BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER. METODE BAGI DUA BISECTION METHOD Jka f kotu pada a da b da fa.fb < maka terdapat palg sedkt akar pada terval tersebut. Lokas akar Gambar 3. Proses mecar akar dg metode bag dua a m m b Msal fa < da fb> Nla akar aproksmas: a b / 3. Jka f =, maka merupaka akar dar f. Jka akar terletak atara a da maka f > b = shg a / Jka akar terletak atara b da maka f < a = shg b / 3. Proses terus shg dproleh f. Program metode bseks PROGRAM BISEKSI; uses wcrt; var a,b,m,fa,fb,fm, : real; : teger; Fucto F:real : real; beg F:=sqr*-*-5; ed;
BEGIN wrtel' Program Bseks'; wrte'batas kr a:';readla; wrte'batas kaa b:';readlb; wrtel'-----------------------------------------------------------------------------'; wrtel' a b m fa fb fm '; wrtel'-----------------------------------------------------------------------------'; :=; repeat m:=a+b/; fa:=fa; fb:=fb; fm:=fm; wrtel ' ',,''; goto7,+7; wrtea:3:3 ;wrtel' '; goto5,+7; wrteb:3:3 ;wrtel' '; goto3,+7; wrtem:3:3 ;wrtel' '; goto3,+7; wrtefa::7;wrtel' '; goto48,+7; wrtefb::7;wrtel' '; goto6,+7; wrtefm::7;wrtel' '; f fm*fb> the b:=m else a:=m; :=+; utl absfm <=e-4; wrtel'--------------------------------------------------------------------------'; wrtel; wrtel'jad Akar-akara =',m:3:3; readl; END. Jka program tersebut djalaka dega tebaka batas kr a = da b = 3
Akar ag pertama m 4 =. Akar ag la dperoleh dega memasag a =, b = 5 da m 4 =4. Nla maksmum dar fm ag dkehedak adalah.e-4. Soal: Guaka metode bseks utuk memperoleh akar dar f = s ag terletak atara [, ].. METODE POSISI SALAH REGULA FALSI Tujua: utuk mempercepat proses karea metode bag dua agak lambat a,fa Gambar 3. Proses mecar akar dg metode regula fals a b b b Lhat gars ag meghubugka ttk a,fa, b, da b,fb. Buat grade gars tersebut dega dua cara, atu ag melalu pasaga a,fa, b,fb da b,, b,fb Dega megguaka ttk-ttk a,fa da b,fb maka: fb fa m 3.3 b a dega ttk b, da b,fb maka: fb m 3.4 b b Pers. 3.3 = pers. 3.4 fb b a b b 3.5 fb fa Dalam betuk teras: b fb b a b 3.6 fb fa Program Regula fals sepert dtamplka d bawah. PROGRAM REGULA_FALSI; uses wcrt; var a,b,c,fa,fb,fc : real; b,fb
3, : teger; Fucto F:real : real; beg F:=sqr-5*+4; ed; BEGIN wrtel' PROGRAM REGULA FALSI'; wrte'batas kr a:';readla; wrte'batas kaa b:';readlb; wrtel'-----------------------------------------------------------------------------'; wrtel' a b c fa fb fc '; wrtel'-----------------------------------------------------------------------------'; :=; repeat fa:=fa; fb:=fb; c:=b-fb*b-a/fb-fa; fc:=fc; f fc*fb> the b:=c else a:=c; wrtel ' ',,''; goto7,+7; wrtea:3:3 ;wrtel' '; goto5,+7; wrteb:3:3 ;wrtel' '; goto3,+7; wrtec:3:3 ;wrtel' '; goto3,+7; wrtefa::7;wrtel' '; goto48,+7; wrtefb::7;wrtel' '; goto6,+7; wrtefc::7;wrtel' '; :=+; utl absfc <=.e-4; wrtel'-----------------------------------------------------------------------------'; wrtel; wrtel'jad Akar-akara =',c:3:3; readl; END. Jka program tersebut djalaka maka dperoleh
