GEOMETRI IMENSI TIG NGUN RUNG Materi tentang bangun ruang sudah pernah dipelajari di SMP, di antaranya : Kubus, alok, Prisma, Limas, Tabung, Kerucut, dan ola. Kubus Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi enam sisi yang berbentuk persegi yang kongruen. Nama lain dari kubus adalah heksader (bidang enam beraturan). Perhatikan gambar di bawah! E H s G s s Kubus.EGH mempunyai :. 6 sisi yang berbentuk persegi, yaitu:, EGH, E, GH, HE, G.. rusuk yang sama panjang, yaitu:,,,, E, G, GH, HE, E,, G, H. 3. 8 titik sudut, yaitu :,,,, E,, G, H. 4. diagonal sisi, yaitu:,,eg, H,, E, G, H, H, E, G,. 5. 4 diagonal ruang, yaitu: G, H, E,. 6. 6 bidang diagonal, yaitu: GE, H, GH, HE, E, G. Jaring-jaring Kubus Rumus Rumus Kubus Luas bidang sisi = s Panjang diagonal sisi = s Panjang diagonal ruang = s 3 Luas bidang diagonal = s Luas selimut kubus L s = 4 s Luas permukaan kubus L = 6 s Volum kubus V = s 3 ontoh: Tentukan luas permukaan dan volum kubus yang mempunyai panjang rusuk 6 cm. L = 6. s = 6. 6 = 44 cm V = s 3 = 6 3 = 6 cm 3 SMK Negeri Kandeman Kab. atang
alok alok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar yang berbentuk persegi panjang dengan tiga pasang sisi yang saling sejajar. Nama lain dari balok adalah prisma sikusiku. Perhatikan gambar di bawah! E H p l G t alok.egh mempunyai :. 6 sisi dengan tiga pasang diantaranya saling sejajar, yaitu: //EGH, E//GH, HE//G.. rusuk yang terdiri atas tiga kelompok rusuk yang sejajar dan sama panjang, yaitu: ////E//HG, ////G//EH, E////G//H. 3. 8 titik sudut, yaitu :,,,, E,, G, H. 4. diagonal sisi yang terdiri atas enam kelompok diagonal yang sejajar dan sama panjang, yaitu: //G, E//H, //EG, //H, H//G, E//. 5. 4 diagonal ruang, yaitu: G, H, E,. 6. 6 bidang diagonal, yaitu: GE, H, GH, HE, E, G. Jaring-jaring alok Rumus Rumus alok Luas bidang sisi Panjang diagonal sisi = Panjang diagonal ruang = = pxl, pxt, lxt p xl, p xl xt p xt, Luas bidang diagonal = p l xt, l p xt, t Luas permukaan balok L = (pxl + pxt + lxt) Volum balok V = px lx t l xt p xl ontoh: Sebuah kertas kado berukuran panjang 30 cm, lebar 0 cm, dan tingginya 5 cm. agian luarnya dilapisi kertas kado sampai rapat. Hitunglah: a. luas kertas kado yang minimum yang dibutuhkan b. volum kado a. L = (p x l + p x t + l x t) = ((30 x 0) + (30 x 5) + (0 x 5)) = (600 + 50 + 00) = (850) =.700 Jadi kertas kado yang dibutuhkan seluas.700 cm. b. V = p x l x t = 30 x 0 x 5 = 3.000 cm 3 SMK Negeri Kandeman Kab. atang
Prisma Prisma tegak beraturan adalah benda ruang yang dibatasi oleh dua bidang segi-n yang beraturan dan sejajar (yang disebut bidang alas dan bidang atas) dan bidang-bidang yang lain (yang disebut bidang sisi tegak) yang berpotongan menurut garis-garis yang saling sejajar. U Y X W E P T V S R Q Jaring-jaring Prisma Rumus Rumus Prisma Prisma tegak beraturan yang mempunyai luas bidang alas L a, keliling bidang alas K a dan tinggi t, didapat : Luas selimut L s = K a. t Luas permukaan prisma L = L a + L s Volum prisma V = L a. t ontoh: Tentukan luas selimut, luas permukaan dan volum prisma yang alasnya berbentuk segitiga sama sisi dengan sisi 6 cm dan tingginya 8 cm. s = (a + b + c) = (6 + 6 + 6) = 9 L a = s ( s a)( s b)( s c) = 9(9 6)(9 6)(9 6) 9.3.3.3 9 3 cm L s = K a. t = (6 + 6 + 6) 8 = 8.8 = 44 cm. L = L a + L s = (9 3 ) + 44 = (8 3 + 44) cm. V = L a. t = 9 3. 8 = 7 3 cm 3. 6 6 E 8 SMK Negeri Kandeman Kab. atang 3
