BAB IV AKSIRA MAKSIMUM LIKELIHOOD FUGSI IESIAS POISSO OHOMOGE 4 Pndahuluan Brku n, akan dbahas nang dua pndkaan unuk mndapakan aksran fungs nnsas pross Posson nonhomogn, yau scara ors dan sud kasus Pada ulsan n, pndkaan ors yang dlakukan dngan mnggunakan mod maksmum lklhood Sdangkan, sud kasus yang dambl brupa daa pohon pnus brdaun panjang longlaf pn brdamr 2- dbh Sblumnya, akan dbahas lbh dahulu nang dfns dar fungs nnsas pross Posson nonhomogn 42 Fungs Innsas Pross Posson onhomogn Prdfns, nnsas pross adalah frkuns kjadan yang rjad pada suau darah rnu Schonbrg, 2 Msalkan A mnyaakan banyaknya kjadan yang rjad d darah A, maka fungs nnsas pross ddfnskan mlalu: A E[ A ] 4 dmana prsamaan 4 basanya dnyaakan sbaga banyaknya kjadan d darah A pr sauan darah A Sbaga conoh, jka dkakan dngan pmbahasan d Subbab 44, dmana hmpunan A ddfnskan sbaga ara huan sluas 4 hkar dan kjadannya ddfnskan sbaga pohon pnus brdaun panjang brdamr 2- dbh, 42
dprolh A 9 pohon, aau dngan kaa lan nnsas pohon pnus adalah 9 pohon pr 4 hkar Slanjunya, dalam kasus n, hmpunan A dpars mnjad subhmpunan A unuk,2,3,4 yang ddfnskan sbaga ara huan sluas hkar dan dprolh A 6 pohon, A 2 46 pohon, A 3 72 pohon dan A 4 66 pohon Karna nnsas pohon pnus d masng-masng ara huan sluas hkar brbda-bda, maka pross yang rjad dapa dpandang nonhomogn Slanjunya, pandang pross dngan ndks paramr waku Brdasarkan prsamaan 4, maka dprolh E[ ] 42 Prsamaan 42 mnyaakan banyaknya kjadan pr sauan waku Sbaga conoh, pngamaan banyaknya mobl yang masuk k grbang ol pada jam 9 sampa jam pag, msal dprolh 5 mobl Maka nnsas mobl unuk nrval waku rsbu adalah 5 mobl pr jam Hasl yang brbda bsa dprolh unuk jam brkunya Maka unuk kasus n, pross yang rjad dapa dpandang nonhomogn 43 aksran Fungs Innsas Pross Kdaangan Brku n, dlakukan pndkaan ors unuk mndapakan aksran fungs nnsas pross Posson nonhomogn Pada kbanyakan aplkas, pross Posson nonhomogn dgunakan unuk mmodlkan pross kdaangan Kuhl dan Lm, 999 Shngga, pada ulsan n dambl fungs nnsas pross kdaangan sbaga conoh, dmana fungs nnsasnya ddfnskan mlalu [ - F ], ; > 43 43
mngnga adalah nnsas kdaangan, F adalah suau fungs dsrbus yang brkaan dngan wwwamahworldcom Msalkan pngamaan dlakukan pada nrval [,] dngan barsan k wakunya, 2,, n Mngacu pada pmbahasan d Subbab 32, maka dapa dkaakan bahwa pars nrval [,] adalah, 2,, n Karnanya, noas pada prsamaan 43 dgan dngan noas unuk,2,,n, shngga mnjad [ - F ], ; >,,2,,n 44 Adapun prmasalahan yang akan dslsakan adalah mncar aksran nnsas kdaangan, ˆ, yang slanjunya dgunakan unuk mndapakan aksran fungs nnsas, yau ˆ Mod pnaksran yang akan dgunakan pada ulsan n adalah mod maksmum lklhood dngan langkah-langkah sbaga brku: Mncar bnuk kspls dar fungs nnsas 2 Subsuskan fungs nnsas k dalam fungs lklhood Posson nonhomogn yang lah dsnggung pada bab sblumnya 3 Mngambl bnuk logarma dar fungs lklhood yang dprolh dar langkah 2 agar prhungan mnjad lbh mudah 4 Mngambl bnuk urunan prama dar logarma fungs lklhood 5 Hasl dar langkah 4 dsamakan dngan nla nol unuk mndapakan ˆ 6 Subsuskan ˆ k dalam prsamaan 44 shngga dprolh ˆ 44
