MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan yang menggunakan pemodelan matematis sebagai alat bantu. Sistem persaman linear akan banyak digunakan dalam berbagai masalah, baik di teori maupun di praktis, salah satunya dalam optimasi. 4.. Sistem Persamaan Linear Untuk memahami sebuah sistem persamaan liner, akan diberikan ilustrasi sebagai berikut : Sebuah Perusahaan Sepatu X membuat tiga jenis sepatu, yaitu Sepatu Olah Raga, Sepatu Kerja dan Sepatu Santau. Setiap jenis sepatu memerlukan tiga tahapan terpisah yang dikerjakan oleh bagian-bagian tertentu. Dengan ketentuan sebagai berikut : Tabel.4.. Waktu yang diperlukan dalam setiap tahapan dalam pembuatan sepatu Waktu yang dibutuhkan tiap tahapan (menit) Jenis Sepatu Memotong Mengelem Menjahit Olah Raga 4 8 9 Kerja 6 8 Santai 8 9 4 Dimana pada bagian memotong menyediakan 50 jam orang per hari Pada bagian mengelem menyediakan jam orang per hari Pada bagian menjahit menyediakan 8 jam orang per hari Supaya memaksimumkan ketersediaan tenaga kerja, berapa banyak setiap jenis sepatu harus dihasilkan setiap hari? Untuk menganalisis keadaan tersebut kita misalkan : = banyaknya sepatu olah raga yang dihasilkan y = banyaknya sepatu kerja yang dihasilkan z = banyaknya sepatu santai yang dihasilkan
Sehingga : Pemanfaatan total bagian memotong adalah : 4 + 6y +8 z menit Karena tenaga pemotong tersedia sebanyak 50 jam atau 000 menit maka : 4 + 6y +8 z = 000 Pemanfaatan total bagian mengelem adalah : 8 + y +9 z menit Karena tenaga mengelem tersedia sebanyak jam atau 980 menit maka : 8 + y +9 z = 980 Pemanfaatan total bagian menjahit adalah : 9 + 8y +4 z menit Karena tenaga penjahit tersedia sebanyak 8 jam atau 080 menit maka : 9 + 8y +4 z = 080 Sehingga unsur-unsur,y,z yang tidak diketahui harus memenuhi persamaan berikut : 4 + 6y +8 z = 000 8 + y + 9 z = 980 9 + 8y + 4 z = 080 Kasus di atas merupakan salah satu ilustrasi dari sistem persamaan linear. Tiap-tiap persamaan di atas yaitu 4 + 6y +8 z = 000, 8 + y + 9 z = 980 dan 9 + 8y + 4 z = 080 disebut persamaan linear. Definisi 4. (Persamaan Linear) Persamaan linear dalam n variabel,,, n adalah suatu persamaan yang bisa disajikan dalam bentuk : a a ann b dimana a, a,, an dan b konstanta real. Variabel-variabel dalam suatu persamaan linear kadang disebut variabel bebas. Dari contoh kasus diatas dan dikaitkan dengan definisi 4., jika anda amati persamaan linear tidak melibatkan hasil kali atau akar dari suatu variabel. Semua variabel hanya muncul sekali dengan pangkat satu dan tidak muncul variabel bebas dari suatu fungsi trigonometri, logaritma atau eksponensial. sebagai 8
Contoh 4. Perhatikan persamaan-persamaan berikut : 4 y 7 7 z y... n Apakah persamaan-persamaan ditas merupakan persamaan linear? Berdasarkan definisi 4., persamaan-persaman diatas merupakan persamaan linear. Contoh 4. Perhatikan persamaan-persamaan berikut : y 7 cos y 0 y z y 4 y z Apakah persamaan-persamaan diatas merupakan persamaan linear? Berdasarkan definisi 4., persamaan-persaman diatas bukan merupakan persamaan linear karena : y 7 (melibatkan variabel y dengan pangkat ) cos y 0 (melibatkan fungsi trigonometri yaitu cos y) y z y 4 (melibatkan perkalian dua variabel yaitu y) y z (melibatkan akar dari variabel y) Definisi 4. (Sistem Persamaan Linear) Sebuah himpunan berhingga persamaan linear dalam variabel-variabel,,, n disebut sebuah sistem persamaan linear. Definisi 4. (Penyelesaian Sistem Persamaan Linear) 84
