MODUL 1 : PROGRAM LINEAR E. Kegiatan Belajar 2 PENERAPAN PROGRAM LINEAR 1. K A. Nilai Optimum Fungsi Obyektif Fungsi objektif merupakan fungsi yang menjelaskan tujuan (meminimumkan atau memaksimumkan) berdasarkan batasan yang ada. Nilai bentuk objektif f(x, y) = ax + by tergantung dari nilai-nilai x dan y yang memenuhi sistem pertidaksamaan. Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan dengan garis selidik (isoprofit) atau metode titik sudut (titik ekstrim). a. Metode Titik Sudut (titik ekstrim). Langkah-langkah menentukan nilai optimum bentuk objektif menggunakan metode titik sudut adalah : 1) Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 2) Tentukan koordinat titik-titik sudut daerah himpunan penyelesaian tersebut. 3) Tentukan nilai bentuk objektif f(x, y) = ax + by untuk setiap titik sudut tersebut. 4) Tentukan nilai optimum fungsi objektif. Jika memaksimumkan fungsi objektif, pilih nilai f(x, y) yang terbesar. Jika meminimumkan fungsi objektif, pilih nilai f(x, y) yang terkecil. Contoh 8 Tentukan nilai maksimum dari F(x,y) = 2x + 3y pada himpunan penyelesaian system pertidaksamaan, 3x + y 9, x + 2y 8, x 0, y 0! Jawab : Mula-mula kita menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut : 3x + y = 9 x 0 3 y 9 0 Titik (0, 9) (3, 0) x + 2y = 8 x 0 4 y 4 0 Titik (0, 4) (4, 0) Daerah Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas adalah daerah yang diarsir yaitu daerah OABC dengan O(0,0), A(3,0) dan C(0,4). Langkah berikutnya menentukan koordinat titik B. Titik B adalah perpotongan garis 3x + y = 9 dan x + 2y = 8. Dengan eliminasi diperoleh : 3x + y = 9.2 6x + 2y = 18 x + 2y = 8.1 x + 2y = 8 _ 5x = 10 x = 2 x = 2 x + 2y = 8 2 + 2y = 8 y = 3 Jadi koordinat titik B(2,3).
Selanjutnya subtitusikan koordinat titik sudut OABC ke fungsi obyektif F(x,y) = 2x + 3y, diperoleh : F(x,y) = 2x + 3y Titik O(0,0) F(0,0) = 2.0 + 3.0 = 0 A(3,0) F(3,0) = 2.3 + 3.0 = 6 B(2,3) F(2,3) = 2.2 + 3.3 = 13 C(0,4) F(0,4) = 2.0 + 3.4 = 12 Jadi nilai maksimumnya adalah F = 13 di titik B(2,3). Tentukan Nilai Minimum f(x,y) = x + 2y dari daerah penyelesaian yang diarsir berikut : Jawab : Misalkan titik sudut Daerah Penyelesaian tersebut adalah ABC dengan A(6,0), C(0,4) dan titik B adalah perpotongan garis I yang melalui titik (0,4) dan (4,0) dengan garis II yang melalui (0,2) dan (6,0). Persamaan garis I : 4x + 4y = 16 x + y = 4 Persamaan garis II : 2x + 6y = 12 x + 3y = 6 Eliminasi persamaan garis I dan garis II untuk mendapatkan koordinat titik B. x + y = 4 x + 3y = 6 _ 2y = 2 y = 1 x + y = 4 maka x = 3 Jadi koordinat titik B(3, 1). Selanjutnya subtitusi koordinat titik sudut daerah penyelesaian ke fungsi obyektif : Titik F(x,y) = x + 2y A(6,0) F(6,0) = 6 + 2.0 = 6 B(3,1) F(3,1) = 3 + 2.1 = 5 C(0,4) F(0,4) = 0 + 2.4 = 8 Jadi nilai minimumnya adalah 5 dicapai di x = 3 dan y = 1. b. Metode Garis Selidik (Garis isoprofit) Cara lain untuk menentukan nilai optimum dari suatu bentuk objektif suatu persoalan program linear adalah menggunakan garis selidik. Berikut ini langkah-langkah untuk menentukan nilai optimum bentuk objektif menggunakan metode garis selidik.
1) Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 2) Tentukan koordinat titik-titik sudut daerah himpunan penyelesaian tersebut. 3) Tentukan persamaan garis selidik. Jika fungsi objektif yang akan dioptimumkan f(x, y) = ax + by maka persamaan garis selidik yang digunakan ax + by = k. Ambil sembarang nilai k tertentu sehingga persamaan garisnya mudah dilukis. 4) Gambar garis-garis selidik yang sejajar dengan garis ax + by = k dan melalui setiap titik sudut daerah penyelesaian. Garis yang melalui titik sudut daerah penyelesaian yang paling jauh dengan titik pangkal maka titik tersebut membuat fungsi obyektif mencapai maksimum. Garis yang melalui titik sudut daerah penyelesaian yang paling dekat dengan titik pangkal maka titik tersebut membuat fungsi obyektif mencapai minimum. 5) Tentukan nilai optimum fungsi objektif. Nilai optimum dapat diperoleh dengan mensubtitusi koordinat titik sudut yang dilewati garis selidik tersebut pada fungsi objektif. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi obyektif f(x, y) = 2x + 3y dari daerah penyelesaian yang diarsir berikut : Jawab : Dari fungsi obyektif f(x, y) = 2x + 3y maka persamaan garis selidiknya adalah 2x + 3y = k. Agar mudah dilukis ambil k = 6 sehingga garis selidik 2x + 3y = 6 melalui titik (3, 0) dan (0, 2). Selanjutnya buat garis yang sejajar garis 2x + 3y = 6 dan melalui titik sudut dari daerah penyelesaian. Perhatikan gambar dibawah : Garis selidik yang paling jauh dari titik pangkal melalui titik B(4,8) sehingga di titik B fungsi obyektif f(x, y)=2x + 3y mencapai maksimum. Jadi Nilai maksimumnya : f(4,8) = 2.4 + 3.8 = 32. Garis selidik yang paling dekat dengan titik pangkal melalui titik A(2, 0) sehingga di titik A fungsi obyektif f(x, y)=2x + 3y mencapai minimum. Jadi nilai minimumnya : f(2,0) = 2.2 + 3.0 = 4. B. Penerapan Program Linear Beberapa masalah penentuan nilai optimum yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dapat diformulasikan ke bentuk masalah program linear. Langkah-langkah yang harus ditempuh adalah sebagai berikut. 1. Ubahlah masalah program linear ke model matematika. 2. Gambarlah Daerah penyelesaiannya.
3. Tentukan koordinat titik sudut dari daerah penyelesaian. 4. Tentukan nilai optimum dengan menggunakan metode titik sudut/ekstrim atau dengan menggunakan garis selidik. Seorang penjahit pakaian mempunyai persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 45 m. Penjahit tersebut akan membuat pakaian model U dan V. Model U memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris. Model V memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris. Laba dari masing-masing model V adalah Rp20.000,00 dan model U Rp15.000,00. Tentukan banyaknya pakaian model U dan V yang dibuat agar penjahit tersebut mendapatkan laba maksimum! Jawab : Model matematika dari permasalahan diatas adalah : Pakaian Kain polos Kain bergaris Laba Model U (x) 1 m 3 m Rp20.000,00 Model V (y) 2 m 1 m Rp15.000,00 20 m 45 m Diperoleh sistem pertidaksamaan : x + 2y 20, 3x + y 45, x 0, y 0 dan fungsi obyektif maksimumkan L = 15.000x + 20.000y. Grafik daerah penyelesaiannya adalah : x + 2y = 20 x 0 20 y 10 0 (x, y) (0,10) (20,0) 3x + y = 45 x 0 15 y 45 0 (x, y) (0,45) (15,0) Titik B adalah titik potong antara x + 2y = 20 dan 3x + y = 45. Dengan eliminasi diperoleh : x + 2y = 20.1 x + 2y = 20 3x + y = 45.2 6x + 2y = 90 _ 5x = 70 x = 14 x + 2y = 20 14 + 2y = 20 y = 3 Jadi Koordinat titik B adalah (14,3) Dengan metode titik sudut/kritis diperoleh nilai laba maksimum : Titik Sudut Laba L = 15.000x + 20.000y O(0,0) A(15,0) B(14,3) C(0,10) L = 15.000.0 + 20.000.0 = 0 L = 15.000.15 + 20.000.0 = 225.000 L = 15.000.14 + 20.000.3 = 270.000 (maksimum) L = 15.000.0 + 20.000.10 = 200.000 Jadi diperoleh Laba maksimum Rp270.000,00 dengan membuat 14 pakaian model U dan 3 pakaian model V. 2. 1. a. Tentukan nilai maksimum dari Z = 8x + 6y dengan batas 4x + 2y 60, 2x + 4y 48, x 0, dan y 0! b. Tentukan nilai minimum dari F = 2x + 5y dengan syarat x 0, y 0, x + y 12 dan x + 2y 16.
2. Tentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) dari fungsi obyektif setiap model matematika berikut! a. 4x + 2y 8, x + y 4, y 2, 2x y 2 dengan fungsi obyektif f(x,y) = 3x + 6y b. x 0, 2x + 4y 8, 2x + y 8, y 4 dengan fungsi obyektif Z = 2x + 6y 3. Tentukan nilai maksimum/minimum fungsi obyektif dari daerah penyelesaian yang diarsir berikut! a. b. Fungsi obyektif : Maksimumkan Z = 30x + 50y c. Fungsi obyektif : Minimumkan Z = 32y + 40x d. Fungsi Obyektif : Maksimumkan F = x y Fungsi Obyektif : Minimumkan P = 4y + 3x 4. Darma adalah seorang pembuat paku. Dia membuat dua jenis paku dari bahan yang tersedia, yaitu 5,5 kg bahan A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I setiap buahnya memerlukan 200 gr bahan A dan 75 gr bahan B. Sedangkan paku jenis II setiap buahnya memerlukan 150 gr bahan A dan 50 gr bahan jenis B. Darma menjual paku jenis I dengan harga Rp50,00 dan paku jenis II dengan harga Rp30,00. Berapakah jumlah paku I dan II yang harus dibuat agar penghasilan Darma maksimum? 5. Seorang penjahit pakaian mempunyai persediaan 16 m kain sutera, 11 m kain wol dan 15 m kain katun yang akan dibuat dua model pakaian dengan ketentuan berikut ini : Model A membutuhkan 2 m sutera, 1 m wol dan 1 m katun per unit. Model B membutuhkan 1 m sutera, 2 m wol dan 3 m katun per unit. Keuntungan pakaian model A Rp30.000,00 dan model B Rp50.000,00 per unit. Tentukan banyaknya masing-masing pakaian yang harus dibuat agar diperoleh keuntungan maksimum!
3. Langkah-langkah menentukan nilai optimum bentuk objektif menggunakan metode titik sudut adalah : 1) Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 2) Tentukan koordinat titik-titik sudut daerah himpunan penyelesaian tersebut. 3) Tentukan nilai bentuk objektif f(x, y) = ax + by untuk setiap titik sudut tersebut. 4) Tentukan nilai optimum fungsi objektif. Jika memaksimumkan fungsi objektif, pilih nilai f(x, y) yang terbesar. Jika meminimumkan fungsi objektif, pilih nilai f(x, y) yang terkecil. Langkah-langkah untuk menentukan nilai optimum bentuk objektif menggunakan metode garis selidik. 1) Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 2) Tentukan koordinat titik-titik sudut daerah himpunan penyelesaian tersebut. 3) Tentukan persamaan garis selidik. Jika fungsi objektif yang akan dioptimumkan f(x, y) = ax + by maka persamaan garis selidik yang digunakan ax + by = k. Ambil sembarang nilai k tertentu sehingga persamaan garisnya mudah dilukis. 4) Gambar garis-garis selidik yang sejajar dengan garis ax + by = k dan melalui setiap titik sudut daerah penyelesaian. Garis yang melalui titik sudut daerah penyelesaian yang paling jauh dengan titik pangkal maka titik tersebut membuat fungsi obyektif mencapai maksimum. Garis yang melalui titik sudut daerah penyelesaian yang paling dekat dengan titik pangkal maka titik tersebut membuat fungsi obyektif mencapai minimum. 5) Tentukan nilai optimum fungsi objektif. Nilai optimum dapat diperoleh dengan mensubtitusi koordinat titik sudut yang dilewati garis selidik tersebut pada fungsi objektif. Langkah-langkah yang harus ditempuh dalam menyelesaikan masalah aplikasi program linear adalah sebagai berikut. 1. Ubahlah masalah program linear ke model matematika. 2. Gambarlah Daerah penyelesaiannya. 