45 Pmbahasan: Sbaga pnydrhanaan masalah, asumskan pubah acak ~ Exp, dmana fungs pluang dnsasnya adalah f, > 45 dan fungs dsrbusnya adalah d d d f F 46 Jka prsamaan 46 dsubsuskan k prsamaan 44, maka bnuk kspls fungs nnsas ddfnskan mlalu prsamaan d bawah n, yau 47 Slanjunya, subsuskan prsamaan 47 k fungs lklhood pross Posson nonhomogn yang ddfnskan mlalu prsamaan 39, dprolh,, n L } xp{ d d 48 Prsamaan 48 mnyaakan fungs lklhood dar pross kdaangan aau bsa juga mnyaakan fungs dar nnsas kdaangan,, jka dkahu k-k waku pngamaan Agar prhungannya mnjad lbh mudah, prsamaan 48 dambl bnuk logarmanya Shngga, prsamaan 48 mnjad,, n L d d d d { }
46 49 Salah sau cara unuk mmprolh nla yang dapa mmaksmumkan fungs,, n L skalgus mmaksmumkan fungs,, n L adalah mncar bnuk urunan prama dar fungs,, n L dan kmudan hasya dsamakan dngan nla nol 4 Hogg, Kan dan Crag, 25, h32 Jka prsamaan 49 dambl bnuk urunan pramanya rhadap, dprolh,, d L d n 4 Slanjunya, prsamaan 4 dsamakan dngan nol, maka dprolh aksran nnsas kdaangan yang ddfnskan mlalu: ˆ 4 Jka nla ˆ dsubsuskan pada prsamaan 49, maka fungs,, n L mncapa nla maksmum 5 pada nrval [,] Slanjunya, prsamaan 4 dsubsuskan k prsamaan 44, dprolh aksran fungs nnsas pross kdaangan yang ddfnskan mlalu prsamaan brku n: 4 Jka suau k dmana ' f, maka dsbu k sasonr la mnmum aau maksmum dar f srngkal rjad pada k-k sasonr Purcll dan Varbrg, 996, h86 5 Jka > maka grafk dar fungs L monoon nak Olh karna fungs L ddfnskan pada nrval uup [,], maka fungs L dak mmpunya nla mnmum karna grafknya asmo unuk dan fungs L mmpunya nla maksmum d k ujung nrval, yau d k
ˆ [ F ] 42 mngnga adalah paramr dsrbus ksponnsal, mnyaakan banyaknya kdaangan slama nrval [,] dan F adalah suau fungs dsrbus yang brkaan dngan 44 Fungs Innsas Pohon Pnus Brdaun Panjang Longlaf Pn Brku n, dlakukan sud kasus unuk mndapakan fungs nnsas pross Posson nonhomogn dngan mngambl daa pohon pnus brdaun panjang yang rsbar d huan Wad rac, homas Couny, Gorga Luas huan yang dambl sbaga lokas pngamaan sbsar mpa hkar, dmana rsbar 584 pohon pnus brdaun panjang dngan damr lbh dar 2 dbh Sap pohon rlak d koordna yang brbda-bda, spr yang dlusraskan olh Gambar brku n: Gambar 27 y Pa Pnybaran Pohon Pnus Brdaun Panjang dngan Damr Lbh Dar Dua dbh d Lokas Huan Wad rac Sluas Empa Hkar x dmana sap gkaran pada Gambar 27 d aas, mmua koordna sauan mr dar pohon pnus 47
