, Eko Didik Widianto (didik@undip.ac.id) Sistem Komputer - Universitas Diponegoro @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 1 / 39
Review Kuliah Sebelumnya konsep rangkaian logika telah dibahas, meliputi variabel, fungsi, ekspresi dan persamaan logika tabel kebenaran dari fungsi logika gerbang dan rangkaian logika analisis rangkaian logika Berikutnya adalah menggunakan konsep tersebut untuk mengimplementasikan fungsi logika menjadi suatu rangkaian logika (sintesis), baik menggunakan tabel kebenaran maupun aljabar Boolean @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 2 / 39
Bahasan Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Proses Sintesis Sintesis dari Tabel Minterm dan Bentuk SOP Duality SOP - POS Maxterm dan Bentuk POS Konversi Bentuk Menyederhanakan Gerbang NAND dan NOR NAND-NAND NOR-NOR @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 3 / 39
Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 4 / 39
Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Skema untuk deskripsi aljabar dari proses berpikir secara logika dan reasoning (tahun 1849) Kemudian digunakan untuk menjabarkan rangkaian logika desain dan analisis rangkaian menyederhanakan suatu ekspresi logika untuk implementasi fisik rangkaian yang lebih sederhana George Boole (1815-1864) @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 5 / 39
Dalil dan Prinsip Dualitas Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi menggunakan aturan-aturan yang diturunkan dari asumsi dasar (aksioma/dalil/postulat) 1a. 0 0 = 0 2a. 1 1 = 1 3a. 0 1 = 1 0 = 0 4a. Jikax = 0, makax = 1 1b. 1+1 = 1 2b. 0+0 = 0 3b. 1+0 = 0+1 = 1 4b. Jikax = 1, makax = 0 Dalil dituliskan berpasangan untuk menunjukkan prinsip dualitas Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresi tersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua + dengan atau sebaliknya serta mengganti 0 dengan 1 atau sebaliknya dalil(b) merupakan dual dari dalil(a) dan sebaliknya Dual dari pernyataan benar adalah juga benar @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 6 / 39
Teorema 1 Variabel Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Aturan ini diturunkan dari aksioma. x adalah variabel tunggal 5a. x 0 = 0 6a. x 1 = x 7a. x x = x 8a. x x = 0 9. x = x 5b. x+1 = 1 6b. x+0 = x 7b. x+x = x 8b. x+x = 1 Pembuktian teorema dengan induksi Memasukkan nilaix = 0 danx = 1 ke dalam ekspresi Pernyataan di teorema (a) adalah dual dari pernyataan (b) dan sebaliknya f 1 (x 1,x 2 ) = x 1 +x 2 dualnya adalah f 2 (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 Misalnya: f 1 = 0+0 = 0,f 2 = 1 1 = 1, sehingga f 1 dan f 2 dual @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 7 / 39
Hukum-hukum Aljabar Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi 10a. x y = y x 10b. x + y = y + x Komutatif 11a. x (y z) = (x y) z 11b. x + (y + z) = (x + y) + z Asosiatif 12a. x (y + z) = x y + x z 12b. x + y z = (x + y) (x + z) Distributif 13a. x + x y = x 13b. x (x + y) = x Absorsi 14a. x y + x y = x 14b. (x + y) (x + y) = x Penggabungan 15a. x y = x + y 15b. x + y = x y DeMorgan 16a. x + x y = x + y 16b. x (x + y) = x y 17a. x y+y z+x z = x y+x z 17b. (x + y) (y + z) (x + z) = (x + y) (x + z) Konsensus Pembuktian hukum (identity, property) tersebut dapat dilakukan secara induktif (dengan tabel kebenaran) maupun dengan melakukan perhitungan aljabar Contoh: teorema DeMorgan secara induktif Buktikan 12a,b 13a,b 16a,b dan 17a,b secara induktif dan aljabar @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 8 / 39
Pembuktian Aljabar Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Buktikan persamaan logika berikut benar 1.(x 1 +x 2 ) (x 1 +x 2 ) = x 1 x 2 +x 1 x 2 2. x 1 x 3 +x 2 x 3 +x 1 x 3 +x 2 x 3 = x 1 +x 2 @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 9 / 39