Sederetan angka s, s,, s n disebut suatu penyelesaian sistem persamaan linear jika s, s,, n sn merupakan penyelesaian dari setiap persamaan dalam sistem tersebut. Contoh 4. : Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut : 4y 4y0 Tentukan penyelesaian dari sistem pesamaan linear tersebut. Dari contoh diatas, dengan mudah dapat kita tentukan bahwa = 4 dan y = 0 merupakan penyelesaian. Contoh 4.4 : Perhatikan sistem persamaan linear berikut : y 4 y Dari dua persamaan diatas, jika persamaan kedua kita kalikan dengan ½ akan diperoleh : y 4 y 6 merupakan persamaan yang kontradiksi. Sistem persamaan di atas tidak mempunyai penyelesaian. Dari dua contoh sistem persamaan linear diatas dapat disimpulkan bahwa suatu persamaan linear bisa mempunyai penyelesaian dan bisa juga tidak mempunyai penyelesaian. Definisi 4.4 (Penyelesaian Sistem Persamaan Linear) Sebuah persamaan linear yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten, jika minimal ada satu penyelesaian disebut konsisten 85
Untuk mengilustrasikan kemungkinan yang terjadi dalam menyelesaikan sistem persamaan linear, kita lihat dulu arti geometri persamaan linear dari dua variabel dan y. Misalnya diberikan sistem persamaan linear : a b y c a b y c dengan a, b, c, a, b, c bilangan real yang diketahui. Telah kita ketahui bahwa persaman a by c dapat digambarkan sebagai garis dibidang. Sehingga sistem persamaan linear diatas dapat digambarkan sebagai dua garis L dan L di bidang. Ada tiga kemungkinan kedudukan kedua garis tersebut, yaitu :. Garis L dan L berpotongan. Garis L dan L sejajar. Garis L dan L merupakan satu garis (berimpit ) Lebih jelasnya perhatikan Gambar 4. berikut : Y L Y L L Y L =L X X X L Gambar 4.. Kemungkinan kedudukan dua garis dalam bidang Dengan demikian ada tiga kemungkinan jawaban/penyelesaian dari sistem persamaan linear diatas yaitu :. mempunyai tepat satu penyelesaian. tidak mempunyai penyelesaian. mempunyai banyak penyelesian Ketiga kemungkinan ini juga berlaku untuk sembarang sistem persamaan linear. Sehingga dapat dikatakan bahwa setiap persamaan linear mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai tepat satu penyelesaian atau mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. 86
Sesuai dengan definisi 4., sebarang sistem m persamaan linear dalam n variabel dapat ditulis sebagai berikut : a a a b n n a a a b n n a a a b m m mn n m..() dimana,,, n merupakan variabel, a ij dan b ij (i=,,,m ; j=,,,n) merupakan konstanta. Jika ditinjau dari bentuk sistem persamaan linear pada persamaan () maka dapat juga dinyatakan sebagai : dengan AX B () a a a n b a a a n b A ; X dan B a a a b m m mn n m Dimana A merupakan matriks koefisian dari sistem persamaan linear. Berdasarkan nilai dari konstanta B, maka anda akan mengenal dua macam sistem persamaan linear, yang akan dibahas pada sub bab berikutnya 4... Sistem Persamaan Linear Homogen Suatu sistem persamaan linear AX=B dikatakan non homogen jika konstanta real B tidak semuanya nol (B0), yaitu jika sistem tersebut mempunyai bentuk : a a a b n n a a a b n n a a a b m m mn n m Definisi 4.5 (Matriks yang diperbanyak) Sebuah sistem m persamaan dalam n variabel dapat disingkat hanya menuliskan angka dalam bentuk segiempat : 87
