( 7, C) 1.500000 0.000000 COST( 7, D) 1.000000 0.000000 COST( 7, ) 1.500000 0.000000 COST( 7, F) 2.000000 0.000000 COST( 7, G) 1.500000 0.000000 PNUGSN( 1, ) 1.000000 0.000000 PNUGSN( 1, B) 0.000000 0.5000000 PNUGSN( 1, C) 0.000000 0.000000 PNUGSN( 1, D) 0.000000 0.5000000 PNUGSN( 1, ) 0.000000 0.5000000 PNUGSN( 1, F) 0.000000 2.000000 PNUGSN( 1, G) 0.000000 2.500000 PNUGSN( 2, ) 0.000000 1.000000 PNUGSN( 2, B) 0.000000 1.000000 PNUGSN( 2, C) 1.000000 0.000000 PNUGSN( 2, D) 0.000000 0.5000000 PNUGSN( 2, ) 0.000000 0.5000000 PNUGSN( 2, F) 0.000000 1.500000 PNUGSN( 2, G) 0.000000 0.000000 PNUGSN( 3, ) 0.000000 1.000000 PNUGSN( 3, B) 0.000000 0.000000 PNUGSN( 3, C) 0.000000 3.500000 PNUGSN( 3, D) 0.000000 1.500000 PNUGSN( 3, ) 1.000000 0.000000 PNUGSN( 3, F) 0.000000 0.5000000 PNUGSN( 3, G) 0.000000 0.000000 PNUGSN( 4, ) 0.000000 0.000000 PNUGSN( 4, B) 0.000000 0.000000 PNUGSN( 4, C) 0.000000 1.000000 PNUGSN( 4, D) 0.000000 2.000000 PNUGSN( 4, ) 0.000000 1.500000
104 St Maslhah PNUGSN( 4, F) 1.000000 0.000000 PNUGSN( 4, G) 0.000000 0.000000 PNUGSN( 5, ) 0.000000 3.000000 PNUGSN( 5, B) 0.000000 2.000000 PNUGSN( 5, C) 0.000000 2.500000 PNUGSN( 5, D) 0.000000 1.000000 PNUGSN( 5, ) 0.000000 0.5000000 PNUGSN( 5, F) 0.000000 2.500000 PNUGSN( 5, G) 1.000000 0.000000 PNUGSN( 6, ) 0.000000 0.000000 PNUGSN( 6, B) 1.000000 0.000000 PNUGSN( 6, C) 0.000000 1.500000 PNUGSN( 6, D) 0.000000 0.5000000 PNUGSN( 6, ) 0.000000 2.000000 PNUGSN( 6, F) 0.000000 0.000000 PNUGSN( 6, G) 0.000000 0.000000 PNUGSN( 7, ) 0.000000 1.000000 PNUGSN( 7, B) 0.000000 1.000000 PNUGSN( 7, C) 0.000000 0.5000000 PNUGSN( 7, D) 1.000000 0.000000 PNUGSN( 7, ) 0.000000 0.000000 PNUGSN( 7, F) 0.000000 1.000000 PNUGSN( 7, G) 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Prce 1 9.000000-1.000000 2 0.000000-1.500000 3 0.000000-1.500000 4 0.000000-1.000000 5 0.000000-1.000000 6 0.000000-1.500000 7 0.000000-1.000000 8 0.000000-1.500000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000-0.5000000 11 0.000000 0.5000000 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.5000000 14 0.000000-0.5000000 15 0.000000 0.000000
Optmas Masalah Penugasan 105 Hasl dar eksekus dengan LINGO adalah nla obektf 9 dengan teras sebanyak 13 dan penempatan pekera sebaga berkut: Pekera pekeraan Baya 1 1.5 2 C 1.5 3 1 4 F 1 5 G 1 6 B 2 7 D 1 Total nla obektf 9 Terdapat perbedaan dalam penempatan pekera antara penyelesaan dengan Metode Hungaran dan eksekus dengan LINGO akan tetap nla obektfnya besarnya sama. Hal n menunukkan adanya alternatve lan dalam penempatan pekera d perusahaan. Kesmpulan Lner programmng merupakan cabang lmu matematka yang bsa daplkaskan ke berbaga bdang kelmuan sepert ekonom, teknolog, farmas, transportas, ndustr dll. Dengan Lner programmng akan memudahkan pelaku ndustr untuk menentukan penugasan karyawan yang tepat agar memaksmalkan keuntungan atau memnmalkan baya. Penggunaan Metode Hungaran bsa membantu dalam pencaran solus optmal dar masalah penugasan secara manual. LINGO sangat member kemudahan kepada pelaku dalam mencar penyelasaan masalah dar pada penghtungan manual.
106 St Maslhah Daftar Pustaka Hotnar Srngorngo. 2005. Ser Teknk Rset Operasonal. Yogyakarta. Graha Ilmu. Rumnta. 2009. Matrks, persamaan dan pemrograman lner. Bandung. Rekayasa Sans.. 2006. Optmzaton Modelng Wth LINGO. Chcago. LINDO Systems, Inc. Idrs, ndang Lly, Sukamto. Modfkas Metode Hungaan untuk Menyelesakan Masalah Penugasan. Jurnal. Unverstas Rau. N. Soemartoo, Marthen Taplouw. 1997. Program Lner. Jakarta. Depdknas. St Maslhah. S.Pd., M.S IIN Walsongo, Semarang mal :