KABAKUTA METODE PERKALIAN Metode Berhitung Cepat Tanpa Kalkulator oscar ridhwan www.oscarridhwan.com KABAKUTA
BAB 3 PERKALIAN Bab ini akan membahas beberapa metode perkalian yang mungkin salah satunya sudah anda kenal dengan baik, ada baiknya saat anda mempelajari metode baru ini sambil mengingat metode perkalian yang sudah anda pelajari di sekolah, karena dengan cara seperti ini anda bisa memahami langkah-langkah yaag diberikan pada buku ini, dan anda bisa merasakan kelebihan masing-masing metode. Jangan langsung menilai suatu metode cepat atau tidak sebelum anda benar-benar mencobanya dan memahaminya. 1. METODE NEPIER Metode ini saya sebut metode Nepier karena penulisan hasil perkaliannya sama dengan alat hitung Nepier, merupakan modifikasi dari metode biasa dan nanti bisa anda amati perbedaan antara metode ini dengan metode biasa. Seperti biasanya penjelasan metode langsung pada contohnya. CONTOH 1 47 64 x Langkah 1 Kalikan angka satuan bilangan I dengan angka satuan bilangan II kemudian tulis hasilnya dalam bentuk miring seperti tampak di bawah ini www.oscarridhwan.com 2
4 7 8 2 7 x 4 = 28 nilai 28 ditulis menyerong sehingga tidak perlu mengingat angka 2 ataupun ditulis di samping lembar perkalian Langkah 2 Kalikan angka-angka yang dihubungkan dengan garis (4 dan 4, 7 dan 6), kemudian masingmasing dari hasil perkalian tersebut dijumlahkan. Hasilnya tulis menyerong 4 7 8 8 5 2 (4 x 4) + (6 x 7) = 58 7 x 4 = 28 Langkah 3 Kalikan angka-angka yang dihubungkan dengan garis ( 4 dan 6 ). Kemudian tulis hasilnya secara menyerong seperti tampak di bawah. www.oscarridhwan.com 3
4 x 6 = 24 (4 x 4) + (6 x 7) = 58 7 x 4 = 28 4 7 4 8 8 2 5 2 Langkah 4 Jumlahkan angka-angka yang diperoleh dari langkah 1 sampai langkah 3 kebawah, seperti pada metode perkalian biasa. 4 7 4 8 8 2 5 2 + 3 0 0 8 Jadi, hasilnya adalah 3008 Kelebihan dari metode ini adalah tidak ada angka-angka yang perlu disimpan seperti perkalian biasa, karena angka yang biasanya disimpan langsung dituliskan pada perhitungan. Nah, menarik bukan? Contoh berikutnya akan menyelesaikan soal perkalian dengan bilangan-bilangan yang lebih besar. www.oscarridhwan.com 4
CONTOH 2 243 682 x Langkah 1 Kalikan angka satuan bilangan I dengan angka satuan bilangan II kemudian tulis hasilnya dalam bentuk menyerong seperti tampak di bawah ini 3 x 2 = 06 Untuk hasil kali satuan dengan satuan yang menghasilkan angka 1 digit, jangan lupa untuk menambahkan nol di depannya, untuk selanjutnya apabila anda sudah terbiasa anda tidak perlu lagi melakukannya. 2 4 3 6 8 2 x 6 0 Langkah 2 Kalikan angka-angka yang dihubungkan dengan 2 garis, kemudian masing-masing dari hasil perkalian tersebut dijumlahkan dan hasilnya ditulis seperti tampak di bawah (3 x 8) + (4 x 2) = 32 3 x 2 = 06 2 4 3 6 8 2 x 2 6 3 0 www.oscarridhwan.com 5
Langkah 3 Kalikan angka-angka yang dihubungkan dengan 3 garis, kemudian masing-masing dari hasil perkalian tersebut dijumlahkan 2 4 3 6 8 2 x 4 2 6 5 3 0 (2 x 2) + (3 x 6) + (4 x 8) = 54 Langkah 4 Kalikan angka-angka yang dihubungkan dengan 2 garis, kemudian masing-masing dari hasil perkalian tersebut dijumlahkan 2 4 3 6 8 2 x 0 4 2 6 4 5 3 0 ( 2 x 8) + (4 x 6) = 40 Langkah 5 Kalikan angka angka yang dihubungkan dengan garis kemudian tulis hasilnya dalam bentuk miring seperti tampak di bawah ini www.oscarridhwan.com 6