a a a n b a a an b am am amn bm bentuk matriks di atas disebut matriks yang diperbanyak (Augmanted matri). Dengan Notasi A* Bentuk matriks yang diperbanyak, akan sangat berguna untuk menentukan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear. Teorema 5.: Sistem Persaman linear non homogen AX hanya jika rank rank A* Contoh 4.5 : Selesaikan sistem persamaan linear berikut : 6 8 4 4 0 9 7 4 4 4 6 5 7 4 Dari sistem persamaan linear diatas : 6 8 6 8 4 A 0 9 7 ; A* 0 9 7 4 4 6 5 4 6 5 7 B mempunyai penyelesaian jika dan Akan dicari rank A dan rank A* dengan eliminasi baris secara bersama -sama : 6 8 4 6 8 4 6 8 4 BB B4B BB 0 9 7 4 0 8 0 7 0 8 0 7 4 6 5 7 0 8 0 7 0 0 0 0 Sehingga diperoleh Rank dan Rank A* =. Karena rank A A* maka sistem persamaan linear diatas tidak ada penyelesaian. Contoh 4.6 : Selesaikan sistem persamaan linear berikut 88
6 8 4 4 0 9 7 4 4 4 6 5 8 4 Dari persamaan diatas diperoleh, matriks koefisien dan matriks yang diperbanyak : 6 8 6 8 4 A 0 9 7 ; A* 0 9 7 4 4 6 5 4 6 5 8 Akan dicari rank A dan rank A* dengan eliminasi baris secara bersama-sama: 6 8 4 6 8 4 6 8 4 BB B4B BB 0 9 7 4 0 8 0 7 0 8 0 7 4 6 5 8 0 8 0 7 0 0 0 0 0 Sehingga diperoleh rank dan rank A* =. Karena rank A= A* maka sistem persamaan linear diatas mempunyai penyelesaian. Anda perhatikan, bahwa yang telah dilakukan untuk menentukan rank pada matriks-matriks diatas sebenarnya suatu eliminasi berturut-turut dari i. Sehingga dapat kita tentukan penyelesaian umum dari sistem persamaan ini. Persaman diatas ekuvalen dengan : 6 4 4 4 8 7 4 misal jika kita ambil s dan v maka diperoleh persamaan : 4 4 6 4 4 s v 8 7 selanjutnya diperoleh : 84 7s 5v dan 4 44 8s 4v 8 8 Jadi penyelesaian umumnya adalah vektor : 84 7s 5v 44 8s 4v X s,, v, ; s, v parameter 8 8 Selain dengan menggunakan metode eliminasi, untuk sistem persamaan linear non homogen dapat dilakukan dengan metode berikut : 89 t
. Aturan Cramer Torema 4. : Jika AX = B merupakan suatu sistem persamaan linear dalam n variabel sedemikian hingga det(a) 0, maka sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian yang unik (tunggal). Penyelesaian ini adalah : det( A) det( A) det( An ),,, n det( A) det( A) det( A) dengan A j adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota-anggota pada kolom ke-j dari matriks koefisien A dengan anggota-anggota pada matriks b, yaitu : b b b b n Contoh 4.7 : Dengan aturan Cramer, selesaikan sistem persamaan linear berikut : 6 4 6 0 8 Dari sistem persamaan linear diatas kita dapatkan : 0 6 A 4 6 ; b 0 8 sehingga : 6 0 6 0 6 A 0 4 6 ; A 0 6, A 4 0 8 8 8 Dari matriks-matriks diatas kita cari determinan masing-masing, diperoleh : 90
det( A) 44 det( A ) 40 det( A ) 7 det( A ) 8 Sehingga penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah : det( A ) 40 0 det( A) 44 det( A ) 7 8 det( A) 44 det( A ) 5 8 det( A) 44. Menggunakan Invers Matriks Jika SPL AX = B, A matriks non singuilar dengan A - miks A maka didapat - - A (AX) = A B, - - (A A)X = A B, - I X = A B - X = A B Contoh 4.8 : Selesaikan persamaan 4 Dari persamaan diatas, diperoleh matriks koefisiennya : A 4 Dengan mudah dapat kita tentukan A =6-4= 0, maka A invertibel, dan diperoleh : Jadi X = A - B A 4 9
= - - - = - 7 atau dan 7. Eliminasi Gaussian Cara lain dalam menyelesaiakan suatu sistem persamaan linear adalah dengan metode Gaussian atau dengan metode Gauss Jordan. Metode ini dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikit : dengan langkah-langkah sebagai berikut :. Tempatkan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya terdiri dari nol.. Pertukarkan baris teratas dengan baris lainnya, jika perlu, untuk membawa salah satu anggota tak-nol ke posisi paling atas dari kolom yang didapatkan dalam langkah di atas.. Jika anggota yang sekarang berada di posisi paling atas pada kolom yang ditemukan dalam langkah adalah a, kalikan baris pertama dengan /a untuk mendapatkan utama. 