Limas Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh segi-n (sebagai bidang alas) dan bidangbidang yang berbentuk segitiga yang alasnya adalah sisi segi-n dan puncaknya berimpit. T T K P L Q M N Jaring-jaring Limas Rumus Rumus Limas Luas permukaan Volum L = L a + L st V = 3 La. t L a = Luas alas L st = Luas sisi tegak t = tinggi limas ontoh: iketahui limas beraturan T. yang alasnya berbentuk persegi dengan sisi 0 cm. Tinggi limas cm. Tentukan: a. luasnya b. volumnya a. TE = tinggi bidang sisi tegak = 5 = 3 cm L a = 0 = 00 cm T L T = L T = L T = L T =.0.3 = 65 cm Jadi L Limas = 00 + 4.65 = 00 + 60 = 360 cm b. V = 3 La. t O E = 3.00. = 400 cm 3 SMK Negeri Kandeman Kab. atang 4
E Tabung Tabung adalah prisma tegak beraturan yang bidang alasnya berupa segi-n beraturan dengan n tak terhingga (berupa lingkaran). r t Jaring-jaring tabung Rumus Rumus tabung Luas selimut L s = rt Luas permukaan tabung L = r (r + t) Volum tabung V = r t r = jari-jari tabung t = tinggi tabung ontoh: Tentukan luas permukaan dan volum tabung bila diameter alasnya 0 cm dan tingginya 5 cm ( = 3,4)! L = r (r + t) =. 3,4. 5 (5 + 5) = 68 cm V = r t = 3,4. 5. 5 = 77,5 cm 3 Kerucut Kerucut adalah limas beraturan yang bidang alasnya segi-n beraturan dengan n tak terhingga (alasnya berbentuk lingkaran). t a r Jaring-jaring kerucut a r SMK Negeri Kandeman Kab. atang 5
Rumus Rumus kerucut Luas permukaan kerucut L = r (r + a) Volum kerucut V = 3 r t r = jari-jari kerucut t = tinggi kerucut a = garis pelukis ontoh: Tentukan volum dan luas permukaan kerucut yang diameter bidang alasnya 0 cm dan tingginya cm! a = t r 5 3 V = 3 r t = 3. 3,4. 5. = 34 cm 3. L = r (r + a) = 3,4. 5 (5 + 3) = 8,6 cm. G ola ola adalah bangun ruang tiga dimensi yang hanya memiliki satu sisi dan tidak memiliki rusuk maupun titik sudut. Sisi pada bola disebut juga permukaan bola atau kulit bola atau bidang bola. Rumus Rumus bola Luas permukaan bola L = 4 r r Volum bola V = 3 4 r 3 r = jari-jari bola ontoh: Tentukan volum dan luas bola yamg diameternya 4 cm! V = 3 4 r 3 =..7 3 7 4 3 43 3 L = 4 r = 4. 7. 7 = 66 cm. 437 3 cm 3. H Prisma Tegak eraturan Terpancung Prisma tegak beraturan terpancung adalah prisma tegak beraturan yang dipotong oleh bidang yang tidak sejajar dengan bidang alas. W T V E S U R P Q SMK Negeri Kandeman Kab. atang 6
Rumus Rumus: Luas selimut Volum L s = n (l + l + l 3 + + l n ) K V = n (l + l + l 3 + + l n ) n = banyak rusuk tegak l = panjang rusuk tegak = luas alas K = keliling alas ontoh: iketahui prisma tegak beraturan terpancung dengan bidang alas segitiga sama sisi, panjang rusuk alas 8 cm dan rusuk tegak 3 cm, 4 cm dan 5 cm. Tentukan volum dan luas selimut prisma! s = (a + b + c) = (8 + 8 + 8) = L a = s ( s a)( s b)( s c).4.4.4 6 3 V = n (l + l + l 3 + + l n ) 5 = 3 (4 + 4 + 5). 6 3 3 8 8 4 8 = 64 3 cm 3. L s = (l + l + l 3 + + l n ) K n = (4 + 4 + 5). 4 3 = 96 cm. I Limas eraturan Terpancung Limas beraturan terpancung adalah limas beraturan yang dipotong oleh bidang yang sejajar bidang alas. Rumus Rumus : Luas selimut L s = n x L st E Volum V = 3 h ( + + ) n = banyak sisi tegak L st = panjang rusuk tegak h = tinggi limas terpancung = luas bidang atas = luas bidang alas ontoh: E H G Gambar di samping adalah limas terpancung.egh dengan luas bidang alas 36 cm dan luas bidang atas 9 cm, sedangkan tingginya 0 cm. Hitunglah volumnya! V = 3 h ( + + ) =.0 (36 + 36. 9 + 9) =.0 (36 + 8 + 9) =.0. 63 = 0 cm 3 3 3 3 SMK Negeri Kandeman Kab. atang 7