2 4 3 6 8 2 x 2 0 4 2 6 1 4 5 3 0 2 x 6 = 12 Langkah 6 Jumlahkan angka-angka yang diperoleh pada langkah 3 ke bawah, seperti pada metode perkalian biasa. 2 4 3 6 8 2 x 2 0 4 2 6 1 4 5 3 0 + 1 6 5 7 2 6 Hasil akhirnya 165726 Nah, mudah bukan, anda lihat dalam proses perhitungannya tidak ada penyimpanan angka sama sekali. Dalam metode ini penyusunan bilangan hasil perkaliannya ditulis menyerong, hal ini ternyata memberikan keuntungan kepada kita, yakni kita bisa melakukan operasi perkalian tersebut dari depan atau belakang. Contoh yang sudah diberikan ini adalah metode yang dikerjakan dari belakang, apabila proses dibalik hasil yang diperoleh akan sama, untuk semua jenis bilangan. Agar lebih jelas perhatikan contoh berikut ini. CONTOH 3 Bilangan yang dikalikan pada contoh ini sama dengan contoh 1, agar anda bisa membandingkannya dengan contoh 1. www.oscarridhwan.com 7
47 64 x Langkah 1 Kalikan angka-angka yang dihubungkan dengan garis ( 4 dan 6 ). Kemudian tulis hasilnya secara menyerong seperti tampak di bawah. 4 7 2 4 4 x 6 = 24 Langkah 2 Kalikan angka-angka yang dihubungkan dengan garis, kemudian masing-masing dari hasil perkalian tersebut dijumlahkan 4 7 4 8 2 5 (4 x 4) + (6 x 7) = 58 Langkah 3 Kalikan angka satuan bilangan I dengan angka satuan bilangan II kemudian tulis hasilnya dalam bentuk miring seperti tampak di bawah ini www.oscarridhwan.com 8
4 7 4 8 8 2 5 2 7 x 4 = 28 Langkah 4 Jumlahkan angka-angka yang diperoleh dari langkah 1 sampai langkah 3 kebawah, seperti pada metode perkalian biasa. 4 7 4 8 8 2 5 2 + 3 0 0 8 Seperti yang anda lihat hasil yang diperoleh dengan menghitung mulai dari angka depan sama dengan dari angka belakang CONTOH 4 37 48 x Langkah 1 Kalikan angka-angka yang dihubungkan dengan garis ( 3 dan 4 ). Kemudian tulis hasilnya secara menyerong seperti tampak di bawah. www.oscarridhwan.com 9
3 7 1 2 4 8 x 3 x 4 = 12 Langkah 2 Kalikan angka-angka yang dihubungkan dengan garis, kemudian masing-masing dari hasil perkalian tersebut dijumlahkan 3 7 4 8 x 2 2 1 5 (3 x 8) + (7 x 4) = 52 Langkah 3 Kalikan angka satuan bilangan I dengan angka satuan bilangan II kemudian tulis hasilnya dalam bentuk menyerong seperti tampak di bawah ini 3 7 4 8 x 2 2 6 1 5 5 7 x 8 = 56 www.oscarridhwan.com 10
Langkah 4 Jumlahkan angka-angka yang diperoleh dari langkah 1 sampai langkah 3 kebawah, seperti pada metode perkalian biasa. 3 7 4 8 x 2 2 6 1 5 5 + 1 7 7 6 Jadi, hasil akhirnya adalah 1776 2. METODE TRACHTENBERG Metode perkalian Trachtenberg merupakan metode yang berusaha mengurangi langkah-langkah perhitungan atau menggabungkan 2 operasi sekaligus yakni mengalikan angka-angka tiap bilangan kemudian langsung dijumlahkan. Atau dengan kata lain metode ini penyederhanaan dari metode Nepier di atas. CONTOH 1 53 64 x Langkah 1 Kalikan angka satuan dengan angka satuan 5 3 2 3 x 4 = 12; tulis 2 simpan 1 www.oscarridhwan.com 11