4 Akar pertama b 8 = dega megambl a = da b = 3 sedag akar kedua b 8 = 4 dega megambl a = da b = 5. Tampak jumlah teras utuk metode bseks = 4 semetara metode regulafals 8 sehgga metode regula fals lebh efektf dguaka jka batas ketelta ag dkehedak sama atu tgg fm atau fb <=.e-4. 3. METODE REGULAFALSI TERMODIFIKASI a,fa a b b b Jka dketahu f kotu pada selag [a,b ] sedemka rupa sehgga fa fb <, maka: Betuklah F fa da G fb da c a Utuk N =,,, sampa cukup lakuka: Htug c ag bf G F Jka fafc maka a a, b c, G fc Jka juga fcfc, maka F = F / Jka tdak, maka a c, F fc, b b Jka juga fcfc, maka G = G / {BISA DIUBAH MISAL.9G} Maka f mempua akar dalam selag [ a,b] Programa sebaga berkut PROGRAM REGULA_FALSI_TERMODIFIKASI; uses wcrt; var a,b,c,fa,fb,fc,ge : real;, : teger; Fucto F:real : real; beg F:=sqr-5*+4; ed;
5 BEGIN wrtel' PROGRAM REGULA FALSI TERMODIFIKASI'; WRITELN'FUNGSI F:=^-5+4'; goto,3;wrte'batas kr a:';reada; goto4,3;wrte'batas kaa b:';readlb; wrtel'--------------------------------------------------------------------------'; wrtel' a b c Fa Fb Fc '; wrtel'--------------------------------------------------------------------------'; Fa:=Fa; Fb:=Fb; :=; Repeat c:=a*fb-b*fa/fb-fa; Fc:=Fc; wrtel ' ',,''; goto7,+7; wrtea:3:3 ;wrtel' '; goto5,+7; wrteb:3:3 ;wrtel' '; goto3,+7; wrtec:3:3 ;wrtel' '; goto3,+7; wrtefa::7;wrtel' '; goto48,+7; wrtefb::7;wrtel' '; goto6,+7; wrtefc::7;wrtel' '; f Fa*Fc <= the beg b:=c ; Fa:=Fa/ ed else beg a:=c; Fb:=Fb/; ed; :=+; utl absfc <=.e-4; wrtel'-------------------------------------------------------------------------'; wrtel; wrtel'jad Akar-akara =',c:3:3; readl; END. Jka program tersebut djalaka maka hasla dega tebaka awal d 3 sebaga berkut:
6 Dega put da 5 maka akar ag la dperoleh = 4 dega teras. Tampak metode regula fals termodfkas sagat cepat utuk meamplka akar. 4. METODE ITERASI SEDERHANA Yag dbutuhka pada proses teras adalah: a. Aproksmas utuk b. Rumus teras Jka persamaa f dtulska dalam betuk = F maka dperoleh teras secara berturuta: F F F 3 3.7.. F Kesalaha pada metode teras: E 3.8 a E: Tetuka akar dar f 5 4 sepert soal sebeluma Rumus teras pertama: Rumus teras kedua: 4 5 5 4 Rumus teras ketga: 5 4 Program metode teras sebaga berkut: Program teras; uses wcrt; var :arra[..] of real; b: real;,:teger;
7 BEGIN clrscr; wrtel'soala: f=sqr-5*+4'; wrtel'rumus Iteras: +=[^+4]/5'; wrte'tebaka awal [',,']:=';readl[]; wrtel'---------------------------------------------------------------------'; wrtel' ^ [^+4]/5 [+]-[] '; wrtel'---------------------------------------------------------------------'; :=; Repeat beg [+]:=[]*[]+4/5; b:= [+]-[]; wrte; wrte' ',[]:4:3; wrte' ',[]*[]:4:5; wrte' ',[+]:5:5; wrtel' []:=[+]; :=+; ',b:5:7; ed; utl b<=.; wrtel'--------------------------------------------------------------------'; wrtel'akara adalah:',[]:4:6; readl; END. Jka program tersebut djalaka dega megambl tebaka awal = maka dperoleh: Nla akara tdak seeksak metode sebeluma aau butuh jumlah teras ag baak.