J Tabung Terpancung Tabung terpancung adalah tabung yang dipotong oleh bidang yang tidak sejajar dengan bidang alas. l h l Rumus Rumus : Luas selimut L s = ( l + l ) d = h. K Volum V = ( l + l ) 4 d = h. l = panjang garis pelukis terpendek l = panjang garis pelukis terpanjang d = diameter alas = luas alas = 4 d K = keliling alas = d h = tinggi tabung terpancung = ( l + l ) ontoh: Tentukan volum dan luas selimut tabung terpancung bila diameter alasnya 8 cm, panjang garis pelukis terpendek 8 cm dan garis pelukis terpanjang cm! V = ( l + l ) 4 d = ( 8 + ) 4. 8 =. 0. 4. 64 = 60 cm 3 L s = ( l + l ) 4 d = ( 8 + ). 8 =. 0.. 8 = 80 cm K Kerucut Terpancung Kerucut terpancung adalah kerucut yang dipotong oleh bidang yang sejajar dengan bidang alas. Rumus Rumus : Luas selimut L s = a (R + r) r = a ( + d) t R a Volum V = 3 t (r + rr + R ) = t (d +d + ) t = tinggi kerucut terpancung r = jari-jari bidang atas R = jari-jari bidang alas d = diameter bidang atas = diameter bidang alas a = panjang garis pelukis kerucut terpancung SMK Negeri Kandeman Kab. atang 8
ontoh: Tentukan volum dan luas selimut kerucut terpancung jika diketahui diameter bidang alas 6 cm, diameter bidang atas 0 cm dan tingginya 8 cm! V = = 3 = 3 = t (d +d + ). 8 (0 + 0. 6 + 6 ) (00 + 60 + 56). 56 = 774 cm 3 a = 8 3 34 9 333 L = a ( + d). 333 = (6 + 0) = 3 333 cm L ola Terpancung R Tembereng ola V = t (3R t) L s = Rt t = tinggi tembereng bola t r r r Keratan ola dalah bagian bola yang dibatasi oleh dua bidang yang Sejajar pada bola. h V = h ( h 6 3r 3r ) L s = rh r = jari-jari lingkaran atas r = jari-jari lingkaran bawah h = tinggi keratin bola r incin ola V = 6 tk k t L = rt + k (r + r ) k = panjang tali busur t = tinggi cincin bola r SMK Negeri Kandeman Kab. atang 9
Latihan. H G Gambar di samping adalah kubus.egh yang rusuknya 8 cm. E Tentukan luas dan volumnya!. Suatu balok mempunyai panjang 4 dm dan lebar 50 cm. Jika luas permukaan balok adalah 30 dm, tentukan: a. tinggi balok. b. volum balok. 3. 5 Gambar di samping adalah prisma tegak.e dengan rusuk alas = 4 cm, = 3 cm dan = 5 cm sedang rusuk tegaknya 0 cm. E Tentukanlah : 0 a. Luas selimut prisma b. Volum prisma c. Luas permukaan prisma 3 4 4. H iketahui prisma tegak terpancung yang bidang alasnya berbentuk persegi panjang dengan ukuran rusuk-rusuknya E G seperti gambar di samping. Tentukan luas selimut prisma tegak terpancung itu. 0dm 6 dm 8 dm 5. Hitung volum limas T. yang tinginya cm dan alasna = 6 cm, = 8 cm, dan = 0 cm. 6. Hitunglah volum limas T. yang alasnya berbentuk jajar genjang dengan = 8 cm, = 6 cm, = 30 dan tinggi lima 0 cm. 7. Hitung volum limas T. yang alasnya berbentuk trapesium dengan //, = 4 cm, = 6 cm, jarak ke = 3 cm dan tinggi limas 7 cm. 8. Tentukan volum dan luas selimut masing-masing limas beraturan berikut jika diketahui : a. idang alasnya berbentuk segitiga samasisi dengan sisi 6 cm sedangkan tingginya 7 cm. b. idang alasnya berbentuk persegi dengan sisi 5 dm dan tingginya 8 dm. c. idang alasnya berbentuk persegi dengan sisi 8 cm sedanglan panjang sisi tegaknya cm. 9. iketahui sebuah limas sisi 4 beraturan terpancung, sisi bidang alas cm, bidang atas 6 cm, sedangkan tingginya 6 cm. Hitung volum dan luas selimutnya. 0. Hitunglah volum dan luas limas sisi 6 beraturan terpancung terbalik jika diketahui bidang dasarnya memiliki sisi 8 dm dan bidang atasnya memiliki sisi 6 dm, sedangkan tinggi limas terpancung tersebut 8 dm. SMK Negeri Kandeman Kab. atang 0