Pembuktian Aljabar Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Buktikan persamaan logika berikut benar 1.(x 1 +x 2 ) (x 1 +x 2 ) = x 1 x 2 +x 1 x 2 2. x 1 x 3 +x 2 x 3 +x 1 x 3 +x 2 x 3 = x 1 +x 2 f = x 1 x 3 +x 2 x 3 +x 1 x 3 +x 2 x 3 = x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 = x 1 +x 2 Menghasilkan ekspresi logika yang lebih sederhana, rangkaian logika lebih sederhana Teorema dan property menjadi basis untuk sintesis fungsi logika di perangkat CAD @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 9 / 39
Diagram Venn Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Membuktikan ekuivalensi 2 ekspresi logika secara visual Suatu set s merupakan koleksi elemen yang merupakan anggota dari s dalam hal ini s merupakan koleksi variabel dan/atau konstan Elemen (variabel/konstan) dinyatakan sebagai area dengan kontur seperti kotak, lingkaran atau elips @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 10 / 39
Diagram Venn Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 11 / 39
DeMorgan: x y = x+y Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Hasil diagram Venn yang sama menunjukkan kedua ekspresi sama @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 12 / 39
Notasi Operator Fungsi Logika Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Kemiripan operasi penjumlahan dan perkalian antara logika dan aritmetika Operasi OR disebut sebagai logika penjumlahan (sum) Operasi AND disebut sebagai logika perkalian (product) Operasi Notasi Operator Keterangan OR +,, Bitwise OR AND,, & Bitwise AND Ekpresi ABC+A BD+A CE Merupakan jumlah dari 3 operasi/term perkalian (SOP, sum-of-product terms) Ekspresi (A+B+C)(A +B+D)(A +C+E) Merupakan perkalian dari 3 operasi/term penjumlahan (POS, product-of-sum terms) @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 13 / 39
(Konvensi) Urutan Operasi Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Jika dalam satu ekspresi tidak terdapat tutup kurung, operasi fungsi logika dilakukan dengan urutan: 1. NOT 2. AND 3. OR Misalnya ekspresix+x y variabel x di term kedua diinversikan, kemudian di-and-kan dengan variabel y term pertama dan kedua kemudian di-or-kan Latihan Gambar rangkaian untuk persamaan logika f = (x 1 +x 2 ) x 3 danf = x 1 +x 2 x 3 @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 14 / 39
Hasil yang Diharapkan Dari Kuliah Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Mahasiswa mampu: 1. mengerti tentang dalil, teorema dan hukum aljabar 2. membuktikan persamaan 2 ekspresi logika secara induktif, manipulasi aljabar dan diagram Venn 3. menyederhanakan suatu ekspresi logika menggunakan dalil, teorema dan hukum aljabar (manipulasi aljabar) 4. mengerti tentang beragam notasi operasi logika (AND,OR) dan urutan operasi logika @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 15 / 39
NOR-NOR @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 16 / 39
Proses Sintesis NOR-NOR Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannya dalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika? Misalnya Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/atau rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya Desain rangkaian logika dengan dua masukan x 1 danx 2 memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jika switch (x 1,x 2 ) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dan keluaran 0 jika switch (1,0) Pernyataan lain: jika switchx 1 tersambung danx 2 terputus maka keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus 1 @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 17 / 39