4. Tambahkan hasil kali yang sesuai dari baris teratas ke baris-baris di bawahnya sedemikian sehingga semua anggota di bawah utama menjadi nol. 5. Sekarang tutup baris teratas matriks tersebut dan mulai lagi dengan langkah yang diterapkan pada sub-matriks yang tersisa. Lanjutkan cara ini sampai semua matriks berada dalam bentuk baris-eselon. Keseluruhan matriks sekarang berada dalam bentuk baris-eselon. Untuk menemukan baris-eselon tereduksi kita perlu langkah tambahan berikut ini. 6. Mulai dengan baris tak-nol terakhir dan kerjakan ke atas, tambahkan perkalian yang sesuai dari masing-masing baris ke baris-baris di atasnya untuk mendapatkan nol di atas utama. Matriks terakhir berbentuk baris-eselon tereduksi. Prosedur di atas untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk baris-eselon tereduksi disebut eliminasi Gauss-Jordan. Jika kita hanya menggunakan lima langkah pertama, prosedur tersebut menghasilkan bentuk baris-eselon dan disebut eliminasi Gaussian. 9
Contoh 4.9. Selesaikan dengan eliminasi Gauss-Jordan, jika diberikan matriks lengkap dari suatu sistem persamaan linear sebagai berikut : 0 0 0 7 4 0 6 8 4 5 6 5 Dari matriks yang diperbanyak untuk sistem tersebut, dilakukan langkah-langkah : Langkah, menempatkan kolom paling kiri yang tidak semuanya terdiri dari nol, 0 0 0 7 4 0 6 8 4 5 6 5 kolom tak nol paling kiri Langkah, Baris pertama dan kedua pada matriks sebelumnya dipertukarkan 4 0 6 8 0 0 0 7 4 5 6 5 Langkah, Mengalikan baris pertama dengan / 5 6 4 0 0 0 7 4 5 6 5 Langkah 4, Mengalikan baris pertama dengan - dan ditambahkan ke baris ke tiga 5 6 4 0 0 0 7 0 0 5 0 7 9 Langkah 5, menutup baris pertama, dan mulai seperti langkah, yang diterpkan pada sub matriks yang tersisa 5 6 4 0 0 0 7 0 0 5 0 7 9 kolom tak nol paling kiri 9
Baris pertama pada sub matriks dikalikan dengan -/ untuk,membuat menjadi satu utama 5 6 4 7 0 0 0 6 0 0 5 0 7 9 Baris pertama sub matriks dikalikan -5 ditambahkan kebaris kedua sub matriks untuk mendapatkan nol dibawah utama 5 6 4 7 0 0 0 6 0 0 0 0 Baris pertama dari sub matriks ditutup dan kembali pada langkah 5 6 4 7 0 0 0 6 0 0 0 0 kolom tak nol paling kiri Baris pertama dan satu-satunya baris dalam sub matriks yang baru dikalikan dengan untuk mendapatkan utama 5 6 4 7 0 0 0 6 0 0 0 0 Matriks yang diperoleh ini, merupakan bentuk baris eselon, untuk mendapatkan matriks bentuk baris eselon tereduksi dilakukan langkah : Langkah 6, Mulai dengan baris tak-nol terakhir dan kerjakan ke atas, tambahkan perkalian yang sesuai dari masing-masing baris ke baris-baris di atasnya untuk mendapatkan nol di atas utama. 7/ kali baris ketiga, ditambahkan ke baris kedua 5 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0-6 kali baris ketiga ditambahkan ke baris pertama 94
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertama 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 Matriks terakhir ini, berbentuk matriks baris eselon tereduksi. Sistem persamaan yang berpadanan adalah : 7 4 5 Jika diberikan sebarang nilai r dan s masing-masing kepada peubah bebas dan 4,penyelesiaan dari sistem tersebut adalah : 7 r s 5 Metode elimanai Gauss Jordan, secara praktis tidak meberikan keuntungan yang berarti. Karena anda pada matriks baris eselon anda dapat menghitung nilai variabel dengan substitusi mundur. Contoh 4.0 : Sistim persamaan linear non-homogen 4 4 0 6 Matriks koefisien 4 A Dapat ditunjukkan bahwa A 0, atau matriks A invertibel. Eliminasi Gaussian akan membawa matriks A ini menjadi matriks segitiga atas elemen-elemen diagonalnya semua, dengan menggunakan operasi elementer. 95