. Hitunglah volum limas T. yang tingginya 9 cm, sedangkan = 5 cm, = 6 cm dan = 7 cm.. T Gambar di samping adalah limas terpancung.e, jika diketahui : L : L E = 3 : T Panjang = = = 6 cm E G Panjang TT = 0 cm Tentukan volum dan luas selimut limas terpancung tersebut. G T 3. Tentukanlah volum dan luas selimut tabung jika diketahui diameter bidang alas tabung cm dan tinggi tabung 8 cm. 4. Tentukan volum dan luas selimut tabung terpancung jika diketahui diameter bidang alas 0 dm, panjang garis pelukis terpendek 6 dm, dan panjang garis pelukis terpanjang 8 dm. 5. ari sebuah kerucut diketahui apotemanya sama dengan diameter alasnya = cm.hitunglah: a.. jumlah luasnya. b. volumnya. 6. Volum dari suatu kerucut 65 cm, dengan diameter alas 4 cm. Hitunglah tinggi dan luas selimutnya. 7. Sebuah gelas berbentuk kerucut terpancung terbalik dengan jari-jari alas 3 cm dan jari-jari atasnya 6 cm, serta tingginya cm diisi penuh dengan air. Hitunglah isi air dalam gelas tersebut. 8. Tentukan volum dan luas selimit bola jika diketahui jari-jari bola 4,5 m. 9. Tentukan volum dan luas tembereng bola jika diketahui : a. iameter bola 7 m, dan tingginya tembereng bola 3 m. b. Jari-jari bola 8 m, dan tinggi tembereng bola 6 m. 0. Tentukan volum dan luas keratin bola jika diketahui : a. iameter bidang dasar dan atas 3 m dan 4 m, sedangkan tingginya m. b. iameter bidang dasar dan atas cm dan 0 cm, sedangkan tingginya 8 cm. HUUNGN NTR UNSUR-UNSUR LM NGUN RUNG Titik, Garis, dan idang. Titik Sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai ukuran (tidak berdimensi). Sebuah titik digambarkan dengan sebuah noktah, kemudian diberi nama dengan huruf capital (,,, dan sebagainya) SMK Negeri Kandeman Kab. atang
. Garis Garis hanya mempunyai panjang saja, tidak mempunyai k m ukuran lebar. Nama garis ditentukan dengan menyebutkan nama dengan huruf kecil atau dengan menyebutkan segmen garis dari titik l pangkal dan titik ujung. Sebagai contoh : k, l, m. 3. idang Sebuh bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar. Nama bidang diambil berdasarkan huruf kapital di titik-titik sudutnya atau huruf Yunani misalnya :,,. ksioma Garis dan idang i dalam teori dimensi tiga, terdapat aksioma (ketetapan umum) yang berlaku, antara lain : ksioma : Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus. ksioma : Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang. Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap idang. Kedudukan Titik Terhadap Garis Jika sebuah titik dilalui garis maka titik itu terletak pada garis. Titik pada garis g. Jika sebuah titik tidak dilalui garis maka titik itu terletak di luar g garis. g Titik di luar garis g.. Kedudukan Titik Terhadap idang Jika sebuah titik dapat dilaui suatu bidang maka titik terletak pada bidang tersebut. Titik pada bidang. Jika sebuah titik tidak dapat dilalui suatu bidang maka titik itu terletak di luar bidang. Titik di luar bidang. Kedudukan Garis Terhadap Garis dan idang. Kedudukan Garis Terhadap Garis Kedudukan garis terhadap garis yang lain dalam sebuah bangun adalah berpotongan, sejajar, atau bersilangan. ua garis berpotongan ua buah garis dikatakan berpotongan jika keduanya terletak pada sebuah g bidang dan mempunyai satu titik persekutuan. h Garis g berpotongan dengan h. g h ua garis sejajar ua buah garis dikatakan sejajar jika keduanya terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai satupun titik persekutuan. Garis g // h. ua garis saling bersilangan ua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak g sejajar), jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang. h Garis g bersilangan dengan h. SMK Negeri Kandeman Kab. atang