Langkah 2 Kalikan secara menyilang seperti yang dituliskan dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya, dan apabila ada simpanan, tambahkan simpanan dari langkah 1 5 3 92 (5 x 4) + (3 x 6) + 1 (simpanan) = 39 Tulis 9, dan simpan 3 Langkah 3 Kalikan angka puluhan dan puluhan dari tiap bilangan dan apabila ada simpanan dari langkah 2 tambahkan hasilnya dengan simpanan tersebut 5 3 3392 (6 x 5) + 3(simpanan) = 33 Sehingga hasil akhirnya adalah 3392 Bandingkan dengan metode biasa, dan ternyata hasilnya sama. Dengan metode Trachtenberg ini kita bisa mendapatkan hasil perkalian dengan cepat tanpa melakukan penjumlahan bersusun seperti pada metode biasa, kesulitannya adalah apabila kita sulit untuk mengingat angka, karena semakin besar angkanya maka proses perkalian silangnya akan semakin banyak. www.oscarridhwan.com 12
Berikut ini adalah contoh untuk perkalian antara bilangan 3 angka dengan bilangan 2 angka. Karena dalam metode perkalian Trachtenberg ini memerlukan kesimetrian, maka diusahakan agar jumlah angka pada masing-masing bilangan menjadi sama, yakni dengan cara menyisipkan angka nol di depan bilangan yang jumlah angkanya lebih sedikit. CONTOH 2 345 67 x Agar dalam proses perkaliannya mudah tambahkan angka nol di depan bilangan 67. Langkah 1 Kalikan angka satuan dengan angka satuan 5 x 7 = 35; tulis 5 simpan 3 3 4 5 0 6 7 x 5 Langkah 2 Kalikan secara menyilang seperti yang dituliskan dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya, dan apabila ada, tambahkan simpanan dari langkah 1. (4 x 7) + (5 x 6) + 3(simpanan) = 61 tulis 1 dan simpan 6 3 4 5 0 6 7 x 15 www.oscarridhwan.com 13
Langkah 3 Kalikan secara menyilang ( 3 garis) seperti yang dituliskan dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya, dan apabila ada tambahkan simpanan dari langkah 2. (3 x 7) + (4 x 6) + (5 x 0) + 6 = 51 tulis 1 dan simpan 5 3 4 5 0 6 7 x 115 Langkah 4 Kalikan secara menyilang ( 2 garis) seperti yang dituliskan dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya, dan apabila ada tambahkan simpanan dari langkah 3. (3 x 6) + (4 x 0) + 5(simpaan) = 23 tulis 3 dan simpan 2 3 4 5 0 6 7 x 3115 Langkah 5 Kalikan angka-angka yang tersisa, yakni 3 dan 0 (3 x 0) + 2(simpanan) = 2 3 4 5 0 6 7 x 23115 Jadi, hasil perkaliannya adalah 23115 www.oscarridhwan.com 14
Apabila kita bandingkan hasil perkalian ini dengan hasil perkalian biasa akan sama. Dari contoh-contoh perkalian metode Trachtenberg ini, dapat kita simpulkan bahwa semakin besar bilangan yang dikalikan maka langkah-langkah perhitungannya akan semakin panjang, seperti contoh di atas apabila kita mengalikan bilangan puluhan dengan puluhan (2 angka), maka kita perlu 3 langkah, untuk ratusan dengan puluhan atau ratusan dengan ratusan (3 angka) kita perlu 5 langkah, untuk puluhan ribu dengan puluhan ribu (4 angka) kita perlu 7 langkah jadi untuk perkalian (n x n) angka, diperlukan sebanyak (2n 1) langkah dengan n adalah jumlah angka dari bilangan yang dikalikan.. Untuk mempelajari dengan mudah metode ini sebaiknya anda lihat pola-pola yang tampak pada metode ini sehingga anda bisa mengalikan angka berapapun dengan mudah. 3. METODE RIDHWAN Metode selanjutnya adalah metode perkalian dengan menggunakan metode yang saya temukan ketika saya masih kelas 6 SD. Metode ini merupakan penyederhanaan dari metode-metode sebelumnya. Bagaimana caranya? Berikut penjelasannya langsung disertai contoh. Contoh 1 sama dengan contoh pada metode Trachtenberg. CONTOH 1 53 64 x Langkah 1 Kalikan satuan bilangan I dengan satuan bilangan II, tulis secara menyerong www.oscarridhwan.com 15