Perhatikan langkah-langkah berikut ini. 4 6 6 I 0 0 6 4 6 II 6 6 5 6 4 6 III 8 8 IV 0 7 8 8 0 7 7 6 6 8 8 V 8 8 0 7 7 0 7 7 6 78 0 0 7 7 0 0 Langkah I : menukar persamaan ke- dengan persamaan ke- agar supaya koefisien pada persamaan ke- sama dengan. Langkah II : melakukan eliminasi dari persamaan ke- dan ke-. Langkah III : mengubah koefisien pada persamaan ke- sama dengan. Langkah IV : mengeliminasi dari persamaan ke-. Langkah V : menjadikan koefisien dari persamaan ke- sama dengan. Akhirnya sistem persamaan di atas ekivalen dengan sistem persamaan berikut ini 6 8 8 7 7 Persamaan ke- disubstitusikan ke dalam persamaan ke- sehingga didapat =, dan selanjutnya = dan = disubstitusikan ke dalam persamaan ke- sehingga diperoleh hasil =. Jadi nilai yang didapat adalah =, = dan nilai =. Sama halnya dengan sistem persamaan linear homogen, jika anda dihadapkan pada permasalahan dengan sistem persamaan linear yang rumit, anda dapat melakukan penyelesaian dengan bantuan paket program komputer. Perhatikan contoh berikut : Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan linear non homogen berikut : 96
5 5 0 6 4 0 Sama dengan penyelesaian pada kasus sistem persamaan linear homogen, lakukan langkah-langkah berikut : Masukkan matriks yang diperbanyak dari sistem persamanan non homogen diatas : 5 5 0 A 6 4 0 Ketik :» A=[ - -5;5 0; ;-6-4 0] - -5 5 0-6 -4 0» R=rref(A) R = 0 0-4 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Inilah bentuk eselon baris tereduksi, yang ekuivalen dengan bentuk : 4 7 Contoh 5.9. Selesaikan sistem persamana linear non homogen berikut : 97
0y 4z w 4y z w y z w 5 8y z w 4 6y z Maka langkah pertama adalah memasukkan nilai matriks yang diperbanyak A* Yang dinyatakan dengan B sebagai beriktu :» B=[0 0-4 ; 4 - ; 5;- -8 - -4; - 0 ] B = 0 0-4 4-5 - -8 - -4-0» R=rref(B) R = 0 0 /4 7/4 0 0 0 0 0 0 -/4 -/4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 bentuk matriks ini ekuivalen dengan : z w 7 4 4 y 0 w 4 4 dari bentuk ini, anda dapat menentukan nilai dari, y, z dan w (lanjutkan sebagai latihan anda) 4... Sistem Persamaan Linear Homogen Suatu sistem persamaan linear AX=B, dikatakan homogen jika konstanta real semuanya nol, yaitu jika sistem tersebut mempunyai bentuk : 98
a a a 0 n n a a a 0 n n a a a 0 m m mn n atau dapat disingkat AX = 0 atau n j a 0; i,, m ij j Dari definisi 4.6, sistem persamana linear homogen juga dapat dinyatakan dalam bentuk vektor : a a a n 0 a a a n 0 n a a a 0 m m mn dapat pula dinyatakan : K K K dimana K j merupakan vektor kolom. n n 0 Sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian trivial, n 0, 0,, 0. Jika ada penyelesaian lain disebut, maka penyelesaiannya disebut penyelesaian non-trivial. Karena sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian trivial, maka hanya ada dua kemungkinan untuk penyelesaiannya : ) sistem tersebut hanya mempunyai penyelesaian trivial 0, 0,, n 0 ) sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian disamping penyelesaiana trivial. Jika perhatikan persamaan () dan mengingat definisi tak bebas linear maka sistem persamaan di atas mempunyai penyelesaian non trivial jika hanya jika vektor-vektor K j tak bebas linear. Tiap penyelesaian adalah n-tupel. Vektor-vektor tersebut dapat dipandang sebagai vektor-vektor berdimensi n, yaitu (,,, ) t n Pandang persamaan (). () 99