Ukuran gkaran yang brbda-bda mnunjukkan ukuran dar damr sauan bras hgh/dbh pohon pnus D sn, konsp pngmasan gkaran crcl packng dpaka, yau sbuah lokas huan sluas mpa hkar ds olh pohon pnus dngan damr brbda yang ddnfkas mlalu ukuran gkaran yang brbda Sbaga pnydrhanaan prhungan, pada ulsan n, daa pohon pnus brdaun panjang yang dambl unuk danalss mmlk damr 2- dbh Analss dlakukan unuk mngahu nnsas dan propors dar pohon pnus dngan damr 2- dbh, yang rsbar d lokas huan sluas mpa hkar, dngan langkah-langkah sbaga brku: Pars lokas huan mnjad mpa sublokas, dmana masng-masng sublokas mmlk luas sbsar sau hkar Konsp pars mnggunakan bnuk yang sbangun 2 Klasfkaskan pohon pnus ssua dngan koordna sap sublokas 3 Hung jumlah pohon pnus yang rsbar pada masng-masng sublokas 4 Mnnukan nnsas pohon pnus pada masng-masng sublokas 5 Mnnukan nnsas dan propors pohon pnus pada lokas huan sluas mpa hkar Hasl yang dprolh dar langkah-langkah d aas adalah: Empa sublokas huan hasl pars: Sublokas I Sublokas II Sublokas III Sublokas IV {x,y,d x, y, D damr pohon} {x,y,d x 2, y, D damr pohon} {x,y,d x, y 2, D damr pohon} {x,y,d x 2, y 2, D damr pohon} 48
dan dlusraskan olh Gambar 28 brku n: mr 2 Gambar 28 Empa Sublokas Huan Hasl Pars Sublokas III Sublokas IV Sublokas I Sublokas II 2 mr Hasl klasfkas pohon pnus ssua dngan koordna d sap sublokas dapa d lha pada Lampran, dngan jumlah pohon pnus d masng-masng sublokas sbaga brku: abl 6 Jumlah Pohon Pnus d Masng-masng Sublokas Jumlah pohon pnus brdaun panjang dngan damr 2- dbh Sublokas I Sublokas II Sublokas III Sublokas IV 6 pohon 46 pohon 72 pohon 66 pohon Shngga dprolh: abl 7 Innsas Pohon Pnus d Masng-masng Sublokas Innsas pohon pnus brdaun panjang dngan damr 2- dbh Sublokas I Sublokas II Sublokas III Sublokas IV 6 pohon/hkar 46 pohon/hkar 72 pohon/hkar 66 pohon/hkar Brdasarkan abl 7, nnsas pohon pnus d sublokas I adalah 6 pohon/hkar, dsublokas II adalah 46 pohon/hkar, dsublokas III adalah 72 pohon/hkar dan dsublokas IV adalah 66 pohon/hkar Shngga, nnsas pohon pnus d lokas 49
huan sluas mpa hkar adalah 9 pohon/mpa hkar Dngan kaa lan, propors pohon pnus yang rsbar d ara huan rsbu adalah 3253 % Hasl yang brbda bsa dprolh, yau dngan mlakukan pars lokas huan skcl mungkn, spr yang dlusraskan mlalu Gambar 29 brku n: Gambar 29 Pars Lokas Huan yang Dprkcl mr 2 2 mr Smakn dprkcl parsnya, maka banyaknya pohon pnus yang rsbar pada sublokas rsbu kmungknan hanya ada sau pohon aaupun dak ada sama skal Arnya nnsas unuk masng-masng sublokas juga brbda-bda Karnanya, conoh pross mnghung pohon pnus yang pag mudah unuk kasus yang dprlhakan mlalu Gambar 29 adalah pross Posson nonhomogn 5