5 3 2 1 3 x 4 = 12 Langkah 2 Jumlahkan satuan-satuan kedua bilangan tersebut(3 dan 4) kemudian kalikan dengan angka puluhan bilangan II (6). Kalikan satuan bilanngan II dengan selisih angka puluhan bilangan I dan II Kemudian jumlahkan hasil dari kedua perhitungan di atas 6(3 + 4) + 4(5-6) = 42 4 = 38 5 3 8 2 3 1 Langkah 3 Kalikan angka puluhan bilangan I dengan angka puluhan bilangan II (5 x 6) = 30 5 3 0 8 2 3 3 1 www.oscarridhwan.com 16
Langkah 4 Jumlahkan hasil-hasilnya ke bawah 5 3 0 8 2 3 3 1 + 3 3 9 2 Jadi, hasilnya 3392 CONTOH 2 64 37 x Langkah 1 Kalikan satuan bilangan I dengan satuan bilangan II, tulis secara menyerong 6 4 3 7 x 8 2 4 x 7 = 28 Langkah 2 Jumlahkan satuan-satuan kedua bilangan tersebut(4 dan 7) kemudian kalikan dengan angka puluhan bilangan II (3). Kalikan satuan bilanngan II dengan selisih angka puluhan bilangan I dan II Kemudian jumlahkan hasil dari kedua perhitungan di atas www.oscarridhwan.com 17
3(4 + 7) + 7(6-3) = 33 + 21 = 54 6 4 3 7 x 4 8 5 2 Langkah 3 Kalikan angka puluhan bilangan I dengan angka puluhan bilangan II (6 x 3) = 18 6 4 3 7 x 8 4 8 1 5 2 Langkah 4 Jumlahkan hasil-hasilnya ke bawah 6 4 3 7 x 8 4 8 1 5 2 + 2 3 6 8 Jadi, hasilnya adalah 2368 Metode Ridhwan ini sesungguhnya saya kembangkan dari metode perkalian menggunakan jari jari yang biasa kita gunakan saat di bangku Sekolah Dasar, yang hanya dipergunakan untuk perkalian angka 7 sampai 9. Metode ini sangat menarik bila digunakan untuk mencari kuadrat suatu bilangan, yang akan dibahas lebih detail di bab penguadratan. www.oscarridhwan.com 18
4. METODE PIRAMIDA Metode Piramida ini merupakan metode baru yang saya kembangkan dari metode Nepier dan metode Trachtenberg. Metode ini dinamakan dengan metode Piramida karena metode ini dalam penyusunan hasil perkalian sementaranya akan berbentuk seperti piramida yang terbalik, lebih tepatnya segitiga. Agar tidak bertele tele perhatikanlah contoh berikut ini. CONTOH 1 24 43 x Langkah 1 Kalikan satuan bilangan I dengan satuan bilangan II, tulis hasilnya seperti di bawah 2 4 4 3 x 12 4 x 3 = 12 Langkah 2 Kalikan puluhan bilangan I dengan puluhan bilangan II, tulis hasilnya seperti di bawah 2 4 4 3 x 0812 2 x 4 = 08 www.oscarridhwan.com 19
Langkah 3 Kalikan secara menyilang seperti yang dituliskan dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya. 2 4 4 3 x 0812 22 (2 x 3) + (4 x 4) = 6 + 16 = 22 Langkah 4 Jumlahkan hasil-hasilnya ke bawah 2 4 4 3 x 0812 22 + 1032 Jadi, hasil akhirnya 1032 CONTOH 2 56 72 x Langkah 1 Kalikan satuan bilangan I dengan satuan bilangan II, tulis hasilnya seperti di bawah www.oscarridhwan.com 20
5 6 7 2 x 12 6 x 2 = 12 Langkah 2 Kalikan puluhan bilangan I dengan puluhan bilangan II, tulis hasilnya seperti di bawah 5 6 7 2 x 3512 Langkah 3 5 x 7 = 35 Kalikan secara menyilang seperti yang dituliskan, dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya 5 6 7 2 x 3512 52 (5 x 2) + (6 x 7) = 10 + 42 = 52 Langkah 4 Jumlahkan hasil-hasilnya ke bawah www.oscarridhwan.com 21