Jika m < n maka vektor-vektor Kj (yang berdimensi m) banyaknya n, pastilah tak bebas linear karena dalam ruang berdimensi m paling banyak adalah m. Sehingga jika banyaknya variabel melebihi banyaknya persamaan, maka pasti dapat ditemukan penyelesaian non trivial. Jika n = m maka matriks A adalah bujur sangkar, dan supaya ada penyelesaian non trivial, maka menurut teori determinan, A harus sama dengan 0. Kedua keadaan di atas tercakup dalam teorema di bawah ini. Teorema 4. : Syarat perlu dan cukup agar supaya sistem persamaan linear homogen AX 0 mempunyai penyelesaian non trivial adalah bahwa banyaknya variabel tak diketahui yaitu n melebihi rank r dari matriks koefisien A. Jadi n > r. Bukti : Misal vektor-vektor K j adalah vektor-vektor kolom dari matriks koefisien dari A bertipe m n. Sehingga jika rank dari matriks A sama dengan r, maka banyaknya vektor bebes linear maksimal diantara vektor-vektor K j juga sama dengan r. Maka jika n > r, vektor-vektor K j adalah tak bebas linear. Yang berarti bahwa sistem persamaannya mempuyai penyelesaian non trivial. Sebaliknya jika sistem persamaan itu mempunyai penyelesaian non trivial, maka himpunan vektor-vektor K, K,,Kn adalah tak bebas linear. Sehingga banyaknya yang bebas linear diantara mereka pasti kurang dari n, maka rank (A) < n. Catatan : Jika n = m, atau matriks A bujur sangkar dan menurut teorema 5., supaya ada penyelesaian non trivial, maka rank(a) = r harus < n. Jika demikian, semua vektor kolomnya adalah tak bebas linear. Sehingga A 0. Pernyataan ini sesuai dengan teori determinan. Jika banyak variabel melebihi persamaan, maka matriks A berukuran m n dengan m < n. Rank dari A paling banyak adalah m. Sehingga r < n, dan menurut teorema 5., pasti ada penyelesaian non trivial. Akibat dari teorema 4. : 00
Jika sistem persamaan linear homogen AX 0 mempunyai sifat m < n maka pasti mempunyai penyelesaian non trivial. Jika suatu sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian trivial, maka dengan mudah akan anda dapatkan penyelesaiannnya. Jika sistem persamaan linear homogen tersebut juga mempunyai penyelesaian non trivial anda harus menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen tersebut. Metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear homogen adalah dengan melakukan eliminasi. Perhatikanlah contoh berikut : Contoh 4.: Diberikan sistem persamaan linear homogen : 6 8 0 4 0 9 7 0 4 4 6 5 0 4 Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear diatas : Dari Sistem persamaan linear diatas, diperoleh matriks koefisien A : 6 8 A 0 9 7 4 5 5 penyelesaian persaman diatas dapat dilakukan dengan cara eliminasi : 6 8 6 8 6 8 BB 4 0 9 7 B B 0 8 0 7 B B 0 8 0 7 4 5 5 0 8 0 7 0 0 0 0 Sehingga dapat diketahui bahwa Rank A adalah, yaitu kurang dari banyaknya variabel yang tidak diketahui (variabel yang tidak diketahui 4). Sehingga sistem persamaan linear homogen diatas mempunyai penyelesaian non trivial. Sistem ekuivalen dengan : 6 8 0 4 8 7 0 4 0
Dari bentuk diatas, ternyata dan dapat dipilih dengan bebas. Misal =s dan = s. Harga-harga dan 4 dapat dinyatakan setelah beberapa perhitungan didapat. 7 5 4 s s s s s s dimana,,, 4 8 8 9 9 4 Penyelesaian yang memuat parameter-parameter seperti diatas sehingga memberikan semua penyelesaian disebut penyelesaian umum Dapat ditunjukkan bahwa himpunan semua penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen merupakan suatu ruang vektor. Sehingga penyelesaian umum diatas juga disebut ruang penyelesaian. Teorema 4. : Jika didalam persamaan n aij j 0; i,, m rank matriks koefisien sama j dengan r, maka dimensi ruang penyelesaiannya adalah n-r Bukti : (Kerjakan sebagai latihan) Contoh 4. : Selidikilah apakah sistem persamaan linear berikut mempunyai penyelesian non trivial atau tidak, jika mempunyai penyelesaian non trivial, tentukan penyelesaian umumnya : 0 0 6 0 Matriks koefisien dari sistem persamaan linear diatas adalah : A 0 6 Karena det(a) = - 0, maka rank (A) =. Sehingga sistem persamaan linear diatas mempunyai penyelesaian trivial. 0 0