Proses Sintesis NOR-NOR Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannya dalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika? Misalnya Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/atau rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya Desain rangkaian logika dengan dua masukan x 1 danx 2 memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jika switch (x 1,x 2 ) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dan keluaran 0 jika switch (1,0) Pernyataan lain: jika switchx 1 tersambung danx 2 terputus maka keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus 1 Langkah desain: membuat tabel kebenaran untuk menuliskan term perkalian yang menghasilkan keluaran 1 @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 17 / 39
Tabel Kebenaran dan Hasil Ekspresi (SOP) NOR-NOR Tabel kebenaran untuk fungsi yang harus disintesis Realisasi f adalah f = x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 18 / 39
Latihan Sintesis Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1 1. Tuliskan ekspresi dan rangkaian logikanya 2. Sederhanakan rangkaian tersebut @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 19 / 39
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP NOR-NOR Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabelf (x 1,x 2...x n ) Sebuah minterm dari f adalah satu term perkalian dari n variabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, minterm dibentuk dengan memasukkan variabelx i jikax i = 1 ataux i jikax i = 0 Notasim j merupakan minterm dari baris nomorj di tabel kebenaran. Contoh: Baris 1 (j = 0),x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 minterm: m 0 = x 1 x 2 x 3 Baris 2 (j = 1),x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1 minterm: m 1 = x 1 x 2 x 3 @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 20 / 39
Minterm dan Bentuk Kanonik SOP NOR-NOR Tiap baris dari tabel kebenaran membentuk satu buah minterm Fungsi f dapat dinyatakan dengan ekspresi penjumlahan dari semua minterm di mana tiap minterm di-and-kan dengan nilai f yang bersesuaian Barisi x 1 x 2 x 3 mintermm i f 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 0 1 0 0 1 x 1 x 2 x 3 1 2 0 1 0 x 1 x 2 x 3 0 3 0 1 1 x 1 x 2 x 3 0 4 1 0 0 x 1 x 2 x 3 1 5 1 0 1 x 1 x 2 x 3 1 6 1 1 0 x 1 x 2 x 3 1 7 1 1 1 x 1 x 2 x 3 0 Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik SOP: f = m 0 0 + m 1 1 + m 2 0 + m 3 0 + m 4 1 + m 5 1 + m 6 1 + m 7 0 = m 1 + m 4 + m 5 + m 6 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 21 / 39
Notasi SOP NOR-NOR Persamaan SOP dapat dinyatakan dalam notasi m f = m 1 +m 4 +m 5 +m 6 = x 1 x 2 x 3 }{{} 1 +x 1 x 2 x 3 }{{} 4 +x 1 x 2 x 3 }{{} 5 Notasi Persamaan SOP:f = m(1,4,5,6) +x 1 x 2 x 3 }{{} 6 Implementasi: Ekspresi fungsi f tersebut secara fungsional benar dan unik Namun, mungkin tidak menghasilkan implementasi yang paling sederhana @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 22 / 39
Prinsip Duality NOR-NOR Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran, maka ekspresi untuk f dapat diperoleh (disintesis) dengan cara: 1. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=1, atau 2. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=0 Pendekatan (1) menggunakan minterm Pendekatan (2) menggunakan komplemen dari minterm, disebut maxterm @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 23 / 39
Penjelasan Dualitas SOP-POS NOR-NOR Jika fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka fungsi inversnya f, dapat dinyatakan dengan penjumlahan minterm dengan f = 1, yaitu di baris di manaf = 0 f = m 0 + m 2 + m 3 + m 7 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 Fungsi f dapat dinyatakan f = m 0 + m 2 + m 3 + m 7 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 ) ) ) = (x 1 x 2 x 3 (x 1 x 2 x 3 (x 1 x 2 x 3 (x 1 x 2 x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 ) Meletakkan dasar untuk menyatakan fungsi sebagai bentuk perkalian semua term perjumlahan, maxterm @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 24 / 39