8 5. METODE AITKEN PERCEPATAN KONVERGENSI Msal akar dar f. Dar metode teras sederhaa dketahu: F F K F F dega K < 3.9 Msal,, 3 akar ag megaproksmas la akar =. Maka K 3. K 3. Dega membag 3. dg 3. K K 3. Igat, ds F Tabel ag dbutuhka adalah tabel selsh berhgga utuk data sampa selsh tgkat. K K
9 Program metode Atke sebaga berkut: PROGRAM METODE_AITKEN; {ATAU PERCEPATAN KONVERGENSI} uses wcrt; var,d,d : arra[..] of real;, : teger; BEGIN clrscr; wrtel'f:=^-5+4'; wrte'la awal []:';readl[]; :=; wrtel'rumus Iteras: []:=[-]^+4/5'; wrtel'---------------------------------------------------'; wrtel' [] d[] d[] '; wrtel'---------------------------------------------------'; for := to do beg []:=sqr[-]+4/5; goto,7+*; wrte; goto4,7+*; wrtel'[',,']=',[]:3:4; [-]:=[]; ed; for := to - do beg d[]:=[]-[-]; goto8,6+*+; wrtel'd[',,']=',d[]:3:4; ed; for := to - do beg d[]:=d[+]-d[]; goto35,7+*+; wrtel'd[',,']=',d[]:3:4; ed; [3]:=[]-sqrd[]/d[]; goto,3+*; wrtel'---------------------------------------------------'; goto,5+*; wrtel'[3]:',[3]:3:4; END. Jka djalaka hasla sebaga berkut:
Tampak la 3 =.9956 sudah medekat akar ag dmaksudka atu. Dega rumus teras ag la maka akar kedua dapat dperoleh. 6. METODE NEWTON RAPHSON OA 3.3 A B f 3.4 f ' AA A A B 3.5 A A f f' f A A A OA OA f 3.6 f ' f 3.7 f '
dega cara ag sama maka dapat dtetuka, 3 dst. Msal = akar aproksmas utuk f = sedagka h = kekelrua aproksmas tersebut. h da f 3.8 Ekspas dega deret Talor: f f hf' h f"... 3.9 Utuk h sagat kecl supaa aproksmasa terbak maka f" dabaka. f hf' 3. f h 3. f' Subst. 3.6 ke 3.3: f 3. f' Dalam betuk teras mejad: f 3.3 f' Programa adalah sebaga berkut: Program Newto_Raphso; uses wcrt; var,,d:arra [..] of real; tol:real; :teger; BEGIN clrscr; wrtel'f=^-5+4'; wrte ' Ttk awal []: '; readl []; wrtel'---------------------------------------------------'; wrtel' [] d abs[]-[-]'; wrtel'---------------------------------------------------'; :=; Repeat [-]:=sqr[-]-5*[-]+4; {fugs f} d[-]:=*[-]-5; {turua dar f} []:=[-]-[-]/d[-];{rumus Newto Raphso} wrte -, ' ',[-]:4:4,' ',[-]:4:4,' ',d[-]:4:4; wrtel' ', abs[]-[-]:4:7; tol:=abs[]-[-]; :=+; utl =; wrtel'---------------------------------------------------'; wrtel; wrtel'akara= ',[-]:3:3; readl; END.
Jka djalaka maka hasla sebaga berkut: Tampak sampa teras ag ke 4 selsh atara [] da [-] sudah hamper ol sehgga akara adalah. Akar ag la dapat detuka dega megambl [] ag la msala. Soal: tetuka akar pers. s cos dega metode Newto Raphso. 7. METODE MULLER Permsala utuk kurva f adalah kuadrats. Akar-akar kurva kudrats daggap merupaka akar dar kurva f. Keuggula: dapat dguaka utuk meghtug akar komplek Msal, -, adalah 3 buh aproksmas akar f = sehgga,, -,, da, terletak pada kurva = f. A B C 3.4 A B C 3.5 A B C 3.6 A B C 3.7 A B C 3.8
3 3.9 Dapat dtuls dalam betuk: + 3.3 Jka ddefska 3.3 3.3 3.33 maka pers. 3.3 dapat dtulska: 3.34 Dar pers. 3.3 dperoleh: 3.35 Ambl = pada 3.34 maka g 3.36 dega g 3.37 dega membag pers. 3.36 dega maka g 3.38 Maka / 4 g g 3.39
4 3 e: Tetuka akar dar pers. 3 5 ag terletak atara da 3. Jawab: dplh,, 3 maka 7, 3, 3 sehgga 3,, da g 44. Dar pers. 3.38 dperoleh: 6 44 4 688 5 agar pemblaga terbesar maka dplh tada egatf, maka, 743. Pedekata berkuta meurut 3.35 : 3,743,6. Iteras aka dhetka jka 8. SOLUSI SYSTEM PERSAMAAN TIDAK LINIER a. Metode teras f, g, pers. 3.4 dapat dbetuk mejad: F, G, dega F da G memeuh persarata: F F G G Msal, aproksmas awal F, F, 3 F, G, G, 3 G, da seterusa hgga dperoleh da. 3.4 3.4 3.4 3.43. METODE NEWTON RAPHSON f, g, 3.44 Msal, aproksmas awal dar 3.44. Jka h, k akar dar sstem pers. tersebut maka: f h, k g h, k Ekspas f da g meurut deret Talor meghaslka: 3.45
5 f g f f h k... g g h k... dega megabaka suku-suku berderejat >= maka f h g h f k g k... f... g maka h, k dkatahu. Hasl aproksmas ag baru adalah: h, k. Proses dulag hgga dperoleh da. 3.46 3.47 S O A L. Tetuka akar dar pers. 3 a 7 b 8 telt sampa 3 agka decmal dega metode Muller. Guaka metode Newto-Raphso utuk meelesaka pers. a b 4 3s 3 7 4 3s
6