Jika anda dihadapkan pada bentuk sistem persamaan linear yang besar, tentu penyelesaian sistem persamaan linear tersebut akan lebih rumit jika dilakukan secara manual. Atau kadang dalam penyelesaian anda dihadapkan dengan nilai-nilai pecahan sehingga penyelesaian akan lebih rumit lagi. Meskipun dengan perhitungan manual dapat diperoleh, namun keadaan seperti ini dapat kita hindari dengan menggunakan program komputer. Dalam modul ini akan dibahas penyelesaian sistem persamaan linear dengan paket program Matlab. Dalam program Matlab, metode yang dipakai adalah eliminasi Gauss Jordan. Coba anda perhatikan contoh berikut : Contoh 4. : Selesaikan sistem Persamaan Linear homogen berikut : 4 0 4 7 8 9 0 4 8 0 4 Untuk menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen diatas, dalam modul ini akan digunakan paket program Matlab. Langkah pertama adalah anda masukkan nilai dari matrik koefisien A yaitu : 4 A 7 8 9 8 Dalam program Matlab, metode yang dipakai adalah eliminasi Gauss Jordan, dimana matriks akhir dari hasil operasi baris merupakan bentuk matriks eselon baris tereduksi, dengan perintah untuk mendapatkan penyelesaian adalah :» A=[ - 4 -;7-8 9; 8 -] - 4-7 -8 9 8 - Dengan perintah untuk mendapatkan penyelesaian adalah :» R=RREF(A) R = 0
R = 0 0 46/8 0 0-5/8 0 0-55/8 yang ekuivalen dengan bentuk : 46 8 4 5 8 4 55 8 4 0 0 0 dari bentuk ini, anda dapat menentukan nilai untuk masing-masing variabel. (lanjutkan sebagai latihan anda) Dengan perintah RREF(A) yang berarti Reduced Row Echelon Form atau bentuk eselon baris tereduksi, hasil yang ditampilkan adalah bentuk akhirnya. Padahal langkah-langkah operasi baris untuk memperoleh mariks eselon baris terduksi tidaklah singkat sesuai dengan ukuran matriks asalnya. Dengan program Matlab, anda juga dapat menampilkan matriks yang dihasilkan langkah-demi langkah dari operasi baris tersebut. Untuk mendapatkan hasil seperti ini lakukan perintah :» RREFMOVIE(A) Original matri - 4-7 -8 9 8 - Press any key to continue... swap rows and (menukar baris dengan baris ) 7-8 9-4 - 8 - Press any key to continue... pivot = A(,) (membuat baris kolom bernilai) /7-8/7 9/7 04
- 4-8 - Press any key to continue... /7-8/7 9/7 0 -/7 44/7-5/7 0 54/7 /7-5/7 Press any key to continue... swap rows and /7-8/7 9/7 0 54/7 /7-5/7 0 -/7 44/7-5/7 Press any key to continue... pivot = A(,) /7-8/7 9/7 0 /54-5/54 0 -/7 44/7-5/7 Press any key to continue... eliminate in column /7-8/7 9/7 0 /54-5/54 0 -/7 44/7-5/7 Press any key to continue... 0-65/54 7/54 0 /54-5/54 0 0 45/54-75/54 Press any key to continue... pivot = A(,) 05
0-65/54 7/54 0 /54-5/54 0 0-55/8 Press any key to continue... eliminate in column 0-65/54 7/54 0 /54-5/54 0 0-55/8 Press any key to continue... 0 0 46/8 0 0-5/8 0 0-55/8 Inilah bentuk matriks eselon baris tereduksi. Hasil akhir ini sama dengan hasil pertama. Sesuai dengan penjelasan pada sub bab sebelumnya, nilai konstanta real B tidak selalu bernilai nol, sering kita dihadapkan permasalahan dimana B 0. Referensi Anton, H., 987, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Son, New York Cullen, CG., 988, Linear Algebra With Application, Schott, Foresman and Company. Shchoot, J.R., Matri Analysis for Statistics, John Wiley, New York. 06