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS NOR-NOR Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabelf (x 1,x 2...x n ) Sebuah maxterm dari f adalah satu term penjumlahan dari n variabel yang ditampilkan sekali baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, maxterm dibentuk dengan memasukkan variabelx i jikax i = 0 ataux i jikax i = 1 NotasiM j (dengan huruf M besar) merupakan maxterm dari baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh: Baris 1 (j = 0),x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 maxterm: M 0 = x 1 +x 2 +x 3 Baris 2 (j = 1),x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1 maxterm: M 1 = x 1 +x 2 +x 3 @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 25 / 39
Maxterm dan Bentuk Kanonik POS NOR-NOR Tiap baris dari tabel kebenaran membentuk satu buah maxterm Fungsi f dapat dinyatakan dengan ekspresi perkalian dari semua maxterm di mana tiap maxterm di-or-kan dengan nilai f yang bersesuaian Barisi x 1 x 2 x 3 maxtermm i f 0 0 0 0 x 1 +x 2 +x 3 0 1 0 0 1 x 1 +x 2 +x 3 1 2 0 1 0 x 1 +x 2 +x 3 0 3 0 1 1 x 1 +x 2 +x 3 0 4 1 0 0 x 1 +x 2 +x 3 1 5 1 0 1 x 1 +x 2 +x 3 1 6 1 1 0 x 1 +x 2 +x 3 1 7 1 1 1 x 1 +x 2 +x 3 0 Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik POS: f = (M 0 + 0)(M 1 + 1)(M 2 + 0)(M 3 + 0)(M 4 + 1)(M 5 + 1)(M 6 + 1)(M 7 + 0) = M 0 M 2 M 3 M 7 = (x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 ) @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 26 / 39
Notasi POS NOR-NOR Persamaan POS dapat dinyatakan dalam notasi M f = M 0 M 2 M 3 M 7 = (x 1 + x 2 + x 3 ) }{{} 0 (x 1 + x 2 + x 3 ) }{{} 2 (x 1 + x 2 + x 3 ) }{{} 3 Notasi Persamaan SOP:f = M(0,2,3,7) (x 1 + x 2 + x 3 ) }{{} 7 Persamaan berikut benar untuk fungsif(x 1,x 2,x 3 )di atas: m(1,4,5,6) = M(0,2,3,7) x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 = (x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 ) @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 27 / 39
Konversi Bentuk POS-SOP NOR-NOR Jika suatu fungsif diberikan dalam bentuk m atau M, maka dengan mudah dapat dicari fungsif atauf dalam bentuk m atau M Bentuk Fungsi dan Bentuk yang Diinginkan Asal f = m f = M f = m f = M f = m (1,4,5,6) f = M (0,2,3,7) - Nomor yg tdk ada dlm daftar Nomor yg tdk ada dlm daftar (1,4,5,6) (0,2,3,7) Nomor yang tdk ada dlm daftar (0,2,3,7) - Nomor yang ada dlm daftar (0,2,3,7) Nomor yang ada dlm daftar (1,4,5,6) Nomor yg tdk ada dlm daftar (1,4,5,6) Bagaimana bentuk kanonik POS dan SOP untuk fungsi 4 variabel? Walaupun bisa menjadi masalah untuk implementasi di FPGA yang hanya mempunyai LUT 2-masukan Dilakukan dengan sintesis multilevel @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 28 / 39
Penyederhanaan dengan Aljabar NOR-NOR Suatu fungsi logika dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk ekspresi yang ekivalen Misalnya: f 1 = x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 danf 2 = x 1 +x 2 adalah ekivalen secara fungsional Proses optimasi memilih salah satu dari beberapa rangkaian ekivalen untuk memenuhi constraint nonfungsional (area, cost) Catatan: rangkaian dengan jumlah gerbang minimal bisa jadi bukan merupakan solusi terbaik, tergantung constraintnya. Misalnya constraint delay Fungsi: f = x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 Replikasi term 2: f = x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 Distributif (12b): f = x 1 (x 2 + x 2 ) + (x 1 + x 1 )x 2 Teorema (8b): f = x 1 1 + 1 x 2 Teorema (6a): f = x 1 + x 2 @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 29 / 39