3. Tentukan koordinat titik sudut dari daerah penyelesaian. 4. Tentukan nilai optimum dengan menggunakan metode titik sudut/ekstri atau dengan menggunakan garis selidik. 4. 1. Diketahui segi lima OPQRS merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan, maka nilai maksimum fungsi obyektif 3x + y terletak di titik... A. S B. R C. Q D. P E. O 2. Nilai minimum dari S = x + 2y yang memenuhi himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan x + y 9, 2x + y 8, x 0 dan y 0 adalah... A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 E. 16
3. Nilai maksimum dari 20x + 8y untuk x dan y yang memenuhi x + y 20, 2x + y 48, 0 x 20 dan 0 y 48 adalah... A. 408 B. 456 C. 464 D. 480 E. 488 4. Nilai minimum fungsi obyektif 5x + 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah terasir gambar disamping adalah... A. 400 B. 320 C. 240 D. 200 E. 160 5. Pada daerah yang diarsir, fungsi obyektif Z = 10x + 5y Mencapai nilai maksimum di titik... A. P B. Q C. R D. S E. T 6. Nilai maksimum f(x, y) = 10y + 5x di daerah yang diarsir adalah... A. 60 B. 40 C. 36 D. 20 E. 16 7. Seorang pemborong mendapat pesanan dua jenis bentuk pagar. Pagar jenis I seharga Rp30.000,00/m dan jenis II seharga Rp45.000,00/m. Tiap m 2 pagar jenis I memerlukan 4 m besi pipa dan 6 m besi beton. Tiap m 2 pagar jenis II memerlukan 8 m besi pipa dan 4 m besi beton. Persediaan yang ada 640 m besi pipa dan 480 m besi beton. Jika semua pesanan terpenuhi maka hasil penjualan maksimum kedua jenis pagar adalah... A. Rp2.400.000,00 B. Rp3.600.000,00 C. Rp3.900.000,00 D. Rp4.800.000,00 E. Rp5.400.000,00
8. Seorang penjual buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp1.000,00/kg dan pisang Rp400,00/kg. Modal yang tersedia Rp250.000,00. Gerobaknya hanya dapat memuat 400 kg apel dan pisang. Jika keuntungan tiap kg apel dua kali keuntungan tiap kg apel maka laba maksimum yang dapat diperoleh jika pedagang itu membeli... A. 250 kg apel saja B. 400 kg pisang saja C. 170 kg apel dan 200 kg pisang D. 150 kg apel dan 300 kg pisang E. 150 kg apel dan 250 kg pisang 9. Seorang anak diharuskan mengkonsumsi dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp400,00/butir dan tablet kedua Rp800/butir, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah... A. Rp2.000,00 B. Rp1.800,00 C. Rp1.600,00 D. Rp1.400,00 E. Rp1.200,00 10. Setiap peserta ujian diharuskan menjawab 20 soal tipe A dan tipe B. Soal tipe A harus dikerjakan sedikitnya 3 soal dan tidak lebih dari 12 soal. Soal tipe B harus dikerjakan paling sedikit 5 soal dan tidak lebih dari 15 soal. Jawaban benar soal tipe A diberi skor 4 dan jawaban benar soal tipe B diberi skor 6. Jika Amir salah seorang peserta tes tersebut maka skor maksimum yang dapat dicapai Amir adalah... A. 116 B. 114 C. 112 D. 110 E. 108 5. Cocokkan jawaban di atas dengan kunci jawaban tes formatif I yang ada di bagian akhir modul ini. Ukurlah tingkat penguasaan materi kegiatan belajar I dengan rumus sebagai berikut : Arti tingkat penguasaan yang diperoleh adalah : Baik sekali = 90 100 % Baik = 80 89 % Cukup = 70 79 % Kurang = 0 69 % Bila tingkat penguasaan materi mencapai 80 % ke atas, silakan melanjutkan ke kegiatan belajar 2, namun apabila tingkat penguasaan materi masih dibawah 80% harus mengulangi kegiatan belajar 1 terutama pada bagian yang belum dikuasai.