. Perpotongan Garis engan idang Jika ada sebuah garis dan sebuah bidang maka akan diperoleh 3 kemungkinan, yaitu : g Garis terletak pada bidang Sebuah garis dikatakan terletek pada bidang jika semua titik yang terletak pada garis itu terletak pada bidang tersebut. Garis g terletak pada bidang. g Garis sejajar bidang Sebuah garis dikatakan sejajar bidang jika antara garis dan bidang itu tidak mempunyai satupun titik persekutuan (walau garis dan bidang itu diperpanjang dan diperluas sampai manapun). Garis g // bidang. g Garis menembus (memotong) bidang Sebuah garis dikatakan menembus (memotong) bidang jika antara garis dan bidang tersebut hanya mempunyai sebuah titik persekutuan, yang selanjutnya disebut titik tembus (titik potong, titik persekutuan). Garis g memotong bidang. ontoh: Perhatikan gambar kubus di bawah ini kemudian lengkapilah pernyataan-pernyataannya.. H G a. terletak pada bidang. b. E terletak pada bidang. E c. HE sejajar bidang dan. d. H sejajar bidang. a. terletak pada bidang b. E terletak pada bidang HE c. HE sejajar bidang dan G d. H sejajar bidang G ontoh: Gambarlah kubus.egh kemudian gambar juga titik potong dari masing-masing garis dan bidang berikut. a. dan H b. E dan bidang H. H G a. Titik potong dan bidang H adalah titik K. b. Titik potong R dan bidang H adalah titik N. E N K SMK Negeri Kandeman Kab. atang 3
E Kedudukan idang Terhadap idang Yang Lain Kedudukan bidang terhadap bidang yang lain ada tiga kemungkinan, yaitu berimpit, sejajar, dan berpotongan. ua bidang berimpit ua bidang saling berimpit jika setiap titik yang terletak pada yang satu juga terletak pada bidang yang lain. idang berimpit dengan bidang. ua bidang sejajar ua bidang saling sejajar jika kedua bidang itu tidak mempunyai satupun titik persekutuan. idang // bidang. ua bidang saling berpotongan ua bidang dikatakan berpotongan jika kedua bidang itu mempunyai garis persekutuan. idang berpotongan dengan bidang. Jarak Titik ke Titik, Titik ke Garis, Titik ke idang Kedudukan titik terhadap titik yang lain, garis, dan bidang ada tiga kemungkinan, antara lain : Jarak titik ke titik Jarak titik ke titik dalam suatu ruang dengan cara menghubungkan titik itu ke titik yang lain sehingga terjadi d sebuah garis. Jarak kedua titik ditentukan oleh panjang garis itu. Jarak titik ke garis Jarak titik ke garis adalah jarak terpendek antara titik dan garis. g Jarak antara titik dan garis dapat dicari dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut: d (i) Membuat garis dari titik ke garis g, memotong garis di P titik P sehingga terjadi garis P yang tegak lurus garis g. (ii) Jarak titik ke garis adalah panjang dari P. Jarak titik ke bidang Jarak suatu titik ke suatu bidang adalah jarak dari titik tersebut P ke proyeksinya pada bidang. Perhatikan gambar di samping! l terletak pada bidang m terletak pada bidang l P titik potong l dan m. P m PP l PP bidang PP m PP adalah jarak dari titik P ke bidang SMK Negeri Kandeman Kab. atang 4