56 72 x 3512 52 + 4032 CONTOH 3 246 537 x Langkah 1 Kalikan angka satuan bilangan I dengan angka satuan bilangan II, puluhan Bil.I dengan puluhan Bil II, ratusan Bil I dengan ratusan Bil II 2 4 6 5 3 7 x 101242 2 x 5 = 10 4 x 3 = 12 6 x 7 = 42 Langkah 2 Kalikan secara menyilang seperti yang dituliskan, dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya 2 4 6 5 3 7 x 101242 46 (4 x 7) + (6 x 3) = 28 + 18 = 46 www.oscarridhwan.com 22
Langkah 3 Kalikan secara menyilang seperti yang dituliskan, dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya 2 4 6 5 3 7 x 101242 2646 (2 x 3) + (4 x 5) = 06 + 20 = 26 Langkah 4 Kalikan secara menyilang seperti yang dituliskan, dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya (2 x 7) + (6 x 5) = 14 + 30 = 44 2 4 6 5 3 7 x 101242 2646 44 Langkah 5 Jumlahkan hasil-hasilnya ke bawah 246 537 x 101242 2646 44 + 132102 Jadi, hasilnya 132102 www.oscarridhwan.com 23
Contoh 4 562 734 x Langkah 1 Kalikan angka satuan bilangan I dengan angka satuan bilangan II, puluhan Bil.I dengan puluhan Bil II, ratusan Bil I dengan ratusan Bil II 5 6 2 7 3 4 x 351808 5 x 7 = 35 6 x 3 = 18 2 x 4 = 08 Langkah 2 Kalikan secara menyilang seperti yang dituliskan, dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya 5 6 2 7 3 4 x 351808 30 (6 x 4) + (2 x 3) = 24 + 06 = 30 Langkah 3 Kalikan secara menyilang seperti yang dituliskan, dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya www.oscarridhwan.com 24
5 6 2 7 3 4 x 351808 5730 (5 x 3) + (6 x 7) = 15 + 42 = 57 Langkah 4 Kalikan secara menyilang seperti yang dituliskan, dan jumlahkan hasil-hasil perkaliannya (5 x 4) + (2 x 7) = 20 + 14 = 34 5 6 2 7 3 4 x 351808 5730 34 Langkah 5 Jumlahkan hasil-hasilnya ke bawah 562 734 x 351808 5730 34 + 412508 Jadi, hasilnya 412508 Metode ini juga dapat bekerja untuk bilangan bilangan yang lebih besar, Untuk bilangan yang terdiri dari 4 angka atau lebih, kita hanya perlu menambahkan beberapa langkah saja, yang penting dalam perhitungannya jumlah kombinasi perkaliannya tidak lebih dari 2 buah garis penghubung( Seperti pada langkah 2 dan 3). Inilah yang menjadi kelebihan dari metode ini dibandingkan dengan metode Trachtenberg, dimana dalam www.oscarridhwan.com 25
metode Trachtenberg semakin besar bilangan yang dikalikan maka semakin banyak jumlah perkalian silangnya. Untuk memahami metode ini, saya sarankan anda untuk mencobanya langsung dengan angka angka yang bervariasi, sehingga anda akan menemukan sifat dasar dari metode ini. =============)***(============== Dalam bab ini anda telah mempelajari beberapa metode perkalian alternatif, dengan demikian anda dapat memilih metode mana yang akan memudahkan anda dalam melakukan proses perhitungan, terutama untuk perhitungan yang melibatkan bilangan bilangan yang besar yang apabila kita selesaikan dengan cara biasa akan menghabiskan waktu kita yang berharga. Setiap metode memiliki kelebihan dan kekurangan, jadi anda harus bisa memilih metode mana yang kira kira pas untuk permasalahan yang sedang anda hadapi. www.oscarridhwan.com 26