Tips Penyederhanaan SOP dan POS NOR-NOR Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di ekspresi SOP: menggunakan hukum 14a (x y +x y = x) POS: menggunakan hukum 14b ((x+y) (x+y) = x) Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan hukum 14a atau 14b jika berbeda hanya di satu variabel saja f (x 1,x 2,x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 m 1 danm 5 berbeda dix 1, danm 4 danm 6 berbeda dix 2 f = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 = (x 1 + x 1 )x 2 x 3 + x 1 (x 2 + x 2 )x 3 = x 2 x 3 + x 1 x 3 f (x 1,x 2,x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 ) M 0 danm 2 berbeda dix 2, danm 4 danm 7 berbeda dix 1 f = ((x 1 + x 3 ) + x 2 x 2 ) (x 1 x 1 + (x 2 + x 3 )) = (x 1 + x 3 )(x 2 + x 3 ) @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 30 / 39
Latihan Sintesis 1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1 (a) Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasinya (b) Cari invers fungsi tersebut (c) Sederhanakan rangkaian dan gambar rangkaian logikanya 2. Cari minterm, maxterm dan tuliskan bentuk SOP dan POS dari fungsif = (x 1 +x 2 ) x 3 @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 31 / 39
Logika dengan NAND dan NOR NOR-NOR Fungsi NAND adalah inversi fungsi AND f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 Gerbang NAND merupakan gerbang AND yang diikuti gerbang NOT Fungsi NOR adalah inversi fungsi OR f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 Gerbang NOR merupakan gerbang OR yang diikuti gerbang NOT @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 32 / 39
NAND Lebih Sederhana dari AND NOR-NOR Di CMOS, implementasi rangkaian dari gerbang NAND dan NOR lebih sederhana (dan cepat) daripada AND dan OR Sehingga rangkaian lebih kecil dan lebih cepat untuk mewujudkan fungsi logika yang sama CMOS NAND (4 transistor) CMOS AND (6 transistor) @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 33 / 39
NOR Lebih Sederhana dari OR NOR-NOR CMOS NOR (4 transistor) CMOS OR (6 transistor) @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 34 / 39
Recall: Teorema DeMorgan NOR-NOR @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 35 / 39
AND-OR dan NAND-NAND NOR-NOR AND-OR (bentuk SOP) dapat dikonversi menjadi rangkaian NAND-NAND Bentuk ekspresinya: inverskan minterm, ganti (+) dengan (.), inverskan ekspresi Contoh: f = m(1,4,5,6) f = x 1 x 2 x 3 +x 1 x 2 x 3 +x 1 x 2 x 3 +x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 36 / 39
OR-AND dan NOR-NOR NOR-NOR OR-AND (bentuk POS) dapat dikonversi menjadi rangkaian NOR-NOR Bentuk ekspresinya: inverskan maxterm, ganti (.) dengan (+), inverskan ekspresi Contoh: f = M(0,2,3,7) f = (x 1 +x 2 +x 3 )(x 1 +x 2 +x 3 )(x 1 +x 2 +x 3 )(x 1 +x 2 +x 3 ) = ( x 1 +x 2 +x 3 ) + ( x1 +x 2 +x 3 ) + ( x1 +x 2 +x 3 ) + ( x1 +x 2 +x 3 ) @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 37 / 39
Latihan 1. Sederhanakan fungsif = m(0,2,4,5) dan buat rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR-nya 2. Dalam rangkaian multiplexer, terdapat 2 sinyal data masukan x1 dan x2. Keluaran dikontrol oleh sinyal s. Asumsi keluaran akan sama dengan nilai x1 jika s=0 dan sama dengan x2 jika s=1. Desain rangkaian logika sederhananya. Gambarkan juga rangkaian NAND-NANDnya. @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 38 / 39
Hasil yang Diharapkan dari Kuliah NOR-NOR Mahasiswa mampu: 1. melakukan sintesis ekspresi logika dari suatu tabel kebenaran fungsi logika dan ekspresi logika 2. menuliskan minterm dan bentuk kanonik SOP suatu fungsi 3. menuliskan maxterm dan bentuk kanonik POS suatu fungsi 4. mengkonversi bentuk SOP - POS untuk menyatakan fungsi yang sama 5. menyederhanakan ekspresi logika menggunakan prinsip aljabar 6. mengimplementasikan fungsi logika dengan gerbang NOR dan NAND @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 39 / 39