Untuk menentukan proyeksi titik P pada bidang dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:. arilah garis yang sudah diketahui bidang yakni garis yang dua buah garis yang berpotongan pada bidang, missal garis itu g.. uat g melalui P sejajar g. 3. Titik tembus g pada bidang adalh P, maka jarak dari titik P ke bidang adalah PP. P g g P ontoh: iketahui kubus.egh dengan rusuk 8 cm. P terletak di tengah-tengah. Tentukan jarak dari P ke bidang E.. H G Perhatikan gambar di samping! T bidang E E Q uat garis melalui P sejajar T hingga memtong di Q. T Jarak dari P ke bidang E adalah PQ. P mati segitiga T! P Q T PQ : T = P : PQ : T = 4 : 8 8 PQ = 4 T 4T PQ = 8 T = G. Jarak Garis ke Garis, Garis ke idang G T PQ = 4 G G = G 8 8 8 8 PQ = G = 4 d Jarak garis ke garis Jarak garis ke garis adalah jarak terpendek antara dua garis itu, atau panjang garis yang memotong tegak lurus kedua garis itu. g h g Jarak garis ke bidang Jarak garis ke bidang adalah panjang garis proyeksi garis pada bidang. SMK Negeri Kandeman Kab. atang 5
H Sudut ntara Garis dan idang Sudut antara sebuah garis dan sebuah bidang adalah sudat antara garis itu dengan proyeksinya ke bidang itu. g Perhatikan gambar di samping! Sudut antara garis g dan bidang ditulis (g, ) = (g,g ), engan g proyeksi g pada bidang. g P ontoh: Gambarlah kubus.egh, kemudian hitunglah besar sudut antara dan bidang!. H G Perhatikan gambar di samping! memotong bbidang di titik dan E E maka merupakan proyeksi pada bidang. adalah (,) adalah siku-siku sama kaki, maka = 45 ontoh: iketahui limas segitiga T., T = 4 cm. T = T = 5 cm, = = 5 cm, sedangkan = 6 cm, sedangkan = 6 cm. Hitung sudut antara T dengan bidang alas! Perhatikan gambar di samping! T adalah proyeksi T pada bidang maka sudut T antara T dengan bidang alas adalah: TT = TP 4 5 = 6 P = 3 3 5 P = 5 3 5 9 5 = 5 P = 3 3 5 T P P = T P = 5 3 5 9 T = 5 iketahui bahwa T = 4 Jadi TP sama sisi, maka TP = 60. = 4 = 4 I Sudut ntara ua idang Sudut antara dua bidang yang berpotongan pada garis adalah sudut antara dua gariss, satu tiap pada bidang masing-masing tegak lurus pada dan berpotongan pada satu titik. P Perhatian gambar di samping! idang dan berpotongan pad garis. R Titik Q pada garis. PQ pada bidang, PQ. RQ pada bidang, RQ. PQR adalah sudut antara bidang dan bidang. Q SMK Negeri Kandeman Kab. atang 6
ontoh: ari kubus.egh, tentukan besar sudut antara bidang G dan bidang! H G dan berptongan di pada bidang E pada bidang Sudut antara bidang G dan bidang adalah = 45. ontoh: iketahui limas., rusuk-rusuk yang bertemu di titik saling tegak lurus, = = 4 dan = 4 3. Hitunglah sudut antara bidang dan bidang! = = 4 sama kaki = = (4 3) (4 ) 4 5 Jika E tengah-tengah, maka E dan E. E adalah sudut antara bidang dan bidang. E Perhatikan = (4 ) (4 ) 8 E = = 4 Perhatikan E E = E (4 ) 4 4 Perhatikan E E = 4 3 Tg = 3 E 4 = 60 Jadi sudut antara bidang dan bidang adalah E = = 60. SMK Negeri Kandeman Kab. atang 7
Latihan. iketahui panjang rusuk kubus.egh adalah cm. P di tengah-tengah. Hitunglah jarak berikut. a. titik ke H b. titik P ke H. iketahui limas segi empat beraturan T. dengan rusuk alas 3 cm, tinggi limas 0 cm. P di tengah-tengah T. Hitunglah jarak P ke bidang alas. 3. Limas tegak T. dengan alas berbentuk persegi panjang. Jika panjang = 8 cm, = 6 cm dan T = T = T = T = 3 cm. Hitung besar sudut antara T dan bidang alas. 4. iketahui sebuah kerucut lingkaran tegak tingginya 6 cm dan diameter alas 6 dm. Tentukan besar sudut antara apotema kerucut dengan bidang alas. 5. iketahui sebuah balok.egh dengan panjang rusuk-rusuk = 5 cm, = 4 cm, E = 3 cm. Hitunglah jarak unsur-unsur berikut. a. antara E dengan bidang G. b. antara dan EGH. SMK Negeri Kandeman Kab. atang 8